Systematisches Probieren Systematisches Probieren ist eine Strategie, die Schülerinnen und Schülern oft helfen kann, ein Problem zu lösen, wenn kein passender Algorithmus abrufbar ist. Einige Aufgaben, bei denen diese Strategie eine zentrale Rolle spielen kann, werden hier exemplarisch näher betrachtet. Den Anfang machen kombinatorische Probleme. Weiter ist die Strategie eine sinnvolle Ergänzung zum Lösen von Gleichungen, beim Kopfrechnen kann sie sogar das schnellere Lösungsverfahren darstellen. Als Darstellung bietet sich oft eine Tabellenform an. Systematisches Probieren hilft auch in der Geometrie, wenn die Schülerinnen und Schüler Schwierigkeiten mit anschaulichen Vorstellungen haben. Aufgabe: Fußballtabelle (IQB 2010, A- und B-Heft Nr. 5.1, 5.2) [Alternative Lösungsstrategien sind auch Rückwärts arbeiten und Zurückführen auf Bekanntes ] Bei Fußball-Meisterschaftsspielen gilt: Für einen Sieg erhält eine Mannschaft drei Punkte, für ein Unentschieden einen Punkt, für Niederlagen gibt es keinen Punkt. Jede Mannschaft spielt im Verlauf einer Saison zweimal gegen jede andere Mannschaft. Die Punkte aller Spiele einer Mannschaft werden addiert. Teilaufgabe 5.1: Fußballtabelle Teilaufgabe 5.2: Fußballtabelle Um die Situation zu verstehen und zu klären, ist es hilfreich, zuerst ein Beispiel zu finden und aufzuschreiben. 5.1: Zweimal gewonnen, in jedem Spiel 3 Punkte, also insgesamt 6 Punkte. 5.2: Drei Spiele, z. B. gewonnen, unentschieden, verloren, also 3 + 1 + 0 = 4 Punkte. Bei beiden Teilaufgaben reicht aber das eine Beispiel nicht, sondern es muss eine Aussage über alle Möglichkeiten getroffen werden. Es kann jetzt so vorgegangen werden, weitere Beispiele zu finden. Das sollte aber systematisch geschehen, damit zum Schluss sicher gestellt ist, dass keine Möglichkeit übersehen wurde. Dieses systematische Vorgehen ist eine Strategie, die hier noch einmal klar gemacht werden kann und dann im Unterricht immer wieder verdeutlicht werden muss (z. B. bei kombinatorischen Fragestellungen oder auch bei Problemen mit Fallunterscheidungen).
5.1: Fall 1: Das erste Spiel ist gewonnen. Dann kann das zweite gewonnen werden (3 + 3 = 6 Punkte), unentschieden ausgehen (3 + 1 = 4 Punkte) oder verloren werden (3 + 0 = 3 Punkte). Fall 2: Das erste Spiel ist unentschieden. Dann kann das zweite gewonnen werden (1 + 3 = 4 Punkte), unentschieden ausgehen (1 + 1 = 2 Punkte) oder verloren werden (1 + 0 = 1 Punkt). Fall 3: Das erste Spiel ist verloren. Dann kann das zweite gewonnen werden (0 + 3 = 3 Punkte), unentschieden ausgehen (0 + 1 = 1 Punkte) oder verloren werden (0 + 0 = 0 Punkt). Zu 5.2: Auch hier ist eine Lösungsmöglichkeit, alle Spielausgänge aufzuschreiben und die zugehörigen Punkte zu bestimmen. Ein systematisches Vorgehen ist hilfreich, so dass kein Spielausgang vergessen wird. Z. B. lässt sich an alle Spielausgänge aus 5.1 ein gewonnen, ein unentschieden oder ein verloren anhängen (27 Möglichkeiten). Etwas Schreibarbeit lässt sich sparen, wenn erkannt wird, dass die Reihenfolge keine Rolle spielt: GGG (9 P.), GGU (7 P.), GGV (6 P.), GUU (5 P.), GUV (4 P.), GVV (3 P.), UUU (3 P.), UUV (2 P.), UVV (1 P.), VVV (0 P.) Mit keiner Kombination kann man auf 8 Punkte kommen. Aufgabe: Zahlenschloss (IQB 2010, C-Heft Nr.2) Teilaufgabe 2.2: Im Gegensatz zu der Aufgabe Fußballtabelle kann es hier nicht darum gehen, alle Möglichkeiten vollständig aufzuschreiben. Hier liefern die Beispiele vielmehr eine anschauliche Grundlage, um eine Zählstrategie zu entwickeln, die verallgemeinert werden kann. 101.. usw. 909 --- --- 919 010 121 929 020 131 939 030 usw. 191 --- 090 Zu jeder äußeren Zahl gibt es 9 andere Zahlen, die man in die Mitte schreiben kann. Für die äußeren Zahlen gibt es 10 verschieden Möglichkeiten, also kommen insgesamt 90 Zahlen in Frage.
Aufgabe: Zahl gesucht (IQB 2010, A-Heft Nr. 12) Schülerinnen und Schüler, die noch kein Lösungsverfahren für Gleichungen kennen und auch nicht flexibel mit Zahlen umgehen können, berechnen z. B. mit dem Tascherechner: 32. 8 = 256. Sie setzen dann für x der Reihe nach verschiedene Zahlen ein und berechnen das Produkt mit 16. Je nachdem ob das Ergebnis zu groß oder zu klein ist, wird das nächste Probier-x gewählt. Ergebnis: x = 16. Aufgabe: Ganze Zahlen (IQB 2009, A-Heft Nr. 5; B-Heft Nr. 5) Gesucht werden zwei verschiedene Zahlen, deren Summe -18 ergibt. Bei diesem innermathematischen Problem müssen die Schülerinnen und Schüler auf ihr mathematisches Wissen und Können zurückgreifen (Additionsregel für ganze Zahlen). Als geeignete Strategie bietet sich die Erstellung einer Tabelle an, die eine systematische Struktur zum Lösen des Problems vorgibt. Zum Schluss müssen die Schülerinnen und Schüler eine Kontrollstrategie (Rückbesinnung auf das Ausgangsproblem) anwenden, um zwei verschiedene Zahlen a und b anzugeben. Typische Schülerlösungen:
In Teilaufgabe 5.3 können die Schülerinnen und Schüler bei der Lösung des Problems ähnlich vorgehen. Intuitiv können die gewonnenen Informationen aus der Teilaufgabe 2 verwertet werden, indem beim Probieren betragsmäßig große Zahlen eingesetzt werden. Typische Schülerlösungen: Aufgabe: Quiz (IQB 2009, C-Heft Nr. 6) Nachdem geklärt ist, was in der Aufgabe gesucht ist, sollten alle gegebenen Informationen detailliert zusammengetragen, aufgelistet oder strukturiert dargestellt werden. Weiterhin muss die Zähleigenschaft (Plus- und Minuspunkte) bei diesem Quiz erkannt und mathematisiert werden. Auch bei dieser Aufgabe können die Schülerinnen und Schüler durch systematisches Probieren mit Hilfe einer tabellarischen Aufstellung zur Lösung gelangen.
Aufgabe: Ungewöhnlicher Mittelwert (IQB 2010, B-Heft 14.2; C-Heft 15.2) 2 s + m P = 3 Vervollständige die Tabelle, die sich auf zwei Schüler bezieht. s Punktzahl schriftlicher Prüfungsteil m Punktzahl mündlicher Prüfungsteil P Gesamtpunktzahl Schüler 1 6 8 Schüler 2 14 12 Neben einem systematischen Zugang durch Umstellen der Formel nach der gesuchten Größe ist auch eine Lösung durch Probieren möglich. Dabei sind einschränkende Bedingungen hilfreich: Bei Schüler 1 ist die Gesamtpunktzahl höher als die Punktzahl der mündlichen Prüfung, also muss die schriftliche Prüfung besser als die Gesamtpunktzahl gewesen sein. s = 10 liefert P = 26/3 = 8, 66 Das ist zuviel. s = 9 liefert P = 24/3 = 8, also ist s = 9 der fehlende Eintrag. Bei Schüler 2 ist die Gesamtpunktzahl ist geringer als die Punktzahl der schriftlichen Prüfung, also muss die mündliche Prüfung schlechter als die Gesamtpunktzahl gewesen sein. m = 10 liefert P = 38/3 = 12,66... Das ist zuviel. m = 8 liefert P = 36/3 = 12. Damit ist m = 8 der fehlende Eintrag. Weitere Aufgaben, die ähnlich durch systematisches Probieren gelöst werden können: Quersumme (IQB 2009 C-Heft) Getränkekarton b) (LSE 2008 A-Heft) Geldbörse b) (LSE 2005 A-Heft) Division (LSE 2005 B-Heft)