Reduzierbarkeit und das Post'sche Korrespondenzproblem
Agenda Motivation Reduzierbarkeit Definition Bedeutung Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Modifiziertes Post'sches Korrespondenzproblem (MPKP) Beispiele Zusammenfassung 28.03.2012 Simon Ochsenreither 2
Motivation Schnittproblem kontextfreier Grammatiken Gegeben: Gesucht: Kontextfreie Grammatiken G1 und G2 L(G1) L(G2) Mehrdeutigkeitsproblem kontextfreier Grammatiken Gegeben: Kontextfreie Grammatik Gesucht: Besitzt jedes Wort ω L(G) eine eindeutige Ableitung? Leerheitsproblem kontextsensitiver Grammatiken Gegeben: Gesucht: L(G)? Kontextsensitive Grammatiken 28.03.2012 Simon Ochsenreither 3
Motivation Schnittproblem kontextfreier Grammatiken Gegeben: Gesucht: Kontextfreie Grammatiken G1 und G2 L(G1) L(G2) Mehrdeutigkeitsproblem kontextfreier Grammatiken Gegeben: Kontextfreie Grammatik Gesucht: Besitzt jedes Wort ω L(G) eine eindeutige Ableitung? Leerheitsproblem kontextsensitiver Grammatiken Gegeben: Gesucht: L(G)? Kontextsensitive Grammatiken 28.03.2012 Simon Ochsenreither 4
Motivation Schnittproblem kontextfreier Grammatiken Gegeben: Gesucht: Kontextfreie Grammatiken G1 und G2 L(G1) L(G2) Mehrdeutigkeitsproblem kontextfreier Grammatiken Gegeben: Kontextfreie Grammatik Gesucht: Besitzt jedes Wort ω L(G) eine eindeutige Ableitung? Leerheitsproblem kontextsensitiver Grammatiken Gegeben: Gesucht: L(G)? Kontextsensitive Grammatiken 28.03.2012 Simon Ochsenreither 5
Motivation Schnittproblem kontextfreier Grammatiken Gegeben: Gesucht: Kontextfreie Grammatiken G1 und G2 L(G1) L(G2) Mehrdeutigkeitsproblem kontextfreier Grammatiken Gegeben: Kontextfreie Grammatik Gesucht: Besitzt jedes Wort ω L(G) eine eindeutige Ableitung? Leerheitsproblem kontextsensitiver Grammatiken Gegeben: Gesucht: L(G)? Kontextsensitive Grammatiken 28.03.2012 Simon Ochsenreither 6
Reduzierbarkeit Definition Mit L Σ* und L' Γ* seien 2 Sprachen gegeben. L ist genau dann auf L' reduzierbar, falls eine totale Funktion f : Σ* Γ* mit folgenden Eigenschafen existiert: f ist berechenbar ω L f(ω) L'... dann ist L L'. 28.03.2012 Simon Ochsenreither 7
Reduzierbarkeit Satz Ist L eine unentscheidbare Sprache, so ist jede Sprache L' mit L L' ebenfalls unentscheidbar. 28.03.2012 Simon Ochsenreither 8
Reduzierbarkeit Demo 28.03.2012 Simon Ochsenreither 9
Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) 1946 durch Emil Leon Post formuliert Wichtiges unentscheidbares Problem Einfache Reduktion auf andere Probleme Instrument zum Führen von Unentscheidbarkeitsbeweisen 28.03.2012 Simon Ochsenreither 10
Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Definition Gegeben: Wortpaare (x₁, y₁), (xₙ, yₙ) mit xₐ, yₐ Σ+ Gesucht: Existiert Folge a₁ aₖ mit der Eigenschaft xₐ₁ xₐ₂ xₐₖ = yₐ₁ yₐ₂ yₐₖ? 28.03.2012 Simon Ochsenreither 11
Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Demo mit ein-elementigem Alphabet 28.03.2012 Simon Ochsenreither 12
Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Für ein-elementige Alphabete trivial lösbar Durch math. Gleichungssystem berechenbar Entscheidbar! Gilt dies auch für zwei-elementige Alphabete? Gilt dies auch für mehr-elementige Alphabete? 28.03.2012 Simon Ochsenreither 13
Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Demo mit zwei-elementigem Alphabet 28.03.2012 Simon Ochsenreither 14
Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Mehr-elementige Alphabete durch Gödelisierung auf zwei-elementige Alphabete abbildbar Reduktion! 28.03.2012 Simon Ochsenreither 15
Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Das PKP ist unlösbar, wenn...... eine der Komponenten nicht einholbar ist, z. B. (011, 100) ( 11, (010, 110) 011) 28.03.2012 Simon Ochsenreither 16
Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Das PKP ist unlösbar, wenn...... eine der Komponenten nicht einholbar ist, z. B. (011, 100) ( 11, (010, 110) 011) 28.03.2012 Simon Ochsenreither 17
Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Das PKP ist unlösbar, wenn...... ein Symbol nur in den ersten oder nur in den zweiten Komponenten vorkommt, z. B. ( 01, 1) ( 0, 000) (01000, 01) 28.03.2012 Simon Ochsenreither 18
Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Das PKP ist unlösbar, wenn...... ein Symbol nur in den ersten oder nur in den zweiten Komponenten vorkommt, z. B. ( 01, 1) ( 0, 020) (01000, 01) 28.03.2012 Simon Ochsenreither 19
Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Das PKP ist unlösbar, wenn...... es kein Paar mit gleichem Präfix... ( 01, 1) ( 0, 000) (01000, 01) 28.03.2012 Simon Ochsenreither 20
Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Das PKP ist unlösbar, wenn...... es kein Paar mit gleichem Präfix... ( 01, 1) ( 0, 100) (01000, 11) 28.03.2012 Simon Ochsenreither 21
Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Das PKP ist unlösbar, wenn...... es kein Paar mit gleichem Präfix... ( 01, 1) ( 0, 100) (01000, 11)... oder Suffix gibt ( 01, 1) ( 0, 000) (01000, 01) 28.03.2012 Simon Ochsenreither 22
Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Das PKP ist unlösbar, wenn...... es kein Paar mit gleichem Präfix... ( 01, 1) ( 0, 100) (01000, 11)... oder Suffix gibt ( 00, 1) ( 0, 001) (01000, 01) 28.03.2012 Simon Ochsenreither 23
Modifiziertes Post'sches Korrespondenzproblem (MPKP) Definition Gegeben: Wortpaare (x₁, y₁), (xₙ, yₙ) mit xₐ, yₐ Σ+ Gesucht: Existiert Folge a₂ aₖ mit der Eigenschaft xₐ₁ xₐ₂ xₐₖ = yₐ₁ yₐ₂ yₐₖ? 28.03.2012 Simon Ochsenreither 24
Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Definition Gegeben: Wortpaare (x₁, y₁), (xₙ, yₙ) mit xₐ, yₐ Σ+ Gesucht: Existiert Folge a₁ aₖ mit der Eigenschaft xₐ₁ xₐ₂ xₐₖ = yₐ₁ yₐ₂ yₐₖ? 28.03.2012 Simon Ochsenreither 25
Modifiziertes Post'sches Korrespondenzproblem (MPKP) Definition Gegeben: Wortpaare (x₁, y₁), (xₙ, yₙ) mit xₐ, yₐ Σ+ Gesucht: Existiert Folge a₂ aₖ mit der Eigenschaft xₐ₁ xₐ₂ xₐₖ = yₐ₁ yₐ₂ yₐₖ? 28.03.2012 Simon Ochsenreither 26
Modifiziertes Post'sches Korrespondenzproblem (MPKP) Einziger Unterschied zwischen PKP und MPKP: PKP: Start mit beliebigem Wortpaar MPKP: Start mit dem ersten Wortpaar (x ₁, y₁) 28.03.2012 Simon Ochsenreither 27
Modifiziertes Post'sches Korrespondenzproblem (MPKP) Vermutung: MPKP PKP 28.03.2012 Simon Ochsenreither 28
Modifiziertes Post'sches Korrespondenzproblem (MPKP) Demo: Reduktion von MPKP auf PKP 28.03.2012 Simon Ochsenreither 29
Modifiziertes Post'sches Korrespondenzproblem (MPKP) Beweis: Unentscheidbarkeit 28.03.2012 Simon Ochsenreither 30
Schnittproblem kontextfreier Grammatiken Gegeben: Gesucht: Kontextfreie Grammatiken G1 und G2 L(G1) L(G2) 28.03.2012 Simon Ochsenreither 31
Schnittproblem kontextfreier Grammatiken Demo: Beweis durch Reduktion 28.03.2012 Simon Ochsenreither 32
Schnittproblem kontextfreier Grammatiken Satz Das Schnittproblem ist für kontextfreie Grammatiken unentscheidbar. 28.03.2012 Simon Ochsenreither 33
Mehrdeutigkeitsproblem kontextfreier Grammatiken Gegeben: Kontextfreie Grammatik Gesucht: Besitzt jedes Wort ω L(G) eine eindeutige Ableitung? 28.03.2012 Simon Ochsenreither 34
Mehrdeutigkeitsproblem kontextfreier Grammatiken Demo: Beweis durch Reduktion 28.03.2012 Simon Ochsenreither 35
Mehrdeutigkeitsproblem kontextfreier Grammatiken Satz Das Mehrdeutigkeitsproblem ist für kontextfreie Grammatiken unentscheidbar. 28.03.2012 Simon Ochsenreither 36
Leerheitsproblem kontextsensitiver Grammatiken Gegeben: Gesucht: L(G)? Kontextsensitive Grammatiken 28.03.2012 Simon Ochsenreither 37
Leerheitsproblem kontextsensitiver Grammatiken Demo: Beweis durch Reduktion 28.03.2012 Simon Ochsenreither 38
Leerheitsproblem kontextsensitiver Grammatiken Satz Das Leerheitsproblem ist für kontextsensitive Spachen unentscheidbar. 28.03.2012 Simon Ochsenreither 39
Zusammenfassung Allgemeines Halteproblem Halteproblem auf leerem Band Modifiziertes Post'sches Korrespondenzproblem Post'sches Korrespondenzproblem Schnittproblem kontextfreier Grammatiken Leerheitsproblem Mehrdeutigkeitsproblem kontextsensitiver kontextfreier Grammatiken Grammatiken 28.03.2012 Simon Ochsenreither 40