Versuch B1/4: Zweitore

Versuch B1/4: Zweitore 4.1 Grundlagen 4.1.1 Einleitung Ein elektrisches Netzwerk, das von außen durch vier Anschlüsse zugänglich ist, wird Zweitor genannt. Sind in einen Zweitor keine Quellen vorhanden, so heißt es passives Zweitor. Ein Zweitor, das Quellen enthält, wird als aktives Zweitor bezeichnet. Besteht ein Zweitor ausschließlich aus linearen Elementen z.b. aus Widerständen, Spulen, Kondensatoren, Übertragern so wird es lineares Zweitor genannt. 4.1.2 Das lineare passive Zweitor Bei einem linearen passiven Zweitor stehen die vier Klemmen im Inneren durch beliebige Anordnungen von linearen passiven Elementen z.b. Widerständen, Kapazitäten, Induktivitäten, Leitungen, magnetischen Kopplungen in Verbindung. Bild 4.1. Zweitor mit Umgebung. Ist ein Zweitor nach Bild 4.1 mit einem umgebenden Netzwerk verbunden, ergibt sich bei Anwendung der Kirchhoffschen Knotengleichung Eine weitergehende Aussage ist in diesem Fall nicht möglich. î 1 + î 1 + î 2 + î 2 = 0. 4.1 Läßt sich das das Zweitor umgebende Netzwerk in zwei Eintore nach Bild 4.2 auftrennen, so gilt î 1 = î 1 und î 2 = î 2. 4.2 Die vier Anschlüsse des Zweitors sind jetzt paarweise zusammengefaßt worden, wobei ein Klemmenpaar durch die Gleichheit der Ströme in den Anschlüssen gekennzeichnet ist. Ist Gleichung 4.2 erfüllt, so spricht man von einem Zweitor im engeren Sinne. Im folgenden sollen die Bezugspfeilrichtungen der Spannungen und Ströme nach Bild 4.3 festgelegt sein. 1

2 Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik B1 4.1.3 Die Zweitorgleichungen Die Beziehungen zwischen den Größen î 1 und û 1 sowie î 2 und û 2 lassen sich mit Hilfe bekannter Methoden der Netzwerkanalyse herleiten. Hier wird die Maschenstromanalyse angewandt. Dazu wird ein vollständiger Baum so gelegt, daß die von außen zugänglichen Zweige 1 und 2 Verbindungszweige sind. Das Gleichungssystem der Maschenströme lautet dann Z î = û, î = î 1 î 2 î a î b î c, û = wobei die Ströme î a, î b, î c usw. als zweitorinterne Hilfsgrößen zu verstehen sind. Mit Hilfe der Cramerschen Regel ergibt sich î 1 = + D 11 î 2 = D 12 D û 1 D 21 D û 2, û 1 û 2 0 0 0, 4.3 D û 1 + D 22 D û 2, 4.4 wenn D die Systemdeterminante von Z ist und D ik die zu z ik gehörige Unterdeterminante von Z. Mit Hilfe der Rechenregeln für Determinanten folgt aus der Symmetrie von Z, daß D ik = D ki. 4.5 Bild 4.2. Mit Eintoren beschaltetes Zweitor. Bild 4.3. Zweitorbezugspfeilsystem.

Versuch B1/4: Zweitore 3 4.1.4 Die Zweitorgleichungen in Leitwertform Die Beziehungen zwischen den Strömen î 1 und î 2 und den Spannungen û 1 und û 2 bei einem linearen passiven Zweitor haben also die allgemeine Form: oder in Matrizenschreibweise: î 1 = y 11 û 1 + y 12 û 2, î 2 = y 21 û 1 + y 22 û 2 4.6 î = Y û. 4.7 Die Matrizenelemente haben die Dimension von Leitwerten. Deshalb werden die Gleichungen 4.6 bzw. 4.7 die Zweitorgleichungen in Leitwertform genannt. Die auftretende Matrix Y heißt Admittanzmatrix, ihre Elemente Y-Parameter. Es sei an dieser Stelle bemerkt, daß nicht jedes lineare passive Zweitor eine Admittanzmatrix besitzt. Die Berechnung der Admittanzmatrix wie auch der anderen Zweitormatrizen erfolgt in der Praxis zweckmäßig mittels Leerlauf- bzw. Kurzschlußexperimenten. Die entsprechenden Formeln entnehme man dem beiliegenden Hilfsblatt. Aus Gleichung 4.5 folgt, daß die Admittanzmatrix symmetrisch ist, d.h. y 12 = y 21. 4.8 Daraus folgt zusammen mit den Zweitorgleichungen in Leitwertform Hilfsblatt î 1 = î 2. 4.9 û 2 û 1 =0 û 1 û 2 =0 Diese Beziehung beinhaltet den Umkehrsatz für lineare passive Zweitore: Eine an den Klemmen 11 angelegt Spannung û 1 ruft in den kurzgeschlossenen Klemmen 22 den gleichen Strom hervor, wie ihn die gleiche Spannung û 2 an den Klemmen 22 angelegt in den kurzgeschlossenen Klemmen 11 verursacht. Folgende physikalische Interpretationen der Elemente der Admittanzmatrix sind naheliegend: y 12 wird Kopplungsleitwert des Zweitors genannt. Werden die Klemmen 22 kurzgeschlossen, so ist der Eingangsleitwert an den Anschlüssen 11 gleich y 11. y 22 ist der Leitwert zwischen den Klemmen 22 bei Kurzschluß an den Klemmen 11. Jedes lineare passive Zweitor, das eine Admittanzmatrix besitzt, läßt sich durch ein Ersatzschaltbild nach Bild 4.4 π-schaltung beschreiben. Diese Ersatzschaltung beschreibt das Verhalten des Zweitors nur an den Klemmenpaaren 11 und 22 und nicht das Verhalten zwischen den Anschlüssen 12 und 1 2. Es ist bzw. y 11 = Y 1 + Y 0, y 22 = Y 2 + Y 0, y 12 = Y 0 und y 21 = Y 0. Y 1 = y 11 + y 21, Y 2 = y 22 + y 21 und Y 0 = y 21. 4.10 4.11

4 Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik B1 4.1.5 Die Zweitorgleichungen in Widerstandsform Neben der Leitwertform ist für Zweitorgleichungen noch die Widerstandsform û 1 = z 11 î 1 + z 12 î 2, û 2 = z 21 î 1 + z 22 î 2 4.12 oder in Matrizenschreibweise û = Z î 4.13 gebräuchlich. Es ist z 11 = z 21 = y 22 y 11 y 22 y 12 y 21, z 12 = y 12 y 11 y 22 y 12 y 21, z 22 = y 12 y 11 y 22 y 12 y 21 y 11. y 11 y 22 y 12 y 21 sowie 4.14 Die Gleichungen 4.12 bzw. 4.13 werden die Zweitorgleichungen in Widerstandsform genannt. Die Elemente von Z heißen Z-Parameter, Z selbst ist die Impedanzmatrix. Es sei hier bemerkt, daß nicht jedes lineare passive Zweitor eine Impedanzmatrix besitzt. Aus den Gleichungen 4.8 und 4.14 folgt z 12 = z 21 4.15 oder Hilfsblatt û 2 î 1 î 2 =0 = û 1 î 2 î 1 =0. 4.16 Diese Beziehung enthält wieder den Umkehrsatz für lineare passive Zweitore: Die Ausgangsspannung an einem offenen Klemmenpaar ändert sich bei gegebenem Eingangsstrom nicht, wenn Eingang und Ausgang des Zweitors vertauscht werden. Interpretationen der Z-Parameter: Die Größe z 12 heißt Kopplungswiderstand des Zweitores. Der Eingangswiderstand des Zweitors an den Anschlüssen 11 bei leerlaufenden Klemmen 22 ist z 11. Fließt in die Klemmen 11 kein Strom, so ist der Widerstand zwischen den Anschlüssen 22 gleich z 22. Bild 4.4. π-ersatzschaltbild.

Versuch B1/4: Zweitore 5 Aus den Zweitorgleichungen in Widerstandsform 4.12 bzw. 4.13 läßt sich ein Ersatzschaltbild nach Bild 4.5 T-Schaltung herleiten. Auch diese Ersatzschaltung beschreibt nur das Verhalten des Zweitors an den Klemmenpaaren 11 und 22. Es ist: oder z 11 = Z 1 + Z 0, z 22 = Z 2 + Z 0 und z 12 = Z 0 4.17 Z 1 = z 11 z 12, Z 2 = z 22 z 12 und Z 0 = z 12. 4.18 4.1.6 Die Zweitorgleichungen in Kettenform Durch Auflösen der Zweitorgleichungen nach je zwei der vier Spannungen und Ströme ergeben sich insgesamt sechs Formen der Zweitorgleichungen. Eine oft verwendete Form ist die Kettenform. Hierbei werden die Eingangsgrößen û 1, î 1 durch die Ausgangsgrößen û 2, î 2 ausgedrückt: û 1 = a 11 û 2 + a 12 î 2, î 1 = a 21 û 2 + a 22 î 2 4.19 oder in Matrizenschreibweise: û 1 î 1 = A û 2. 4.20 î 2 Die Matrix A heißt Kettenmatrix, ihre Elemente Ketten- oder einfach A-Parameter. Die vier A- Parameter haben verschiedene Dimensionen. Aus dem Umkehrsatz folgt A det = 1. 4.21 Es reichen also stets drei Z-, Y- oder A-Parameter zur Beschreibung eines linearen passiven Zweitores aus, der vierte liegt jeweils durch den Umkehrsatz fest. Die Kettenparameter der T -Schaltung in Bild 4.5 und der π-schaltung in Bild 4.4 entnimmt man dem beiliegenden Hilfsblatt. Bild 4.5. t-ersatzschaltbild.

6 Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik B1 4.2 Zusammenschaltung von Zweitoren 4.2.1 Parallelschaltung zweier Zweitore Die Parallelschaltung zweier Zweitore nach Bild 4.6 bildet ein neues Zweitor mit den Klemmenpaaren 11 und 22. Bild 4.6. Parallelschaltung von Zweitoren. Das elektrische Verhalten des Gesamtzweitores kann nur dann aus den Zweitorgleichungen der Einzelzweitore abgeleitet werden, wenn Gleichung 4.2 erfüllt ist. Das heißt, es muß gelten: und î 1 1 = î 1 1, î 2 1 = î 2 1 4.22 î 1 2 = î 1 2, î 2 1 = î 2 2. 4.23 In der Schaltung in Bild 4.6 wird das im allgemeinen nicht der Fall sein, weil zwischen den Klemmen 1 und 2 eine Spannung û 1 2 besteht, die bei den beiden Einzelzweitoren vor dem Zusammenschalten verschieden sein wird. Eine Parallelschaltung nach Bild 4.6 führt dann zu einem Ausgleichsstrom, der sich zu den in den Zweitoren eintretenden Strömen addiert bzw. von diesen subtrahiert. Damit ist die Voraussetzung für die Gültigkeit der Zweitorgleichungen der Einzelzweitore nicht mehr erfüllt. Durch Zuschalten eines idealen Übertragers nach Bild 4.7 kann die Gleichheit der Ströme in den Klemmenpaaren der Einzelzweitore erzwungen werden. Ebenso behalten die Zweitorgleichungen ihre Gültigkeit bei einer Parallelschaltung zweier Zweitore, bei denen je zwei Klemmen direkt miteinander verbunden sind Bild 4.8. Die Zusammenschaltung liefert unmittelbar die Bedingung für die Teilspannungen und -ströme und ihre Beziehung zu den Spannungen und Strömen des Gesamtzweitores. Es gilt: und Damit folgt sofort aus den Zweitorgleichungen in Leitwertform: î 1 = î 1 1 + î 2 1, î 2 = î 1 2 + î 2 2 4.24 û 1 = û 1 1 = û 2 1, û 2 = û 1 2 = û 2 2. 4.25 î 1 = y 1 11 + y 2 11 û 1 + y 1 12 + y 2 12 û 2, 4.26 î 2 = y 1 21 + y 2 21 û 1 + y 1 22 + y 2 22 û 2 4.27

Versuch B1/4: Zweitore 7 oder in Matrizenschreibweise: mit î = Y 1 + Y 2 û = Y û 4.28 Y = Y 1 + Y 2. 4.29 4.2.2 Reihenschaltung zweier Zweitore Werden zwei Zweitore nach Bild 4.9 in Reihe geschaltet, so ist auch hier im allgemeinen die Voraussetzung für die Gültigkeit der Zweitorgleichungen der Einzelzweitore, die Gleichheit der Ströme in einem Klemmenpaar, nicht erfüllt. Auch hier kann die Gleichheit der Ströme in einem Klemmenpaar durch einen idealen Übertrager nach Bild 4.10 erzwungen werden. Bild 4.7. Modifizierte Zweitor-Parallelschaltung. Bild 4.8. Zweitor-Parallelschaltung mit Dreipolen.

8 Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik B1 Ebenso sind die Zweitorgleichungen der Einzelzweitore bei der Schaltung nach Bild 4.11 gültig. Die Beziehung zwischen den Teilströmen und -spannungen und dem Gesamtstrom und der Gesamtspannung lauten hier bzw. î 1 = î 1 1 = î 2 1, î 2 = î 1 2 = î 2 2 4.30 û 1 = û 1 1 û 2 1, û 2 = û 1 2 û 2 2. 4.31 Daraus ergibt sich zusammen mit den Zweitorgleichungen in Widerstandsform: û 1 = z 1 11 î 1 1 + z 1 12 î 1 2 z 2 11 î 2 1 + z 2 12 î 2 2, 4.32 û 2 = z 1 21 î 1 1 + z 1 22 î 1 2 z 2 21 î 2 1 + z 2 22 î 2 2 4.33 Bild 4.9. Reihenschaltung zweier Zweitore. Bild 4.10. Zweitor-Reihenschaltung mit Übertrager.

Versuch B1/4: Zweitore 9 bzw. oder im Matrizenschreibweise: mit û 1 = z 1 11 + z 2 11 î 1 + z 1 12 + z 2 12 î 2, 4.34 û 2 = z 1 21 + z 2 21 î 1 + z 1 22 + z 2 22 î 2 4.35 Gleichung 4.37 ergibt sich auch für die Schaltung in Bild 4.10. û = Z 1 + Z 2 î = Z î 4.36 Z = Z 1 + Z 2. 4.37 4.2.3 Kettenschaltung zweier Zweitore Sind zwei Zweitore nach Bild 4.12 in Kette geschaltet, so sind die Zweitorgleichungen für die Einzelzweitore gültig. Es gilt: û 1 1 î 1 1 = A 1 û 1 2 î 1 2, û 2 1 î 2 1 = A 2 û 2 2 î 2 2. 4.38 Bild 4.11. Zweitor-Reihenschaltung mit Dreipolen. Bild 4.12. Kettenschaltung zweier Zweitore.

10 Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik B1 Aus Bild 4.12 folgt sofort: Außerdem gilt: û 1 = û 1 1, û 2 = û 2 2 und î 1 = î 1 1, î 2 = î 2 2. 4.39 û 1 2 = û 2 1 und î 1 2 = î 2 1. 4.40 Daraus ergibt sich mit û 1 î 1 = A 1 A 2 û 2 î 2 = A û 2 î 2 4.41 A = A 1 A 2. 4.42 4.3 Versuchsdurchführung In der Versuchsdurchführung geht es darum, verschiedene Zweitorparameter von Widerstandsnetzwerken meßtechnisch zu ermitteln. Dazu stehen folgende Geräte zur Verfügung: Ein elektronisch geregeltes Gleichspannungsnetzteil, das Konstantspannungen von 0-15 Volt liefern kann. Zwei Vielfachmeßgeräte mit diversen Gleichstrom und -spannungsmeßbereichen. Zwei Zweitore, namentlich einfache Widerstandsnetzwerke. Versuchsablauf 1 Bestimmung der Zweitorparameter 2 Ersatzschaltbilder 3 Umrechnung der Zweitorparameter 4 Berechnung von Gesamtparametern 5 Messung von Gesamtparametern Von den zwei gegebenen Zweitoren sind die Widerstandsparameter, Leitwertparameter und Kettenparameter durch Leerlauf- und Kurzschlußmessungen zu ermitteln. Aus den Widerstandsparametern ist die T- Ersatzschaltung des einen, aus den Leitwertparametern die π-ersatzschaltung des anderen Zweitors zu bestimmen. Aus den Elementen der Ersatzschaltungen sind die Kettenparameter der Zweitore zu berechnen. Die Ergebnisse sollen mit den Meßwerten nach 3.1 verglichen werden. Die Zweitorparameter der Parallel-, Reihenund Kettenschaltung der zwei Zweitore sind aus den jeweils günstigen Parametern der Einzelzweitore zu berechnen. Die im letzten Punkt berechneten Parameter sind durch Leerlauf und Kurzschlußmessung an der jeweiligen Zusammenschaltung der Einzelzweitore zu ermitteln. Die gemessenen Parameter sind mit den errechneten zu vergleichen.

Versuch B1/4: Zweitore 11 Die Meßwerte und die berechneten Parameter sind jeweils sinnvoll in die beiliegenden Universalprotokolle einzutragen. Als Grundlage der erforderlichen Rechnungen dient das beiliegende Hilfsblatt.

12 Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik B1 Hilfsblatt Versuch: B1/4-Zweitore Ersatzschaltungen T-ESB: Z Z = 0 + Z 1 Z 0 Z 0 Z 0 + Z 2 1 + Z A = 1 / Z 0 Z 1 + Z 2 + Z 1 Z 2 / Z 0 1/ Z 0 1 + Z 2 / Z 0 π-esb: Y Y = 0 + Y 1 Y 0 Y 0 Y 0 + Y 2 A = 1 + Y 2 / Y 0 1/ Y 0 Y 1 + Y 2 + Y 1 Y 2 / Y 0 1 + Y 1 / Y 0 Matrizenberechnung aus Meßdaten Admittanzmatrix î 1 î 2 = y 11 y 12 y 21 y 22 û 1 û 2 î 1 / û 1 Y = û 2 =0 î 1 / û 2 û 1 =0 î 2 / û 1 û 2=0 î 2 / û 2 û 1=0 Impedanzmatrix û 1 û 2 = z 11 z 12 z 21 z 22 î 1 î 2 û 1 / î 1 Z = î 2 =0 û 1 / î 2 î 1 =0 û 2 / î 1 î 2=0 û 2 / î 2 î 1=0 Kettenmatrix û 1 î 1 a = 11 a 12 a 21 a 22 û 2 î 2 û 1 / û 2 A = î 2=0 û 1 / î 2 û 2=0 î 1 / û 2 î 2 =0 î 1 / î 2 û 2 =0 Einfache Umrechnungen A Z Z = 1 a 11 1 a 21 1 a 22 A Y Y = 1 a 22 1 a 12 1 a 11

Versuch B1/4: Zweitore 13 Meßprotokoll Versuch: B1/4-Zweitore Datum: Gruppen: und Zweitor: 4.4 Meßdaten û 1 = 0 V î 1 = 0 ma û 2 = 0 V î 2 = 0 ma û 1 [V ] 0 10 10 î 1 [ma] 0 û 2 [V ] 10 10 0 î 2 [ma] 0 4.5 Parameter aus den Meßdaten Y =, Z = A = 4.6 Vergleichsparameter aus der Rechnung = 4.7 Ersatzschaltbildelemente T-ESB: Z 0 = Z 1 = Z 2 = π-esb: Y 0 = Y 1 = Y 2 = Es sind nur die Felder auszufüllen, die jeweils benötigt werden.

14 Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik B1 Meßprotokoll Versuch: B1/4-Zweitore Datum: Gruppen: und Zweitor: 4.8 Meßdaten û 1 = 0 V î 1 = 0 ma û 2 = 0 V î 2 = 0 ma û 1 [V ] 0 10 10 î 1 [ma] 0 û 2 [V ] 10 10 0 î 2 [ma] 0 4.9 Parameter aus den Meßdaten Y =, Z = A = 4.10 Vergleichsparameter aus der Rechnung = 4.11 Ersatzschaltbildelemente T-ESB: Z 0 = Z 1 = Z 2 = π-esb: Y 0 = Y 1 = Y 2 = Es sind nur die Felder auszufüllen, die jeweils benötigt werden.

16 Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik B1 Meßprotokoll Versuch: B1/4-Zweitore Datum: Gruppen: und Zweitor: 4.16 Meßdaten û 1 = 0 V î 1 = 0 ma û 2 = 0 V î 2 = 0 ma û 1 [V ] 0 10 10 î 1 [ma] 0 û 2 [V ] 10 10 0 î 2 [ma] 0 4.17 Parameter aus den Meßdaten Y =, Z = A = 4.18 Vergleichsparameter aus der Rechnung = 4.19 Ersatzschaltbildelemente T-ESB: Z 0 = Z 1 = Z 2 = π-esb: Y 0 = Y 1 = Y 2 = Es sind nur die Felder auszufüllen, die jeweils benötigt werden.