Geometrische Mappe Die metallenen Dreiecke 1
Material 4 metallene Rahmen (14 cm X 14 cm) mit gleichseitigen Dreiecken (Seitenlänge 10 cm). Die Dreiecke sind wie folgt unterteilt Ganze Halbe Drittel Viertel 2
1 Ornamente 1.1 Das Material geordnet auf den Tisch legen. Damit Figuren legen. Einige Figuren aus Buntpapier aufkleben. 3
1.1 4
1.1 5
2 Linien im Dreieck 2.1 Seitenhalbierende: Ein gleichseitiges Dreieck so falten, dass der Knick von der Mitte einer Seite zur gegenüberliegenden Ecke führt. Das Gleiche mit einem unregelmäßigen Dreieck ausführen. 6
2.1 Die Linie von der Mitte einer Dreiecksseite zur gegenüberliegenden Ecke heißt Seitenhalbierende. 7
2 Linien im Dreieck 2.2 Winkelhalbierende: Ein gleichseitiges Dreieck so falten, dass zwei Seiten aufeinander liegen. Die Winkel an der gefalteten Ecke mit den Teilwinkeln vergleichen. Das Gleiche mit einem unregelmäßigen Dreieck ausführen. 8
2.2 Die Linie, die einen Winkel in zwei gleichgroße Teile teilt, heißt Winkelhalbierende. 9
2 Linien im Dreieck 2.3 Höhe: Ein gleichseitiges Dreieck so falten, dass der Knick senkrecht auf der Grundseite steht und zur gegenüberliegenden Ecke führt. Das Gleiche mit einem unregelmäßigen Dreieck ausführen. 10
Die Linie, die senkrecht auf der Grundseite eines Dreiecks steht und zur gegenüberliegenden Ecke führt, heißt Höhe. 11
2 Linien im Dreieck 2.4 An einem gleichseitigen Dreieck zeigen, dass die Seitenhalbierende, die Winkelhalbierende und die Höhe dieselbe Linie sind 12
2.4 13
2 Linien im Dreieck 2.5 Mittelparallele: Ein gleichseitiges Dreieck so falten, dass der Knick die Mittelpunkte der drei Seiten miteinander verbindet. Das Gleiche mit einem unregelmäßigen Dreieck ausführen. 14
2.5 Die Linie, die die Mittelpunkte zweier Dreiecksseiten miteinander verbindet und parallel zur gegenüberliegenden Seite verläuft, heißt Mittelparallele. 15
3 Unterteilung des Dreiecks 3.1 Ein gleichseitiges Dreieck entlang einer Seitenhalbierenden zerschneiden. Ein ungleichseitiges Dreieck entlang einer Seitenhalbierenden zerschneiden. 16
3.1 Die Seitenhalbierende teilt das gleichseitige Dreieck in zwei kongruente, rechtwinklige, ungleichseitige Dreiecke. Die Seitenhalbierende teilt das unregelmäßige Dreieck in zwei gleichgroße, ungleichseitige Dreiecke. 17
3 Unterteilung des Dreiecks 3.2 Ein gleichseitiges Dreieck entlang seiner drei Seitenhalbierenden von der Ecken bis zum Schnittpunkt der der Linien zerschneiden. Ein ungleichseitiges Dreieck entlang seiner drei Seitenhalbierenden von der Ecken bis zum Schnittpunkt der der Linien zerschneiden. 18
3.2 Die drei Seitenhalbierenden unterteilen das gleichseitige Dreieck in drei kongruente, stumpfwinklige, gleichschenklige Dreiecke. Die drei Seitenhalbierenden unterteilen das unregelmäßige Dreieck in drei flächengleiche, ungleichseitige Dreiecke. 19
3 Unterteilung des Dreiecks 3.3 Ein gleichseitiges Dreieck entlang seiner drei Mittelparallelen zerschneiden. Ein ungleichseitiges Dreieck entlang seiner drei Mittelparallelen zerschneiden. 20
3.3 Die Mittelparallelen unterteilen das gleichseitige Dreieck in vier kongruente, gleichseitige Dreiecke. Die Mittelparallelen unterteilen das unregelmäßige Dreieck in vier kongruente, ungleichseitige Dreiecke. 21
3 Unterteilung des Dreiecks 3.4 Ein gleichseitiges Dreieck entlang zweier Mittelparallelen zerschneiden. Ein ungleichseitiges Dreieck entlang zweier Mittelparallelen zerschneiden. 22
3.4 Durch Teilung entlang zweier Mittelparallelen entstehen im gleichseitigen Dreieck zwei gleichseitige Dreiecke und eine Raute. Durch Teilung entlang zweier Mittelparallelen entsteht im unregelmäßigen Dreieck ein Parallelogramm. 23
3 Unterteilung des Dreiecks 3.5 Ein gleichseitiges Dreieck entlang einer Mittelparallelen zerschneiden. Ein ungleichseitiges Dreieck entlang einer Mittelparallelen zerschneiden. 24
3.5 Durch Teilung entlang einer Mittelparallelen entstehen im gleichseitigen Dreieck ein kleines gleichschenkliges Dreieck und ein Trapez. Durch Teilung entlang einer Mittelparallelen entstehen im unregelmäßigen Dreieck ein Trapez und ein ungleichseitiges Dreieck. 25
4 Kombinationen 4.1 Kleine, gleichseitige Dreiecke 4.1.1 Zwei kleine, gleichseitige Dreiecke aneinanderlegen und das Ergebnis benennen. 4.1.2 Drei kleine, gleichseitige Dreiecke aneinanderlegen und das Ergebnis benennen. 4.1.3 Vier kleine, gleichseitige Dreiecke aneinanderlegen und das Ergebnis benennen. 4.1.4 Vier kleine, gleichseitige Dreiecke aneinanderlegen und das Ergebnis benennen. 26
4.1.1 Raute 4.1.2 Trapez 4.1.3 Parallelogramm 27
4.1.1 Sechseck 28
4 Kombinationen 4.2 Stumpfwinklige, gleichschenklige Dreiecke 4.2.1 Zwei stumpfwinklige, gleichschenklige Dreiecke aneinander legen und das Ergebnis benennen. 4.2.2 Drei stumpfwinklige, gleichschenklige Dreiecke aneinander legen und das Ergebnis benennen. 4.2.3 Mehr als drei stumpfwinklige, gleichschenklige Dreiecke aneinander legen und das Ergebnis benennen. 29
4.2.1 Raute Parallelogramm 30
4.2.2 Trapez 31
4.2.3 Drachen Parallelogramm 32
4 Kombinationen 4.3 Rechtwinklige Dreiecke 4.3.1 Zwei rechtwinkligen Dreiecke aneinander legen und das Ergebnis benennen. 4.3.2 Mehr als zwei rechtwinkligen Dreiecke aneinander legen und das Ergebnis benennen. 33
4.3.1 Rechteck Parallelogramm 34
Drachen Parallelogramm 35
4.3.2 Parallelogramm Raute 36
4 Kombinationen 4.4 Verschiedene Dreiecke 4.4.1 Aus verschiedenen Dreiecken des Materials geometrische Figuren bilden und die Ergebnisse benennen. 37
4.4.1 Quadrat Sechseck 38
Parallelogramm 39
5. Zusatzaufgabe Material Nur Zirkel und Lineal, ohne die Zentimeterskala zu benutzen. Winkelmesser und Geodreieck dienen nur zur Kontrolle Ziel Konstruieren von geometrischen Linien und Figuren nur mit Zirkel und Lineal 40
5.1 Zeichnen einer Geraden und darauf eine Senkrechte errichten. Zeichnen einer Strecke und darauf eine Mittelsenkrechte konstruieren. Zeichnen verschiedener Winkel mit Winkelhalbierenden. 41
5.2 Konstruieren von 3 beliebigen, ungleichseitigen Dreiecken. In das erste eine Winkelhalbierende, in das zweite eine Seitenhalbierende und in das dritte die Höhe eintragen. 5.3 In beliebiger Größe und Form folgende Figuren konstruieren Kreis Quadrat Rechteck Parallelogramm Rhombus Trapez Sechseck. 5.4 Je 2 kongruente, beliebige, geometrische Figuren konstruieren. 5.5 Je 2 ähnliche, beliebige, geometrische Figuren konstruieren. (Häufig hilft die Diagonale.) 5.6 Je 2 flächengleiche, beliebige, geometrische Figuren konstruieren. 5.7 Eingeschriebene und konzentrische Quadrate konstruieren. 42
5.8 Den Satz des Pythagoras mit Quadraten oder anderen ähnlichen Figuren über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks konstruieren. 43
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Beweis des Satz des Pythagoras Die Flächen der beiden orangefarbenen Quadrate sind gleich groß, denn ihre Seitenlänge ist jeweils a+b. Da beide Quadrate viermal dasselbe Dreieck enthalten, muss die Fläche des blauen Quadrates links mit der Summe der blauen Quadrate rechts übereinstimmen. 48
5.9 Ornamente konstruieren, bestehend aus ähnlichen Figuren. 49