Windenergieanlagen - aerodynamische Auslegung und numerische Berechnung mittels CFD

Windenergieanlagen - aerodynamische Auslegung und numerische Berechnung mittels CFD Bachelorthesis eingereicht von Name: Tom Hammelstein Matrikelnummer: 492891 Anschrift: Rotdornweg 7 Abgabetermin: 28.02.2013 Betreuer Prof. Dr. Frank Kameier Maschinenbau und Verfahrenstechnik Josef-Gockeln-Str. 9 40474 Düsseldorf

Erklärung Hiermit versichere ich, Tom Hammelstein, die vorliegende Bachelor-Thesis selbständig verfasst und keine weiteren als die angegebenen Hilfsmittel und Quellen benutzt zu haben. Dies ist die von der Fachhochschule Düsseldorf zu bewertende Version. Ort, Datum Unterschrift

Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung... 7 1.1 Vorwort... 7 1.2 Zielsetzung... 7 2. Windturbine Theoretische Grundlagen... 9 2.1 Physik der Windenergie... 9 2.2 Theorie von Betz... 10 2.3 Froude-Rankinesches Theorem... 12 2.4 Eulersche Strömungsmaschinenhauptgleichung... 14 2.5 Blattelementmethode... 16 3. Strömungssimulation - Computational Fluid Dynamics... 24 3.1 Kontinuitätsgleichung... 24 3.2 Impulserhaltung (Navier-Stokes-Gleichung)... 26 4. Modellierung... 28 4.1 NACA-Profile... 28 4.2 Geometrieaufbereitung in Inventor... 29 4.3 Randbedingungen... 32 4.4 Simulationsraum... 32 4.5 Netzgenerierung... 34 5. 2D-Profilumströmung mit dem Programm XFOIL... 37 5.1 XFOIL-Ergebnisse... 37 6. Ergebnisse... 39 6.1 Residuenstudie... 40 6.2 Stromröhrenaufweitung nach Betz / Froude-Rankine... 43 6.3 Vergleich der Drehmomente... 49 6.5 Drallbestimmung nach EULER... 57 6.6 Kräfte am Rotor... 62 6.6 Anlagenkennlinien der Modelle... 66 6.7 Das Q-Kriterium... 68 7. Zusammenfassung... 70 Literaturverzeichnis... 71 Anhang... 72

Nomenklatur Abkürzungen 2D 3D NACA SST XFOIL WEA num analy Zweidimensional Dreidimensional National Advisory Committee for Aeronautics Shear-Stress-Transport-Modell Programm eines 2D-Panelverfahrens Windenergieanlage Numerisch Analytisch Lateinische Zeichen A [m 2 ] Stützstelle, Querschnittsfläche b [m] Profilbreite B c a c axial cm Stützstelle Auftriebsbeiwert Geschwindigkeitskomponente in Rotorachsenrichtung Momentenbeiwert cp, cp Betz Rotorleistungsbeiwert, Rotorleistungsbeiwert nach BETZ c p c w Druckbeiwert Widerstandsbeiwert c 1,c 2,c 3 [m/s] Windgeschw. weit vor, am und weit hinter dem Rotor c 2u [m/s] Geschwindigkeitskomponente in Umfangsrichtung d [m] Profildicke dr [m] Breite eines Kreisringsegments E [kg m 2 /s 2 ] Kinetische Energie [N] Feldkräfte

, [N] Auftriebskraft, Widerstandskraft, [N] Tangentialkraft, Normalkraft, [N] Umfangskraft, Schubkraft i Laufindex l [m] Profiltiefe, Länge der Profilsehne M [Nm] Rotordrehmoment [kg/s] Massenstrom N Kreissegmente n [1/min] Drehzahl n crit Critical Amplification Ratio P [W] Leistung, Abgegebene Generatorleistung p b [bar] Barometrischer Druck p -2, p +2 [N/m 2 ] Statischer Druck kurz vor / kurz hinter der Rotorebene R [m] Radius Rotorspitze, Radius Kreiszylinder r [m] Radius r N [m] Nasenradius Re Reynolds-Zahl t [s] Zeit Tu Turbulenzgrad u [m/s] Umfangsgeschwindigkeit w [m/s] Relativgeschwindigkeit x, y, z [m] Ortskoordinate x c [m] Abszisse der Skelettlinie / Wölbungslinie xd [m] Rücklage der größten Dicke xf [m] Rücklage der größtenwölbung

xo, xu [m] Abszisse der Profiloberseite / Profilunterseite yc [m] Ordinate der Skelettlinie / Wölbungslinie yo, yu [m] Ordinate der Profiloberseite / Profilunterseite Y Z spezifische Stutzenarbeit Blattanzahl Griechische Zeichen α A [ ] Aerodynamischer Anstellwinkel α 1, a [ ] Anströmwinkel weit vor und am Rotor β [ ] Abströmwinkel ε Gleitzahl η [N s/m 2 ] Dynamische Viskosität λ Schnelllaufzahl ν [m 2 /s] Kinematische Viskosität Kreiszahl ρ [kg/m 3 ] Dichte Sonstige Δ ` Nabla-Operator Laplace Operator Partielle Ableitung nach der Zeit Schwankungsgröße Mittelwert; Parametrisierung

1. Einleitung 1.1 Vorwort Die Motivation eine Thesis über regenerative Energien zu schreiben, ist ebenfalls tief mit meinen ideologischen Werten, einen Lebensraum für die nachkommenden Generationen zu gewährleisten, gekoppelt. Die eingehende Zerstörung des Klimas durch Verwendung konventioneller, fossiler Energieträger und die abzusehende Ressourcenknappheit und damit verbunden zukünftig steigender Preise, muss zwangläufig weltweit zum Umdenken in der Energiepolitik führen. In Deutschland wurde durch die Einführung des Erneuerbare Energie Gesetz und Subvention der Einspeisevergütung von Erneuerbaren Energien ein großer Schritt in Richtung Klimaschutz und Umweltschutz umgesetzt. Es wurden in Deutschland im Jahr 2010 rund 17 % der gesamten Energiebereitstellung aus erneuerbaren Energien bewerkstelligt, was einer Verdreifachung seit 1998 entspricht, wobei die Windkraft, obwohl es ein schwaches Windjahr war, mit 6 % den höchsten Anteil daran hatte [1]. 1.2 Zielsetzung Ausgangspunkt der Thesis war das Interesse eine gesamte WEA unter Verwendung von Ansys CFX dreidimensional numerisch zu untersuchen und anschließend qualitativ und quantitativ mit der Theorie zu vergleichen. Dafür wurde zuerst die Anwendung der Software erlernt. Ebenso musste ein Auftriebsläufer in Inventor konstruiert und dieser in Ansys CFX übertragen werden. Für die numerische Berechnung ist es notwendig, das Modell zu vernetzen (Flächen die über Knotenpunkte verbunden sind) und sinnvolle Randbedingungen auf das zu berechnende Strömungsfeld aufzubringen. Ziele dieser Arbeit waren grundsätzlich, ein geeignetes Modell zu schaffen, welches die Strömungsverhältnisse einer WEA realitätsnah abzubilden, um Theorien von Betz, Froude- Rankine, Euler sowie die Blattelementemethode anwenden zu können.

Bei geeigneter Wahl des strömungsphysikalischen Modells ist es möglich, Aufschlüsse über Leistungsausbeute, Kräfteverteilung, Strömungsverluste, Akustik und Topologie im Nachlauf der WEA, zu erhalten. Es wird bewusst ein großer Luv-Schnellläufer, also Dreiflügler mit hoher Drehzahl simuliert, da sich diese Technik wegen geringer Schallemissionen und ruhigem Laufverhalten und in großtechnischen Anlagen durchgesetzt hat. Außerdem liefern sie, durch ihre niedrigen Drehmomenten und der hohen Drehzahl, optimale Bedingungen, um Generatoren zu betreiben und sind wirtschaftlicher als z.b. Vertikalläufer [3]. Außerdem geht der Trend in Industrieländern zu immer größeren Anlagen, da die Infrastruktur des Stromnetzes flächendeckend vorhanden ist und der gewonnene Strom einer dezentralen Klein-WEA in Konkurrenz mit dem aus Großwindenergieanlagen und Großkraftwerken steht. Ebenso müssen weiterhin Normen hinsichtlich der Betriebssicherheit von Kleinwindenergieanlagen geschaffen werden.

2. Windturbine Theoretische Grundlagen 2.1 Physik der Windenergie Die Energie, die dem Wind entzogen werden kann, wird als kinetische Energie der Luftmasse verstanden, E= 1 2 2 1 mc, (2.1) die in einer bestimmten Zeit die Fläche durchströmt. dx m= Aρ = Aρ dt c 1. (2.2) Da dieser Luftmassenstrom selbst noch der Geschwindigkeit proportional ist, ergibt sich für die Leistung (Energie pro Zeiteinheit): P Wind = E = 1 2 2 c1 m 1 = ρa 2 c 3 1. (2.3) Dies ist die theoretisch maximale Leistung, die dem Wind entzogen werden kann, wenn man davon ausgeht, dass in der Rotorebene eine mittlere axiale Geschwindigkeit von An- und Abströmung vorliegt. Die entnommene Leistung wächst also mit der Geschwindigkeit in der dritten Potenz, wobei eine Verdoppelung der Geschwindigkeit eine Verachtfachung der Leistung bedeutet. Da die Windgeschwindigkeit, durch die Höhenlage des Rotors im Luftraum, nur bedingt beeinflusst werden kann, muss folglich die durchströmte Fläche größer werden, um die Energieausbeute weiter zu steigern. Durch den Rotor wird die kinetische Energie des Windes durch Abbremsen und Umlenkung (Drall) in mechanische Energie umgewandelt. Stellt sich die Frage, in wie weit der Wind abgebremst werden kann, ohne die nachkommenden Luftmassen zu beeinflussen, um ein Optimum an Ausbeute zu erzielen? Ferner stellt sich die Frage, wie groß der Drall stromab der Windturbine im Sinne der Eulerschen Strömungsmaschinenhauptgleichung ist.

2.2 Theorie von Betz Pioniere auf diesem Gebiet waren Betz [2] und Rankine [3], die in ihren Theorien idealisierte Windkonverter betrachteten, um die maximale Leistungsentnahme zu bestimmen. Dabei stellten sie fest, dass dies der Fall sei, wenn die ursprüngliche Windgeschwindigkeit hinter dem Rotor auf ein Drittel abgebremst wird, wobei dann in der Rotorebene eine Geschwindigkeit von vorherrscht. 2 3 Zusammengefasst beträgt dann die maximale theoretische verlustfreie Leistungsentnahme, P 1 = ρ 2, 3 Betz Ac1 cp Betz (2.4) wobei der Leistungsbeiwert 16/27 ~ 0,59 beträgt, siehe Abbildung 2.1. Abbildung 2.1 - Betzkoeffizient cp in Abhängigkeit vom

Geschwindigkeitsverhältnis vor und nach dem Rotor Betz nimmt bei seiner Theorie eine homogene Windströmung an, die sich hinter der Rotorebene verzögert und sich daher aus Kontinuitätsgründen aufweiten muss, siehe Abbildung 2.2. Abbildung 2.2 - Windgeschwindigkeitsreduktion mit einhergehender Stromröhrenaufweitung und Druckverlauf vor und nach dem Rotor einer idealisierten WEA [3]

ρ c ρ = ρ 1A1 = c2a2 c3a3. (2.5) Die Dichte ist, wegen der geringen Druckänderungen zwischen Ein- und Austritt der Rotorebene, nahezu konstant. Die dem Wind entnommene Leistung ist demnach: E= PWind 1 2 2 3 = m( c 1 c 2 ). (2.6) Wie oben schon erwähnt, muss also durch Verzögerung der Luftmassen Leistung entnommen werden. Dabei wird bei zu starker Verzögerung der Durchsatz zu gering (c 3 = 0) und bei keiner Verzögerung ist die Leistungsentnahme zu gering (c 1 = c 3 ). Zwischen diesen beiden Auslegungen muss es eine optimale Leistungsentnahme geben, bei dem der Durchsatz (2.7) m = ρa c 2 in der Radebene bekannt ist. c 2 ist die mittlere Geschwindigkeit zwischen Rotorein- und austritt. Gleichung 2.8 in Gl. 2.7 eingesetzt ergibt: E Wind 1 2 2 3 = P = ρac2( c1 c 2 ). (2.8) 2.3 Froude-Rankinesches Theorem Aufbauend auf der Arbeit von Rankine bestimmt Froude die Windgeschwindigkeit c 2 in Abhängigkeit von c 1 und c 3. Dazu wird die Schubkraft F durch den Impulssatz ausgedrückt. ( ) ( ). (2.9)

Ebenso kann die Energie durch die Bernoulli-Gleichung, jeweils links und rechts von der Rotorebene, aufgestellt werden. ² + # $ +%& '(² + # '( -. +, +%& $ )+* -, (2.10) /( ² + # /( +%& $ ).² + #. +%& -. $ +* +,. (2.11) - ( Die Einheit ist N m / kg ( Energie pro Masse), welche durch Multiplikation von ρ die Form in Drücken in N/m² = Pa erhält. Die Strömung sei stationär, inkompressibel und reibungsfrei. Vor und nach der Turbine wirken keine äußeren Kräfte auf das Fluid ein, also können die Gleichungen 2.11 und 2.12 zu $ ²+0 $ )²+0 ) und (2.12) $ 1²+0 1 $ ²+0. (2.13) vereinfacht werde. Die statischen Drücke weit vor und weit hinter der Rotorebene sind gleich dem barometrischen Umgebungsdruck: 0 2 0 0. Durch Subtraktion der Gleichung (2.13) von (2.12) ergibt sich somit: $ ( )0 ) 0 1. (2.14) Die Schubkraft F kann auch über die Differenz des statischen Drucks ausgedrückt werden (0 ) 0 1 ). (2.15) Setzt man nun Gleichung 2.15 in 2.14 ein und das Ergebnis wiederum in 2.9, erhält man die Geschwindigkeit c 2 gemäß dem Rankine - Froude Theorem

1 ( 2 1+ 3 )( 1 3 ) 2 ( 1 3 ) 2 ( 1+. ) 2. (2.16) Durch Einsetzen von Gleichung 2.16 in Gl. 2.8 erhält man, die aus dem Wind enthaltene maximale Leistung: 1 E = ρac 2 1 c ³ 1 + 2 c 1 * 3 1 1 c c 3 1 2. (2.17) Der Ausdruck in den eckigen Klammern wird durch den Betzkoeffizient cp ersetzt und besitzt ein Maximum in einem bestimmten Geschwindigkeitsverhältnis. 2.4 Eulersche Strömungsmaschinenhauptgleichung In Turbinen wird die innere Energie des strömenden Mediums in mechanische Wellenleistung umgesetzt. Die Wellenleistung setzt sich dabei aus dem Drehmoment und der Winkelgeschwindigkeit zusammen [6]. 5 6 7, (2.18) wobei die Winkelgeschwindigkeit mit 7 2 8, (2.19) definiert ist. Das Drehmoment bzw. der Drehimpuls ist mit 6 9 (2.20) zu bestimmen. Daraus folgt 6 (9 : 9 : ). (2.21) Mit der Winkelgeschwindigkeit

5 (7 9 : 7 9 : ), (2.22) oder anders ausgedrückt 5 (; : ; : ). (2.23) Die spezifische Stutzenarbeit YP/m muss postiv sein, dann gilt für Turbinen @ ; : ; : (2.24) als Eulersche Strömungsmaschinenhauptgleichung für eine Turbine. Da die Umfangsgeschwindigkeiten vor und nach dem Rotor gleich sind u 2 =u 1 und wegen der drallfreien Anströmung : 0, muss die Abströmgeschwindigkeit c C negativ sein und sich somit entgegen der Rotation ausbreiten (Abb. 2.3) 0 @ ; : ; :. (2.25) Der Drall der Abströmung ist also immer entgegen der Laufrichtung des Rotors gerichtet. Geschwindigkeitsdreiecke stellen einen Zusammenhang zwischen dem Absolutsystem und dem Relativsystem des Rotors dar, wobei die Windgeschwindigkeit c im Absolutsystem gleich der Anströmgeschwindigkeit w im Relativsystem am Rotor mit dessen Umfangsgeschwindigkeit u ist. F+;. (2.26)

Abbildung 2.3 - Geschwindigkeitsdreieck vor und hinter dem Rotor Die Geschwindigkeitsdreiecke sind das grundlegende Konzept für die Beschreibung von Strömungsbedingungen in der Blade-Element-Theory (Blattelementmethode). In ihr werden der Wind und die Rotation der Flügel als vektorielle Größen betrachtet. 2.5 Blattelementmethode Im Gegensatz zu Widerstandsläufer sind die modernen Auftriebsläufer von der Ausbeute her wesentlich effizienter und erreichen mit cp = 0,50 annähernd den idealen Betzschen Leistungsbeiwert. Dies hängt zum einen damit zusammen, dass auf die Tragflügelprofile durch Anströmung des Körpers nicht nur eine Widerstandskraft W in Richtung der Anströmung sondern auch eine senkrecht zu ihr gerichtete Auftriebskraft A resultiert [3].

GIIIIJ H Auftriebskraft GIIIIJ K Tangentialkraft IIIIIJ G L Widerstandskraft α Bau Bauwinkel IIIIJ G M Schubkraft α Anströmwinkel IIIIJ G N Umfangskraft α A Aerodynamischer Anstellwinkel Abbildung 2.4 - Auftriebs- und Widerstandskraft in Abhängigkeit vom Anstellwinkel [7] F O( +; ). (2.27) Ist die Anströmgeschwindigkeit bestimmt, lässt sich auch die Reynolds-Zahl wie folgt ermitteln: QR F T U. (2.28) Die Reynolds-Zahl ist eine wichtige dimensionslose Ähnlichkeitsgröße der Fluidmechanik und charakterisiert die Strömungsform in Abhängigkeit von der Reibung des Fluid. Die kritische Reynolds-Zahl ist eine Kenngröße, die den Umschlag von laminarer zur turbulenten Strömung in der Grenzschicht angibt. Bei den großen Auftriebsläufern liegen die kritischen Reynolds-Zahlen im Bereich von 0,5 10 5 bis 5 10 5. Bedingt durch die höhere Reynolds-Zahl

erfolgt hier der Übergang von der laminaren zur turbulenten Grenzschicht entweder ohne Ablösung oder innerhalb einer laminaren Ablöseblase. Die Grenzschicht sollte in jedem Fall größtenteils anliegend sein [9]. Praktisch sämtliche technisch eingesetzten Profile werden kritisch betrieben. Die Flügelprofile sind Gegenstand der Forschung und ihre charakteristischen Kurven geben dimensionslosen Auftriebsbeiwert c V und Widerstandsbeiwerte c W über dem Anstellwinkel α A an (Abb. 2.5). Abbildung 2.5 - Charakteristik eines Tragflügels in Abhängigkeit vom Anstellwinkel [3] Wird das Profil vom Flügel variiert, so entstehen unterschiedliche Kurven, die im Windkanal empirisch oder aber durch Simulationen näherungsweise ermittelt werden können. Welches Profil nun optimal ist, hängt von dem Einsatzgebiet des Flügels ab. In der Regel werden die

herrschenden Druckbedingungen am Tragflügel und damit auch der Auftrieb über gemittelte Werte berechnet. Der sogenannte drag/lift-coefficient oder auch Gleitzahl genannt, stellt das reziproke Verhältnis aus Widerstandsbeiwert und Auftriebsbeiwert in Abhängigkeit vom aerodynamischen Anstellwinkel dar. X (Y ) (Y ) (2.29) Die dimensionslosen Auftriebsbeiwerte c V und Widerstandsbeiwerte c W für die analytische Auswertung werden in dieser Arbeit mit XFOIL bestimmt, siehe Kapitel 5. Die Auftriebskraft an einem bestimmten Flügelschnitt wird aus der Tragflügeltheorie bestimmt: IIIIJ 2 F T +9 Z (Y ), (2.30) IIIIIJ 2 F T +9 \ (Y ), (2.31) IIIJ IIIIJ ],(Y ) IIIIIJ,_8(Y ). (2.32) Nicht nur die Auftriebskraft beeinflusst die Schubkraft, auch die Widerstandskraft muss man einfließen lassen. Da beide Kräfte in die gleiche Richtung weisen, werden diese dann addiert. IIIJ IIIIJ ],(Y )+IIIIIJ,_8(Y ). (2.33) Die Umfangskraft wird ähnlich ermittelt, IIIJ : IIIIJ \ ],(Y ) IIIIJ,_8(Y ), (2.34) mit dem Unterschied, dass die Widerstandskraft entgegen der Umfangskraft gerichtet ist. IIIJ : IIIIJ,_8(Y ) IIIIJ \ ],(Y ). (2.35) 6(9) IIIJ : 9. (2.36)

Die Kräfte und Momente am gesamten Rotor ergeben sich dann aus der Summe der einzelnen Kräfte aller Flügelschnitte, siehe Abb. 2.6: `+(9), (2.37) a b `+(9), (2.38) a 6 b `+(9) a 9, (2.39) 5 6 7. (2.40) Abbildung 2.6 - Luftkräfte am Flügelschnitt [3]

Abbildung 2.7 zeigt die gesamten Geschwindigkeitsdreiecke an einem Tragflügelsegment. Das Geschwindigkeitsdreieck (rote Linien), bestehend aus c und u, aus denen sich w und α bestimmen lassen, liegt weit vor dem Rotor. Das blau-farbige Dreieck ist folglich hinter dem Rotor und wird unter der Annahme einer axialen Geschwindigkeitsverzögerung von 2/3 gebildet. Die grüne gestrichelte Linie bildet das fiktive Strömungsdreieck in der Rotorebene, wobei sich die relative Anströmgeschwindigkeit aus F F ],(Y Y). (2.41) bestimmen lässt. Aus den gegebenen Geschwindigkeitsvektoren unter Bildung eines rechtwinkligen Dreiecks lässt sich nun der Anströmwinkel vor dem Rotor, aus de8 Y :, (2.42) berechnen. Aus den theoretischen Anströmwinkeln vor dem Rotor resultiert der Anströmwinkel nach Betz in der Rotorebene. Y Y. (2.43) Durch die in der Rotorebene entstehende Verzögerung verringert sich die Geschwindigkeit c 1,axial, folglich wird der resultierende Anströmwinkel α ebenfalls kleiner. Betz ging davon aus, dass die Strömung von der Geschwindigkeit c 1 weit vor dem Rad auf c 3,axial hinter der Rotorebene verzögert wird, ohne eine axiale Richtungsänderung einzubeziehen. Schmitz jedoch berücksichtigt auch die Drallkomponente Δu in Umfangsrichtung in der Umfangsebene und stromab des Rotors. Diese entsteht durch die Umlenkung der Strömung aufgrund der Geometrie und ist in der Strömungsmaschinentheorie für den Arbeitsumsatz verantwortlich. Nach Schmitz sind aber nur 50% davon nutzbar, so dass die Drallkomponente Δu zu fc (Nomenklatur Schmitz) oder zu c C/2 (Nomenklatur Strömungsmaschinenbauer) wird. Der Drall einer WEA ist immer entgegen der Umfangsgeschwindigkeit u gerichtet, siehe Abbildung 2.7.

Abbildung 2.7 Geschwindigkeitsdreiecke von Schmitz und Betz [3] Mit Änderung der Windgeschwindigkeit und der daraus resultierenden Nenndrehzahl bilden sich neue Geschwindigkeitsdreiecke. Abbildung 2.8 veranschaulicht die Strömungsverhältnisse vor dem Rotor an den einzelnen Profilen im Rotorblattquerschnitt in einem Betriebspunkt, die für die Auslegung einer Anlage relevant sind.

Abbildung 2.8 - Geschwindigkeitsdreiecke vor dem Rotor im jeweiligen Profilschnitt

3. Strömungssimulation - Computational Fluid Dynamics Durch die wachsenden Speicherkapazitäten und Rechnerleistungen ist es möglich, zunehmend komplexere Strömungsprobleme unter vertretbarem Aufwand, akzeptabler Zeit und ausreichender Genauigkeit und Sicherheit zu lösen. Die CFD wird dadurch eine immer wichtigere Ergänzung der experimentellen Strömungsmechanik. Numerische Verfahren sind Methoden und Algorithmen zum näherungsweisen Lösen von Modellgleichungen mittels einfacher arithmetischer Operationen an diskreten Stellen des Lösungsgebietes, das in Gitterstrukturen, in sog. finite Elemente aufgeteilt wird. Die mathematischen Näherungen (Approximationen) sind durch physikalische Erhaltungsbedingungen geprägt und dienen zur Simulation. In der Strömungslehre werden dazu vier Grundgleichungen verwendet [9]: die Bilanzgleichung für die Masse (Kontinuitätsgleichung): die zeitliche Änderung der Masse eines materiellen Volumens ist null. die Bilanzgleichung für den Impuls (Navier-Stokes-Gleichung): die zeitliche Änderung des Impulses eines materiellen Volumens ist gleich der am Volumen angreifenden äußeren Kraft. die Bilanzgleichung für den Drehimpuls (Drehimpulssatz): die zeitliche Änderung des Drehimpulses eines materiellen Volumens ist gleich dem am Volumen angreifenden Drehmoment. die Bilanzgleichung für die Energie (Energiesatz): die zeitliche Änderung der inneren und der kinetischen Energie eines materiellen Volumens ist gleich der von außen angreifenden Leistung (unter Vernachlässigung von Strahlung und innerer Dissipation). Die Energiebilanz ist relevant für kompressible Strömungen, die im Rahmen der vorliegenden Arbeit nicht betrachtet werden müssen. 3.1 Kontinuitätsgleichung Nach dem Massenerhaltungssatz müssen in jeder Stromröhre folgende Bedingungen herrschen: Kontinuitätsgleichung - Massenbilanz

(3.1) (3.2) In diesem Fall handelt es sich um eine eindimensionale kompressible Kontinuitätsgleichung, da die Bedingungen aus Abbildung 3.1 gelten. Abbildung 3.1 - Einteilung von Strömungsmaschinen [8] Wenn die Dichte g]8,d ist, lässt die Gleichung sich zu (3.3) vereinfachen. Die Kontinuitätsgleichung für mehrdimensionale inkompressible und instationäre Strömungen gestaltet sich schwieriger. Dazu betrachten wir einen Raum, indem das einströmende Volumen h ijk gleich groß dem ausströmenden Volumen h :- ist, also h ijk h :- 0. (3.4) Dabei ist das einströmende Volumen in X-Achsenrichtung l +d +m +&, (3.5)

gleich dem ausströmenden Volumen l n l +o +d +m +&. (3.6), wobei n l. (3.7) die Änderung der Geschwindigkeit in x-achsenrichtung ist. Die Differenz der beiden lautet dann n l +o +m +& +d 0. (3.8) Dies lässt sich nun auf die y und z-achse übertragen und lautet in differentieller Form: p n + p r + p t 0 oder in vektorieller Schreibweise +_U ]. pq ps pu 3.2 Impulserhaltung (Navier-Stokes-Gleichung) Impuls wird durch drei Wege transportiert: Durch Konvektion, Diffusion und zusätzlich über Druck. Die Diffusion- und der Druckterm sind in den Spannungen enthalten. Die Schubspannungen haben nur diffusive Anteile (Reibung). Die Normalspannungen haben einen Druckanteil und einen Diffusionsanteil (Reibungs- bzw. Viskositätsanteil). Die diffusiven Flüsse sind die Spannungen mit negativen Vorzeichen. Das negative Vorzeichen ist selbstverständlich, weil der diffusive Impulsfluss in die Richtung stattfindet, in der der Impuls (Geschwindigkeit, Druck) abnimmt, d.h. die Gradienten von der Geschwindigkeit bzw. des Druckes negativ sind. Der Impuls ist eine vektorielle Größe, d.h. er hat eine Richtung. Deshalb müssen Impulsbilanzen in allen Koordinatenrichtungen erstellt werden. Auf die Herleitung der Gleichung wird an dieser Stelle verzichtet. Die NS-Gleichung in vektorieller Form lautet:

v v w0+xy. (3.9) η Dynamische Viskosität Nabla-Operator Feldkräfte Δ Laplace-Operstor Dabei beschreibt der erste Term die Impulsänderung in drei Koordinatenrichtungen, da der Geschwindigkeitsvektor drei Geschwindigkeitskomponenten l, z, { in Abhängigkeit der Zeit beschreibt. Er beinhaltet eine konvektive Beschleunigung %9e+ w, die eine Geschwindigkeitsänderung von Ort zu Ort beschreibt und eine lokale Beschleunigung, die zeitabhängig ist. Der zweite Term drückt die dreidimensionalen Feldkräfte. Die letzten beiden Terme beschreiben die Oberflächenkräfte/Spannungen, die sich aufgrund von Druck- und Zähigkeitskräften einstellen. Ist der Reibungsterm xy vernachlässigbar, geht die NS in die Euler-Gleichung über. Wird die NS durch die Dichte dividiert, lautet die Gleichung: + } l ~ j $ # l + l ~ ². (3.10) Dabei wird die kinematische Viskosität ν aus dem Verhältnis zwischen dynamischer Viskosität η und der Dichte ρ gebildet. Setzt man die Indizes _ o ;8+ o,m,& ein, so erhält man die NS in x-koordinatenrichtung. Analog lässt sich die Gleichung ebenfalls für die y, z-richtung aufstellen. Die Schwerkraft wird dabei häufig in technischen Strömungen vernachlässigt. Zur Berechnung dreidimensionaler inkompressibler Strömungen wird die NS mit der Kontinuitätsgleichung kombiniert, wobei die NS aus drei Gleichungen (für die x, y, z- Koordinate) besteht. Es stehen also vier Gleichungen zur Verfügung, mit denen die vier Unbekannten (Geschwindigkeit in x, y, z-richtung und der Druck) näherungsweise berechnet werden können, wenn die Randbedingungen am Ein- und Austritt bekannt sind. Bei transienten Simulationen sind außer den Randbedingungen noch Anfangs- bzw. Startbedingungen von Nöten

4. Modellierung 4.1 NACA-Profile Für die Beschreibung der Profilgeometrie werden in dieser Arbeit, die in Abbildung 4.1 dargestellten Bezeichnungen nach Erich Hau [7] verwendet. Die Profilkoordinaten der Kontur in Tabellenform wurden aus Profilgenerator von Jens Trapp und Robert Zores entnommen [5]. Die NACA Profile sind mit mehrstelligen Kennziffern beschrieben, die Hinweise auf die Profilgeometrie geben. l Profiltiefe, Länge der Profilsehne y c Ordinate der Skelettlinie x 0 Abszisse der Profiloberseite (Saugseite) y o Ordinate der Profiloberseite x c Abszisse der Skelettlinie y u Ordinate der Profilunterseite x u Abszisse der Profilunterseite (Druckseite) d größte Profildicke x d Rücklage der größten Dicke d f Wölbung x f Rücklage der Wölbung f m Wölbungsmaß m =f/l θ Steigungswinkel der Skelettlinie t Dickenverhältnis t=d/l r N Nasenradius Abbildung 4.1 Profilgeometrie mit Berechnungsparametern Die NACA-Profile mit vier Ziffern (4-digit) lassen sich wie folgt beschreiben: 1. Ziffer: Maximale Wölbung der Profiltiefe [%] 2. Ziffer: Wölbungsrücklage in Zehntel der Tiefe 3./4. Ziffer: Maximale Dicke in Prozent der Tiefe

Bspw. besitzt das Profil im Blattspitzenbereich des Rotors NACA4415 die Eigenschaften: - 4% Wölbung bei 40% der Tiefe mit einer - maximalen Dicke von 12% der Tiefe, - wobei die Dickenrücklage für alle vierziffrigen Profile bei 30% liegt. Eine Übersicht der verwendeten Profile für die Geometrie des Rotors. Profil α Bau [ ] Länge [m] R [m] NACA 4415 0 0,72 27 NACA 4420 2 1,51 17 NACA 4425 4 1,97 12 NACA 4450 8 2,92 5 Tabelle 4.1 Übersicht der verwendeten Profile und deren Eigenschaften 4.2 Geometrieaufbereitung in Inventor Die Modellbildung des Flügelprofils erfolgte mit Autodesk Inventor 2011. Bei der Konstruktion muss auf einige Schritte in der Modellbildung eingegangen werden, die enorme Wichtigkeit zur Durchführung der Simulation in Ansys CFD beitragen. Die verwendeten NACA-Profile 4415, 4420, 4425 und 4450 wurden als 2D-Koordinatenpunkte aus den Profilkatalogen von Eppler entnommen und in eine Excel-Tabelle übertragen. Diese wird in Inventor in eine 2D-Skizze importiert und mit Splines innerhalb der Skizze in Inventor miteinander verbunden, um die Profilkontur zu generieren. Die Approximation an die eigentliche Profilkontur ist dabei von großer Bedeutung, denn sie muss krümmungsstetig sein, um Druck- und Geschwindigkeitssprünge entlang der Profilkontur in der numerischen Berechnung zu vermeiden. Des Weiteren wurde darauf geachtet, dass die Profilhinterkante nicht in einem zu spitzen Winkel zuläuft. Ansys CFD produziert Fehler bei der automatischen Erstellung der Netze, wenn ein Winkel innerhalb einer Geometrie zu spitz zuläuft. Um den Fehler zu vermeiden, wurde der letzte Punkt an der Abströmkante entfernt und eine Gerade zwischen Profilunter- und Profiloberseite gezogen (Abbildung 4.2).

Abbildung 4.2 - Abgeschnittene Profilhinterkante des NACA Profils Die Profilnasen der verwendeten Profile liegen dabei radial in einer Flucht, siehe Abbildung 4.3. Mit der Funktion Erhebung entstehen nun die Flächen des Rotors. Dabei dürfen die Oberflächen nicht zu grob gestaltet sein. Mit der automatischen Erstellung werden die Koordinatenpunkte beliebig radial zwischen den einzelnen Profilen verbunden, was zu einer unebenen Rotoroberfläche führt.

Abbildung 4.3 - Anordnung der einzelnen Profile im Rotorblatt In Inventor kann die Erhebung manuell bearbeitet werden, was eine genauere Verbindung der Koordinatenpunkte innerhalb der Skizzen zulässt, siehe Abbildung 4.4. Abbildung 4.4 - Radiale Verknüpfung der Profile mit Splines Ebenso sollte man möglichst viele Splines in radialer Richtung einbauen, um eine homogene Oberflächen zu schaffen. Durch die Tatsache, dass lediglich ein 120 Ausschnitt (Drittelschnitt des gesamten Rotors) simuliert wurde, um die Rechenzeit und aufwand zu verkürzen, wurde die Nabe mit Flansch für die Rotorblätter stark vereinfacht und es wurde auf eine Pitchregelung verzichtet, genauso wie auf eine Gondel (Maschinenraum für Getriebe / Generator).

4.3 Randbedingungen In der Simulation ist das Shear Stress Transport-Modell verwendet worden. Dabei kombiniert das SST-Modell die Turbulenzmodelle k-ω-modell und k-ε-modell. Das k-ω- Modell wird in wandnähe und das k-ε-modell im Bereich der Hauptströmung verwendet [11]. Auf die Transportgleichungen des SST-Modells wird hier nicht eingegangen und sei auf das CFX-Handbuch verwiesen. 4.4 Simulationsraum Der Simulationsraum (Abb. 4.5) ist ein 120 Kreisausschnitt über eine definierte Länge vor und hinter dem Rotor. Dieser Raum wurde in drei Teile unterteilt. Der erste Teil wird in den Simulationen nur für stationäre Strömungen verwendet und bildet den Raum vor der WEA, indem die drallfreie Anströmung erfolgt. Dabei werden dem Inlet (durchströmte Fläche am Eintritt des Raumes) drei Windgeschwindigkeiten (5m/s, 10m/s und 12m/s als Betriebspunktvariation) aufgeprägt. Der zweite Teil ist der Rotationsraum, indem das zu untersuchende Modell je nach Betriebspunkt mit unterschiedlichen Drehzahlen rotiert. Der Rotor wird als Wand (Wall umströmtes Volumen) definiert, der um die z-achse rotiert. Abbildung 4.5 - Schematischer Aufbau des Simulationsraumes

Die Rotoroberfläche ist als hydraulisch glatt definiert. Das Rotorblatt ist dabei in y- Achsenrichtung ausgerichtet und dreht in x-achsen Richtung mit der Winkelgeschwindigkeit Ω, siehe Abbildung 4.6 Abbildung 4.6 - Schematische Darstellung der WEA im Zusammenhang mit dem Kartesischen Koordinatensystem Der Abstand von Blattflügelspitze bis zum äußeren Rand des Simulationsraumes soll mindestens das zweieinhalb-fache des Rotorradius betragen und der Nachlauf in etwa das fünffache [10]. Der Nachlauf der WEA bildet den dritten Teil. Dabei sind die stationären Räume 100 Meter lang, der instationäre Berechnungsraum wurde verkleinert auf 75 Meter mit einem Radius von 100m, um Elemente einzusparen. Der Rotor hat dabei einen Abstand von 114 Metern zum Inlet (Eintritt) bzw. 161 Meter bis zum Outlet (Austritt).

4.5 Netzgenerierung Die Netzgenerierung ermöglicht das Modell in viele verschiedene einzelne Elemente zu unterteilen (Finite Elemente). Man unterscheidet die Elemente in ihrer Geometrie: bei der Verwendung von Hexaedern, also Würfel oder Quader, spricht man von strukturierten Netzen; bei Tetraedern (Pyramiden) hingegen wird das Netz als unstrukturiert bezeichnet. Die Größe, Anzahl sowie die Form dieser einzelnen Elemente haben großen Einfluss auf die Genauigkeit der Ergebnisse. Es muss ein Kompromiss zwischen ausreichender Simulationsgenauigkeit und Rechenaufwand gewählt werden. Um wandnahe Effekte wie die Grenzschichtströmung abbilden zu können, müssen umströmte Körper mit einer Prismenschicht, einer Verfeinerung des Netzes hin zu Wänden, belegt werden. Es wurde zwar versucht, ein fein strukturiertes Hexadernetz mit Prismenschicht in ICEM zu erstellen, jedoch ist durch die Verwindung der Profile und gleichzeitige Verjüngung des Rotors eine strukturierte Vernetzung nicht ohne erheblichen Zeitaufwand möglich gewesen. Lediglich die stationären Bereiche bestehen aus Hexaedern und wurden mittels Verfeinerungsfunktion orthogonal angeordnet. Im rotierenden Bereich wurde auf den Vernetzungsalgorithmus von Ansys zurückgegriffen. Der Rotationsraum wurde mit einem flexiblen Tetraedernetz umgesetzt und wird mit abnehmendem Abstand zum Profil immer feiner, wobei die Elementgröße auf der Fläche des Rotors nur noch 80/40mm (Modell I/ Modell II) beträgt. Modell I (λ=7,92) Domain Knoten Elemente Volumen [m³] Stat. Bereich I 155907 147750 20943,95 Stat. Bereich II 155958 147950 20943,95 Rot. Bereich 353795 2012212 15707,96 Gesamt 665660 2307912 57595,86 Tabelle 4.2 - Netzstatistik von Modell I

Modell II (λ=7,07) Domain Knoten Elemente Volumen [m³] Stat. Bereich I 270351 262500 20943,95 Stat. Bereich II 270351 147950 20943,95 Rot. Bereich 621107 3570675 15707,96 Gesamt 1161809 4095675 57595,86 Tabelle 4.3 - Netzstatistik von Modell II Beim Übergang vom Hexaeder- zum Tetraedernetz in z-achsenrichtung liegen die Knotenpunkte nicht übereinander und es muss interpoliert werden (Abbildung 4.8), weshalb Ansys dort spezielle Schnittstellen, das Generalised Grid Interface, verlangt. Das Generalised Grid Interface (GGI) erlaubt das beliebige Zusammenfügen von beliebigen Teilgittern. Weder die Knotenverteilung noch die Gitterstruktur müssen an der gemeinsamen Schnittfläche übereinstimmen. Durch das Generalised Grid Interface wird die Netzgenerierung einfacher und schneller. Das gesamte Rechengebiet kann in einfachere Teilgebiete zerlegt werden, die separat mit der jeweils optimalen Topologie vernetzt werden können [10].

Abbildung 4.7 - Schematische Darstellung des Simulationsraumes, Modell I Die Frozen Rotor Methode ist ebenfalls ein stationäres Modell. Im Gegensatz zum Stage Interface findet hier aber keine Umfangsmittelung der Strömungsgrößen statt, sondern nur ein Wechsel in das jeweilige Bezugssystem. Das Frozen Rotor Interface kommt dann zum Einsatz, wenn die Variation der Strömung in Umfangsrichtung sehr stark ist[10]. Abbildung 4.8 Verwendung des GGI-Interface bei verschiedener Netzstruktur [Ansys]

5. 2D-Profilumströmung mit dem Programm XFOIL Das Programm XFOIL wurde am Massachusetts Institute of Technology (MIT) von Mark Drela [4] in Fortran entwickelt und steht unter der GNU General Public License (GPL) zur freien Verfügung. Es verwendet ein 2D-Panelverfahren zur Berechnung von Auftriebsbeiwert, Widerstandsbeiwert und Momentenbeiwert eines gegebenen Profils bei subsonischen Strömungsgeschwindigkeiten (Ma<1). XFOIL verwendet standardmäßig den Wert 8 aj = 9, was laut XFOIL USER GUIDE dem Turbulenzgrad eines durchschnittlichen Windkanals entspricht. Größere Werte von 8 aj bedeuten weniger Turbulenz, kleinere dagegen einen höheren Turbulenzgrad. Bei der Simulation mit XFOIL kann über den als critical amplification ratio bezeichneten Parameter 8 aj Einfluss auf den Turbulenzgrad genommen werden. 5.1 XFOIL-Ergebnisse Um die Beiwerte zu ermitteln, muss die Anströmgeschwindigkeit F in der Rotorebene aus dem Kapitel 2.7 in jedem Profilschnitt bekannt sein. Ebenso muss die jeweilige Reynolds-Zahl mit der Länge des Profils bei gegebenen Stoffdaten des Mediums ermittelt werden. Der aerodynamische Anstellwinkel ist die Differenz aus dem Anströmwinkel in der Rotorebene und dem Bauwinkel des Profils im Modell. Y Y(9) Y ƒz: (9). (2.18) Die Beiwerte werden benötigt, um die vorherrschenden Kräfte aus der Tragflügeltheorie am Rotorblatt herzuleiten, siehe Abbildung 5.1.

Abbildung 5.1 Druckverlaufplot des NACA 4415 Profils aus XFOIL

6. Ergebnisse Bei den 3D-Simulationen werden zunächst die Residuen untersucht, um zu schauen, ob die Lösung ausreichend konvergiert ist. Wenn dies der Fall ist, wird die Simulation auf eine mögliche Verletzung der Kontinuitätsgleichung überprüft und der Einfluss des Profilkoeffizienten auf das Rotordrehmoment und den axialen Geschwindigkeiten im Fernbereich untersucht. Nach diesen Parameterstudien werden die Strömungsverhältnisse in der Meridianansicht mittels Stromlinienverläufen entlang der Blattoberfläche visualisiert. Ebenso wird der Drall, der sich entgegen der Umfangsgeschwindigkeit ausbreitet, quantitativ erfasst, um eine Leistungsabschätzung nach der Eulerschen Strömungshauptmaschinengleichung durchführen zu können. Anschließend werden die analytischen Auftriebs- und Widerstandskräfte einzelner Teilflächen des Rotors in Schub- und Umfangskraft überführt und den vorherrschenden Kräften im Modell gegenübergestellt. Abschließend werden die theoretischen Leistungsberechnungen von Betz, Schmitz und Euler mit den ermittelten mechanischen Leistungen aus der Simulation verglichen. Die Modelle sind wie schon erwähnt nicht transient simuliert worden und deshalb sind Strömungsgrößen nur ortsabhängig und nicht zeitabhängig. Man könnte es mit einer Momentaufnahme der Fluidteilchen in einem Strömungsfeld erklären, indem die Strömung durch Stromlinien, eine Raumkurve, welche die Geschwindigkeitsvektoren berührt, darstellt. Die transiente Berechnung, gekennzeichnet durch die zeitliche Ableitung, brach schon nach wenigen Iterationen ab. Der Solver gab den Hinweis, keine Überlappung (permit no intersection) zwischen den Schnittstellen (Interfaces) der rotierenden Domain und der Stationären zu zulassen. Leider führte auch diese Option zu keinem Ergebnis und die Simulation brach erneut ab. Hier nochmal eine Übersicht der Modelle: Modellname c 1 [m/s] n [1/min] λ Netzelemente Modell I 5/10/12 12,5/25/30 7,92 ~2,3 10 6 Modell II 5/10/12 14/28/33,6 7,07 ~4,1 10 6 Tabelle 6.1 Übersicht der Modellparameter

Die verwendeten Stoffdaten von Luft, die für die Simulation verwendet wurden, sind im Anhang aufgeführt. Für die Auswertung wurden die Geschwindigkeiten bezogen auf das kartesische Koordinatensystem mit dem Turbomaschinentool in Zylinderkoordinaten (o,m,&,9,&) übertragen. Um die Fülle an Daten der numerischen Berechnung besser auswerten zu können, werden Stützstellen verwendet, siehe Abbildung 6.1. Abbildung 6.1 Einführung von Stützstellen zur Auswertung der Ergebnisse Die Orte A und B liegen dabei in den stationären Teilen des Raums, wobei A mit 100 Metern weit vor dem Rotor liegt und B 150 Meter dahinter. Die Orte 1 und 2 liegen in der rotierenden Domain nahe der Rotorebene, 3 Meter davor und 2 Meter dahinter. 6.1 Residuenstudie Die Residuen bilden die Veränderung der Ergebnisse eines Iterationsschritts zum Vorherigen ab. Dabei stammen die Residuen U-Mom, V-Mom und W-Mom aus der Impulsgleichung in x, y und z-richtung, während P-Mass der Kontinuitätsgleichung entspricht. Graphisch werden diese dann über die Anzahl der Iterationsschritte aufgetragen. Die iterative Rechenoperation kann durch Erreichen eines bestimmten Residuum

(Konvergenzkriterium) oder durch die vorgegebene Anzahl an Iterationsschritten beendet werden. Bei dem Modell I wurde ein Konvergenzkriterium von 1e-6 eingestellt und maximal tausend Iterationsschritte durchgeführt. Modell II wurden nur noch 800 Iterationen durchgeführt, da die Residuen einen relativ konstanten Verlauf hatten. Abbildung 6.2 - Residuen von Modell I - =10m/s, λ=7,92

Abbildung 6.3 - Residuen vom Modell II - =10m/s, λ=7,02

6.2 Stromröhrenaufweitung nach Betz / Froude-Rankine Um die Verletzung der Massenerhaltung zu überprüfen, wurde der Volumenstrom am Inlet (Kreisfläche am Eintritt), mit denen am Entrainment (Mantelfläche) und am Opening (Kreisfläche am Austritt) verglichen, siehe Abbildung 6.4. Nach dem Kontinuitätsprinzip muss ijk ( :-, ika+ :-, ˆ# k)0 (6.1) ergeben. Der prozentuale Fehler lag dabei unter 0,01 % und ist vernachlässigbar. Abbildung 6.4 Schematischer Aufbau zur Prüfung der Massenerhaltung Eine andere Möglichkeit zur Überprüfung der Massenerhaltung kann über die Stromröhre geschehen. Dabei werden an den zwei Orten (A, B) die arithmetischen Mittel der Geschwindigkeiten ZljZŠ über den Querschnitt der Stromröhre gebildet

ZljZŠ Œ` 1 ZljZŠ,j. j (6.2) Mit der mittleren Geschwindigkeit und der Querschnittsfläche an den Orten A und B lassen sich wieder die Massenströme bestimmen, wobei ZljZŠ, ZljZŠ,ƒ ƒ 0, (6.3) sein muss. Die Prüfung der Massenerhaltung durch die Stromröhre ergab einen prozentualen Fehler von etwa 1% und ist ebenfalls vernachlässigbar. Wie in Kapitel 2 erwähnt, wird die Windgeschwindigkeit c 1 auf c 3 abgebremst. Umgekehrt proportional zur Strömungsgeschwindigkeit nimmt die Querschnittsfläche der Stromröhre von A A nach A B zu (Abbildung 6.5). Abbildung 6.5 Aufweitung der Stromröhre, die schwarze Linie stellt die Position des Rotors dar, λ=7,92

Da die Konstruktion des Rotors nicht auf der Betzschen Optimalauslegung beruht, wird die erwartete axiale Geschwindigkeitsverzögerung weit hinter dem Rotor von zwei Drittel nicht erreicht. c 1 [m/s] [m²] c 3 [m/s] ƒ [m²] [ /, ƒ /, 5 2290 3,1 3696 22902 22513 10 2290 6,1 3696 11451 11288 12 2290 7,3 3696 27483 27018 Tabelle 6.2 Parameter der Stromröhrenaufweitung, Modell I Abbildung 6.6 - Stromlinienplot der Absolutgeschwindigkeit Aufweitung der Stromröhre, Modell Ž =10m/s, λ=7,92 In Abbildung 6.7 ist die Strömungsverzögerung in Richtung der Rotorachse quantitativ erfasst worden. Weit vor dem Rotor ist die Geschwindigkeit noch auf dem Niveau der

eingestellten Strömungsgeschwindigkeit, nimmt aber infolge der Stauung zum Rotor hin ab. Der Geschwindigkeitsanstieg unmittelbar hinter dem Rotor entsteht, wenn die Strömung die Stauung durch den Rotor überwunden hat und drallbehaftet fortgetragen wird. Axiale Absolutgeschwindigkeit - λ=7,92 c_axial [m/s] 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 Z [m] c1=10 m/s c1=5 m/s c1=12 m/s Rotor Abbildung 6.7 Änderung der axialen Absolutgeschwindigkeit in z-koordinatenrichtung Vergleicht man die Aufweitung der Stromröhre mit der axialen Strömungsgeschwindigkeit, wird die Proportionalität durch die Massenerhaltung deutlich. An dieser Stelle sei erwähnt, dass die axialen Geschwindigkeiten aus Abbildung 6.7 und 6.8 immer auf die gleiche Querschnittfläche bezogen worden sind. Das Modell II mit der Schnelllaufzahl 7,07 weist, entgegen der Erwartungen, einen ganz anderen axialen Geschwindigkeitsverlauf auf (Abbildung 6.8). Anscheinend hat bei diesem Modell die Übergabe der Geschwindigkeitskomponenten von der rotierenden Domain in die Stationäre nicht funktioniert, wobei das gleiche Interface (GGI) wie in Modell I verwendet wurde. Der rotierende Bereich ist davon jedoch nicht betroffen.

Axiale Absolutgeschwindigkeit - λ=7,07 c_axial [m/s] 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 Z [m] c1=10 m/s c1=5 m/s c1=12 m/s Rotor Abbildung 6.8 Änderung der axialen Absolutgeschwindigkeit in z-koordinatenrichtung Abbildung 6.9 bildet die axiale Geschwindigkeitsverteilung über den Radius ab. Die axiale Geschwindigkeit wurde dabei auf den Ringflächen, die aus zwei konzentrischen Kreisen mit dem Abstand dr = 1 m besteht, gemittelt. Weit vor dem Rotor (A) ist die Geschwindigkeit konstant. Am Rotoreintritt (1) wird die Strömung durch die Nabe gestaut und erfährt eine Verzögerung. Im Bereich des Rotors von Profil NACA4450 bis NACA4415 ist die Schwankung jedoch wieder relativ gering. Am Rotoraustritt (2) entsteht durch die Kante an der Nabenrückseite eine Ablösung mit einer Totzone, in der eine Rückströmung stattfindet. Durch die konvexe Geometrie der Nabe am Rotoreintritt erfährt die Strömung eine Beschleunigung, die ihr Maximum kurz vor dem NACA4450 erreicht. Danach stellt sich erneut ein relativ konstanter Wert über den gesamten Rotor ein. Weit hinter dem Rotor (B) nimmt die Geschwindigkeit mit zunehmendem Radius zu.

Axiale Absolutgeschwindigkeit, c=10m/s, λ=7,92 12 10 8 6 c_axial [m/s] 4 2 0-2 -4-6 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 r [m] A B 1 2 Nabe NACA4450 NACA4425 NACA4420 NACA4415 Abbildung 6.9 Änderung der axialen Absolutgeschwindigkeit über den Radius an den vier Stützstellen

6.3 Vergleich der Drehmomente Das Modell I wurde mit drei verschiedenen Windgeschwindigkeiten und Drehzahlen und unterschiedlichen Blattneigungswinkeln simuliert. Dabei ist das höchste Drehmoment bei einem Blattneigungswinkel von 0, ausgehend von der Lage des Profils NACA 4415 im Blattspitzenbereich, ermittelt worden. Die übrigen simulierten Neigungswinkel wirken sich dagegen negativ auf die Aerodynamik des Rotors bei gegebener Nenndrehzahl aus, siehe Abbildung 6.10. Der negative Anstellwinkel bedeutet, dass die Profilnase in Windrichtung geneigt ist, positive Anstellwinkel entsprechend umgekehrt. Drehmoment bei verschiedenen Anstellwinkeln 350000 300000 Drehmoment [Nm] 250000 200000 150000 100000 50000 Modell I - 5 m/s Modell I - 10 m/s Modell I - 12 m/s Modell II - 5 m/s Modell II - 10 m/s Modell II - 12 m/s Poly. (Modell I - 5 m/s) Poly. (Modell I - 10 m/s) Poly. (Modell I - 12 m/s) 0-10 -8-6 -4-2 0 2 4 6 8 10 Anstellwinkel [ ] Abbildung 6.10 - Drehmoment in Abhängigkeit vom Anstellwinkel Bei dem Modell II, mit fast doppelt so vielen Elementen, ist das ermittelte Drehmoment wesentlich höher und zeigt gute Übereinstimmungen mit den analytischen Werten aus der Blattelemententheorie, siehe Tabelle 6.11.

Modell Ž [m/s] H H [Nm] N [Nm] 5 49184 37717 Modell I, 10 207738 151875 12 301666 225588 5 42178 52080 Modell II,š 10 210945 203143 12 283914 302400 Tabelle 6.3 Vergleich - Analytisches und numerisches Drehmoment Anscheinend hat die schlechte Diskretisierung in der rotierenden Domain zur Verfälschung der numerischen Werte bei Modell I geführt (Abb. 6.12). 25 20 schlechte Diskretissierung verbesserte Diskretisierung Spline "schlechte Diskr." Spline "verbesserte Diskr." 15 c[m/s] 10 5 0-5 0 50 100 150 200 250 300 x[m] Abbildung 6.11 Beispiel eines Vergleichs zwischen guter und schlechter Diskretisierung der Knotenpunkte

Beim Vergleich der Plots (Abbildung 6.13 und Abbildung 6.15) im selben Rotorschnitt wird deutlich, dass die grobe Netzstruktur massiven Einfluss auf die Rundung der Profilnase hat, denn bei Modell I ist diese deutlich eckiger. Durch die Unstetigkeit der Krümmung können Druck- und Geschwindigkeitssprünge entlang des Profils entstehen. Ebenso berücksichtigt die Tragflügeltheorie keine radialen Strömungsvorgänge, die natürlich real sowie in der Simulation vorhanden sind. Die hohen Unterschiede der Drehmomente zwischen den beiden Modellen können aber nicht mit der Schnelllaufzahl zusammenhängen, denn das erste Modell wurde mit unterschiedlichen Anstellwinkeln simuliert. Abbildung 6.12 Stromlinienplot der Relativgeschwindigkeit, Modell II - NACA 4420 mit r = 17 m, œhn = 2

Abbildung 6.13 Vektorplot der Relativgeschwindigkeit, Modell II - NACA 4420 mit r = 17 m, œhn = 2 Die Abbildungen 6.14 6.21 zeigen die Relativgeschwindigkeiten in Form von Stromlinien und Vektoren auf einer Ebene im Profil NACA 4420 bei unterschiedlichen Anstellwinkeln von Modell I. Dabei wird ersichtlich, dass sich die maximale Relativgeschwindigkeit, mit abnehmenden Anstellwinkeln, von der Profilnase saugseitig in Richtung der Hinterkante verschiebt. Die Auftriebskraft ist dadurch größtenteils nicht mehr, wie gewünscht in Umfangsrichtung vorhanden, sondern in weist in Richtung der Rotationsachse. Zudem verringert sich die Strömungsgeschwindigkeit auf der Saugseite, durch den abnehmenden Anstellwinkel.

Abbildung 6.14 Stromlinienplot der Relativgeschwindigkeit, Modell I - NACA 4420 mit r = 17 m, œhn = 2 Abbildung 6.15 Vektorplot der Relativgeschwindigkeit, Modell I - NACA 4420 mit r = 17 m, œhn = 2

Abbildung 6.16 Stromlinienplot der Relativgeschwindigkeit, Modell I - NACA 4420 mit r = 17 m, œhn = 4 Abbildung 6.17 Vektorplot der Relativgeschwindigkeit, Modell I - NACA 4420 mit r = 17 m, œhn = 4

Abbildung 6.18 Stromlinienplot der Relativgeschwindigkeit, Modell I - NACA 4420 mit r = 17 m, œhn = 6 Abbildung 6.19 Vektorplot der Relativgeschwindigkeit, Modell I - NACA 4420 mit r = 17 m, œhn = 6

Abbildung 6.20 Stromlinienplot der Relativgeschwindigkeit, Modell I - NACA 4420 mit r = 17 m, œhn = 10 Abbildung 6.21 Vektorplot der Relativgeschwindigkeit, Modell I - NACA 4420 mit r = 17 m, œhn = 10

6.5 Drallbestimmung nach EULER Wie in Kapitel 2.4 erwähnt, lässt sich die Leistung einer axialen Turbine auch durch die Eulersche Strömungsmaschinenhauptgleichung bestimmen. Die Anwendung der Gleichung setzt jedoch eine schaufelkongruente Strömung voraus. Die absolute Geschwindigkeitskomponente in Umfangsrichtung, die für den Drall verantwortlich ist, wurde über Ringflächen (dr=1 Meter) gemittelt. Weit vor dem Rotor (A) ist die Strömung drallfrei. Am Rotoreintritt (1) schwankt die Geschwindigkeit um den Nullpunkt, ist aber vernachlässigbar klein und wird ebenfalls als drallfrei angenommen. Der Drall am Rotoraustritt (2) ist nun entscheidend für die Leistungsbestimmung nach EULER. 4 Absolutgeschwindigkeit in Umfangsrichtung, c=10m/s, λ=7,92 3 2 c2u [m/s] 1 0-1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 r [m] A B 1 2 Nabe NACA4450 NACA4425 NACA4420 NACA4415 Abbildung 6.22 Änderung der Absolutgeschwindigkeit in Umfangsrichtung Schaut man sich den Kurvenverlauf des Dralls direkt hinter dem Rotor an, lässt dieser sich ab einem Radius von 6 Metern am ehesten mit einem Potentialwirbel vergleichen, bei dem die

Strömungsgeschwindigkeit in Umfangsrichtung mit zunehmendem Radius abnimmt, siehe Abbildung 6.23/6.24. Abbildung 6.23 Potentialwirbel nach Hameln-Oseen [11] Abbildung 6.24 Stromlinienplot der Absolutgeschwindigkeit zur Darstellung des Dralls

Um eine mögliche Verletzung der Betz-Theorie zu überprüfen, wurde die spezifische Arbeit Y, unter Verwendung der Annahme, dass die axiale Geschwindigkeitskomponente sich auf ein Drittel der Ausgangsgeschwindigkeit hinter dem Rotor verzögert, bestimmt. Für die vorliegende Anlage ergeben sich gemäß dieses Vorgehens folgende Werte: n 28 1/min n_sec 0,467 1/s rho 1,185 kg/m^3 D 54 m c_wind 10 m/s P_Wind 1,357 MW P_Betz 0,801 MW m_pkt_ein 27139 Kg/s m_pkt_aus 9046 Kg/s m_pkt_mittel 18093 kg/s Y_Betz, P=m_pkt_mittel*Y 44,25 m²/s² Tabelle 6.4 Anlagenparameter zur Ermittlung von Y_Betz Der Massenstrom kann aus dem arithmetischen Mittel zwischen Rotoreintritt und austritt gebildet werden. ijk 9. (6.4) :- 9 1 3. (6.5) k 1 8` j j (6.6) Die spezifische Arbeit kann nun durch Umformung der Euler Gleichung berechnet werden.

@ ƒ { 5 ƒ {. (6.7) Um den Drall über den Radius bestimmen zu können, muss die spezifische Arbeit über die Fläche gemittelt werden. @ ƒ { 1 @ ƒ {(9)+. (6.8) Ÿ @ ƒ { 1 ž @(9) +9 +. Ÿ @ ƒ { 2 ž @(9) +9. (6.9) (6.10) Dividiert man die Summe der mittlere spezifische Arbeit Y u durch die gesamte Rotorfläche erhält man wieder Y u. Unter der Annahme, dass die mittlere spezifische Arbeit über den Radius konstant bleibt, kann man den Drall c 2u bestimmen. : (9) @ ƒ { ;. (6.11) In der Nähe der Nabe ergeben sich unrealistisch hohe Werte für die Drallkomponente c 2u, die größer sind als die Umfangsgeschwindigkeit des Rotors, so daß der Verlauf erst ab einem Radius von etwa 3 Metern interpretierbar ist.