9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung I. Zufällige Ereignisse Beispiel (Einmaliges Würfeln): Alle möglichen Ausgänge 1, 2,, 6 des Experiments werden zur Ergebnismenge Ω ( Ergebnisraum ) zusammengefasst. Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Anzahl der Elemente von Ω: Ω = 6 Definition: Teilmengen von Ω heißen Ereignisse und werden mit A, B, C, abgekürzt. Einelementige Teilmengen heißen Elementarereignisse: ω 1, ω 2, ω 3, 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 85 -
Beispiel (Einmaliges Würfeln): verbal mengentheoretisch gerade Zahl A = { 2, 4, 6 } ungerade Zahl B = { 1, 3, 5 } Primzahl C = { 1, 2, 3, 5 } keine Primzahl D = { 4, 6 } Zahl 2 E = { 1, 2 } Zahl > 4 F = { 5, 6 } Definition: Schnittmenge ( A B) : Alle Elementarereignisse aus A und B Vereinigungsmenge ( A B) : Alle Elementarereignisse aus A oder B Beispiel (Einmaliges Würfeln): Ungerade Zahl oder Primzahl: B C = { 1, 2, 3, 5 } = C Zahl > 4 oder gerade Zahl: F A = { 2, 4, 5, 6 } Zahl > 4 und gerade Zahl: F A = { 6 } Gerade Zahl und ungerade Zahl: A B = Ø = { } 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 86 -
Beispiel (Einmaliges Würfeln): verbal mengentheoretisch gerade Zahl A = { 2, 4, 6 } ungerade Zahl B = { 1, 3, 5 } Primzahl C = { 1, 2, 3, 5 } keine Primzahl D = { 4, 6 } Zahl 2 E = { 1, 2 } Zahl > 4 F = { 5, 6 } Definition: Zwei Ereignisse A und B heißen disjunkt (unvereinbar), falls A B = Ø. Beispiel (Einmaliges Würfeln): C und D sind disjunkt. E und F sind disjunkt. 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 87 -
Beispiel (Einmaliges Würfeln): verbal mengentheoretisch gerade Zahl A = { 2, 4, 6 } ungerade Zahl B = { 1, 3, 5 } Primzahl C = { 1, 2, 3, 5 } keine Primzahl D = { 4, 6 } Zahl 2 E = { 1, 2 } Zahl > 4 F = { 5, 6 } Definition: Die Menge A aller Elemente in Ω, die nicht in A liegen, heißt Komplementärereignis zu A. Beispiel (Einmaliges Würfeln): B ist Komplementärereignis zu A. C ist Komplementärereignis zu D. E und F sind zwar disjunkt, aber keine Komplementärereignisse. 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 88 -
Beispiel (Zweimaliges Würfeln): Ω = { (1, 1), (1, 2), (1, 3),, (1, 6), (2, 1), (2, 2), M, (6, 6)} Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } : Kartesisches Produkt (von Mengen) Ω = 6 6 = 36. Satz: Wird ein Zufallsexperiment mit k Elementarereignissen n-mal wiederholt, dann hat das zusammengesetzte Zufallsexperiment n k Elementarereignisse. Beispiel (Dreimaliges Würfeln): Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ω = 6 3 = 216 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 89 -
II. Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen Beispiel (Zweimaliges Würfeln): Ereignisse: A : Beide Zahlen sind gleich B : Keine Sechs C : Nur ungerade Zahlen D : Augensumme ist 7 E : Beide Zahlen 3 Gesucht: A), B), C), D), E) ( P für Probability = Wahrscheinlichkeit) Definition: Falls alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind, spricht man von einem Laplace-Experiment. Satz: Bei einem Laplace-Experiment gilt für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A P (A) = A. Ω 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 90 -
Beispiel (Zweimaliges Würfeln): Ereignisse: A : Beide Zahlen sind gleich B : Keine Sechs C : Nur ungerade Zahlen D : Augensumme ist 7 E : Beide Zahlen 3 Zweimaliges Würfeln Ω = 2 6 = 36 A = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) } 6 1 A = 6 A) = = 36 6 B = {1, 2, 3, 4, 5} q {1, 2, 3, 4, 5} 25 B = 25 B) = 36 C = {1, 3, 5} q {1, 3, 5} 9 C = 9 C) = = 36 D = { (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) } 6 1 P ( D ) = = 36 6 E = {3, 4, 5, 6} q {3, 4, 5, 6} 16 4 P ( E ) = = 36 9 1 4 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 91 -
Satz: Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Ω) = 1 Ø) = 0 A) = 1 A) A B) = A) + B) A B) Sind A und B disjunkt ( A B = Ø ), dann gilt: A B) = A) + B) A B C) = A) + B) + C) A B) A C) B C) + A B C) A) = A B) + A B) Beispiel (Zweimaliges Würfeln): Es war: Gesucht: A : Beide Zahlen sind gleich C : Nur ungerade Zahlen (i) beide Zahlen verschieden) 1 5 P ( A ) = 1 A) = 1 = 6 6 (ii) beide Zahlen gleich oder nur ungerade Zahlen) A C) = A) + C) A C) 6 9 3 12 1 = + = = 36 36 36 36 3 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 92 -
Beispiel (Zweimaliges Würfeln): Es war: B : Keine Sechs D : Augensumme ist 7 E : Beide Zahlen 3 Gesucht: (iii) Keine Sechs oder Augensumme ist 7 oder beide Zahlen 3) B D = { (2,5), (5,2), (3,4), (4,3) } B E = { 3, 4, 5} {3, 4, 5} D E = { (3,4), (4,3) } B D E = { (3,4), (4,3) } B D E) = B) + D) + E) B D) B E) D E) + B D E) = 25 36 36 2 + 36 34 = 36 6 16 + + 36 36 4 9 2 36 36 = 17 18 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 93 -
Situation ( ): Ein Unternehmen hat 520 Beschäftigte, davon sind 208 weiblich. 286 der Beschäftigten fahren nicht mit dem Auto zur Arbeit, davon 156 weiblich. Sie gehen über den Flur des Firmengebäudes und hören hinter der nächsten Ecke Schritte. (Es ist Kernarbeitszeit, d.h. alle Beschäftigten sind anwesend, und die Wahrscheinlichkeit, um diese Ecke zu kommen, ist für jeden Beschäftigten gleich Laplace-Firma) Gesucht: Wahrscheinlichkeit, in der Firma einem männlichen PKW-Fahrer zu begegnen. Bezeichnung der Ereignisse: W : Weibliche Angestellte A : Autofahrer/-in 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 94 -
Lösung zur Situation ( ): Bezeichnung der Ereignisse: W : Weibliche Angestellte A : Autofahrer/-in Bekannt: 208 286 P ( W) = = 0,4 P ( A) = = 0, 55 520 520 156 P ( W A) = = 0,3 520 Gesucht: W A) W ) = 1 W) = 1 0,4 = 0,6 A) = W A) + W A) 0,55 = 0,3 + W A) P ( W A) = 0,25 W ) = W A) + W A) 0,6 = W A) + 0,25 P ( W A) = 0,35 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 95 -
Noch einfachere Lösung zur Situation ( ): W W A W A) W A) A ) A W A) W A) A ) W ) W ) 1 W W A 0,1 0,35 0,45 A 0,3 0,25 0,55 0,4 0,6 1 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 96 -