Himmelsmechanik Michael Lubasch Sommersemester 2004
Inhaltsverzeichnis 1 Keplers Gesetze 2 11 Erstes Keplersches Gesetz 2 12 Zweites Keplersches Gesetz 2 13 Drittes Keplersches Gesetz 2 2 Newtons Axiome 3 21 Lex I 3 22 Lex II 3 23 Lex III 3 24 Corollar I 3 3 Newtons Beweise 4 31 Proposition 1 4 32 Proposition 8 33 Propositionen 11-13 11 4 Anhang 20 41 Tangentensatz 20 1
Kapitel 1 Keplers Gesetze 11 Erstes Keplersches Gesetz Die Bahn eines Planeten um die Sonne ist eine Ellipse, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht 12 Zweites Keplersches Gesetz Der Radiusvektor zwischen der Sonne und einem Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen 13 Drittes Keplersches Gesetz Die Umlaufdauer eines Planeten um die Sonne ist proportional zur Quadratwurzel aus der dritten Potenz der großen Halbachse der elliptischen Bahn 2
Kapitel 2 Newtons Axiome 21 Lex I Jeder Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder gleichförmig-geradlinigen Bewegung, sofern er nicht durch eingedrückte Kräfte zur Änderung seines Zustandes gezwungen wird 22 Lex II Die Bewegungsänderung ist der eingedrückten Bewegungskraft proportional und geschieht in der Richtung der geraden Linie, in der jene Kraft eindrückt 23 Lex III Der Einwirkung ist die Rückwirkung immer entgegengesetzt und gleich 24 Corollar I Ein Körper beschreibt unter der Einwirkung gekoppelter Kräfte die Diagonale eines Parallelogramms in derselben Zeit, in der er bei getrennten Kräften dessen Seiten durchmessen würde 3
Kapitel 3 Newtons Beweise 31 Proposition 1 Wenn die Kraft zentral ist, der Kraftmittelpunkt in der Sonne in dem Punkt S liegt und die Kraft anziehend in Richtung auf S wirkt, genau dann gilt Keplers Zweites Gesetz Direkter Beweis: Wir betrachten ein Ortsdiagramm, ein Geschwindigkeitsdiagramm und gleiche Zeitintervalle dt Es soll während dieser Zeitintervalle keine Kraft und im Moment Ihres Ablaufs eine diskrete Kraft wirken Lex I zufolge bewegt sich ein Massepunkt P während eines solchen Zeitintervalls von A nach B geradlinig und gleichförmig: Lex II zufolge wirkt auf einen Massepunkt P im Moment des Ablaufs eines solchen Zeitintervalls in B eine Geschwindigkeitsänderung nach Voraussetzung in Richtung auf S: 4
Angenommen es würde in B keine diskrete Kraft wirken, dann würde sich P während 2dt von A nach Z geradlinig und gleichförmig bewegen: Corollar I zufolge bewegt sich P von B nach C: Behauptung i: Die überstrichene Fläche zwischen S und P während sich P von A nach B bewegt ist äquivalent zu der überstrichenen Fläche zwischen S und P während sich P von B nach Z bewegen würde Beweis i: Zu zeigen ist die Äquivalenz der Produkte aus Grundlinie und Höhe bei den Dreiecken SAB und SBZ: Dazu wählen wir als gemeinsame Grundlinie SB Dann zeichnen wir die Höhen beider Dreiecke und bezeichnen die Scheitel der rechten Winkel mit X und Y : 5
Weil die Dreiecke XAB und BY Z in einer Seite und zwei Winkeln übereinstimmen, sind sie kongruent Demzufolge hat XA den gleichen Betrag wie Y Z Es folgt die Behauptung Behauptung ii: Die überstrichene Fläche zwischen S und P während sich P von B nach Z bewegen würde ist äquivalent zu der überstrichenen Fläche zwischen S und P während sich P von B nach C bewegt Beweis ii: Zu zeigen ist die Äquivalenz der Produkte aus Grundlinie und Höhe bei den Dreiecken SBZ und SBC: Dazu wählen wir als gemeinsame Grundlinie SB Dann zeichnen wir die Höhen beider Dreiecke und bezeichnen die Scheitel der rechten Winkel mit X und Y : Corollar I zufolge ist ZC parallel zu SB Demzufolge hat XC den gleichen Betrag wie Y Z Es folgt die Behauptung 6
Insgesamt erhält man: SAB = SBC Zuletzt soll dt in einem Grenzwertübergang infinitesimal klein werden Demzufolge wird aus der polygonalen eine glatte Bewegungsbahn und aus der diskreten eine kontinuierliche Kraft Insgesamt ergibt sich die Richtigkeit der Proposition 7
32 Proposition Wenn die Kraft zentral ist, der Kraftmittelpunkt in der Sonne in dem Punkt S liegt, die Kraft anziehend in Richtung auf S wirkt und ihr Betrag proportional zum reziproken Quadrat des Radiusvektors ist, genau dann gilt Keplers Drittes Gesetz Direkter Beweis: Wir betrachten ein Ortsdiagramm, ein Geschwindigkeitsdiagramm und gleiche Zeitintervalle dt Es soll während dieser Zeitintervalle keine Kraft und im Moment Ihres Ablaufs eine diskrete Kraft wirken Es soll das Ortsdiagramm ein Kreis sein Weil P sich auf einem Kreis in einem konstanten Abstand zu S bewegt, ist der Betrag des Radiusvektors konstant: Demzufolge ist nach Voraussetzung der Betrag der Geschwindigkeitsänderung und demzufolge der Betrag der Geschwindigkeit konstant: 8
Insgesamt erhält man als Geschwindigkeitsdiagramm ein regelmäßiges Polygon: Zuletzt soll dt in einem Grenzwertübergang infinitesimal klein werden Demzufolge wird das Geschwindigkeitsdiagramm zu einem Kreis: 9
Aus dem Ortsdiagramm folgt: v = dr dt = 2πR T Aus dem Geschwindigkeitsdiagramm folgt: dv dt = 2πv T Insgesamt erhält man: Lex II zufolge gilt: Nach Voraussetzung gilt: Demzufolge gilt: Insgesamt erhält man: dv dt R T 2 F dv dt F 1 R 2 dv dt 1 R 2 T 2 R 3 Insgesamt ergibt sich die Richtigkeit der Proposition 10
33 Propositionen 11-13 Wenn die Kraft zentral ist, der Kraftmittelpunkt in der Sonne in dem Punkt S liegt, die Kraft anziehend in Richtung auf S wirkt und ihr Betrag proportional zum reziproken Quadrat des Radiusvektors ist, genau dann gilt Keplers Erstes Gesetz Direkter Beweis: Wir betrachten ein Ortsdiagramm, ein Geschwindigkeitsdiagramm und gleiche Winkel dϕ Es soll während dieser Winkel keine Kraft und im Moment Ihres Ablaufs eine diskrete Kraft wirken Es soll dϕ ein ganzzahliger Teiler von 360 sein Behauptung i: Die überstrichene Fläche zwischen S und P während eines solchen Winkelintervalls ist proportional zum Quadrat des Radiusvektors Beweis i: Zu zeigen ist die Proportionalität zwischen dem Produkt aus Grundlinie und Höhe und dem Quadrat der Grundlinie bei Dreiecken, die in einem Winkel äquivalent sind Dazu legen wir zwei beliebige Dreiecke SAB und SGH so aufeinander, dass sie sich den äquivalenten Winkel teilen: Dann modifizieren wir das Dreieck SGH zu einem Dreieck Sgh, dass ähnlich zu SAB ist und die eigene Fläche beibehält Dazu konstruieren wir eine Parallele zu AB, die GH schneidet und an GH im Schnitt mit den verlängerten Dreiecksseiten von SGH zwei gleichgroße Dreiecke entstehen lässt: 11
Weil die Flächen ähnlicher Dreiecke proportional sind zu den Quadraten der Grundseiten, ist die Fläche von SGH proportional zum Quadrat des Radiusvektors Es folgt die Behauptung Proposition 1 zufolge ist die vom Radiusvektor überstrichene Fläche proportional zur Zeit Insgesamt erhält man: t R 2 Propositionen 11-13 zufolge gilt: F 1 R 2 Lex II zufolge gilt: Insgesamt erhält man: dv F dt dv R2 R 2 = 1 Demzufolge ist die Geschwindigkeitsänderung konstant Wir betrachten nun die Konstruktion eines Ortsdiagramms Dazu zeichnen wir zuerst im Ortsdiagramm von S ausgehende Strahlen, die im Winkel dϕ zueinander stehen und wählen auf einem beliebigen Strahl einen beliebigen Punkt A aus: 12
Dann zeichnen wir im Geschwindigkeitsdiagramm einen beliebigen Geschwindigkeitsvektor ta ein, der diesem Punkt A zugeordnet werden soll: Dann zeichnen wir im Ortsdiagramm dementsprechend den Ortsvektor SB ein: 13
Dann fgen wir im Geschwindigkeitsdiagramm an a einen beliebigen Vektor der Geschwindigkeitsänderung ab an und zeichnen den Geschwindigkeitsvektor tb: Es soll im Folgenden dieser Betrag der Geschwindigkeitsänderung beibehalten und übertragen werden Dann zeichnen wir im Ortsdiagramm dementsprechend den Ortsvektor SC ein: 14
Es soll auf diese Weise fortgefahren werden Insgesamt erhält man als Ortsdiagramm ein Polygon, dessen Ecken auf einer Ellipse liegen: Insgesamt erhält man als Geschwindigkeitsdiagramm ein regelmäßiges Polygon: 15
Zuletzt soll dϕ in einem Grenzwertübergang infinitesimal klein werden Demzufolge wird das Geschwindigkeitsdiagramm zu einem Kreis mit dem Mittelpunkt S Wir betrachten nun die Konstruktion eines Ortsdiagramms in einem Geschwindigkeitsdiagramm Dazu zeichnen wir zuerst einen Kreis mit dem Mittelpunkt S Dann zeichnen wir einen beliebigen Punkt t ein, der von S verschieden ist und im Kreis liegt Dann zeichnen wir einen Geschwindigkeitsvektor ta ein, der durch S geht und auf der Kreislinie endet: Dann zeichnen wir einen beliebigen Geschwindigkeitsvektor tp, der auf der Kreislinie endet, und zeichnen die Linie Sp: 16
Dann drehen wir das Diagramm im Uhrzeigersinn um 90 : Zuletzt zeichnen wir die Mittelsenkrechte von tp und ihren Schnittpunkt P mit Sp: 17
Behauptung ii: Wenn p sich auf dem Kreis bewegt, dann liegen die Schnittpunkte P der Mittelsenkrechten von tp mit Sp auf einer Ellipse Beweis ii: Zu zeigen ist die Relation: T P + SP = konstant Sei m der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von tp mit tp Weil p auf dem Kreis wandert, ist der Betrag von Sp konstant Weil die Dreiecke P pm und tp m in zwei Seiten und einem Winkel bereinstimmen, sind sie kongruent: Demzufolge hat tp den gleichen Betrag wie P p Demzufolge hat T P M den gleichen Betrag wie SP p Es folgt die Behauptung Weil die Mittelsenkrechte von tp parallel zum Geschwindigkeitsvektor in P steht, ist dem Tangentensatz zufolge P ein Punkt des Ortsdiagramms: 18
Insgesamt ergibt sich die Richtigkeit der Proposition 19
Kapitel 4 Anhang 41 Tangentensatz Wenn zwei in Polarkoordinaten dargestellte Kurven in jedem Winkel die gleiche Tangente besitzen, genau dann sind sie ähnlich 20