Crashkurs Mathematik für SCHLAUMEIER Modul Gertrud Maier Die Plustabelle Zusammenhänge einfach entdecken lassen 1 Zuordnung und Begründung 2 Der bewährte Weg mit dem Buch SCHLAUMEIER entdecken Mathematik Alternative Zugänge fernab des Schulbuchs.1 Die leere Plustabelle.2 Die laminierte Plustabelle 4 Zusammenfassung und Fortführung 1 Zuordnung und Begründung In den Bildungsstandards Mathematik wird als vierte allgemeine Kompetenz das Problemlösen angeführt. Damit werden Probleme im innermathematischen Bereich abgedeckt und Inhalte aus der Arithmetik oder Geometrie ohne direkten Realitätsbezug behandelt. Als Aktivitäten werden unter anderem Vermuten, systematisches Durchforsten oder das Erkennen von Zusammenhängen genannt. Dabei sollen unterschiedliche Wege des Denkens in der Gruppe deutlich gemacht und Stichwort Strategiekonferenz diskutiert werden (Praxishandbuch für Mathematik, 200, S. 1). Mit dem Verbalisieren der eigenen Gedanken und Lösungswege, durch schlüssiges Argumentieren und nicht zuletzt durch den Einsatz geeigneter Veranschaulichungsmittel, die ein Kommunizieren über mathematische Strukturen ermöglichen, sind wir bei der dritten allgemeinen Kompetenz, dem Kommunizieren, angelangt (Praxishandbuch für Mathematik, 200, S. 12). Um diese Kompetenzen zu erlangen, ist es notwendig, von Anfang an kompetenzorientiert zu unterrichten. Und auf der Grundstufe 1 erscheint ein Medium wie dafür geschaffen: die Plustabelle. 2 Der bewährte Weg mit dem Buch SCHLAUMEIER entdecken Mathematik Wer sich auf das Abenteuer eingelassen hat, Mathematik begreifen und entdecken zu lassen, hat mit seiner Klasse bereits den Prozess der Einführung des Ist-gleich-Zeichens hinter sich. Sollte das mit Hilfe des Schulbuches SCHLAUMEIER entdecken Mathematik passiert sein, wurde hier nicht nur, wie weithin verbreitet, die Aufgabe- Ergebnis-Deutung verfolgt, sondern das Gleichheitszeichen mit der algebraischen Gleichheitssicht erweitert (Winter 12, zit. n. Padberg 2002, S., siehe dazu auch Crashkurs für SCHLAUMEIER, Modul 1). Deren SchülerInnen sind vertraut mit der Tatsache, dass links und rechts vom Ist-gleich-Zeichen verändert werden kann. Die Kinder kennen Fingerbilder, haben gelernt, Zahlen zu zerlegen (z. B.: besteht aus 4 + 4, besteht aus 1 + ) und sind bereits daran gewöhnt, das, was sie tun, verbal auszudrücken. Den Zahlzerlegungen kommt als Vorbereitung auf die Plusrechnungen im Zahlenraum sehr große Bedeutung zu. Wer geübt hat, alle Mengen bis in allen Varianten zu zerlegen, findet in der Plustabelle eine neue Herausforderung. Blatt 1 von 11
Geschicktes Rechnen mit der Plustabelle ÜB S. 0, 1 1 + 1 1 + 2 1 + 1 + 4 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 2 + 2 2 + 2 + 4 2 + 2 + 2 + 2 + + 1 + 2 + + 4 + + + Obwohl es spannend sein kann, SchülerInnen mit der Tabelle vorerst alleine zu lassen und eventuell selbst auf Entdeckungsreise zu schicken, empfiehlt es sich doch, diese Fülle an Rechnungen langsam und systematisch zu erarbeiten. Folgende Vorgangsweise hat sich hier in der Praxis bewährt: Juni 2011 4 + 1 4 + 2 4 + 4 + 4 4 + 4 + + 1 + 2 + + 4 + + 1 + 2 + + 4 + 1 + 2 + + 1 + 2 + 1 doppelt Tausch Hände Male die Felder in den Symbolfarben an! Bei + 2 würde ich die Strategie zusammen wählen. 1 mehr doppelt + 1 mehr 2 mehr zusammen Ich lege Symbolkärtchen auf meine Plustabelle. So rechne ich! Lege eine eigene Plustabelle an! Welche Strategien wählst du? Übe diese Strategien mit den Rechnungen im Übungsbuch! In einem ersten Schritt werden die Begriffe Tabelle und Symbol geklärt und die SchülerInnen werden beauftragt, alle Felder mit dem Symbol Schmetterling zu suchen. Das Zusammenzählen gleichmächtiger Mengen bedeutet auch, eine Menge zu verdoppeln; deshalb lautet das Signalwort für das Symbol Schmetterling doppelt. Die Kinder entdecken nun die diagonale Anordnung dieser Schmetterlingsrechnungen und nennen die Ergebnisse (1 + 1 ist gleich 2 ). Nacheinander werden die Kästchen mit 1 + 1, 2 + 2, + und 4 + 4 blau angemalt, wie es im Arbeitsbuch 1 auf Seite 0 für diese Strategie angegeben ist. Bei + scheiden sich die Geister. Warum die Hände als Symbol? Gehört da nicht auch ein Schmetterling her? 0 Verschiedene Strategien beim Addieren anwenden Das ist ein gewollter Diskussionsansatz. Für diese Rechnung können eben beide Symbole gelten; jedes Kind sucht für sich die persönliche Strategie: Zahl verdoppeln oder Fünfer zusammenzählen. Eine erste Einheit zur Plustabelle kann hier zu Ende sein. Die Kinder bekommen den Auftrag, bis zum nächsten Tag anhand der Tabelle die erarbeiteten Rechnungen zu üben. Wenn nur die Ergebnisse genannt werden (2, 4,, ), ist schon eine gewisse Regelmäßigkeit zu erkennen und die Kinder werden auf das spätere Auffinden etwaiger Parallelen sensibel gemacht. In der nächsten Mathematikstunde kommen alle Händerechnungen (Kraft der Fünf) dran, werden genannt und ausgerechnet, die Kästchen werden hellgrün bemalt und Auffälligkeiten verbalisiert, z. B.: In einer Zeile ist immer die erste Zahl gleich, in einer Spalte immer die zweite Zahl; es gibt mehr Händerechnungen als Schmetterlingsrechnungen Wichtig ist das jeweilige Wiederholen der am Vortag behandelten Strategie. Für den dritten Tag nimmt man sich eine neue Strategie vor oder lässt die Kinder abstimmen, was sie am meisten interessiert. Am vierten und fünften Tag können jeweils zwei neue Möglichkeiten erarbeitet werden. Tausch weist darauf hin, die beiden Zahlen der Einfachheit halber vertauscht zu addieren. 1 mehr ergibt als Ergebnis immer eine Zahl mehr als die erste Zahl, bei 2 mehr sind es naturgemäß zwei in der Zahlenfolge. Doppelt + 1 mehr vereint zwei Strategien in sich, die Eierschachtel als voller Zehner ist bekannt. So werden nach und nach innerhalb einer Woche sämtliche Strategien, die beim Errechnen von Ergebnissen helfen sollen, kennen gelernt und erprobt. Über die beiden Rechnungen ohne Symbol kann diskutiert werden. Dieser Basisarbeit kommt besondere Bedeutung zu, werden doch dadurch die Flexibilität trainiert und der kommunikative Ansatz geschult. Ein möglicher Eintrag ins Heft in mehreren Tagen entstanden könnte so aussehen (siehe Abbildungen rechts): Blatt 2 von 11
www.dorner-verlag.at Paula und Paul, die beiden Figuren, die durch das Buch begleiten, weisen in ihren Sprechblasen darauf hin, dass verschiedene Kinder auch verschiedene Ansichten haben können, und so werden manche Rechnungen mehreren Strategien zugeordnet. Zum Beispiel kann 1 + dem Symbol Tausch und dem Symbol Hände zugeordnet werden, sogar 1 mehr wäre möglich. Zum Üben bekommen die Kinder nun Symbolkärtchen und Ergebniskärtchen zum Ausschneiden sowie eine Plustabelle ohne Symbole (siehe Kopiervorlagen 1 bis ). Nach der Erweiterung des Zahlenraumes bis 20 und der Überschreitung des Zehners auf mehrere Arten wird auch die erweiterte Plustabelle angeboten, die alle Plusrechnungen im Zahlenraum 20 inklusive Null berücksichtigt. Anhand der Arbeitsaufträge Felder mit gleichen Ergebnissen werden mit gleicher Farbe angemalt erkennen die SchülerInnen schnell Regelmäßigkeiten und Besonderheiten und können diese auch verbalisieren. Wieder fällt die Diagonale mit den ehemaligen Schmetterlingsrechnungen auf. Es lohnt sich, die Ergebnisse zeilen- und spaltenweise zu nennen oder auch das Feld von hinten aufzurollen und sich von + ausgehend in Diagonallinien weiter zu arbeiten, Rechnungen zu vergleichen (z. B. erste und letzte Rechnung in einer Diagonale zu nennen, dann zweite und vorletzte ) und die Ergebnisse dazu aufzulisten. Vielfältige Übungen auf den weiteren Seiten im Buch dienen der Automatisierung. Es ist durchaus möglich, die Arbeit mit der großen Plustabelle für die ersten Wochen der zweiten Schulstufe aufzuheben. In diesem Fall sollten alle Kinder das SCHLAUMEIER entdecken Mathematik 1 Übungsbuch, Teil B, in der zweiten Klasse einfach wieder in die Schule mitbringen. Nach so vielen Plusrechnungen sollen nun die Kinder auf die Minustabelle neugierig gemacht werden. Stellen Sie Ihren SchülerInnen die einfache Frage, ob sie sich vorstellen können, welche Zahlen wohl in der ersten Zeile bzw. in der ersten Spalte der Minustabelle stehen werden, und lassen Sie sie laut überlegen. Nach einigen Versuchen sind die Kinder so gespannt, dass sie mit größter Motivation das Minusrechnen im Zahlenraum 20 jetzt sicher schon ganz selbstständig anhand der Minustabelle üben (Kopiervorlage ). Die Minustabelle 0 1 2 4 20 20 0 20 1 20 2 20 20 4 20 20 20 20 20 20 1 1 0 1 1 1 2 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 4 1 1 1 1 1 1 14 14 0 14 1 14 2 14 14 4 14 14 14 14 14 14 Alternative Zugänge fernab des Schulbuchs 1 1 0 1 1 1 2 1 1 4 1 1 1 1 1 1 12 12 0 12 1 12 2 12 12 4 12 12 12 12 12 12.1 Die leere Plustabelle 11 11 0 11 1 11 2 11 11 4 11 11 11 11 11 11 0 1 2 4 Sollten die Kinder Ihrer Klasse die Plustabelle noch nicht kennen, wäre es auch denkbar, sie diese ab der zweiten Schulstufe selbst entwickeln zu lassen. Dazu finden Sie im Anhang eine leere Tabelle (Kopiervorlage ). Mit dem Hinweis, dass zuerst die Zahl der Spalte plus die Zahl aus der ersten Zeile geschrieben zu schreiben sind, werden im ersten Schritt alle Rechnungen eingetragen. Dann kann in kleinen Gruppen die Suche nach Zusammenhängen ganz offen erfolgen. Blatt von 11 112 1 Male die Felder mit diesen Ergebnissen in den angegebenen 11 Farben an: 2 Schreibe alle Rechnungen mit den Ergebnissen, und in dein Heft! Was fällt dir an der Minustabelle alles auf? 12 1 : 1 = 1 =... 1 2
Folgende Impulse können dabei hilfreich sein: l Gemeinsamkeiten hinsichtlich Ergebniszahl suchen! l Welche Rechnungen sind die einfachsten? Warum? l Mit welchen Strategien können welche Rechnungen gelöst werden? Mit verschiedenen Farbstiften können die entsprechenden Felder bemalt werden..2 Die laminierte Plustabelle Eine weitere Einsatzmöglichkeit für den offenen Unterricht ist mit einer laminierten Plustabelle empfehlenswerter Weise in DIN A gegeben. (Dazu werden einfach die Kopiervorlagen 1, 2 und vergrößert.) Mit den ebenso laminierten Strategiesymbolen können die einzelnen Rechnungen abgedeckt werden. Sollten zwei Kinder dies zur gleichen Zeit unabhängig voneinander auf zwei Plänen bewerkstelligen, kann ein Vergleich im Anschluss daran die eine oder andere Überraschung ergeben. 4 Zusammenfassung und Fortführung Gut durchdachte Strategien bei der Erarbeitung des kleinen Einspluseins gestalten das Lernen wesentlich effektiver und schulen die Flexibilität ungemein. Die noch gar nicht angesprochene Strategie des gegensinnigen Veränderns bei Plusaufgaben (durch Verkleinerung des ersten Summanden bei gleichzeitiger Vergrößerung des zweiten Summanden um dieselbe Zahl) wäre hier noch eine weitere Möglichkeit. Alle Ergebnisse liegen auf der Plustabelle übrigens in einer Diagonale. Diese Rechnungen ließen sich auch noch individuell nach Schwierigkeitsgrad ordnen. Von Macht-überhaupt-kein-Problem bis Das-macht-noch-Schwierigkeiten kann hier die Skala reichen und lässt auch Emotionales in die Diskussion einfließen. Die aufgewendete Zeit ist jedenfalls gut investiert und die Früchte lassen sich später nicht nur in Analogieaufgaben ernten, sondern auch, wenn es heißt, gemischte Zehnerzahlen im Hunderter flexibel zu addieren und subtrahieren. Viel Freude auf der Entdeckungsreise durch die Plustabelle! Literatur BIFIE (200). Praxishandbuch für Mathematik 4. Schulstufe. Graz: Leykam. Padberg, Friedhelm (2002). Didaktik der Arithmetik. 2. vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. Heidelberg u.a.: Spektrum Akademischer Verlag. Noch ein Hinweis zum Schluss Bei eventuellen Fragen, Anmerkungen, gewünschten Serviceleistungen wie beispielsweise Informationsveranstaltungen zum Werk SCHLAUMEIER entdecken Mathematik oder allgemeinen Fortbildungsveranstaltungen reicht ein kurzes E-Mail an volksschule@dorner-verlag.at. Blatt 4 von 11
Kopiervorlage 1 Die Plustabelle 1 + 1 1+ 2 1+ 1+ 4 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 2 + 1 2+ 2 2+ 2+ 4 2+ 2+ 2+ 2+ + 1 + 2 + + 4 + + + 4 + 1 4+ 2 4+ 4+ 4 4+ 4+ + 1 + 2 + + 4 + + 1 + 2 + + 4 + 1 + 2 + + 1 + 2 + 1 Blatt von 11
Kopiervorlage 2 Symbolkärtchen für die Plustabelle Blatt von 11
Kopiervorlage Lösungskärtchen für die Plustabelle 2 4 4 4 Blatt von 11
Kopiervorlage 4 Die Plustabelle (ausgefüllt) + 0 1 2 4 0 0 + 0 0 + 1 0 + 2 0 + 0 + 4 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 1 + 0 1 + 1 1 + 2 1 + 1 + 4 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 2 + 0 2 + 1 2 + 2 2 + 2 + 4 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + + 0 + 1 + 2 + + 4 + + + + + + 4 4 + 0 4 + 1 4 + 2 4 + 4 + 4 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + + 0 + 1 + 2 + + 4 + + + + + + + 0 + 1 + 2 + + 4 + + + + + + + 0 + 1 + 2 + + 4 + + + + + + + 0 + 1 + 2 + + 4 + + + + + + + 0 + 1 + 2 + + 4 + + + + + + + 0 + 1 + 2 + + 4 + + + + + + Blatt von 11
Kopiervorlage Die Plustabelle (leer) + 0 1 2 4 0 1 2 4 Blatt von 11
Kopiervorlage Die Minustabelle (ausgefüllt) 0 1 2 4 20 20 0 20 1 20 2 20 20 4 20 20 20 20 20 20 1 1 0 1 1 1 2 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 4 1 1 1 1 1 1 14 14 0 14 1 14 2 14 14 4 14 14 14 14 14 14 1 1 0 1 1 1 2 1 1 4 1 1 1 1 1 1 12 12 0 12 1 12 2 12 12 4 12 12 12 12 12 12 11 11 0 11 1 11 2 11 11 4 11 11 11 11 11 11 0 1 2 4 Blatt von 11
Kopiervorlage Die Minustabelle (leer) 0 1 2 4 20 1 1 1 1 1 14 1 12 11 Blatt 11 von 11