Formeln der Mechatronik

Uwe Maschmeyer, Gerhard Wesker, Udo Zeisberg Formeln der Mechatronik 3. Auflage Bestellnummer 92123 1

Haben Sie Anregungen oder Kritikpunkte zu diesem Produkt? Dann senden Sie eine E-Mail an 92123 003@bv-1.de. Autoren und Verlag freuen sich auf Ihre Rückmeldung. Alle Zeichnungen in diesem Titel wurden von Michele Di Gaspare (Bergheim-Ahe/Bildungsverlag EINS, Köln) erstellt. www.bildungsverlag1.de Bildungsverlag EINS GmbH Hansestraße 115, 51149 Köln ISBN 978-3-427-92123-3 Copyright 2012: Bildungsverlag EINS GmbH, Köln Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. 2

Vorwort Dieses Buch wendet sich an Lernende im Ausbildungsberuf Mechatroniker/ Mechatronikerin, die eine nützliche Hilfestellung bei der Lösung mathematischer Aufgaben erwarten. Die Formeln sind auf die Inhalte des Berufsschulunterrichts und der IHK- Abschlussprüfung abgestimmt. Sie liegen im Wesentlichen bereits nach den einzelnen Größen umgestellt vor. Damit berücksichtigen die Autoren, dass sich die Mathematik in der Berufsschule weniger sachsystematisch an mathematischen Problemstellungen orientiert. Vermehrt wird sie anwendungsbezogen in Lernsituationen eingebunden. Das Methodenlernen nimmt einen großen Raum in der Berufsschule ein. Dadurch bleibt im Unterrichtsalltag weniger Zeit für das planmäßige Vermitteln und Einüben technischmathematischer Verfahren zur Problemlösung. In Formeln der Mechatronik setzen die Autoren ihre Erfahrungen um, die sie seit Einführung des anerkannten Ausbildungsberufes im Jahre 1998 als Theorielehrer in der Berufsschule und als Mitglieder des zuständigen IHK-Prüfungsausschusses machen konnten. Nordhorn, im Mai 2012 Die Verfasser 3

Inhaltsverzeichnis Vorwort... 3 1 Mathematische Grundlagen... 7 1.1 Flächenberechnungen... 7 1.2 Volumenberechnungen... 10 1.3 Rechtwinklige Dreiecke und Winkelfunktionen... 12 1.4 Umrechnen von Einheiten... 13 2 Längenberechnungen... 14 2.1 Teilungen... 14 2.2 Gestreckte Länge... 14 3 Mechanik... 15 3.1 Kräfte... 15 3.2 Hebel und Drehmomente... 18 3.3 Auflagerkräfte... 19 4 Bewegungslehre... 20 4.1 Geradlinige Bewegung... 20 4.2 Kreisförmige Bewegung... 21 4.3 Kurbeltrieb... 21 4.4 Schnittgeschwindigkeit... 22 5 Mechanische Arbeit, Energie und Leistung... 23 5.1 Mechanische Arbeit... 23 5.2 Feste Rolle... 24 5.3 Lose Rolle... 24 5.4 Flaschenzug... 25 5.5 Winde... 26 5.6 Schraube... 27 5.7 Schiefe Ebene... 28 5.8 Keil... 29 5.9 Mechanische Energie... 30 5.10 Kinetische Energie (Energie der Bewegung)... 30 5.11 Mechanische Leistung... 31 5.12 Wirkungsgrad... 32 6 Temperatur und Wärme... 33 6.1 Temperatur... 33 6.2 Längenänderung (durch Erwärmung)... 33 6.3 Volumenänderung (durch Erwärmung)... 34 6.4 Zustandsänderung von Gasen... 35 6.5 Wärmemenge (Wärmeenergie)... 36 6.6 Schmelzwärme... 36 4

7 Toleranzen und Passungen... 37 7.1 Toleranzen... 37 7.2 Passungen... 38 8 Mechanische Antriebe... 40 8.1 Riementrieb... 40 8.2 Zahnradtrieb... 41 8.3 Schneckentrieb... 42 8.4 Übersetzungen und Drehmomente... 43 8.5 Zahnradgrößen bei Geradverzahnung... 44 8.6 Stirnräder mit Schrägverzahnung... 45 8.7 Hauptnutzungszeit... 47 9 Festigkeitsberechnung... 52 9.1 Zugbeanspruchung... 52 9.2 Druckbeanspruchung... 52 9.3 Abscherung... 53 9.4 Abscherung und Schneidkraft... 54 9.5 Flächenpressung... 54 10 Pneumatik und Hydraulik... 55 10.1 Druck und Kolbenkraft... 55 10.2 Luftverbrauch von pneumatischen Zylindern... 55 10.3 Durchflussvolumen und Kolbengeschwindigkeit... 56 10.4 Hydraulische Presse (Druckübersetzung)... 56 10.5 Leistung von hydraulischen Pumpen und Zylindern... 57 11 Gleichstromkreis... 58 11.1 Einfacher Stromkreis... 58 11.2 Schaltungen von Widerständen... 59 11.3 Elektrische Arbeit und Leistung im Gleichstromkreis... 65 11.4 Kondensator im Gleichstromkreis... 66 11.5 Magnetismus und elektromagnetische Induktion... 67 12 Wechselstromkreis... 69 12.1 Wechselspannung und Wechselstrom in Sinusform... 69 12.2 Schaltungen von Verbrauchern im Wechselstromkreis... 70 12.3 Elektrische Leistung und Arbeit im Wechselstromkreis... 77 12.4 Kompensation der induktiven Blindleistung... 78 12.5 Drehstrom (Dreiphasen-Wechselstrom)... 79 12.6 Arbeit und Leistung bei Drehstromverbrauchern... 80 13 Transformatoren... 81 Transformatorleistung... 81 14 Elektrische Maschinen... 83 14.1 Einphasen-Wechselstrommotoren... 83 14.2 Drehstrommotoren... 84 14.3 Gleichstrommotoren... 85 5

15 Elektronik... 86 15.1 Diode an Gleichspannung... 86 15.2 Transistorschaltungen... 87 15.3 Spannungsstabilisierung... 90 15.4 Operationsverstärker Grundschaltungen... 92 15.5 Digitaltechnik... 93 16 Leistungselektronik... 95 16.1 Ungesteuerte Stromrichter... 95 16.2 Gesteuerte Stromrichter (gesteuerte Gleichrichter)... 96 16.3 Wechselstromsteller... 97 17 Elektrische Leitungen... 98 17.1 Berechnung des Querschnittes und des Spannungsverlustes bzw. Spannungsunterschiedes... 98 17.2 Berechnung des Leistungsverlustes elektrischer Leitungen... 99 17.3 Leitungsschutz gegen zu hohe Erwärmung... 99 18 Schutz gegen elektrischen Schlag... 100 18.1 Messen der Schleifenimpedanz... 100 18.2 TN-System mit Überstrom-Schutzeinrichtung... 100 18.3 TT-System mit Überstrom-Schutzeinrichtung... 101 18.4 Fehlerstrom-Schutzeinrichtung (RCD)... 101 18.5 Fehlerspannung Fehlerstrom Berührungsspannung... 102 Sachwortverzeichnis Englisch Deutsch... 103 Sachwortverzeichnis Deutsch Englisch... 108 6

4 Bewegungslehre kinematics 4.2 Kreisförmige Bewegung Umfangsgeschwindigkeit: v d π n d v n π n v d π Winkelgeschwindigkeit: ω v r v ω r r v ω v Umfangsgeschwindigkeit m/s n Umdrehungsfrequenz 1/s d Durchmesser m ω Winkelgeschwindigkeit 1/s r Radius m Einheitenumformung 1 m min 1 m 60 s 0,06 km h 1 m s 60 m min 3,6 km h 4.3 Kurbeltrieb v m 2 s n s d n v m 2 s s v m 2 n v m Mittlere Kolbengeschwindigkeit m/min n Anzahl der Doppelhübe (Drehzahl) 1/min s Hublänge m d Wirksamer Durchmesser des Kurbelkreises m 21

5 Mechanische Arbeit, Energie und Leistung mechanical work, power and performance 5.1 Mechanische Arbeit Arbeit: W F s F W s s W F Reibungsarbeit: W μ F N s s W μ F N F N W μ s W F R s F R W s s W F R Reibungskraft: F R F N μ Hubarbeit: W F G h F N F R μ F G W h μ F R F N h W F G F Kraft in Wegrichtung N F G Gewichtskraft N F N Normalkraft N F R Reibungskraft N W Arbeit J (Joule), Nm s Kraftweg m h Hubhöhe m μ Reibungskoeffizient Einheitenumformung 1 kg m2 1J 1N 1m 1W 1s s 2 23

5 Mechanische Arbeit, Energie und Leistung mechanical work, power and performance 5.11 Mechanische Leistung Leistung bei geradliniger Bewegung und konstanter Geschwindigkeit: P W t W P t t W P P F s t F P t s s P t F t F s P P F v F P v v P F Einheitenumformung 1W 1 J s 1 N m 1 kw 1 000 W 1,36 PS s Leistung bei kreisförmiger Bewegung und konstanter Drehzahl: P F v F P v v P F P F π d n F P π d n P M 2 π n M P 2 π n d P π F n n P d π F n P M 2 π P M ω M P ω ω P M P M n 9550 Hinweis: Als Zahlenwertgleichung sind hier nur die Maßzahlen verknüpft. Die Größen sind einzusetzen: M in N m; n in 1/min; P in kw M P 9 550 n Winkelgeschwindigkeit: n P 9 550 M ω v r v ω r r v ω 31

6 Temperatur und Wärme temperature and heat 6.1 Temperatur Temperatur in Kelvin: 0 K 273 C T t 273 Temperatur in Celsius: 273 K 0 C t T 273 T Absolute Temperatur K t Relative Temperatur C 6.2 Längenänderung (durch Erwärmung) Berücksichtigung der relativen Temperatur in Celsius: Δl α 1 l 1 Δt l 1 Δl Δt Δl α 1 Δt α 1 l 1 Δt t 2 t 1 t 2 Δt t 1 t 1 t 2 Δt Anmerkung: Alle Formeln gelten auch für die Berechnung von Durchmesseränderungen durch Erwärmung von Rundteilen. Anstelle von l wird der Durchmesser d in die Formeln eingesetzt. Berücksichtigung der absoluten Temperatur in Kelvin: Δl α l l 1 ΔT l 1 Δl ΔT Δl α l ΔT α l l 1 ΔT T 2 T 1 T 2 ΔT T 1 T 1 T 2 ΔT Gesamtlänge: l l 1 Δl l 1 l Δl Δl l l 1 α l Längenausdehnungskoeffizient 1/K; 1/ C l 1 Ursprüngliche Länge mm Δl Längenänderung mm l Gesamtlänge mm T 1 Temperatur (in Kelvin) vor der Temperaturveränderung K T 2 Temperatur (in Kelvin) nach der Temperaturveränderung K t 1 Temperatur (in Celsius) vor der Temperaturveränderung C t 2 Temperatur (in Celsius) nach der Temperaturveränderung C Δt Temperaturdifferenz (in Celsius) C ΔT Temperaturdifferenz (in Kelvin) K 33

8 Mechanische Antriebe mechanical drives 8.1 Riementrieb Einfache Übersetzung Umfangsgeschwindigkeit/Riemengeschwindigkeit: v 1 v 2 v v 1 d 1 π n 1 v 2 d 2 π n 2 Grundformel: d 1 n 1 d 2 n 2 n 1 n 2 d 2 d 1 n 1 d 2 n 2 d 1 n 2 d 1 n 1 d 2 d 1 d 2 n 2 n 1 d 2 d 1 n 1 n 2 Mehrfache Übersetzung Übersetzungsverhältnis: i n 1 n 1 i n 2 n 2 n 1 n 2 i i d 2 d 1 d 2 d 1 i d 2 i d 1 Gesamtübersetzungsverhältnis bei mehrfacher Übersetzung: i n 1 n 4 i = n 1 n 3 n 5 n 2 n 4 n 6 i n E n A i = d 2 d 4 d 6 d 1 d 3 d 5 i = i 1 i 2 i 3 Keilriemen Übersetzungsverhältnis: i n 1 n 1 i n 2 n 2 n 1 n 2 i i d w2 d w1 d w1 d w2 i d w2 i d w1 Wirksamer Scheibendurchmesser: d w d a 2 c d a d w 2 c c d a d w 2 40

8 Mechanische Antriebe mechanical drives 8.5 Zahnradgrößen bei Geradverzahnung Grundformel: d π p z d p z π z d π p p d π z Teilkreisdurchmesser, Teilung, Modul, Zähnezahl: m p π p m π z d m d m z m d z Kopfkreisdurchmesser: d a d 2 m d a m (z 2) d d a 2 m d a m (z 2) m d a d 2 z d a m 2 Fußkreisdurchmesser: d f d 2(m c) d d f 2(m c) m (d d f) c 2 c 0,1 m 0,3 m Zahnkopfhöhe: h a m Zahnfußhöhe: h f m c m h f c c h f m Zahnhöhe: h h f h a h f h h a h a h h f h 2 m c Achsabstand: a d 1 d 2 2 a m 2 (z 1 z 2 ) d 1 2 a d 2 d 2 2 a d 1 z 1 2 a m z 2 z 2 2 a m z 1 44

9 Festigkeitsberechnung calculation of stability 9.4 Abscherung und Schneidkraft F τ abmax S Bei Stahl: τ abmax F S S F τ abmax τ abmax 0,8 R mmax Scherfläche bei kreisrundem Ausschnitt: S d π s d S s S π s d π τ abmax Maximale Scherspannung N/mm 2 R mmax Maximale Zugfestigkeit N/mm 2 F Schneidkraft N S Scherfläche (gescherte Fläche) mm 2 s Blechdicke mm d Durchmesser des Ausschnittes mm 9.5 Flächenpressung p F A F p A A F p p Flächenpressung N/mm 2 F Druckkraft N A Berührungsfläche/projizierte Fläche mm 2 54

11 Gleichstromkreis direct current circuit Gruppenschaltung von Widerständen, Gemischte Schaltungen R 2 R 3 2 R 3 2 R 2 I U R I I 12 I 3 I 12 U 2 I 3 U R 3 U I R U 1 I 12 U 2 I 12 R 2 U I 3 R 3 R 2 R 3 2 R 2 R 2 I U R I I 1 I 2 I 3 I 1 U 12 I 2 U 12 R 2 I 3 U 3 R 3 U I R U 12 I 2 U 3 I 3 R 3 U Elektrische Spannung V U 12 Gruppenspannung V I Elektrische Stromstärke A I 1 I 3 Teilströme A R Elektrischer Gesamt-, Ersatzwiderstand Ω 2 Gruppenwiderstand Ω R 3 Teilwiderstände Ω I 12 Strom durch Widerstände und R 2 A 61

12 Wechselstromkreis alternating current circuit Reihenschaltung von Wirkwiderstand und Kapazität Z 2 R 2 X 2 c Z R 2 X 2 c R Z 2 X 2 c X c Z 2 R 2 Z U I I U Z U I Z Widerstandsdreieck cos ϕ R Z Z R cos ϕ R Z cos ϕ sin ϕ X c Z Z X c sin ϕ X c Z sin ϕ tan ϕ X c R X c R tan ϕ X c R tan ϕ U 2 U 2 w U 2 c U U 2 w U 2 c U w U 2 U 2 c U c U 2 U 2 w U I Z cos ϕ U w U U w U cos ϕ U w U cos ϕ sin ϕ U c U U U c sin ϕ U c U sin ϕ Spannungsdreieck tan ϕ U c U w U w U c tan ϕ U c U w tan ϕ U Elektrische Spannung V U w Wirkspannung V U c Kapazitive Blindspannung V I Scheinstrom, Gesamtstrom A Z Scheinwiderstand Ω R Wirkwiderstand, ohmscher Widerstand Ω X c Kapazitiver Blindwiderstand Ω cos ϕ Wirkleistungsfaktor sin ϕ Blindleistungsfaktor tan ϕ Verlustfaktor 73

15 Elektronik electronics 15.4 Operationsverstärker Grundschaltungen Invertierender Verstärker I e 0 U D 0 U E U R1 U A U R0 V U U A U E U R0 U R1 R 0 U A R 0 U E Nicht invertierender Verstärker I e 0 U D 0 U E U R1 U A U R0 U R1 V U U A U R0 U R1 U E U R1 U R0 U R1 1 U R0 U R1 R 0 V U R 0 1 U A R 0 1 U E Summierverstärker (Addierer) I 1 U E1 I 0 U A R 0 I 2 U E2 R 2 I e 0 I 3 U E3 R 3 U D 0 I 0 I 1 I 2 I 3 U A R 0 U E1 U E2 R 2 U E3 R 3 U A R 0 U E1 U E2 R 2 U E3 R 3 92