Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Werner Struckmann Wintersemester 2005/06

8. Graphen 8.1 Mathematische Grundlagen 8.2 Darstellung von Graphen 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen

Einführung Knoten Kante 1 8 Ein Graph besteht aus Knoten (vertices oder nodes), die durch Kanten (edges) verbunden sind. Die Kanten können ungerichtet oder gerichtet sein. Die entsprechenden Graphen heißen ungerichtete bzw. gerichtete Graphen. 1 5 6 2 3 Zyklus 3 3 Gewicht Ungerichteter gewichteter zyklischer Graph Graphen, deren Kanten durch eine Zahl gewichtet sind, nennt man gewichtete Graphen. Graphen können Zyklen enthalten. Gerichteter azyklischer Graph 8.1 Mathematische Grundlagen 8-1

Einführung Knoten können durch eine Kante mit sich selbst verknüpft sein (Schlinge). ungerichteter zyklischer Graph mit Schlingen Knoten können Attribute (zum Beispiel einen Wert oder eine Farbe) besitzen. gerichteter azyklischer gefärbter Graph 8.1 Mathematische Grundlagen 8-2

Anwendungsbeispiele Ungerichtete Graphen: Kommunikationsnetz Gewichte als Dauer einer Datenübertragung. Gesucht ist der schnellste Übertragungsweg von a nach b. Gewichte als Kosten einer Datenübertragung. Gesucht ist der günstigste Übertragungsweg von a nach b. Gerichtete Graphen: Straßennetz Gewicht als Länge einer Wegstrecke. Gesucht ist die kürzeste Strecke von a nach b. Begriffsmodellierung, semantische Netze Unterbegriffe: ein Auto ist ein Fahrzeug. 8.1 Mathematische Grundlagen 8-3

Anwendungsbeispiele Gerichtete Graphen: Kontrollfluss in Programmen Welche Programmabschnitte werden bei gegebener Eingabe nicht ausgeführt? Gerichtete azyklische Graphen: Stammbäume Gesucht sind die Vorfahren von x. Vererbungshierachie in der objektorientierten Programmierung 8.1 Mathematische Grundlagen 8-4

Gerichtete und ungerichtete Graphen Ein gerichteter Graph (Digraph) G ist ein Paar (V, E) mit: V ist eine endliche Menge (Knoten, Knotenmenge). E V V ist eine Relation auf V (Kanten, Kantenmenge). Eine Kante (u, u) E heißt Schlinge. Ein ungerichteter Graph G ist ein Paar (V, E) mit: V ist eine endliche Menge (Knoten, Knotenmenge). E {{u, v} u, v V} ist eine Menge, deren Elemente einoder zweielementige Teilmengen von V sind. (Kanten, Kantenmenge). Eine einelementige Teilmenge{u} heißt Schlinge. E kann als symmetrische Relation E V V angesehen werden. Man schreibt häufig (u, v) E statt{u, v} E. 8.1 Mathematische Grundlagen 8-5

Adjazenz Es sei ein gerichteter oder ungerichteter Graph G = (V, E) gegeben. Falls (u, v) E ist sagt bzw. schreibt man: (u, v) tritt aus u aus, (u, v) tritt in v ein, u und v sind adjazent (benachbart), u v. E ist die Adjazenzrelation. 8.1 Mathematische Grundlagen 8-6

Grad eines Knotens Ungerichteter Graph: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der mit ihm in Relation stehenden Knoten. Ein Knoten mit dem Grad 0 heißt isoliert. Gerichteter Graph: Der Ausgangsgrad eines Knotens ist die Anzahl seiner austretenden Kanten. Der Eingangsgrad eines Knotens ist die Anzahl seiner eintretenden Kanten. Der Grad eines Knotens ist die Summe aus Ausgangs- und Eingangsgrad. 8.1 Mathematische Grundlagen 8-7

Pfade Es sei ein Graph G = (V, E) gegeben. Ein Pfad p der Länge k in G von u V zu u V ist eine Folge p = (v 0, v 1,...,v k ) von Knoten mit u = v 0, u = v k und (v i 1, v i ) E, i = 1,...k. Der Pfad p enthält die Knoten v 0, v 1,...,v k und die Kanten (v 0, v 1 ),...,(v k 1, v k ). Wenn es einen Pfad p von u V zu u V gibt, heißt u von u über p erreichbar. Ein Pfad heißt einfach, wenn alle Knoten verschieden sind. Ein Teilpfad eines Pfads p = (v 0, v 1,...,v k ) ist eine Teilfolge benachbarter Knoten. 8.1 Mathematische Grundlagen 8-8

Zyklen Ein Pfad p = (v 0, v 1,...,v k ) heißt Zyklus, wenn v 0 = v k und k> 0 ist. Ein Zyklus ist einfach, wenn seine Knoten paarweise verschieden sind. Ein Graph ohne Schlingen wird einfach genannt. Ein Graph ohne Zyklen wird als azyklisch bezeichnet. 8.1 Mathematische Grundlagen 8-9

Zusammenhang Ein ungerichteter Graph heißt zusammenhängend, wenn jedes Knotenpaar durch einen Pfad verbunden ist. Die Zusammenhangskomponenten eines ungerichteten Graphen sind die Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation ist erreichbar von. Ein gerichteter Graph heißt stark zusammenhängend, wenn jeder Knoten von jedem anderen Knoten aus erreichbar ist. Die starken Zusammenhangskomponenten eines gerichteten Graphen sind die Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation sind gegenseitig erreichbar. 8.1 Mathematische Grundlagen 8-10

Teilgraphen und Isomorphie Ein Graph G = (V, E ) ist ein Teilgraph von G = (V, E), falls V V und E E gilt. Ist eine Teilmenge V V gegeben, dann ist der durch V induzierte Teilgraph Graph G = (V, E ) von G = (V, E) durch E ={(u, v) E u, v V }. bestimmt. Zwei Graphen G = (V, E) und G = (V, E ) sind isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung f : V V mit gibt. (u, v) E (f(u), f(v)) E 8.1 Mathematische Grundlagen 8-11

Spezielle Graphen Ein vollständiger Graph ist ein Graph, in dem jedes Knotenpaar benachbart ist: u, v V (u, v) E Ein bipartiter Graph ist ein Graph, in dem die Knotenmenge V in zwei Teilmengen V 1 und V 2 zerlegt werden kann, dass alle Kanten zwischen V 1 und V 2 verlaufen: (u, v) E (u V 1, v V 2 ) (u V 2, v V 1 ) 8.1 Mathematische Grundlagen 8-12

Bäume Ein Wald ist ein azyklischer, ungerichteter Graph. Ein (freier) Baum ist ein zusammenhängender Wald. Ein (gerichteter) Baum ist ein freier Baum, in dem einer der Knoten vor den anderen ausgzeichnet ist. Dieser Knoten heißt Wurzel. In einem geordneten Baum sind die Kinder jedes Knotens geordnet. Mit diesen Definitionen, können wir die Begriffe Kind, Vater, Vorfahre, Höhe, Tiefe, binärer Baum, k-närer Baum,... graphentheoretisch interpretieren. 8.1 Mathematische Grundlagen 8-13

Gewichtete Graphen Ein gewichteter Graph G = (V, E, w) besteht aus einem Graphen (V, E) und einer Gewichtsfunktion w : E R, die jeder Kante e E eine reelle Zahl w(e) als Gewicht zuordnet. Das Gewicht w(p) eines Pfads p = (v 0, v 1,...,v k ) ist die Summe der einzelnen Kantengewichte: w(p) := k 1 i=0 w((v i, v i+1 )) 8.1 Mathematische Grundlagen 8-14

Kürzeste Pfade Ungewichtete Graphen: Ein Pfad minimaler Länge zwischen zwei Knoten heißt kürzester Pfad zwischen diesen Knoten. Gewichtete Graphen: Ein Pfad minimalen Gewichts zwischen zwei Knoten heißt kürzester Pfad zwischen diesen Knoten. Die Länge bzw. das Gewicht des kürzesten Pfades zwischen zwei Knoten ist die Distanz der beiden Knoten. Kürzeste Pfade müssen nicht existieren (Beispiel: es existiert ein Zyklus mit negativem Gewicht, der beliebig oft durchlaufen werden kann). Kürzeste Pfade sind im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. 8.1 Mathematische Grundlagen 8-15

Erweiterungen Ein Multigraph ist ein Graph, der Mehrfachkanten enthalten kann. Eine Kante in einem Hypergraphen kann mehr als zwei Knoten verbinden. 8.1 Mathematische Grundlagen 8-16

Nützliche Funktionen Bei gerichteten Graphen: Ausgangskanten: ak : V P(E), ak(u) ={(u, v) (u, v) E} Eingangskanten: ek : V P(E), ek(u) ={(v, u) (v, u) E} Ausgangsgrad: ag : V N 0, ag(u) = ak(u) Eingangsgrad: eg : V N 0, eg(u) = ek(u) f g a e c b ak(a) ={(a, g),(a, b)} ek(g) ={(a, g),(b, g),(f, g)} d 8.2 Darstellung von Graphen 8-17

Nützliche Funktionen Nachfolgerknoten: nk : V P(V), nk(u) ={v (u, v) E} Vorgängerknoten: vk : V P(V), vk(u) ={v (v, u) E} f e g c a b nk(a) ={g, b} d 8.2 Darstellung von Graphen 8-18

Möglichkeiten zur Speicherung von Graphen Kantenlisten Knotenlisten Adjazenzmatrizen Adjazenzlisten 8.2 Darstellung von Graphen 8-19

Kantenlisten Nummerierung der Knoten von 1 bis V = n Speicherung: V, E, Paare (a, b) mit (a, b) E. Es werden 2+ E 2 Werte unsortiert gespeichert. 6 5 4 Einfügen von Kanten und Knoten: O(1) Löschen von Kanten erfordert ein Durchsuchen der Liste: O( E ) 7 1 2 Kantenliste: 7, 9, 1, 2, 1, 7, 2, 7, 3, 2, 3, 4, 3, 5, 4, 5, 5, 6, 6, 7 3 Löschen von Knoten erfordert ein erneutes Nummerieren der Knoten und ggf. Löschen von Kanten: O( E ) 8.2 Darstellung von Graphen 8-20

Knotenliste Nummerierung der Knoten von 1 bis V = n Speicherung: V, E,(ag(v), nk(v)) mit v V aufsteigend sortiert. Es werden 2+ V + E Werte gespeichert. 6 5 4 Einfügen von Knoten: O(1) 7 3 Einfügen und Löschen von Kanten erfordert ein Durchsuchen der Liste: O( E + V ) 1 2 Knotenliste: 7, 9, 2, 2, 7, 1, 7, 3, 2, 4, 5, 1, 5, 1, 6, 1, 7, 0 Löschen von Knoten erfordert ein erneutes Nummerieren der Knoten und ggf. Löschen von Kanten: O( E + V ) 8.2 Darstellung von Graphen 8-21

Adjazenzmatrizen Ein Graph G = (V, E) mit V = n wird als quadratische n n-matrix a von booleschen Werten gespeichert. Es gilt a[i, j] = true (i, j) E. Beispiel für einen gerichteten Graphen: 1 2 3 4 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 Bei ungerichteten Graphen braucht aus Symmetriegründen nur eine Hälfte der Matrix gespeichert zu werden. 8.2 Darstellung von Graphen 8-22

Adjazenzliste Nummerierung der Knoten von 1 bis V. Implementierung durch V + 1 Listen: Basisliste: Liste aller Knoten des Graphen. Pro Knoten: Liste der Nachfolger des Knotens. 1 2 7 6 5 4 2 7 7 3 1 2 7 8.2 Darstellung von Graphen 8-23

Vergleich der Implementierungen Es sei V = n, E = m. Kanten- Knoten- Adjazenz- Adjazenzliste liste matrix liste Speicherbedarf O(m) O(n + m) O(n 2 ) O(n + m) Kante Einfügen O(1) O(n + m) O(1) O(n) Kante Löschen O(m) O(n + m) O(1) O(n + m) Knoten Einfügen O(1) O(1) O(n 2 ) O(1) Knoten Löschen O(m) O(n + m) O(n 2 ) O(n + m) ) für die hier gegebene Implementierung 8.2 Darstellung von Graphen 8-24

Übersicht In diesem Abschnitt wollen wir beispielhaft einige Algorithmen für ungewichtete Graphen vorstellen. Systematisches Durchsuchen eines Graphen Breitensuche (breadth-first search) Tiefensuche (depth-first search) Zyklenfreiheit Topologisches Sortieren Erreichbarkeit 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8-25

Breitensuche Besuch aller Knoten eines Graphen G = (V, E), die von einem Startknoten s erreichbar sind. Es wird von s ausgegangen. Zuerst werden alle von s über eine Kante erreichbaren Knoten besucht. Dann alle über zwei Kanten erreichbaren Knoten. usw. 2. Iteration 1. Iteration Startknoten 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8-26

Breitensuche Iterative Kontrollstruktur Schlange Q zur Speicherung der gerade bearbeiteten Knoten in Reihenfolge der Iterationsschritte Drei Verzeichnisse (Abbildungen, Dictionaries) d : V N 0 bildet jeden Knoten auf seine Entfernung vom Startknoten ab. p : V V bildet jeden Knoten auf den Vorgängerknoten ab, von dem ausgehend er erreicht worden ist. p ergibt nach der Abarbeitung einen Breitensuchbaum. c : V {weiß, schwarz, grau} ordnet jedem Knoten eine Farbe abhängig von seinem Bearbeitungszustand zu: weiß: noch unentdeckt, grau: Entfernung bereits bestimmt, schwarz: abgearbeitet. 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8-27

Breitensuche proc BFS(G,s) begin foreach u V \ {s} do c(u) weiß; d(u) ; p(u) nil od; c(s) grau; d(s) 0; p(s) nil; Q empty; enter(q,s); while! isempty(q) do u front(q); leave(q); foreach v nk(u) do if c(v) = weiß then c(v) grau; d(v) d(u)+1; p(v) u; enter(q,v)fi; od; c(u) schwarz; od; end 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8-28

Breitensuche v r w s x t y u q: s v r w s x t y u q: w, r v r w s x t y u q: r, t, x v r w s x t y u q: t, x, v v r w s x t y u q: x, v, u v r w s x t y u q: v, u, y v r w s x t y u q: u, y v r w s x t y u q: y v r w s x t y u q: leer 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8-29

Breitensuche Satz: Es sei G = (V, E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph, auf dem die Prozedur BFS für einen Startknoten s V ausgeführt wird. 1. Die Prozedur entdeckt jeden Knoten v V, der von s aus erreichbar ist. Bei der Terminierung ist d(v) gleich der Distanz von v von s für alle v V. 2. Die Laufzeit der Breitensuche liegt in O( V + E ), das heißt, die Laufzeit ist linear in der Größe der Adjazenzliste. 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8-30

Breitensuche Der implizit über das Verzeichnis p erzeugte Breitensuchbaum ist r s t u v w x y Die Pfade von jedem Knoten in diesem Baum zum Startknoten entsprechen kürzesten Pfaden in G. 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8-31

Tiefensuche Besuch aller Knoten eines Graphen G = (V, E). Es wird von einem Startknoten s ausgegangen. Es wird rekursiv so weit wie möglich auf einem Pfad vorangeschritten. Danach wird zu einer Verzweigung mit einem noch nicht besuchten Knoten zurückgegangen (Backtracking). a 1 2 b c 14 13 j 11 12 3 16 d 15 i 10 f e 6 7 h 8 5 g 9 4 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8-32

Tiefensuche Rekursive Kontrollstruktur Prozeduren DFS(G) und DFS-visit(u) Zeitstempel Vier Verzeichnisse (Abbildungen, Dictionaries) d : V N 0 Beginn der Bearbeitung eines Knotens f : V N 0 Ende der Bearbeitung eines Knotens p : V V Vorgängerknoten c : V {weiß, schwarz, grau} wie oben 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8-33

Tiefensuche proc DFS(G) begin foreach u V do c(u) weiß; p(u) nil od; zeit 0; foreach u V do if c(u) = weiß then DFS-visit(u) fi; od; end 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8-34

Tiefensuche proc DFS-visit(u): begin c(u) grau; zeit zeit+1; d(u) zeit; foreach v nk(u) do if c(v) = weiß then p(v) u; DFS-visit(v) fi; od; c(u) schwarz; zeit zeit+1; f(u) zeit; end 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8-35

Tiefensuche x / u 1/ y / v / z / w / x / u 1/ y / v 2/ z / w / x / u 1/ y 3/ v 2/ z / w / x 4/ u 1/ y 3/ v 2/ z / w / x 4/ u 1/ y 3/ v 2/ z / w / B x 4/5 u 1/ y 3/ v 2/ z / w / B x 4/5 u 1/ y 3/6 v 2/ z / w / B x 4/5 u 1/ y 3/6 v 2/7 z / w / B 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8-36

Tiefensuche 1/ u 2/7 v / w 1/8 u 2/7 v / w 1/8 u 2/7 v 9/ w 1/8 u 2/7 v 9/ w F B F B F B F B C x 4/5 y 3/6 z / x 4/5 y 3/6 z / x 4/5 y 3/6 z / x 4/5 y 3/6 z / 1/8 u 2/7 v 9/ w 1/8 u 2/7 v 9/ w 1/8 u 2/7 v 9/ w 1/8 u 2/7 v 9/12 w F B C F B C F B C F B C x 4/5 y 3/6 z 10/ x 4/5 y 3/6 z 10/ B x 4/5 y 3/6 z 10/11 B x 4/5 y 3/6 z 10/11 B 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8-37

Tiefensuche Der implizit über das Verzeichnis p erzeugte Tiefensuchwald ist 1/8 u 2/7 v 9/12 w x 4/5 F B y 3/6 C z 10/11 B 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8-38

Tiefensuche Klassifikation der Kanten: 1. Baumkanten sind Kanten im Tiefensuchwald. 2. Rückwärtskanten B sind Kanten, die einen Knoten mit einem Vorfahren im Tiefensuchwald verbinden. 3. Vorwärtskanten F sind diejenigen Nichtbaumkanten, die einen Knoten mit einem Nachfahren im Tiefensuchwald verbinden. 4. Querkanten C sind alle übrigen Kanten. Sie können zwischen verschiedenen Tiefensuchbäume verlaufen. Bei einer Tiefensuche auf einem ungerichteten Graphen ist jede Kante eine Baumkante oder eine Rückwärtskante. 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8-39

Zyklenfreiheit Mithilfe der Tiefensuche können Zyklen in gerichteten Graphen ermittelt werden. Es gilt: Ein gerichteter Graph G ist genau dann azyklisch, wenn der Tiefensuchalgorithmus auf G keine Rückwärtskanten liefert. Beweis: s. Cormen et al., Seite 554. 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8-40

Topologisches Sortieren Gegeben sei ein gerichteter azyklischer Graph G = (V, E). Solche Graphen werden als DAG (directed acyclic graph) bezeichnet. Eine topologische Sortierung von G ist eine lineare Anordnung seiner Knoten mit der Eigenschaft, dass u vor v liegt, wenn es einen Pfad von u nach v gibt. Gesucht ist ein Algorithmus, der zu einem DAG G = (V, E) eine topologische Sortierung seiner Knotenmenge V berechnet. 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8-41

Topologisches Sortieren Beispiel: Gesucht ist die Reihenfolge beim Ankleiden. Nach Festlegung der Reihenfolge einzelner Kleidungsstücke entsteht folgender Graph: Socken Unterhose Schuhe Hose Hemd Gürtel Fliege Uhr Jacke 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8-42

Topologisches Sortieren Mit Tiefensuche kann für jeden Knoten die Endzeit seiner Bearbeitung bestimmt werden. Sie ergibt eine topologische Sortierung. Ist die Bearbeitung eines Knotens abgeschlossen, so wird er am Kopf der zu Beginn leeren Ergebnisliste eingefügt. Die Ergebnisliste gibt die Sortierung an. Reihenfolge: Socken (18), Unterhose (16), Hose (15), Schuhe (14), Uhr (10), Hemd (8), Gürtel (7), Fliege (5), Jacke (4) Unterhose 11/16 Hose 12/15 Gürtel 6/7 Uhr 9/10 Socken 17/18 Schuhe 13/14 Hemd 1/8 Fliege 2/5 Jacke 3/4 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8-43

Floyd-Warshall-Algorithmus Es soll die reflexive, transitive Hülle einer Relation bestimmt werden. Dieses Problem entspricht dem Erreichbarkeitsproblem in einem Graphen. 1 2 3 4 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8-44

Floyd-Warshall-Algorithmus Es sei V ={1,...,n}. Die Relation E V V liege als Adjazenzmatrix r vor. Für 1 i, j n sei true falls (i, j) E r[i, j] = false sonst func FloyWars(r: bool [n,n]): bool [n,n] begin var i,j,k: int; for i 1 to n do r[i,i] true; od; for k 1 to n do for i 1 to n do for j 1 to n do r[i,j] r[i,j] (r[i,k] r[k,j]); od; od; od; return r; end 8.3 Ausgewählte Algorithmen für ungewichtete Graphen 8-45

Übersicht In diesem Abschnitt wollen wir beispielhaft einige Algorithmen für gewichtete Graphen vorstellen. Minimale Spannbäume Algorithmus von Kruskal Algorithmus von Prim Kürzeste Pfade von einem Startknoten Algorithmus von Dijkstra Bellmann-Ford-Algorithmus 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-46

Minimale Spannbäume Gegeben sei ein gewichteter Graph G = (V, E, w). Gesucht ist eine azyklische Teilmenge T E, die alle Knoten verbindet und deren Gesamtgewicht w(t) = w(e) minimal ist. e T Eine Kantenmenge, die azyklisch ist und alle Knoten verbindet, ist ein Baum, der Spannbaum genannt wird. Es ist also ein minimaler Spannbaum gesucht. 4 3 3 2 6 3 5 8 6 4 5 7 2 6 Dieser Baum ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-47

Basisalgorithmus Der Algorithmus verwaltet eine Kantenmenge A, die den minimalen Spannbaum Kante für Kante aufbaut. A ist stets Teilmenge eines minimalen Spannbaums. Eine Kante e E, die zu A hinzugefügt werden kann, ohne die Eigenschaft zu verletzen, dass A Teilmenge eines minimalen Spannbaums ist, heißt sichere Kante für A. proc MST-Basis(G) begin A ; while A bildet keinen Spannbaum do bestimmeeine Kante e E, die sicher für A ist; A A {e}; od; return A; end 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-48

Basisalgorithmus Satz: Es sei G = (V, E) ein zusammenhängender, gewichteter Graph. A sei eine Teilmenge eines minimalen Spannbaums und C = (V C, E C ) eine Zusammenhangskomponente aus dem Wald G A = (V, A). Dann gilt: Falls e E eine Kante mit minimalen Gewicht ist, die C mit einer anderen Komponente von G A verbindet, dann ist e sicher für A. Beweis: s. Cormen, S. 569 f. 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-49

Operationen für disjunkte Mengen MakeSet(x) erzeugt die einelementige Menge{x}. x darf nicht bereits in einer anderen Menge enthalten sein. Union(x,y) bildet die Vereinigungsmenge x y. Es wird x y = vorausgesetzt. FindSet(x) liefert einen Zeiger auf den Repäsentanten der eindeutig bestimmten Menge, die x enthält. 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-50

Algorithmus von Kruskal Selektiere fortwährend eine verbleibende Kante mit geringstem Gewicht, die keinen Zyklus erzeugt, bis alle Knoten verbunden sind (Kruskal, 1956). Eine eindeutige Lösung ist immer dann vorhanden, wenn alle Gewichte verschieden sind. 4 3 3 2 6 3 5 8 6 4 5 7 2 6 Nach Wahl der Kanten 2, 2, 3 und 3 darf die verbleibende 3 nicht gewählt werden, da sonst ein Zyklus entstünde. 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-51

Algorithmus von Kruskal proc MST-Kruskal(G) begin A ; foreach v V do MakeSet(v)od; sortiere die Kanten aufsteigend nach ihrem Gewicht; foreach (u,v) E do if FindSet(u) FindSet(v)then A A {(u,v)} UnionSet(FindSet(u), FindSet(v)); fi; od; return A; end 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-52

Algorithmus von Kruskal A ist zu jedem Zeitpunkt ein Wald, dessen Komponenten nach und nach zu einem minimalen Spannbaum verbunden werden. Die Laufzeit hängt von der Implementierung der disjunkten Mengen ab. Bei einer geeigneten Realisierung der disjunkten Mengen liegt die Laufzeit des Algorithmus von Kruskal in O( E log V ). 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-53

Algorithmus von Prim Beim Algorithmus von Prim bildet die Kantenmenge A stets einen Baum. Der Baum startet bei einem beliebigen Wurzelknoten und wächst, bis er V aufspannt. In jedem Schritt wird eine Kante hinzugefügt, die A mit einem isolierten Knoten von G A = (V, A) verbindet und die bezüglich dieser Eigenschaft minimal ist. Der Algorithmus verwendet zur Verwaltung der Knoten eine Min-Prioritätswarteschlange Q, die auf einem Attribut schlüssel basiert. Für jeden Knoten v ist schlüssel(v) das kleinste Gewicht aller Kanten, die v mit einem Knoten des Baums verbinden. p(v) bezeichnet den Vater von v. 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-54

Algorithmus von Prim proc MST-Prim(G,r) begin foreach u V do schlüssel(u) ; p(u) nil; od; schlüssel(r) 0; Q V; while Q do u ExtractMin(Q); foreach v nk(u) do if v Q und w(u,v) < schlüssel(v) then p(v) u; schlüssel(v) w(u,v); fi; od; od; end 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-55

Algorithmus von Prim Die Laufzeit des Algorithmus von Prim hängt von der Implementierung der Min-Prioritätswarteschlange Q ab. Die Anweisung schlüssel(v) w(u,v) ist beispielsweise eine Decrease-Operation. Wenn Q als binärer Min-Heap realisiert wird, liegt die Laufzeit des Algorithmus von Prim in O( E log V ). Dies entspricht der Laufzeit des Algorithmus von Kruskal. Durch Verwendung von so genannten Fibonacci-Heaps kann die Laufzeit des Algorithmus von Prim auf O( E + V log V ) verbessert werden. 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-56

Problem der kürzesten Pfade bei einem Startknoten Gegeben ist ein gewichteter Graph G = (V, E, w) und ein Startknoten s V. Gesucht ist für jeden Knoten v V ein Pfad p = (v 0,...,v k ) von s = v 0 nach v = v k, dessen Gewicht w(p) = k i=1 w(v i 1, v i ) minimal wird. Falls kein Pfad von s nach v existiert, sei das Gewicht. Die Gewichte können im Allgemeinen negativ sein. 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-57

Problem der kürzesten Pfade bei einem Startknoten Beispiel: Bestimme den kürzesten Weg von Frankfurt nach Celle Augsburg Frankfurt 2 4 9 9 9 3 Braunschweig 1 8 3 2 2 Erfurt 8 6 9 3 Celle Darmstadt Der kürzester Weg ist (Frankfurt, Augsburg, Braunschweig, Celle). Er hat das Gewicht 6. 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-58

Bellmann-Ford-Algorithmus Der Algorithmus verwendet so genannte Relaxationen und bestimmt so immer kleiner werdende Schätzungen d(v) für das Gewicht eines kürzesten Pfads vom Startknoten s aus zu allen Knoten v V, bis er das tatsächliche Gewicht erreicht hat. Der Algorithmus gibt genau dann wahr zurück, wenn der Graph keine Zyklen mit negativem Gewicht enthält, die von s aus erreichbar sind. p(v) ist wie bisher der Vaterknoten von v. Der Algorithmus führt V 1 Durchläufe über die Kanten des Graphen aus. 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-59

Bellmann-Ford-Algorithmus Initialisierung: proc Init(G,s) begin foreach v V do d(v) ; p(v) nil; od; d(s) 0; end Relaxation: proc Relax(u,v,w) begin if d(v) > d(u) + w(u,v) then d(v) d(u) + w(u,v); p(v) u; fi; end 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-60

Bellmann-Ford-Algorithmus proc Bellmann-Ford(G, s) boolean begin Init(G,s); for i 1 to V - 1 do foreach (u,v) E do Relax(u,v,w); od; od; foreach (u,v) E do if d(v) > d(u) + w(u,v) then return false; fi; od; return true; end Die Laufzeit des Bellmann-Ford-Algorithmus liegt in O( E V ). 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-61

Algorithmus von Dijkstra Der Algorithmus von Dijkstra löst das Problem der kürzesten Pfade bei einem Startknoten, falls alle Gewichte nichtnegativ sind. Wir setzen daher w(e) 0für alle e E voraus. Die Laufzeit des Dijkstra-Algorithmus ist bei guter Implementierung besser als die des Bellmann-Ford-Algorithmus. 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-62

Algorithmus von Dijkstra Der Dijkstra-Algorithmus verwaltet eine Menge S von Knoten, deren endgültige Gewichte der kürzesten Pfade vom Startknoten aus bereits bestimmt wurden. Der Algorithmus wählt in jedem Schritt denjenigen Knoten u V\ S mit der kleinsten Schätzung des kürzesten Pfads aus, fügt u zu S hinzu und relaxiert alle aus u austretenden Kanten In der Implementierung wird eine Min-Prioritätswarteschlange Q für Knoten verwendet. Dabei dienen die d-werte als Schlüssel. 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-63

Algorithmus von Dijkstra proc Dijkstra(G, s) begin Init(G,s); S ; Q V; while Q do u ExtractMin(Q); S S {u}; foreach v nk(u) Relax(u,v,w); od; od; end Die Laufzeit des Dijkstra-Algorithmus hängt von der Implementierung der Min-Prioritätswarteschlange Q ab. Bei guter Implementierung von Q liegt die Laufzeit des Dijkstra-Algorithmus in O( E + V log V ). 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-64

Algorithmus von Dijkstra s 0 10 t 3 2 9 1 x 6 4 s 0 10 t 10 3 2 9 1 x 6 4 s 0 10 t 8 3 2 9 1 x 14 6 4 5 7 5 7 5 7 y 2 z 5 y 2 z 5 y 2 7 z Q = [s,t,x,y,z] Q = [y,t,x,z] Q = [z,t,x] t 8 1 x 13 t 8 1 x 9 t 8 1 x 9 s 0 10 3 2 9 6 4 s 0 10 3 2 9 6 4 s 0 10 3 2 9 6 4 5 7 5 7 5 7 5 y 2 7 z 5 y 2 7 z 5 y 2 7 z Q = [t,x] Q = [x] Q = [] 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-65

Ausblick Die Graphentheorie ist ein umfangreiches Gebiet, in dem viele weitere Fragestellungen untersucht werden. Wir stellen drei davon kurz vor: Problem des Handlungsreisenden, planare Graphen, Färbungen von Graphen. 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-66

Problem des Handlungsreisenden Gegeben seien n durch Straßen verbundene Städte mit Reisekosten c(i, j) zwischen je zwei Städten i und j, 1 i, j n. Gesucht ist die billigste Rundreise, die jede Stadt genau einmal besucht (Traveling Salesman Problem, TSP). Augsburg Frankfurt 2 4 9 9 9 3 Braunschweig 1 8 3 2 2 Erfurt 8 6 9 3 Celle Darmstadt Die billigste Rundreise kostet 13 Einheiten. 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-67

Planare Graphen Gegeben sei ein beliebiger Graph G. Lässt sich G planar zeichnen, das heißt, ohne sich schneidende Kanten? Im Beispiel unten ist dies möglich, im Allgemeinen jedoch nicht. Anwendung: Chip- oder Leiterplattendesign. Leiterbahnen sollen möglichst kreuzungsfrei gestaltet werden. 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-68

Färbungen von Graphen Gegeben sei ein Graph G. Die Knoten von G sollen derart gefärbt werden, dass benachbarte Knoten verschiedene Farben besitzen. Wie viele Farben werden benötigt? Im Beispiel unten reichen bereits drei Farben. Für planare Graphen werden im Allgemeinen vier Farben benötigt. Dieses Ergebnis wurde 1976 von K. Appel und W. Haken gezeigt (Vierfarbenproblem). Der Beweis war sehr umfangreich und computergestützt. Anwendungen: Einfärben von Landkarten (Knoten Land, Kante Grenze), Vergabe überschneidungsfreier Klausurtermine (Knoten Fach, Kante beide Fächer werden vom gleichen Studenten gehört, Farbe Termin) 8.4 Ausgewählte Algorithmen für gewichtete Graphen 8-69