Die Bedeutung der Quantenphysik bis zur ersten Sekunde nach dem Urknall

Die Bedeutung der Quantenphysik bis zur ersten Sekunde nach dem Urknall Fachbereichsarbeit aus Physik Vorgelegt bei Mag. Barbara Raschke von Maximilian Ruhdorfer, 8B Stainach, 28.2.2011 2

Inhalt Inhalt... 3 Abstract... 4 Vorwort... 5 Einleitung... 6 1. Quantengravitation als Lösung des Theorienproblems... 7 1.1 Gründe für die Forschung an der Quantengravitation... 7 1.2 Anfänge und Ziele... 7 1.3 Anwendungsmöglichkeiten der Quantengravitation... 9 1.3.1 Vereinheitlichung... 9 1.3.2 Kosmologie und schwarze Löcher... 10 1.3.3 Problem der Zeit... 10 1.4 Die Planck-Skala als Grenze... 11 2. Konstruktionsansätze für die Quantengravitation... 13 2.1 Kovariante Quantengravitation... 14 2.2 Kanonische Quantengravitation... 15 2.3 Schleifenquantengravitation... 16 2.3.1 Entstehung... 17 2.3.2 Eigenschaften von Raum und Zeit... 17 2.4 Stringtheorie... 19 2.4.1 Entstehung... 20 2.4.2 Aufbau und Eigenschaften... 22 2.4.3 Supersymmetrie... 29 3. Der Urknalls und seine Verlaufsmöglichkeiten... 32 3.1 Modelle des Anfangszustandes... 32 3.1.1 Universum mit singulärem Anfang... 32 3.1.2 Universum ohne singulären Anfang... 33 4. Die Zeitspanne bis zur ersten Sekunde... 37 4.1 (Quanten)-physikalische Vorgänge zwischen 10-43 und 10-33 Sekunden nach 0... 38 4.1.1 Entstehung von Materie... 38 4.1.2 Inflation... 39 4.2 Epochen nach 10-33 bis 1 Sekunde nach 0... 43 4.2.1 Hadronenära... 43 4.2.2 Leptonenära... 43 Zusammenfassung... 46 Quellenverzeichnis... 47 Abbildungsverzeichnis... 48 Erklärung... 49 3

Abstract Die Aufgabe dieser Arbeit ist aufzuzeigen, aus welchen Gründen die klassische allgemeine Relativitätstheorie und die Quantentheorie nicht miteinander vereinbar sind, was jedoch grundlegend zur Beschreibung des Anfangszustandes des Universums notwendig wäre. In diesem Zusammenhang werden zwei Theorien (Schleifenquantengravitation und Stringtheorie) genauer beleuchtet, die als Kandidaten für eine vereinigende Quantengravitationstheorie gesehen werden. Weiters werden Theorien behandelt, wie es zum Beginn des Urknalls kommen konnte, und die unmittelbar auf den Urknall folgenden Phasen kosmischer Entwicklung bis zur ersten Sekunde nach dem Urknall beschrieben. The aim of this work is to show, why classical general relativity and quantum theory are not compatible to each other, what would be necessary to describe the early phase of the universe. In this context two theories (Loop Quantum Theory and String Theory) are described, which are seen as candidates for a unifying theory of quantum gravity. Furthermore theories, how it could come to the Big Bang and the following phases (until one second after the Big Bang) are described. 4

Vorwort Mein Interesse für bestimmte Bereiche der Physik begann bereits in der Volksschule, wo ich ein Referat über den Aufbau des Atoms hielt. Ich war fasziniert von der unglaublich geringen Masse eines Elektrons und konnte diese Begeisterung für die großen dimensionalen Gegensätze der uns umgebenden Welt bis heute bewahren. Als ich nun in der 7. Klasse Überlegungen anstellte, welchen physikalischen Bereich ich in meiner Fachbereichsarbeit behandeln könnte, wollte ich eine stoffliche Kombination zwischen dem großen Kosmos und der Mikrowelt finden. Nach eingehender Beschäftigung mit möglichen Themenstellungen fiel meine Entscheidung auf jene ausgewählten Bereiche, in denen neue quantenphysikalische Erkenntnisse viel zum Gesamtverständnis beitrugen. Obwohl die Übergänge zu anderen physikalischen Disziplinen oft fließend sind und teilchenphysikalische Aspekte oft miteinbezogen werden müssen, so versuchte ich mich auf das Feld der Quantengravitation zu konzentrieren. Abschließend bedanke ich mich noch bei allen, die zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben. Dazu gehört unsere Frau Professor Barbara Raschke, die meinem Kollegen mir und wertvolle Hinweise und Tipps gegeben hat. Aber auch allen, die mir bei der Korrektur geholfen haben, gebührt ein großer Dank meinerseits wie auch meiner Familie, die mich in diesem letzten Schuljahr mental unterstützt hat und mich oft aufgrund von schulischen Angelegenheiten entbehren musste! Donnersbach, Februar 2011 Maximilian Ruhdorfer 5

Einleitung Der Urknall und der Ursprung des Universums entziehen sich immer noch teilweise der wissenschaftlichen Forschung. Zwar gibt es verschiedene Theorien, deren Formulierung besonders in den letzten hundert Jahren immer exakter wurde doch eindeutige Beweise dafür, wie der Kosmos wirklich begonnen hat, sind nicht vorhanden. Das Hauptproblem der Physik liegt derzeit darin, überhaupt eine Theorie zu erstellen, mit der es möglich ist, den Ursprung des Universums zu beschreiben. Solch eine Theorie, die eine Verbindung zwischen Albert Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie, die sich im Großen und Ganzen auf die Beschreibung großräumiger Strukturen beschränkt, und der Quantenphysik, deren Anwendungsbereich der Mikrokosmos darstellt, herstellen müsste, wird in Form einer Quantengravitationstheorie gesucht. Zwei bekannte Vertreter der Quantengravitation werden im zweiten Kapitel behandelt, bevor im dritten Kapitel einige Theorien über den Ursprung des Universums und einer möglichen Zeit davor erklärt werden. Das letzte Kapitel beschäftigt sich mit den Vorgängen während der ersten Sekunde nach dem Urknall und jenen Entwicklungen, die für die heutige Struktur und Erscheinung des Kosmos verantwortlich sind. 6

1. Quantengravitation als Lösung des Theorienproblems 1.1 Gründe für die Forschung an der Quantengravitation Um die Prozesse am Beginn des Universums beschreiben zu können, ist eine Theorie notwendig, die auch von der Gravitation eine quantisierte Beschreibung bieten kann. Der Grund dafür liegt in dem Faktum, dass durch die Anwesenheit von sehr großen Massen in der ersten Sekunde des Urknalls die allgemeine Relativitätstheorie angewandt werden muss, andererseits jedoch die extreme Konzentration auf kleinste Raumbereiche [ ] die Einbeziehung quantenphysikalischer Effekte [verlangt]. 1 Man müsste also sowohl die allgemeine Relativitätstheorie Einsteins als auch die Quantenphysik zugleich anwenden, was allerdings durch die beschränkten Gültigkeitsbereiche beider Theorien nicht möglich ist. Bisher ist eine quantenfeldtheoretische Beschreibung nur mit den anderen drei Grundkräften, ohne die Gravitation möglich gewesen: Die elektromagnetische Wechselwirkung wird beschrieben durch die Quantenelektrodynamik bzw. in ihrer vereinheitlichten Form mit der schwachen Kraft als elektroschwache Kraft, und für die starke Kraft gilt die Quantenchromodynamik als quantenfeldtheoretische Beschreibung. Die Gravitation ist die einzige Kraft, die nach wie vor erfolgreich durch eine klassische [ ] Theorie beschrieben [wird]: Albert Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie. 2 Nach seiner Theorie ist die Gravitation nur eine Manifestation der Geometrie von Raum und Zeit und wirkt daher auf alle anderen Formen der Wechselwirkungen. Da die anderen drei Wechselwirkungen bereits erfolgreich beschrieben wurden, müsste sich somit auch die Gravitation in die Quantentheorie einbinden lassen. Welche Versuche es bisher dazu gibt, darauf werde ich im zweiten Kapitel eingehen. 1.2 Anfänge und Ziele Erste Arbeiten zum Thema Quantengravitation wurden 1930 vom belgischen Physiker Léon Rosenfeld verfasst, der sich unter anderem mit der Quantenelektrodynamik beschäftigte. Man wollte zu dieser Zeit zunächst die Gravitation analog zur Quantenelektrodynamik quantisieren was aber eine größere Schwierigkeit ergibt, die Wolfgang Pauli bei der Tagung 50 Jahre Relativitätstheorie, die 1955 in Bern stattfand, mit folgenden Worten zusammenfasste: 1 Arroyo Camejo, Silvia: Skurrile Quantenwelt. Frankfurt am Main: S. Fischer Verlag 2007, S. 274. 2 Kiefer, Claus: Wege zu einer Vereinheitlichung von Gravitation und Quantentheorie. Paderborn: Ferdinand Schöningh 2008, S. 6. 7

Es scheint mir, daß nicht so sehr die Linearität oder Nichtlinearität Kern der Sache ist, sondern eben der Umstand, dass hier eine allgemeinere Gruppe als die Lorentzgruppe vorhanden ist 3 Damals herrschte die Meinung vor, dass das Haupthindernis für die Quantisierung der Gravitation in der hochgradigen Nichtlinearität der Einstein schen Feldgleichungen liege. Dies bereitet zwar mathematische Schwierigkeiten, der ausschlaggebende Punkt ist jedoch ein anderer: Die anderen quantisierten Feldtheorien besitzen alle einen Raumzeithintergrund, der als starrer Rahmen erhalten bleibt, und auf dem sich die quantisierten Felder entwickeln, d.h. es handelt sich um hintergrundabhängige Theorien. Dieses hintergrundabhängige Denken geht physikalisch betrachtet auf die Überlegungen etwa von Isaac Newton zurück, der eine derartige Kulisse voraussetzte. 4 Im Gegensatz dazu steht die allgemeine Relativitätstheorie, da in ihr Raum und Zeit miteinander verschmolzen sind und die Raumzeit selbst das Gravitationsfeld bewirkt. Eine Hauptaufgabe der Quantentheorie ist es daher, den Hintergrund, den hinfälligen Minkowski- Raum 5, ebenfalls zu quantisieren und die Beschreibungsmethoden zu erweitern, was Pauli mit der Formulierung allgemeinere Gruppe als die Lorentzgruppe ausdrückt. Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass die Hintergrundunabhängigkeit ein wichtiges Merkmal für die Erstellung der Quantentheorien sein wird. In der Hintergrundabhängigkeit inbegriffen ist auch das Problem der Zeit (siehe 1.3.3). 6 Basierend auf diesen Aspekten ergeben sich mehrere Umstände, die die moderne Physik zur Konzipierung der Quantengravitation motivieren, obwohl bisher heute noch kein experimentelles Material verfügbar ist, das eine gewisse Richtung vorgeben, in die geforscht werden könnte. 3 Kiefer, Claus: Quantum Gravity. 2. Auflage. Oxford: Oxford University Press 2007. zit. nach:. KIEFER, Claus: Wege zu einer Vereinheitlichung [ ], S. 9. 4 vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/hintergrundunabh%c3%a4ngigkeit [Stand: 23.10.2010] 5 Der Minkowski-Raum, benannt nach Hermann Minkowski, ist ein vierdimensionaler Raum, in dem sich die Relativitätstheorie elegant formulieren lässt. Minkowski führte ihn im Jahre 1907 zur Beschreibung der speziellen Relativitätstheorie ein. Drei seiner Koordinaten sind die des Euklidischen Raums; dazu kommt eine vierte Koordinate für die Zeit. 6 KIEFER, Claus: Wege zu einer Vereinheitlichung [ ], S. 8ff. 8

1.3 Anwendungsmöglichkeiten der Quantengravitation Für den Großteil des Universums liefert die allgemeine Relativitätstheorie Einsteins experimentell bestätigte Vorhersagen und kann ohne Probleme auf die großräumigen makroskopischen Strukturen des Universums angewandt werden. Schwierigkeiten ergeben sich nur beim Auftreten von Singularitäten: einem mathematischen Resultat, in dem die Raumzeit unendlich gekrümmt und die Energiedichte der Materie unendlich groß wäre, daher das entsprechende physikalische Gesetz nicht definiert, ungültig und ungeeignet ist, die Verhältnisse zu beschreiben. 7 Dass Singularitäten in der Raumzeit der allgemeinen Relativitätstheorie unvermeidbar sind, wurde in den 60er Jahren durch den Beweis der Singularitätentheoreme von Stephen Hawking, Roger Penrose und anderen bestätigt. 8 Die wirkliche physikalische Beschaffenheit von Raumzeitsingularitäten ist dabei unbekannt, wobei aus quantenphysikalischer Sicht Singularitäten rein aufgrund der Unschärferelation schon nicht möglich sind. 1.3.1 Vereinheitlichung Historisch gesehen erwiesen sich bestimmte Entdeckungen immer wieder als Teil eines übergreifenderen Konzepts, das vorher nur für einen bestimmten Kontext gültig war. Neuere Theorien haben oft die Vorgängerin verbessert, indem sie einen genaueren und weiter reichenden Erklärungsansatz [einführten] 9. Beispielsweise wurde Newtons Gravitationstheorie von Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie abgelöst. 10 Newtons Theorie war zwar nicht falsch, da in bestimmten Bereichen (Planetenbewegungen, Bewegungen auf der Erde usw.) ihre Leistungsfähigkeit nicht im Geringsten beeinträchtigt wird. Ähnlich war es auch mit Maxwells Theorie, die grundlegend für die Erkenntnisse Einsteins war. Er stellte vier leistungsfähige Gleichungen [auf], die zum ersten Mal einen strengen theoretischen Rahmen für das Verständnis von Elektrizität, Magnetismus und ihre enge Beziehung schufen. 11 Letztlich entdeckte er die mathematischen Grundlagen der Beziehung 7 vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/singularit%c3%a4t_%28astronomie%29 [Stand: 10.10.2010] 8 vgl. KIEFER, Claus: Wege zu einer Vereinheitlichung [ ], S. 7. 9 vgl. Greene, Brian: Der Stoff, aus dem der Kosmos ist. Raum, Zeit und die Beschaffenheit der Wirklichkeit. 3. Auflage. München: Wilhelm Goldmann Verlag 2008. S. 369. 10 ebda. 11 vgl. ebda, S. 58. 9

von elektrischen und magnetischen Feldern und nannte sie elektromagnetische Felder und ihren ausgeübten Einfluss elektromagnetische Kraft. 12 Claus Kiefer schreibt über die Bedeutung der Quantengravitation als vereinheitlichende Theorie wie folgt: Ein reduktionistischer Standpunkt war in vielen Fällen sehr fruchtbar in der Physik. Das Standardmodell der Teilchenphysik ist eine Quantenfeldtheorie, die in einem gewissen Sinn alle nicht-gravitativen Wechselwirkungen vereinigt hat. Das Anknüpfen der Gravitation an alle Energieformen würde es plausibel machen, dass die Gravitation auch in einen quantisierten Rahmen implementiert werden muss. Darüber hinaus fehlten Versuche eine exakte semiklassische Theorie, in der die Gravitation klassisch bleibt und die anderen Felder quantisiert sind, zu erstellen. Dies demonstriert in besonderer Weise, dass klassische und quantisierte Konzepte [ ] [zueinander] inkompatibel sind. 13 Die Quantengravitation müsste demnach die Eigenschaft besitzen jegliche Wechselwirkungen zu jedem noch so speziellen Raumzeitzustand widerspruchsfrei erklären zu können. 1.3.2 Kosmologie und schwarze Löcher Wie bereits oben erwähnt wurde durch die Singularitätentheoreme bewiesen, dass die allgemeine Relativitätstheorie in bestimmten Situationen ihre Gültigkeit verliert. Daher sollte eine fundamentalere Theorie zum Verständnis der frühen Entwicklung im Universum, besonders über den Zustand des Urknalls, und bei schwarzen Löchern beitragen. Wäre auch die Gravitation quantisiert, würde die Quantentheorie verlangen, das gesamte Universum in quantisierter Form zu beschreibben, was zu bereits vorhandenen Konzepten wie der Quantenkosmologie und einer quantenmechanischen Wellenfunktion des Universums führt. 14 1.3.3 Problem der Zeit Quantentheorie und Relativitätstheorie beinhalten völlig unterschiedliche Zeitbegriffe. Während in der Relativitätstheorie die Zeit dynamisch in der Raumzeit inbegriffen ist, ist sie in der 12 vgl. GREENE, Brian: Der Stoff aus dem der Kosmos ist, S. 59. 13 Giulini, Domenico / Kiefer, Claus /. Lämmerzahl, Claus (Hrsg.): Quantum Gravity. From Theory to Experimental Search. Berlin Heidelberg: Springer Verlag 2003, S. 4. Das englische Original lautet: The history of science shows that a reductionist viewpoint has been very fruitful in physics. The standard model of particle physics is a quantum field theory which has united in a certain sense all nongravitational interactions. The universal coupling of gravity to all forms of energy would make it plausible that gravity has to be implemented in a quantum framework, too. Moreover, attempts to construct an exact semiclassical theory, where gravity stays classical but all other fields are quantum, have failed up to now. This demonstrates in particular that classical and quantum concepts [ ] are most likely incompatible. 14 vgl. ebda. 10

Quantentheorie ein absoluter Parameter. Dies soll an den folgenden Beispielen kurz dargestellt werden: Die Schrödinger-Gleichung zeigt, dass in der Quantenmechanik die absolute Zeit t Newtons direkt übernommen wurde. (weitere Variablen: imaginäre Einheit, reduziertes Planck sches Wirkungsquantum ħ, partielle Ableitung nach der Zeit, Zustand des Systems zum angegebenen Zeitpunkt, Hamiltonoperator ) ħ Ähnlich ist es in der Quantenfeldtheorie, die auf der speziellen Relativitätstheorie aufbaut. Sie besitzt zwar die vierdimensionale Minkowski-Raumzeit, diese ist allerdings nicht dynamisch, sondern nur ein Hintergrund für das physikalische Geschehen, wie bereits oben erwähnt. Ganz anders verhält sich die Situation in der allgemeinen Relativitätstheorie im Falle der Einstein schen Feldgleichungen. Auf der linken Gleichungsseite stehen die geometrischen Größen (Ricci-Krümmungstensor R μυ, Krümmungsskalar R, metrischer Tensor g μυ ) und auf der rechten Seite der Energie-Impuls- Tensor T μυ. Wird in dieser Gleichung nun die Gravitation quantisiert, so geschieht das Gleiche auch mit der Zeit, was bedeuten würde, dass die Schrödinger-Gleichung nicht mehr gelten kann. 15 1.4 Die Planck-Skala als Grenze Bevor nun auf die einzelnen Möglichkeiten zur Erstellung einer Quantengravitationstheorie eingegangen werden, stellt sich die Frage, ab welchen Größenordnungen quantengravitative Effekte entstehen bzw. wo rein klassische Beschreibungen ihre Gültigkeit verlieren. Hierzu hilft es einen Vergleich von Newtons Theorie und Einsteins Theorie aufzustellen, da jede Theorie [ ] durch gewisse Naturkonstanten charakterisiert [ist]. Die Quantentheorie fußt im Wesentlichen auf dem Planck schen Wirkungsquantum ħ, die Newtonsche Gravitationstheorie auf der Gravitationskonstanten G und die Spezielle Relativitätstheorie auf 15 KIEFER, Claus: Wege zu einer Vereinheitlichung [ ], S. 10f. 11

der Lichtgeschwindigkeit c. Auch Kombinationen dieser Konstanten können bestimmten Theorien zugeordnet werden: Die Quantenfeldtheorie ist eine relativistische Quantenmechanik und wird durch die beiden Konstanten c und ħ charakterisiert. Die Allgemeine Relativitätstheorie wird durch die Kombination von c und G bestimmt. Die Kombination von allen drei Konstanten c, G und ħ charakterisiert eine Theorie, die die Quantenmechanik, die Relativitätstheorie und die Gravitation vereinigt. Dies wäre die Quantengravitation. 16 (siehe Abb. 1) Diesen Zusammenhang erkannte Max Planck bereits 1899 (ein Jahr vor der offiziellen Einführung des Planck schen Wirkungsquantums) und stellte wie beschrieben fest, dass sich die drei fundamentalen Naturkonstanten Lichtgeschwindigkeit c, die Newtonsche Gravitationskonstante G und das Planck sche Wirkungsquantum ħ, [ ], auf eindeutige Weise zu Größen mit den Dimensionen einer Länge, einer Zeit und einer Masse zusammenfassen lassen [können]. 17 Die exakten Werte sind die folgenden: Abb. 1: Verschiedene Theorien und ihre zugehörigen Konstanten. Die Quantengravitation bildet die Vereinigung aller drei Naturkonstanten. Planck-Länge: l ħ, m Planck-Zeit: t ħ, s Planck-Masse: m ħ ħ, g, e c 16 Lämmerzahl, Claus: Quantengravitation im Experiment. Am Rande des Messbaren. In: Physik in unserer Zeit. 3/2008 (39), S. 129. 17 KIEFER, Claus: Wege zu einer Vereinheitlichung [ ], S. 11. 12

Dass es sich dabei um fixe Naturkonstanten handle, behauptete auch Planck und beschrieb dieses Faktum in den folgenden Worten: Diese Grössen behalten ihre natürliche Bedeutung so lange bei, als die Gesetze der Gravitation, der Lichtfortpflanzung im Vacuum und die beiden Hauptsätze der Wärmetheorie in Gültigkeit bleiben, sie müssen also, von den verschiedensten Intelligenzen nach den verschiedensten Methoden gemessen, sich immer wieder als die nämlichen ergeben. 18 Diese Werte bilden die Grundlage für fundamentale Größen in den verschiedenen Quantengravitationstheorien (siehe Schleifenquantengravitation, Stringtheorie). Das Problem die Planck-Einheiten experimentell zu bestätigen ist allerdings offensichtlich: Kein Teilchenbeschleuniger ist in der Lage Energien zu erzeugen, der es möglich machen würde z.b. zu Strukturen mit der Kleinheit der Planck-Länge vorzudringen, denn bereits Atome sind um ca. 10 20 Größenordnungen von der Planck-Länge entfernt. Sogar der LHC (engl. Large Hadron Collider, dt. Großer Hadronen-Speicherring) am CERN kann nur Energien von 10 13 ev erzeugen, man bräuchte somit einen Teilchenbeschleuniger mit der Größe unseres Sonnensystems, um mit den bestehenden Möglichkeiten auf der Erde zu den Planck-Einheiten vordringen zu können. 19 Das Problem liegt also in den noch nicht möglichen empirischen Verfahren, die Quantengravitation zu bestätigen, die allerdings nötig sind, um sie zu einer fundierten Theorie zu erheben. Im folgenden Kapitel werden nun die verschiedenen Zugänge zur Aufstellung von quantengravitativen Theorien erläutert und ihre verschiedenen Vorstellungen und Ansätze analysiert. 2. Konstruktionsansätze für die Quantengravitation Je nachdem, von welchen bestehenden Möglichkeiten ausgehend die Quantentheorie konstruiert werden sollte, unterscheidet man die kovariante und die kanonische Quantengravitation. Zum kanonischen Verfahren gehört unter anderem die Schleifenquantengravitation, auf die noch 18 Planck, Max: Über irreversible Strahlungsvorgänge. In: Sitzungsberichte der königlich-preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, phys. Math. Klasse. 1899. S. 440-480. zit. nach:. KIEFER, Claus: Wege zu einer Vereinheitlichung [ ], S. 11. 19 vgl. KIEFER, Claus: Wege zu einer Vereinheitlichung [ ], S. 11. 13

genauer eingegangen wird. Ausgangspunkt für diese Versuche bildet die allgemeine Relativitätstheorie, die mit bewährten Methoden quantisiert werden sollte. Als weitere Möglichkeit besteht die Methode, die Gravitation zusammen mit den anderen Wechselwirkungen zu vereinheitlichen und eine allumfassende Theorie (im Englischen Theory of Everything, kurz TOE bezeichnet) oder auch Alltheorie genannt, aufzubauen. Die einzige Theorie dieser Art ist die Stringtheorie, deren Grundzüge in diesem Kapitel noch dargestellt werden. 2.1 Kovariante Quantengravitation Zu einer kovarianten 20 Quantengravitation zählt jeder Zugang, in dem die vierdimensionale Kovarianz der Theorie im Formalismus noch eine gewisse Rolle spielt. 21 Zunächst versuchte man ähnlich vorzugehen wie bei der Konstruktion der Quantenelektrodynamik. Dort stellte sich heraus, dass der Überträger der elektromagnetischen Wechselwirkung das Photon ist. Beim Versuch die Quantengravitation ebenfalls ähnlich zu konstruieren (als Störungstheorie 22 ) entdeckte man das Graviton als Vermittler der Gravitationswechselwirkung, das ebenfalls wie das Photon keine Ruhemasse besitzt, jedoch den Spin 2, während das Photon Spin 1 besitzt. Dieser Unterschied ist ausschlaggebend für die Eigenschaften klassischer Gravitationswellen. Aufgebaut als eine Störungstheorie ergeben sich wie in den anderen Quantenfeldtheorien unsinnige Lösungen (Unendlichkeiten), die allerdings beispielsweise in der Quantenelektrodynamik durch endlich viele zu messende Größen vermieden werden. In der Quantenelektrodynamik sind dies die bestimmbaren Werte des Elektrons (Masse und Ladung). Im Gegensatz dazu entwickeln sich bei der quantengravitativen Störungstheorie immer wieder neue Arten von Unendlichkeiten, die durch eine unendliche Anzahl zu bestimmender Parameter aufgehoben werden müssten. Solch eine Eigenschaft wird als nichtrenormierbar 23 bezeichnet. 20 Unter Kovarianz versteht man die Eigenschaft von Gleichungen, wenn diese durch aufeinander abgestimmte Transformationen aller beteiligten Größen unverändert (invariant) bleiben. 21 KIEFER, Claus: Wege zu einer Vereinheitlichung [ ], S. 16 22 Die Störungstheorie ist eine mathematische Methode, die den Einfluss einer Störung auf ein zeitunabhängig analytisch lösbares bekanntes System untersucht. Ursprünglich wurde sie im Zusammenhang mit astronomischen Problemen verwendet, findet heute aber vor allem in der Quantentheorie Anwendung. Dies bedeutet im Speziellen, dass man den Hamilton-Operator in 2 Teile zerlegt, wovon einer die Störung darstellt und der andere Teil dadurch lösbar wird. Diese Methode war lange Zeit der einzige Zugang in der Quantenfeldtheorie, da für nichtstörungstheoretische Rechnungen die computertechnischen Voraussetzungen noch nicht gegeben waren. 23 Unter Renormierung versteht man die Festlegung einer Theorie auf eine bestimmte Energieskala, in deren Grenzen sie angewendet werden kann. Dieses Prinzip findet vor allem in den Quantenfeldtheorien Anwendung, um unendliche Ergebnisse zu vermeiden. 14

Es stellte sich allerdings heraus, dass im Falle von niedrigen Energien Vorhersagen möglich sind, beispielsweise ist es möglich quantengravitative Korrekturen des Newton schen Gravitationsgesetzes auszurechnen ( Gravitationskonstante, Massen, Abstand beider Massen, Lichtgeschwindigkeit) ħ Das Problem liegt hier leider wiederum in der experimentellen Verifizierung. Um den Einfluss des quantengravitativen Korrekturterms zu ermitteln, müssten sich die Massen m 1 und m 2 der Planck-Länge nähern, was praktisch derzeit nicht realisierbar ist. Die Gleichung besitzt trotzdem große Bedeutung, da sie eine konkrete Vorhersage der Quantengravitation zum Ausdruck bringt. 24 Eine bekannte Theorie, die sich die Methoden der kovarianten Quantengravitation zu Nutze machte, ist die von James Hartle und Stephen Hawking aufgestellte Keine-Grenzen- Bedingung ( No-Boundary-Condition ). Mit ihr wurde versucht, den Ursprung des Universums zu beschreiben (siehe Kap. 3.1.2.1 ). 2.2 Kanonische Quantengravitation Die kanonische Quantisierung besitzt eine lange Geschichte, die auf Paul Dirac im Jahre 1932 zurückgeht, der dabei war, eine neue Form der Quantisierung der Relativitätstheorie zu entwickeln, um die vorhandenen schwierigen mathematischen Umstände zu erleichtern. Für längere Zeit wurde diese Methode von verschiedenen Forschern aufgegriffen, dennoch war kaum ein Fortschritt wegen der mathematischen Schwierigkeit vorhanden. Eine beachtliche Vereinfachung gelang erst Abhay Ashtekar im Jahr 1986, der die Schwierigkeit der Gleichungen dramatisch senkte. 25 Bei der kanonischen Methode versucht man wie in der übrigen Quantenmechanik vorzugehen, indem man Ort und Impuls aufsucht und nach einigen mathematischen Schritten einen Hamilton- Operator 26 für Größen festlegt. Um Orte und Impulse in der allgemeinen Relativitätstheorie zu 24 KIEFER, Claus: Wege zu einer Vereinheitlichung [ ], S. 18 25 vgl. Penrose, Roger: The Road to Reality. A complete Guide to the Laws of the Universe. London: Vintage Books 2005, S. 935. 26 Der Hamilton-Operator ist grundlegend für quantenmechanische Berechnungen und bestimmt die Zeitentwicklung und mögliche Energiemesswerte eines Systems. Er beschreibt beispielsweise die Art des Teilchens 15

finden, muss man die Raumzeit in raumartige Hyperflächen auffächern. Man legt eine Größe fest, die die Einbettung der Hyperflächen in die Zeit definiert. Beide zusammen führen zum Hamilton-Operator, bei dessen Anwendung auf erlaubte Wellenfunktionen er allerdings verschwindet. Dies bedeutet, dass die Zeit t völlig verschwunden ist und das Problem der Zeit (siehe 1.3.3) gelöst ist. Der Grund liegt hierfür in der Unschärferelation, die die Raumzeit genauso auflöst wie die Teilchenbahn, weshalb es auch keine genau definierte Zeit mehr geben kann. Allerdings ist es mit Hilfe der Wheeler-DeWitt-Gleichung 27 möglich, die Zeit näherungsweise wieder aufzufinden und zu berechnen. Im folgenden Teil sollen die zwei bekanntesten Theorien der Quantengravitation beispielhaft dargestellt werden. Dies sind zum einen die Schleifenquantengravitation und zum anderen die Stringtheorie. An diesen beiden Theorien wird derzeit am intensivsten geforscht, wobei durch den sehr verschiedenen Aufbau und den wenigen Gemeinsamkeiten, die Physiker großteils von der einen oder der anderen Theorie überzeugt sind und üblicherweise nur an einer der beiden Theorien forschen. Wie diese Unterschiede konkret ausschauen, das soll im Folgenden veranschaulicht werden. 2.3 Schleifenquantengravitation Die Schleifenquantengravitation ist im Vergleich zur Stringtheorie die jüngere der beiden, allerdings die konservativere der beiden, da ihr zwei Hauptprinzipien der allgemeinen Relativitätstheorie zugrunde liegen: Die Hintergrundunabhängigkeit: Raum und Zeit sind in der Theorie dynamisch beschrieben (Raumzeit), anstatt einen statischen Hintergrund einzuführen, vor dem die physikalischen Vorgänge ablaufen (z.b. in der Superstringtheorie). Die Diffeomorphismus-Invarianz: Als Koordinatensystem zur Beschreibung der Raumzeit ist jedes beliebige gleich gut geeignet, es gibt kein übergeordnetes oder bevorzugtes. 28 und das Feld, in dem es sich bewegt; beinhaltet daher die potentielle Energie und die kinetische Energie des Systems. 27 Diese von John Archibald Wheeler aufgestellte Gleichung ist Teil der Quantenkosmologie, denn sie überträgt die Schrödingergleichung auf das gesamte Universum und stellt daher in gewissem Sinn eine Wellenfunktion des Universums dar. 28 vgl. ARROYO CAMEJO, Silvia: Skurrile Quantenwelt, S. 280. 16

Ihre Grundidee ist die, dass sich die Natur nicht bis ins Kleinste als Kontinuum verhält, wie bis vor ca. 100 Jahren angenommen wurde, sondern aus diskreten Stücken, wie die Atome es sind, besteht. Der Raum selbst besteht aus diskreten Stücken, und gleichfalls schreitet auch die Zeit nur in winzigen Schritten voran. 2.3.1 Entstehung Die ersten Arbeiten zu einer solchen quantengeometrischen Beschreibung des Raumes fanden in den 1980er Jahren unter Lee Smolin, Abhay Ashtekar, Ted Jacobson und Carlos Rovelli statt, die erneut untersuchen wollten, ob die allgemeine Relativitätstheorie mit Hilfe der Standardmethoden der Quantenmechanik (vgl. Kanonische Quantengravitation 2.2) kombiniert werden könnte. Dabei gingen sie von einer Geometrie des Raumes aus, die nicht kontinuierlich und glatt ist, wollten aber keine weiteren, nicht gut experimentell erprobten Annahmen in die Theorie aufnehmen und bezogen sich auf die oben erwähnten Hauptprinzipien der allgemeinen Relativitätstheorie. Durch neue mathematische Berechnungen entdeckten sie, dass Raum und Zeit quantisiert beschrieben werden können. 29 2.3.2 Eigenschaften von Raum und Zeit Wählt man ein beliebiges Volumen im Raum, so könnte dieses aus klassischer Sicht beliebig nahe bei Null liegen. Dies ist allerdings in der Schleifenquantengravitation nicht möglich, da die Diskretheit des Raumes ein bestimmtes Mindestvolumen ergibt. Dessen Größe ist die Kubik- Plancklänge, also ein Würfel mit der Planck-Länge als Kantenlänge. So ergibt sich ein Volumen von 10-99 cm 3, ein unvorstellbarer Wert, wenn man bedenkt, dass das gesamte Universum ein Volumen von ca. 10 85 cm 3 besitzt. Analog zum Volumen gibt es auch eine Planck-Fläche, wobei es beiderseits immer nur diskrete Vielfache gibt. Die Zeit verhält sich dabei ebenso diskret, indem sie in Planck-Zeit-Schritten fortschreitet. 2.3.2.1 Veranschaulichung des quantisierten Volumens Um die Quantenzustände des Raumes darzustellen, verwendet man Spin-Netzwerke, die polyederförmigen Objekten entsprechen. Die Spin-Netzwerke sind allerdings fundamentaler als beliebige Polyederkombinationen, da einige spezielle Kombinationen von Spin-Netzwerken sich 29 vgl. Smolin, Lee: Quanten der Raumzeit. In: Spektrum der Wissenschaft. Dossier 5/05, S. 34f. 17

nicht als Polyeder zeichnen lassen. Sie entstehen beispielsweise, wenn der Raum durch ein starkes Schwerefeld gekrümmt ist, oder im Falle von Quantenfluktuationen. 30 Abb. 2: Ein Würfel und sein dazugehöriges Spin-Netzwerk Abbildung 2 zeigt das Spin-Netzwerk eines Würfels (a), dessen Volumen durch den von Linien abzweigenden Knoten repräsentiert wird. Die Zahl 8 beim Knoten steht für die Zahl des Planck- Volumens, die Linien zeigen die Flächen des Würfels an und sind mit der Größe der Fläche (4) in Planck-Flächen versehen. In dieser Weise lassen sich beliebige geometrische Raumstrukturen zeichnen. Abb. 3: Ein Spin-Netzwerk eines kugelförmigen Volumens Abbildung 3 zeigt beispielsweise ein kugelförmiges Volumen, das durch die Summe der Größe der Knoten bestimmt wird, und die Oberfläche, die sich aus der Summe aller hindurchstechenden Linien ergibt. Mittels dieser Graphen ist es möglich jeglichen Quantenzustand des Raumes darzustellen. Die mathematische Beschreibung der Quantenzustände bringt verschiedene Regeln zur Erstellung dieser Graphen, weshalb jeder Graph eindeutig einem Quantenzustand zugeordnet werden kann und umgekehrt. Davon ausgehend ist es möglich, auch die Gravitation als Verformung des Raumes zu errechnen, was bedeutet, dass eine Quantentheorie der Gravitation geschaffen wurde. Der Raum selbst entsteht erst aus den Linien und Knoten, dazwischen befindet sich nichts, d.h. dass somit auch kein Hintergrund vorhanden ist, da die Geometrie des Raumes nur durch die Knoten und Linien bestimmt wird. Um auch Materie, Energie und Felder zu beschreiben, werden die Graphen mit zusätzlichen Beschriftungen versehen. 31 30 vgl. SMOLIN, Lee: Quanten der Raumzeit, S. 36. 31 vgl. ebda, S. 37. 18

2.3.2.2 Darstellung der zeitlichen Veränderung des Raumes Erweitert man die reinen Darstellungen des Raumes der Spin-Netzwerke um die Zeitdimension, so erhält man Diagramme, die als Spin-Schäume bezeichnet werden und ähnlich mit klassischen Raumzeitdiagrammen sind. Thomas Thiemann gelang es für die Bewegung von Spin- Netzwerken die quantenmechanischen Wahrscheinlichkeiten herzuleiten. Die Geometrie des Raumes verändert sich in diskreten Zügen, die in Abständen der Planck-Zeit aufeinanderfolgen, dazwischen existiert die Zeit nicht. Der Zustand des Raumes zu einem diskreten Zeitpunkt bringt die Darstellung als Spin-Netzwerk. Stellt man die Veränderung des Raumes als Spin-Schaum dar, so wandeln sich die Linien zu Flächen um und die Knoten werden zu Linien. Jede Umordnung wird dabei als Zug bezeichnet, die ständig aufgrund der Quantenfluktuationen stattfinden. 32 Bedingt durch die winzigen Größenordnungen in denen die beschriebenen Eigenschaften auftreten sollten, ist die Theorie schwierig nachzuprüfen. Eine Folge ihrer Richtigkeit wäre allerdings, dass sich die allgemeine Relativitätstheorie als klassische Näherung zur Schleifenquantengravitation herausstellen könnte. Bedeutung hätte sie auf jeden Fall zur Erklärung dessen, was unmittelbar nach dem Urknall geschah, und möglicherweise auch als ein Weg zur Vereinheitlichung aller Grundkräfte. 2.4 Stringtheorie Abb. 4: Spin-Schaum (links) mit den dazugehörigen Spin-Netzwerken (rechts) zu verschiedenen Zeitpunkten. Da sich die Zeit in Sprüngen verändert, ist erst im letzten Bild abrupt ein Volumenquant aus drei entstanden. Die Stringtheorie ist die zweite der beiden Quantengravitationstheorien, die vorgestellt werden soll. Sie ist etwas älter als die eben behandelte Schleifenquantengravitation und schaffte es schnell zu großer allgemeiner Bekanntheit und Popularität. Der Grund hierfür könnte wohl in der vollkommen anderen und unabhängigen Weise liegen, wie sie physikalische Beschreibungen von 32 vgl. SMOLIN, Lee: Quanten der Raumzeit, S. 38. 19

Materie, Raum und Zeit tätigt. Grundsätzlich handelt es sich um eine Theorie, die vor allem auch jegliche Arten von Teilchen zu beschreiben vermag. Dies ermöglicht es folglich auch die Grundkräfte zu beschreiben und die Gravitation von vornherein miteinzubeziehen, weshalb sie auch befähigt ist, den Theorienkonflikt zu Beginn des Universums zu lösen. Ihre wesentlichsten Merkmale sind die Annahmen, dass jegliche Materie aus extrem dünnen oszillierenden Fäden, den Strings, besteht, und die Raumzeit nicht nur vier Dimensionen besitzt, sondern mit zusätzlichen Raumdimensionen auf insgesamt 10 Dimensionen der Raumzeit erweitert ist. 2.4.1 Entstehung Die ersten Arbeiten, die man heute zur Stringtheorie zählt, stammen aus dem Jahr 1968 vom jungen Physiker Gabriele Veneziano, der am CERN an verschiedenen experimentell beobachteten Eigenschaften der starken Kernkraft forschte, und versuchte, die gewonnenen Daten zu verstehen. Dabei stellte er zufälligerweise fest, dass die Euler sche Beta-Funktion fähig ist, zahlreiche Eigenschaften stark wechselwirkender Teilchen zu beschreiben. Das daraus folgende Problem war allerdings herauszufinden, warum diese bestimmte Funktion gerade die bestimmten Eigenschaften beschreiben kann. 33 Die Lösung dafür fanden 1970 Yoichiro Nambu, Holger Nielsen und Leonard Susskind, die folgendermaßen aussah: Wenn man Elementarteilchen als kleine, schwingende und eindimensionale Saiten oder Strings darstellt, lassen sich ihre Kernkraft-Wechselwirkungen [ ] exakt durch die Eulersche Funktion beschreiben. Falls die Strings klein genug sind, [ ] sehen sie wie punktförmige Teilchen aus, und ihre Eigenschaften decken sich daher mit den Experimentalbeobachtungen. 34 Bald darauf kamen allerdings schwerwiegende Mängel in der Theorie auf, da das Stringmodell zahlreiche falsche Vorhersagen, über die zu dieser Zeit durchgeführten Hochenergieexperimente machte. Auch die in der Entwicklung befindliche Quantenchromodynamik führte zum Verzicht auf die Stringtheorie. Einige Physiker hielten hingegen an ihrem Potential fest wie John Schwarz und Joël Scherk, die die Eigenschaften botenartiger Teilchen untersuchten und dabei auf das hypothetische Botenteilchen der Gravitation stießen. Nach weiteren Untersuchungen kamen Schwarz und 33 Karamanolis, Stratis: Die Stringtheorie. Phantom oder Realität? Weilheim i. OB: E. Karamanolis Verlag 2008, S. 29. 34 Greene, Brian: Das elegante Universum. Superstrings, verborgene Dimensionen und die Suche nach der Weltformel. 5. Auflage. München: Wilhelm Goldmann Verlag 2006, S. 165. 20

Michael Green zum Schluss, dass die resultierende Theorie vielseitig genug war, um alle vier Kräfte und die gesamte Materie einzubeziehen. 35 Diese Arbeit wurde 1984 veröffentlicht und konnte diesmal viele Physiker bewegen sich mit den Erkenntnissen vertraut zu machen und daran zu arbeiten. Die Begeisterung darüber, vielleicht eine allumfassende Theorie gefunden zu haben, war in den Physikerkreisen so groß, dass der Zeitraum zwischen 1984-1986 heute als 1. Superstringrevolution bezeichnet wird, da mehr als 1000 Forschungsarbeiten verfasst worden sind. In ihnen konnte gezeigt werden, dass eine Vielzahl von Eigenschaften des Standardmodells der Teilchenphysik aus der Stringtheorie errechnet werden kann. 36 Neben den eindimensionalen Strings wurde auch mehrdimensionale Objekte beschrieben bzw. eingeführt, die von Paul Townsend als p-branen bezeichnet wurden und im Falle einer 1-Bran auch die Strings verallgemeinert einbegriffen. Die Zahl p kann dabei maximal eine natürliche Zahl einschließlich 10 sein, d.h. Branen mit 10 Raumdimensionen darstellen. 37 Schließlich endete der rasante Fortschritt der 1. Superstringrevolution, als große Schwierigkeiten beim Lösen und Bestimmen von Gleichungen auftauchten. Es war nur möglich mit Approximationen zu arbeiten, die einen weiteren Fortschritt nicht ermöglichten. 38 Karamanolis sieht die Probleme in der Tatsache, dass die Strings keine punktförmigen, sondern ausgedehnte Gebilde darstellen und als solche mathematisch nicht exakt beschrieben werden können. 39 Zunächst versuchte man sie als punktförmige Gebilde zu betrachten, ein niedriges Energieniveau und damit verbunden große Entfernungen anzunehmen. Letztlich entstanden Theorien, die die allgemeine Relativitätstheorie mit der Supersymmetrie kombinierten. 40 Man versuchte somit mit Hilfe von Renormierungsmethoden die mathematischen Probleme zu lösen. Neue bedeutende Ideen zeigten sich erst wieder 1995 durch Edward Witten, der mit seinen Vorschlägen die 2. Superstringrevolution einleitete. Er stellte auf einer Stringkonferenz neue Methoden vor und präsentierte eine seine neu entwickelte Version der Stringtheorie; seine wichtigsten Punkte waren: Die fünf verschiedenen Stringtheorien und die elfdimensionale Supergravitation seien nur Spezialfälle einer übergeordneten Theorie; der M-Theorie. 35 GREENE, Brian: Das elegante Universum., S. 167. 36 vgl. ebda, S. 168. 37 vgl. KARAMANOLIS, Stratis: Die Stringtheorie, S. 33 38 vgl. GREENE, Brian: Das elegante Universum, S. 168 39 KARAMANOLIS, Stratis: Die Stringtheorie, S. 32 40 vgl. ebda. 21

Die Zahl der Raumdimensionen beträgt zehn anstatt neun. Unser Universum ist nur eines von vielen anderen Paralleluniversen. 2.4.2 Aufbau und Eigenschaften Im Gegensatz zu den kanonischen Ansätzen (z.b. die Schleifenquantengravitation) ist die Stringtheorie eine hintergrundabhängige und störungstheoretische Theorie. Außerdem ist sie von vornherein eine vereinigte Theorie der Gravitation, der anderen Wechselwirkungen und der Materie. 41 Grundlegend für die Stringtheorie sind die eindimensionalen, schwingenden Objekte, die Strings (dt.: Fäden), deren Länge die Planck-Länge ist. Durch diese extrem kleine Länge erscheinen sie, so die Überzeugung der Stringtheoretiker, aus unserer Sicht als quasi punktförmige Teilchen. Könnte man jedoch in Dimensionen vordringen, die der Planck-Länge entsprechen, so würde sich der stringartige Aufbau aller Elementarteilchen offenbaren. Die Strings können sich in verschiedenen Schwingungsmustern bewegen. Diese verschiedenen Bewegungen führen zur Annahme von unterschiedlichen Teilcheneigenschaften, so wie sie von jeglichen Teilchen ermittelt werden konnten, d.h. die fundamentalen Strings können jegliche Form von Materie darstellen. Aufgrund dieser Tatsache gilt die Stringtheorie auch als mögliche TOE, da bis heute noch keine Erklärung vorhanden ist, die jene bestimmten Werte für die jeweiligen Teilchen begründet. Da allerdings die verschiedenen Schwingungsmuster von fundamentalen Strings zur Entstehung verschiedener Massen und Ladungen [führen] 42, wäre auf einfachem Weg eine Erklärung der Eigenschaften gegeben. Dabei gibt es genau ein Schwingungsmuster, das genau die Eigenschaften des Gravitons aufweist und daher dafür sorgt, dass die Gravitation ein integraler Bestandteil der Theorie ist. 43 Die Masse des Elementarteilchens wird durch die Energie des Schwingungsmusters bestimmt: Schwere Teilchen beruhen auf Strings, die mit höheren Energien schwingen, und umgekehrt. Das Problem liegt derzeit noch darin, das genaue Spektrum der Stringschwingungen so abzuleiten, dass sie mit [den] experimentellen Ergebnissen [verglichen werden] können. 44 Ein weiterer Grund weshalb die Stringtheorie noch nicht als ausgereifte Theorie betrachtet werden kann ist die Tatsache, dass bis jetzt noch kein Grundprinzip herausgefunden werden 41 vgl. GIULINI, Domenico / KIEFER, Claus / LÄMMERZAHL, Claus: Quantum Gravity, S. 171. 42 GREENE, Brian: Das elegante Universum, S. 172. 43 ebda, S. 196. 44 ebda, S. 176. 22

konnte, auf das sich die Stringtheorie stützt. Beispielsweise beruht die spezielle Relativitätstheorie auf dem Relativitätsprinzip, die allgemeine Relativitätstheorie auf dem Äquivalenzprinzip, oder die Quantenmechanik auf der Unschärferelation. Diese Tatsache stellt noch einen wichtigen Punkt in der derzeitigen Forschung dar. Grund für die Annahme von Strings war ursprünglich der Umstand, dass diese im Gegensatz zu den problembehafteten Punktteilchen die besseren Fundamentalobjekte darstellen. Geforscht wurde dabei gerade an den stark wechselwirkenden Teilchen, wofür eine neue mathematische Beschreibung gefunden werden musste. Nach der Einführung der Strings wurden sie von vielen Physikern kritisiert und ihre Existenz geleugnet; diese ablehnende Haltung ist bis heute vorhanden: Viele Physiker meinen, Strings seien nur Gespenster und die Stringtheorie ein Phantom, dem viele Physiker umsonst hinterherlaufen. 45 2.4.2.1 Strings und ihre Kenngrößen Strings gibt es in zwei Arten: als offene und geschlossene Strings. Abb. 5: Ein offener String (links) und geschlossener String (rechts). Die offenen Strings besitzen einen Anfang und ein Ende, während die geschlossenen Strings eine Art Schleife darstellen (Abb. 5). Die Bewegung von Strings kann durch Diagramme dargestellt werden (Abb. 6). Abb. 6: Die Bewegung von Strings in der Raumzeit führt zur Entstehung von Weltflächen (offene Strings) bzw. Weltröhren (geschlossene Strings). Abb. 7: Strings schwingen mit verschiedenen Frequenzen. Je höher ihre Frequenz, desto größer die Energie bzw. Masse der Teilchen, die die Strings verkörpern. 45 KARAMANOLIS, Stratis: Die Stringtheorie, S. 38 23

Strings besitzen bestimmte Grundwellenlängen, mit denen sie schwingen können, von denen natürliche Vielfache möglich sind. Durch höhere Frequenzen bzw. kürzere Wellenlängen erhalten sie verschiedene Energiemengen (Abb. 7). Entscheidend dabei ist, dass verschiedene Energiemengen zu unterschiedlichen Massen und daher zur Masse entsprechenden Teilchenarten führen. 46 Gleiche Auswirkung haben auch die Zusatzdimensionen der Stringtheorie, die im nächsten Kapitel behandelt werden. Ein String kann sich um diese kompaktifizierten Raumdimensionen herumwinden. Die Mindestmasse des Strings hängt von der Größe der Raumdimension und der Anzahl der Windungen um diese ab. Radius der Zusatzdimension und Anzahl der Windungen stehen in proportionalem Verhältnis zu der Mindestmasse (Abb. 8). Abb. 8: Verschiedene Arten, wie sich Strings um eine Raumdimension winden können. Die Windungszahlen werden mit ganzen Zahlen besetzt: Negative Windungszahlen stehen für Antistrings, positive Windungszahlen für normale Strings. Ist die Windungszahl Null, so handelt es sich um einen String, der um keine kompaktifizierte Raumdimension gewunden ist und daher keine Masse besitzt. Sie verkörpern ruhemasselose Teilchen wie Photonen oder Gravitonen. 47 Diese Eigenschaften (Windungszahl, Schwingung der Strings) beeinflussen die Mindestmasse des Strings, zu der noch die Zusatzmasse hinzugefügt werden muss. Die Zusatzmasse besteht aus der Schwerpunktschwingung und den gewöhnlichen Schwingungsmustern, die bereits oben erklärt wurden. Bedeutend sind die Schwerpunktschwingungen: Sie sind die Bewegung eines Strings, der seine Position, aber nicht seine Form ändert und dessen Energie sich umgekehrt proportional zum Radius der Zusatzdimension verhält. Die wird direkt durch die Unschärferelation verursacht: Ein kleinerer Radius grenzt die Position des Strings stärker ein und erhöht daher den Energiegehalt seiner Bewegung. Ein großer Radius führt demgegenüber zu großen Windungsenergien. Diese komplementäre Beziehung führt zu einer entscheidenden Auswirkung: Für jeden großen Radius der Zusatzdimension gibt es einen entsprechenden kleinen Radius; bei den beiden Radien sind Windungsenergie und Schwingungsenergie jeweils vertauscht. 48 46 vgl. KARAMANOLIS, Stratis: Die Stringtheorie, S. 40. 47 vgl. ebda, S. 43. 24

Die physikalischen Eigenschaften hängen dabei von der Gesamtenergie des Strings ab und nicht von den einzelnen Energieanteilen. Weitergeführt bedeutet dies, dass, geometrisch unterschiedliche Universen physikalisch ununterscheidbar sind. 49 Dies soll folgendes Beispiel darstellen: Die Gesamtenergie eines Strings lässt sich mit folgender Formel berechnen: Der Faktor R entspricht der Planck-Länge, mit einer Kompaktifizierung von R=10 und R=1/10 ergeben sich folgende Ergebnisse: Schwingungszahl Windungszahl Gesamtenergie bei Gesamtenergie bei R=10 R=1/10 1 1 1/10 + 10 = 10,1 10 + 1/10 = 10,1 2 2 2/10 + 20 = 20,2 20 + 2/10 = 20,2 3 2 3/10 + 20 = 20,3 30 + 2/10 = 30,2 2 3 2/10 + 30 = 30,2 20 + 3/10 = 20,3 3 3 3/10 + 30 = 30,3 30 + 3/10 = 30,3 3 4 3/10 + 40 = 40,3 30 + 4/10 = 30,4 4 4 4/10 + 40 = 40,4 40 + 4/10 = 40,4 Diesen Eigenschaften kommt besonders zum Zeitpunkt des Urknalls große Bedeutung zu. Kommt es zum Kollaps des Universums, so schrumpft beispielsweise der Radius einer kreisförmigen Dimension bis auf die Planck-Länge. Nach der allgemeinen Relativitätstheorie käme es zu einer weiteren Schrumpfung unter die Planck-Länge bzw. bis zur Singularität. Laut Stringtheorie sind alle physikalischen Prozesse in einer Zusatzdimension identisch mit physikalischen Prozessen, in der die Dimension größer als die Planck-Länge ist. Die Stringtheorie kehrt die geometrischen Verhältnisse um, sodass sich folgender Verlauf ergibt: Eine Zusatzdimension schrumpft bis zur Planck-Länge und ändert dann ihre Richtung in die 48 vgl. KARAMANOLIS, Stratis: Die Stringtheorie, S. 44. 49 vgl. ebda, S. 281. 25

Expansion, bedingt durch die größer werdende Windungsenergie. Praktisch kann es daher zu keinem Kollaps unter die Planck-Länge kommen. 50 2.4.2.2 Wechselwirkungen zwischen Strings Strings können sich teilen oder verbinden (Abb. 9). In der obersten Darstellung der Abbildung sind zwei offene Strings A und B dargestellt, die sich zu einem String C vereinigen. Kreuzen sie sich, so können zwei neue Strings C und D entstehen. Ähnlich ist der Ablauf auch bei geschlossenen Strings (letzte Darstellung). Abbildung 10 zeigt die Interaktion zwischen zwei geschlossenen Strings. Abb. 10: Die Interaktion zwischen Strings findet aus verschiedenen Perspektiven zu jeweils anderen Zeitpunkten statt. Ort genau festgelegt sind. Abb. 9: Wechselwirkungen zwischen Strings Es wird dabei eine gewisse Unschärferelation zugelassen, die dazu führt, dass keine Singularitäten auftreten können, so wie es im Gegensatz dazu bei der Annahme von Punktteilchen der Fall sein kann, da bei ihrer Interaktion Zeitpunkt und Je nach Beobachter kommt es zu unterschiedlichen Zeitpunkten, in denen die Strings interagieren. Damit ließe sich auch die Singularität der Gravitation beim Urknall vermeiden, was beim Punktteilchenmodell nicht möglich ist. Die Wechselwirkungen zwischen Teilchen lassen sich nicht an einen bestimmten Ort festlegen, sondern die gesamte Kraftwirkung erscheint unscharf. 51 Die Wechselwirkungen zwischen den Strings können durch Abb. 11: Zwei Strings die sich aufeinander zubewegen, zu einem dritten String verschmelzen und sich anschließend wieder in zwei Strings aufteilen. Die Abbildung zeigt drei verschiedene Arten, um Bewegungen und Wechselwirkungen darzustellen. komplizierte mathematische Gleichungen beschrieben werden. Bei den Wechselwirkungen 50 vgl. GREENE, Brian: Das elegante Universum, S. 278. 51 vgl. ebda, S. 195. 26

zwischen Strings kommt es, bedingt durch die Unschärferelation zur Entstehung von virtuellen Stringpaaren (eines Strings und seines Antistrings), die genauso wie virtuelle Teilchen sofort wieder verschwinden und ihre Energie wieder an die Umgebung zurückgeben. Dieser Vorgang führt dazu, dass ein gelochter String entsteht. Die Abbildung 12 stellt einen Ein-Schleifen-Prozess dar, wobei auch Mehr-Schleifen-Prozesse möglich sind, bei denen sich der Vorgang mehrere Male hintereinander wiederholt. 52 Abb. 12: Wechselwirkungen zwischen zwei Strings unter Entstehung eines virtuellen Stringpaares, das sofort wieder vernichtet wird. 2.4.2.3 Zusatzdimensionen Um eine Vorstellung zu bekommen, wie Zusatzdimensionen konstruiert sein könnten und wie sie sich verbergen, wird häufig die sogenannte Gartenschlauchanalogie verwendet. Ein Gartenschlauch aus großer Entfernung erscheint so, als hätte er nur eine Dimension auf der man sich bewegen könnte (links und rechts). Betrachtet man ihn in der Nähe, so sieht man die zweite beschreibbare Dimension (kreisförmig um den Schlauch). Die zweite Dimension ist klein aufgerollt und daher nicht sofort erkennbar; in ähnlicher Weise kann man sich die Zusatzdimensionen der Stringtheorie vorstellen. Die erste Idee, Zusatzdimensionen einzuführen, hatte Theodor Kaluza von der Universität Königsberg. 1919 schickte er einen Aufsatz an Einstein, in dem er den Vorschlag machte, dass das Universum nicht drei sondern mehr Dimensionen hätte. Nachdem er sich eingehender mit seinen Gleichungen beschäftigt hatte, die Zusatzgleichungen zu denen der allgemeinen Relativitätstheorie darstellten, konnte er die Maxwell schen Gleichungen der elektromagnetischen Kraft herleiten. Ihm gelang es diese Gleichungen mit der Einstein schen Gravitationstheorie zu vereinigen. 53 1926 führte der schwedische Mathematiker Oskar Klein diese Idee fort und führte eine vierte Raumdimension ein, die im Gegensatz zu den anderen dreien nicht ausgedehnt sondern aufgerollt ist. Nach Kaluza und Klein gibt es solch eine versteckte, zusätzliche kreisförmige 52 vgl. KARAMANOLIS, Stratis: Die Stringtheorie, S. 47. 53 vgl. GREENE, Brian: Das elegante Universum, S. 232. 27