Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2008 im Fach Mathematik.06.2008 Arbeitsbeginn: 0.00 Uhr Bearbeitungszeit: 20 Minuten Zugelassene Hilfsmittel: - beiliegende Formelübersicht (eine Doppelseite) - Wissenschaftlicher Standard-Taschenrechner (nichtgrafikfähig, nichtprogrammierbar, nicht symbolisch rechnend) Bearbeiten Sie bitte die Aufgabe a, b und 9a auf dem Aufgabenblatt. Alle anderen Aufgaben bearbeiten Sie bitte auf gesondertem Papier. Denken Sie an Begründungen und vergessen Sie bei Textaufgaben nicht den Antwortsatz, denn jede Frage erfordert eine Antwort. Alle Lösungswege müssen nachvollziehbar dokumentiert sein. Falls Sie eine Lösung durch Probieren finden, müssen Sie Ihre Überlegungen unbedingt ausreichend kommentieren. Es sind maximal 6 Punkte zu erreichen. Name, Vorname:......................................... Klasse:............. [] Seite von 6
Mittlerer Schulabschluss 2008, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben. Kalkül (0 Punkte) a) Geben Sie den kleinsten und den größten Wert an. 4 0 2 ; 0,4; 6 ; ; 4 0 4 kleinster Wert: größter Wert: b) Welche Umformung ist jeweils richtig? Kreuzen Sie an. ) (x 8) 7 7x 8 7x 6 x 6 2) 7a 7 + 7a 6 7a 6 c) Berechnen Sie schrittweise den Wert des Terms. 2 0 + 6 0 4 0 d) Addiert man zu einer Zahl 2 und multipliziert das Ergebnis mit 4, so erhält man 2. Wie heißt die gesuchte Zahl? Begründen Sie. e) Auf einer Landkarte mit einem Maßstab von :00 000 ist eine Strecke 2 cm lang. Wie viel km lang ist die Strecke in Wirklichkeit? 2. Trigonometrie ( Punkte) a) Geben Sie von den beiden spitzen Winkeln des Dreiecks jeweils den Sinus als Längenverhältnis zweier Seiten an. b) Wie groß ist der Winkel β, wenn gilt: tan β = 2? c) Berechnen Sie die Länge der Seite a, wenn gilt: γ = 60 und b = 2 cm. [] Seite 2 von 6
Mittlerer Schulabschluss 2008, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben. Lostrommel (4 Punkte) Eine Lostrommel wird mit 0 Lotterielosen gefüllt. Die Hälfte der Lose sind Nieten. Bei Losen gibt es je einen Gewinn im Wert von Euro, bei weiteren fünf Losen bekommt man je einen Gewinn im Wert von 2, die anderen Gewinnlose sind Hauptgewinne. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Niete zu ziehen? b) Susanne zieht als erste ein Los und hat einen Hauptgewinn. Rebecca zieht als zweite ein Los. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie auch einen Hauptgewinn hat? Notieren Sie Ihren Lösungsweg. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit in Prozent mit einer Stelle nach dem Komma an. 4. Brandenburger Tor (6 Punkte) Ein Tourist in Berlin möchte das Brandenburger Tor fotografieren und stellt sich dafür in die Mitte vor das Tor. Er kann mit seinem Fotoapparat Bildausschnitte mit einem Winkel von 80 aufnehmen. Das Tor ist 6 m breit. a) Fertigen Sie eine Skizze des Sachverhaltes (von oben gesehen) an und beschriften Sie diese. b) In welcher Entfernung vom Tor muss sich der Tourist aufstellen, wenn das Bild die ganze Breite des Tores aufnehmen soll? Schreiben Sie Ihren Lösungsweg auf.. Gartentor (8 Punkte) Auf die beiden Pfeiler eines Tores soll je eine Kugel aus Sandstein gelegt werden. Die Kugeln haben einen Durchmesser von 2 cm. Jede Kugel wird aus einem Würfel hergestellt. Seine Kantenlänge ist genauso groß wie der Kugeldurchmesser. a) Berechnen Sie, wie viel m³ Abfall bei der Herstellung der beiden Kugeln entstehen. b) Die Herstellung pro 00 cm² Kugeloberfläche kostet 0,94. Wie hoch sind die Kosten für beide Kugeln zusammen? Schreiben Sie Ihren Lösungsweg auf. [] Seite von 6
Mittlerer Schulabschluss 2008, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben 6. Bootsfahrt (0 Punkte) Ein Bootsverleih vermietet Kajaks und Canadier in verschiedenen Größen. Bootstyp Std. 4 Std. Tag Montag Freitag Wochenende Samstag + Sonntag 2-er/-er Canadier 7 9 27 8 4-er Canadier 9 2 70 -er Canadier 2 4 80 0-er Canadier 26 62 94 76 -er Kajak 7 4 2-er Kajak 7 7 2 2 -er Kajak 8 20 2 66 Preisangaben in Euro a) Die Klasse 0e (0 Schülerinnen und Schüler) leiht sich auf ihrem Wandertag bei diesem Bootsverleih für zwei Stunden Kajaks aus. Berechnen Sie, ob es für die Klasse billiger ist, 2-er oder -er Kajaks auszuleihen. Kajak b) Eine Gruppe von neun Personen plant für Mittwoch einen ganztägigen Ausflug mit Canadiern. Die Gruppe will für das Mieten der Boote höchstens 90 Euro ausgeben. Welche Bootstypen können für diesen Betrag gemietet werden, so dass die neun Personen Platz finden? Berechnen Sie alle Möglichkeiten. Canadier c) Der Bootsverleiher vermietet die Boote am liebsten für eine ganze Woche. Die Kunden sollen dafür einen Preisvorteil von 0 % erhalten. Berechnen Sie, welchen Preis der Bootsverleiher als Wochenmiete für einen 2-er Canadier verlangen kann. [] Seite 4 von 6
Mittlerer Schulabschluss 2008, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben 7. Schulnachrichten (4 Punkte) Einige dieser Meldungen enthalten Fehler. Nennen Sie die Meldungen, in denen die mathematische Aussage nicht mit dem Text übereinstimmt und beschreiben Sie den Fehler. a) Drei Fünftel aller Schüler der Einstein-Schule beteiligen sich an der Mathematikolympiade. Letztes Jahr waren es mit 0 % noch weniger. b) Jeder vierte Schüler (4%) der Klassenstufe 0 ist aktives Mitglied eines Fußballvereins. Meldungen aus dem Schulalltag c) Ein Zwanzigstel aller Realschüler schaffte die Prüfungen zum Mittleren Schulabschluss nicht. Letztes Jahr waren es immerhin nur 4 %. d) Bei der Vorbereitung des Tages der offenen Tür beteiligte sich dieses Jahr nur jeder dritte Schüler. Letztes Jahr war es noch jeder Fünfte. 8. Gleichung (6 Punkte) Maria und Alexander stellen ihre Hausaufgabe vor. Sie sollten die folgende Gleichung lösen: (2x )(4x ) = 7 + 8x² Maria 8x² 20x + 2x + = 7 + 8x² Alexander 8x² 2x 20x + = 7 + 8x² a) Wer hat falsch umgeformt? Begründen Sie. b) Lösen Sie die Gleichung: 4x² x 0 + 8x = 4x² 8 (Eine Probe ist nicht erforderlich.) [] Seite von 6
Mittlerer Schulabschluss 2008, schriftliche Prüfung Mathematik Aufgaben 9. Jägerlatein ( Punkte) Jäger Huber und sein Hund Fiffi kommen von der Jagd und nähern sich ihrem Haus. Fiffi läuft dabei immer zwischen seinem Herrchen und dem Haus hin und her. A Entfernung vom Haus B Entfernung vom Haus C Entfernung vom Haus Zeit Zeit Zeit a) Entscheiden Sie bei jedem Diagramm, ob es zu der Geschichte passt oder nicht und kreuzen Sie an. Diagramm passt zur Geschichte passt nicht zur Geschichte A B C b) Erfinden Sie zu einem Diagramm, zu dem die Geschichte nicht passt, selbst eine kurze, passende Geschichte. 0. Funktionen (7 Punkte) Pitt und Kalle haben zwei Graphen zu linearen Funktionen gezeichnet. Pitt hat den ansteigenden Graphen gezeichnet, Kalle den fallenden. y f a) Welchen Graphen hat Kalle gezeichnet? b) Geben Sie für beide Graphen jeweils die Funktionsgleichung an. c) Pitt möchte den Schnittpunkt von zwei Graphen berechnen. Erklären Sie ihm schrittweise, wie er vorgehen muss. 2-2 - 0 2 x - -2 g [] Seite 6 von 6
MSA 2008, schriftliche Prüfung Mathematik Erwartungshorizont für die Lehrkraft Alternative, korrekte Lösungen und Lösungswege sind oft möglich und immer vergleichbar zu bepunkten, selbst wenn im Erwartungshorizont kein Hinweis darauf erfolgt. Halbe Punkte (Bewertungseinheiten, BE) sind nicht vorgesehen. Fehlerfortsetzung ist zu bepunkten. Die Angabe von Einheiten muss (spätestens) im Antwortsatz korrekt erfolgen, während der Rechnung sollten Sie so wie in Ihrem Vorunterricht bewerten. Fehler in der mathematischen Symbolsprache, z. B. der falsche Gebrauch des Gleichheitszeichens oder falsch gesetzte bzw. fehlende Klammern sind bei der Bewertung mit zu berücksichtigen. Die Formulierung der Antwortsätze ist ggf. nur als Beispiel zu verstehen. Ein Antwortsatz mit falsch berechneten Werten wird nur dann gewertet, wenn die Ergebnisse nicht völlig abwegig sind. Wird ein falsches Ergebnis allerdings erkannt und entsprechend kommentiert, so wird dies positiv gewertet. Lösungen a kleinster Wert: 4 0-2 (= 0,04), größter Wert: 6 (= 4) Bem.: Abschreiben genügt. Ausrechnen ist nicht erforderlich. Wurzeln sind positive Zahlen. Deswegen ist 4 als Ergebnis von 6 und als kleinster Wert falsch. b ) 7x 8 7x 6 x 6 2) 7a 6 7a 6 c 2 0 + 6 0 8 0 = 4 0 4 0 = 200 Oder 2 0 + 6 0 200000 + 600000 = 4 0 4000 = 800000 = 200 4000 Bem.: Fehlerfortsetzung im 2. Schritt gibt BE. Hinschreiben des Endergebnisses vom TR ohne Zwischenschritt gibt nur BE. d (Variablendefinition) x: gesuchte Zahl (Aufstellung der Gleichung) (x + 2) 4 = 2 (Äquivalenzumformungen) 4x + 8 = 2 8 4x = 4 : 4 (Ergebnis) x = (Antwortsatz) Die gesuchte Zahl ist. Bem.: Die beiden Äquivalenzumformungen sind austauschbar. Ist das Ergebnis falsch, kann es höchstens 2 BE geben. Wenn die Variablendefinition fehlt, die Gleichung aber korrekt ist, kann die BE trotzdem gegeben werden. Ohne Ergebnis oder erläuternden Satz kann es höchstens 2 BE geben. Oder Die Zahl heißt, denn + 2 = ; 4 = 2 Oder Die Zahl heißt. Das ergibt sich, wenn man rückwärts rechnet. 2 : 4 = ; 2 = Bem.: BE für das richtige Ergebnis, 2 BE für die Begründung, z. B. durch Rechnung, Probe oder Rückwärtsrechnen. e 2 km Zwischensumme 0 BE Aufgabe Standardbezug L K Seite von 6
MSA 2008, schriftliche Prüfung Mathematik Erwartungshorizont für die Lehrkraft 2a () sin β = a b (2) sin γ = a c Bem.: Bei systematischen Fehlern, z. B. dem Vertauschen von Zähler und Nenner in beiden Angaben, kann BE gegeben werden. 2b β 4 Bem.: Die genaueren Werte,69,7 sind ebenso richtig, fehlerhafte Rundungen aber nicht. 2c cos γ = b 2 ; cos 60 = ; a a 2 a = = 24; a = 24 cm. cos 60 b 2 Oder a = = = 24 cosγ 0, Übertrag 0 a Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0 %. 2 Oder oder 2 0 b Für Rebekka sind in der Lostrommel noch 49 Lose, davon 4 Hauptgewinne. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auch Rebekka einen Hauptgewinn zieht, 4a beträgt deshalb 49 4. Das sind ca. 8,2 %. Oder vergleichbare Beschreibung des Lösungsweges oder Baumdiagramm Brandenburger Tor 6m Sachgerechte Skizze l Sachgerechte Beschriftung α 80 L2 K L2 K L K L K I L K4 4b Tourist α = 80 = 40 2 2, tan 40 = l 2, l = 8,7 tan 40 o Der Tourist muss in einer Entfernung von ca. 9 m vor dem Tor stehen. Oder Genaue, korrekte Konstruktion des Dreiecks in einem passenden Maßstab, Abmessen im Dreieck, Ergebnis: 9 m. Bem.: Richtig sind auch 8,7 m oder 8,7 m. Die Angabe weiterer Stellen führt zu BE Abzug.40 m oder 8 m sind nicht genau genug ( BE Abzug). Zwischensumme 2 L2 K I Seite 2 von 6
MSA 2008, schriftliche Prüfung Mathematik Erwartungshorizont für die Lehrkraft a V W = d³ = (2 cm)³ = 40 608 cm³ Oder 0,40 m³ V K = 4 4 π r³ = π (26 cm)³ = 7 622 cm³ Oder 0,074 m³ Differenz: 40 608 cm³ 7 622 cm³ = 66 986 cm³ Oder 0,067 m³ Bei 2 Kugeln bleiben 0,4 m³ Sandstein übrig. Oder Übertrag 2 L2 K I b V = V W V K = d³ 4 4 π r³ = (2 cm)³ π (26 cm) = 66 986 cm³ Bem.: Weniger gültige Ziffern aber mindestens zwei sind auch richtig. Rundungen sind erst im Endergebnis vorzunehmen. Maßeinheiten müssen in der Rechnung nicht mitgeführt werden. A O = 4 π r² = 4 π (26 cm)² A O = 8 49 cm² = 0,849 m² 2 0,8 49 m² 94 = 9,7 m² Die Oberflächenbearbeitung kostet 9,7. Oder ca. 60 6a 2-er Kajaks: 7 2 = 20 0 -er Kajaks: 0 8 2 = 60 Die Ausleihe von -er Kajaks ist günstiger. Bem.: Falls es durch einen Rechenfehler zu einem anderen Ergebnissatz kommen sollte, gilt das Prinzip der Fehlerfortsetzung, so dass nur BE für den Rechenfehler abzuziehen ist. 6b Dreier: 27 = 8 Fünfer und Vierer: 4 + = 76 Vierer und Dreier und Zweier: + 27 + 27 = 89 2 Fünfer: 2 4 = 82 6c Miete eines 2-er Canadiers für fünf Wochentage und ein Wochenende: 27 + 8 = 9 Preis mit 0 % Preisnachlass: 9 0,9 = 7,70 Wenn der Bootsverleiher für eine Wochemiete 74 verlangt, dann spart der Kunde ca. 0 %. Bem.: 7 oder 7,70 sind auch richtig. Wenn ein erläuternder Text zur Rechnung fehlt, führt das zum Abzug einer BE. 7 Meldung b ist falsch. Jeder Vierte bedeutet 4, das sind 2 % und nicht 4 %. Meldung d ist falsch. K2 K2 I K I L K I Jeder dritte heißt %. Das sind mehr als jeder fünfte, denn = 20 %. Bem.: Wenn weitere, richtige Meldung zusätzlich als falsch angegeben werden, führt das zum Abzug von je BE pro Meldung. Zwischensumme 47 Seite von 6
MSA 2008, schriftliche Prüfung Mathematik Erwartungshorizont für die Lehrkraft 8a Maria hat einen Fehler gemacht. Das positive Vorzeichen von 2x ist falsch, denn 2x ( ) = 2x 8b 4x² + x 0 = 4x² 8 4x² x 0 = 8 + 0 x = 2 : x = 4 9a Diagramm passt zur Geschichte passt nicht zur Geschichte A B C Übertrag 47 K6, K K4 II 9b Hier muss individuell über die Korrektheit und Genauigkeit der Geschichte entschieden werden. Bei falscher Entscheidung in Aufgabe 9a gilt Fehlerfortsetzung. Beschreibung des Verhaltens von Herrn Huber, Beschreibung des Verhaltens von Fiffi. 0a Kalle hat den Graphen von g gezeichnet., K4, 0b f(x) = x 4 g(x) = x + 4, dabei m = korrekt, n = 4 korrekt 0c Er muss die beiden Funktionsterme gleichsetzen, weil die Koordinaten des Schnittpunktes beide Gleichungen erfüllen müssen. Er ermittelt durch Umstellen und Auflösen dieser Gleichung die x-koordinate des Schnittpunktes. Diese setzt er dann zur Berechnung der y-koordinate in eine der beiden Funktionsgleichungen ein. Bem.: Für die drei Sätze sind Formulierungsalternativen denkbar. Bei mehreren kleinen Ungenauigkeiten können einzelne BE abgezogen werden. Summe 6 K6 II Bewertungstabelle Note 2 4 6 % 9 % 80 % 6 % 0 % 7 % darunter Anzahl BE 6 62 6 2 42 4 2 0 0 Seite 4 von 6