Probeklausur zur Linearen Algebra II (B2)

Prof. Dr. Salma Kuhlmann Gabriel Lehéricy 12. Juli 2016 Lothar Sebastian Krapp Sommersemester 2016 Probeklausur zur Linearen Algebra II (B2) Klausurnummer: 1 Matrikelnummer: Pseudonym: Aufgabe 1 2 3 erreichte Punktzahl Korrektor (Initialen) Maximalpunktzahl 10 10 10 Wichtige Hinweise: 1. Überprüfen Sie Ihren Klausurbogen auf Vollständigkeit, d.h. das Vorhandensein aller 3 Aufgaben. 2. Bei jeder Aufgabe ist der vollständige Lösungsweg zu dokumentieren. Nicht ausreichend begründete Lösungen können zu Punktabzug führen! 3. Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben selbstständig und ohne die Verwendung von Hilfsmitteln außer Schreibzeug und Papier. 4. Verwenden Sie für Ihren Aufschrieb ausschließlich einen dokumentenechten Stift, also insbesondere keinen Bleistift! Aufschriebe mit Bleistift werden nicht gewertet. Graphen und Skizzen dürfen mit Bleistift erstellt werden. 5. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihre Matrikelnummer. 6. Schreiben Sie Ihre Antworten leserlich auf das Blatt unter die Aufgabenstellung oder, falls der Platz nicht ausreicht, unter Angabe der bearbeiteten Aufgabe, auf das weiße Arbeitspapier. Benutzen Sie für jede Aufgabe ein eigenes Blatt. (Das gelbe Konzeptpapier dient lediglich für eigene Notizen. In der Wertung wird ausschließlich das berücksichtigt, was auf dem Klausurbogen oder dem weißen Arbeitspapier steht.) 7. Wenn Sie eine Frage haben, melden Sie sich leise, indem Sie Ihre Hand heben. Wenn Sie zusätzliches Papier brauchen, melden Sie sich mit Papier der gewünschten Art (Arbeits- bzw. Konzeptpapier) in der Hand. 8. Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten.

Matrikelnummer: Seite 1 zu Aufgabe 1 erreichte Punktzahl: Korrektor (Initialen): Aufgabe 1 (10 Punkte). (a) (2 Punkte). Geben Sie die Definition der Determinante auf K n an. Geben Sie dann die Formel der Determinante einer Matrix in K n n bezüglich ihrer Koeffizienten. Dabei dürfen Sie die Begriffe Permutation, Einheitsmatrix sowie grundlegende mengentheoretische Begriffe als bekannt voraussetzen. Alle anderen von Ihnen vewendeten Begriffe müssen definiert werden. (b) (4 Punkte). Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix in R 7 7 : 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 Sie dürfen alle Definitionen, Notationen und Ergebnisse aus der Vorlesung und den Übungen verwenden, solange Sie diese klar benennen. (c) (4 Punkte). Sei A Z n n. Zeigen Sie, dass Folgendes gilt: (a) det(a) Z (b) Die Inverse von A existiert in Z n n genau dann, wenn det(a) { 1, 1}. Sie dürfen alle Definitionen, Notationen und Ergebnisse aus der Vorlesung und den Übungen verwenden, solange Sie diese klar benennen. Lösung zu Aufgabe 1:

Seite 2 zu Aufgabe 1

Matrikelnummer: Seite 3 zu Aufgabe 1 erreichte Punktzahl: Korrektor (Initialen): Fortsetzung der Lösung zu Aufgabe 1:

Matrikelnummer: Seite 1 zu Aufgabe 2 erreichte Punktzahl: Korrektor (Initialen): Aufgabe 2 (10 Punkte). (a) (2 Punkte). Definieren Sie die Begriffe Jordankette bezüglich des Eigenwertes c von T und Jordanzelle der Dimension l zum Eigenwert c. Dabei dürfen Sie die Begriffe Körper, Vektorraum, lineare Transformation, Eigenwert und Darstellungsmatrix sowie grundlegende mengentheoretische Begriffe als bekannt voraussetzen. Alle anderen von Ihnen vewendeten Begriffe müssen definiert werden. (b) (5 Punkte). Sei A := 1 4 0 2 1 0 7 5 1 C 3 3. Finden Sie P C 3 3, sodass P 1 AP in jordanscher Normalform ist und geben Sie die jordansche Normalform von A an. (c) (3 Punkte). Sei A eine Matrix mit Einträgen aus K, sodass Char.Pol(A) = (X 1) 2 (X + 1) 2. Finden Sie alle jordanschen Normalformen, die für A infrage kommen. Begründen Sie Ihre Antwort kurz. Sie dürfen alle Definitionen, Notationen und Ergebnisse aus der Vorlesung und den Übungen verwenden, solange Sie diese klar benennen. Lösung zu Aufgabe 2:

Matrikelnummer: Seite 1 zu Aufgabe 3 erreichte Punktzahl: Korrektor (Initialen): Aufgabe 3 (10 Punkte). Sei A = ( 2 1 1 2 ) R 2 2. (a) (3 Punkte). Zeigen Sie, dass für x, y R 2 durch ein Skalarprodukt auf dem R 2 definiert ist. (x y) := x t Ay (b) (4 Punkte). Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des R 2 bezüglich des in (a) definierten Skalarproduktes. (c) (3 Punkte). Sei (..) ein Skalarprodukt auf einem C-Vektorraum V und sei. die induzierte Norm, d. h. für alle x V gilt x 2 = (x x). Beweisen Sie den verallgemeinerten Satz des Pythagoras: x, y V : x y 2 = x 2 + y 2 2Re(x y). Sie dürfen alle Definitionen, Notationen und Ergebnisse aus der Vorlesung und den Übungen verwenden, solange Sie diese klar benennen. Lösung zu Aufgabe 3: