Kapitel 16 Aufgaben Verständnisfragen Aufgabe 16.1 Ist das Produkt quadratischer oberer bzw. unterer Dreiecksmatrizen wieder eine obere bzw. untere Dreiecksmatrix? Aufgabe 16.2 Bekanntlich gilt im Allgemeinen A B = B A für n n-matrizen A und B. Gilt det(ab) = det(ba)? Aufgabe 16.3 Hat eine Matrix A R n n mit n 2N + 1 und A = A T die Determinante 0? Aufgabe 16.4 Gilt für invertierbare Matrizen A, B K n n ad(ab) = ad(b) ad(a)? Aufgabe 16.5 Ist das Produkt symmetrischer Matrizen stets wieder eine symmetrische Matrix? Aufgabe 16.6 Ist das Inverse einer invertierbaren symmetrischen Matrix wieder symmetrisch? Aufgabe 16.7 Folgt aus der Invertierbarkeit einer Matrix A stets die Invertierbarkeit der Matix A T? Aufgabe 16.8 Wir betrachten eine Blockdreiecksmatrix, d. h. eine Matrix der Form ( ) A C M = K n n, 0 B wobei 0 K (n m) m die Nullmatrix ist und A K m m, C K m (n m), B K (n m) (n m) sind. Zeigen Sie: det M = det A det B. Rechenaufgaben Aufgabe 16.9 Berechnen Sie alle möglichen Matrizenprodukte mit jeweils zwei der Matrizen ( ) 1 2 1 2 3 A =, B = 0 4, 1 4 6 1 0 1 0 4 ( ) C = 1 1 1 1 2, D =. 0 4 0 0 3 Aufgabe 16.10 Gegeben sind drei Matrizen A, B, C R 3 3 mit der Eigenschaft AB = C, ausführlich a 11 2 3 2 b 12 1 2 3 c 13 a 21 1 3 0 b 22 2 = 4 3 c 23. a 31 1 2 0 b 32 2 0 0 c 33 Man ergänze die unbestimmten Komponenten.
Aufgaben zu Kapitel 16 247 Aufgabe 16.11 Sind die folgenden Matrizen invertierbar? Bestimmen Sie gegebenenfalls das Inverse. 6 3 8 1 1 1 A = 1 1 2, B = 2 0 2 R 3 3, 4 3 7 1 2 3 1 1 1 2 0 1 1 2 C = 0 1 0 2 0 0 1 3, D = 1 0 1 2 2 1 2 1 R4 4 0 0 0 1 3 2 0 3 Aufgabe 16.12 Bestimmen Sie ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsmenge L = 1 0 0, 1 R 3 ist. 1 1 Aufgabe 16.13 Bestimmen Sie eine LR-Zerlegung der Matrix 1/2 1/3 1/4 1/5 A = 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 1/5 1/6 1/7 1/8 und mit deren Hilfe die Determinante det A. Aufgabe 16.14 Vervollständigen Sie die folgende Matrix A so, dass A R 3 3 eine orthogonale Matrix ist: 1/2 1/ 2 A = 1/2 1/2 1/ 2 Aufgabe 16.15 Berechnen Sie die Determinanten der folgenden reellen Matrizen: 2 0 0 0 2 1 2 0 0 A = 2 1 0 0 0 0 3 4, B = 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 4 3 2 0 0 0 2 Aufgabe 16.16 Berechnen Sie die Determinante der reellen n n-matrix 0... 0 d 1 A =. d 2 0.. d n... Anwendungsprobleme Aufgabe 16.17 Für ein aus drei produzierenden Abteilungen bestehendes Unternehmen hat man durch praktische Erfahrung die folgenden Matrizen P R 3 3 für die Produktherstellung und R R 3 3 für die Rohstoffverteilung ermittelt: 0.5 0.0 0.1 1 1 0.3 P = 0.0 0.8 0.2 und R = 0.3 0.2 1 0.1 0.0 0.8 1.2 1 0.2
248 Aufgaben zu Kapitel 16 (a) Welche Nachfrage v kann das Unternehmen befriedigen, wenn die Gesamtproduktion g durch g = 150 230 bei Auslastung aller Maschinen vorgegeben ist? Welcher Rohstoffverbrauch r fällt dabei an? 140 90 (b) Durch eine Marktforschung wurde der Verkaufsvektor v = 54 ermittelt. Welche Gesamtproduktion 36 g ist nötig, um diese Nachfrage zu befriedigen? Mit welchem Rohstoffverbrauch r ist dabei zu rechnen? 200 (c) Nun ist die Rohstoffmenge r = 100 vorgegeben. Welche Gesamtproduktion g kann erzielt werden? 200 Welche Nachfrage v wird dabei befriedigt? Aufgabe 16.18 In einer Population von Ameisen kann man Individuen mit drei verschiedenen Markmalen m 1, m 2 und m 3 unterscheiden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Merkmal m i auf das Merkmal m j bei einem Fortpflanzungszyklus übergeht, bezeichnen wir mit p ij. Diese Zahlen sind in der Tabelle 16.2 gegeben. Tabelle 16.2 Die Übergangswahrscheinlichkeiten der Merkmale m 1, m 2, m 3. m 1 m 2 m 3 m 1 0.7 0.4 0.4 m 2 0.1 0.5 0.2 m 3 0.2 0.1 0.4 Diese Zahlen bilden eine sogenannte stochastische Matrix P = (p ij ) R 3 3. (a) Wie groß ist der Anteil der drei Merkmale nach einem Zyklus, wenn am Anfang Gleichverteilung vorliegt? (b) Welche Anfangsverteilung der drei Merkmale ändert sich nach einem Zyklus nicht? Aufgabe 16.19 Für die Bewegungsgleichungen der beiden in der Abbildung 16.17 skizzierten Massen m 1 und m 2 gilt ( ) m 1 ẍ 1 = (k 1 + k 2 )x 1 + k 2 x 2 m 2 ẍ 2 = k 2 x 1 (k 2 + k 3 )x 2 mit den Federkonstanten k 1,k 2,k 3 > 0. k 1 k 2 k 3 m 1 m 2 x 1 x 2 Abbildung 16.17 Zwei Massen m 1 und m 2 sind mit Federn an einer Wand befestigt und miteinander mit einer weiteren Feder verbunden. Die Federkonstanten sind k 1, k 2 und k 3. Bestimmen Sie mit dem Ansatz z 1 (t) x 1 (t) z = z 2 (t) z 3 (t) = ẋ 1 (t) x 2 (t) z 4 (t) ẋ 2 (t)
Hinweise zu Kapitel 16 249 eine Matrix A mittels der sich das Differenzialgleichungssystem ( ) als Differenzialgleichungssystem ż = A z 1. Ordnung formulieren lässt. Hinweise Verständnisfragen Aufgabe 16.1 Man prüfe dies an oberen und unteren 2 2-Matrizen nach und verallgemeinere die Beobachtung. Aufgabe 16.2 Man beachte den Determinantenmultiplikationssatz auf Seite 550. Aufgabe 16.3 Man beachte die Regeln in der Übersicht auf Seite 551. Aufgabe 16.4 Man beachte die Formel auf Seite 553. Aufgabe 16.5 Prüfen Sie, ob (AB) T = ABfür alle symmetrischen 2 2-Matrizen A und B gilt. Aufgabe 16.6 Prüfen Sie, ob für eine symmetrische Matrix A die Gleichung (A 1 ) T = (A T ) 1 gilt. Aufgabe 16.7 Beachte die Übersicht auf Seite 551. Aufgabe 16.8 Führen Sie Zeilenumformungen an der Matrix M durch. Rechenaufgaben Aufgabe 16.9 Berechnen Sie AB, AC, BA, CB, BD, DAund CC, DD. Aufgabe 16.10 Führen Sie die Multiplikation durch und vergleichen Sie die Komponenten. Aufgabe 16.11 Man verwende das auf Seite 529 beschriebene Verfahren. Aufgabe 16.12 Das Gleichungssystem ist homogen, besteht nur aus einer Zeile und hat drei Unbekannte. Aufgabe 16.13 Verwenden Sie den ab Seite 539 beschriebenen Algorithmus. Aufgabe 16.14 Die Spalten bzw. Zeilen einer orthogonalen Matrix haben die Länge 1 und stehen senkrecht aufeinander. Aufgabe 16.15 Verwenden Sie die Regeln in der Übersicht auf Seite 551. Aufgabe 16.16 Unterscheiden Sie nach den Fällen n gerade und n ungerade. Anwendungsprobleme Aufgabe 16.17 Man beachte die Anwendung auf Seite 532. Aufgabe 16.18 Keine Veränderung der Verteilung heißt, dass nach einem Zyklus die Verteilung gleich ist. Machen Sie einen entsprechenden Ansatz. Aufgabe 16.19 Beachten Sie die Methoden in der Anwendung auf Seite 524.
250 Lösungen zu Kapitel 16 Lösungen Verständnisfragen Aufgabe 16.1 Ja. Aufgabe 16.2 Ja. Aufgabe 16.3 Ja. Aufgabe 16.4 Ja. Aufgabe 16.5 Nein. Aufgabe 16.6 Ja. Aufgabe 16.7 Ja. Aufgabe 16.8 Rechenaufgaben ( ) ( ) 3 10 15 5 2 4 10 3 2 15 Aufgabe 16.9 AB =, AC =, BA = 4 16 24, CB = 2 6, 7 18 5 4 26 1 2 3 3 0 1 10 ( ) 1 0 16 ( ) BD= 3 10 15 0 16, DA=, CC= 1 10 2 1 8, DD=. 4 16 24 0 16 1 2 0 0 9 1 2 3 2 2 1 2 2 11 Aufgabe 16.10 A = 2 1 3, B = 0 2 2, C = 4 3 10. 0 1 2 0 1 2 0 0 6 Aufgabe 16.11 Die Matrizen A, B, C sind invertierbar, die Matrix D nicht. Es gilt A 1 = 1 1 1 3 1 3 2 1 5/4 1/2 1 10 4, B 1 = 1 1/2 0, C 1 = 0 1 0 2 0 0 1 3. 1 6 3 1 3/4 1/2 0 0 0 1 Aufgabe 16.12 x 1 + x 2 + x 3 = 0. Aufgabe 16.13 ( 1 0 0 0 ) 2/3 1 0 0 A = 1/2 6/5 1 0 2/5 6/5 12/7 1 }{{} =:L 1 det A = 2 36 600 9 800. 1/2 1/2 1/ 2 Aufgabe 16.14 A = 1/2 1/2 1/ 2 1/ 2 1/. 2 0 Aufgabe 16.15 det A = 21, det B = 0. Aufgabe 16.16 det A = ( 1) n(n 1) 2 d 1 d 2...d n. ( 1/2 1/3 1/4 1/5 0 1/36 1/30 1/30 0 0 1/600 1/350 0 0 0 1/9 800 ) } {{ } =:R,
Lösungswege zu Kapitel 16 251 Anwendungsprobleme Aufgabe 16.17 (a) v = 3 000 1 15 000. 99 6 000 61 422 240 18, r = 231 ; (b) g = 570, r = 13 438 300 Aufgabe 16.18 (a) 15 : 8 : 7. (b) 28 : 10 : 11. 0 1 0 0 1 1 Aufgabe 16.19 A = m 1 (k 1 + k 2 ) 0 m 1 k 2 0 0 0 0 1 R4 4. 1 m 2 k 2 0 m 1 2 (k 2 + k 3 ) 0 900 486 ; (c) g = 918 Lösungswege Verständnisfragen Aufgabe 16.1 Die Aussage stimmt. Wir betrachten zwei Matrizen A, B K n n. Sind beide Matrizen obere Dreiecksmatrizen, so haben der i-te Zeilenvektor z i von A und der j-te Spaltenvektor s j von A die Gestalt b j1.. z i = (0,..., 0, a ii,..., a in ) und s j = b jj 0.. 0 Also gilt für i>jdie Gleichung z i s j = 0, und damit hat die Matrix ABunterhalb der Diagonalen, d. h. an den Stellen (i, j) mit i>j, nur Nullen als Komponenten, da an diesen Stellen die Produkte von z i mit s j stehen. Für untere Dreiecksmatrizen schließt man analog. Aufgabe 16.2 Die Aussage stimmt. Mit dem Determinantenmultiplikationssatz auf Seite 550 gilt nämlich det(ab) = det A det B = det B det A = det(ba). Aufgabe 16.3 Ja, denn mit den Regeln auf Seite 551 gilt sodass also det A = det A, d.h.deta = 0 gilt. det A = det( A T ) = ( 1) n det A = det A, Aufgabe 16.4 Die Aussage stimmt. Es gilt nämlich: ad(ab) = (AB) 1 det(ab) = B 1 A 1 det A det B = det BB 1 det AA 1 = ad(b) ad(a)
252 Lösungswege zu Kapitel 16 Aufgabe 16.5 Die Aussage ist falsch. Das Produkt ABder symmetrischen Matrizen A = ( ) 1 0 und B = ist nämlich nicht symmetrisch. 0 1 ( ) 1 2 2 0 Aufgabe 16.6 Weil die Einheitsmatrix symmetrisch ist, gilt für jede invertierbare Matrix A K n n (A 1 A) T = E T n = E n, also A T (A 1 ) T = E n, sodass (A T ) 1 = (A 1 ) T gilt. Ist A zudem symmetrisch, gilt also A T = A, so folgt also Also ist A 1 wieder symmetrisch. (A 1 ) T = (A T ) 1 = A 1. Aufgabe 16.7 Weil A invertierbar ist, gilt det A = 0. Aus det A = det A T folgt det A T = 0. Dies wiederum besagt, dass A T invertierbar ist, also ist die Aussage richtig. Aufgabe 16.8 Durch Zeilenumformungen an M macht man A zu einer oberen Dreiecksmatrix A. Dabei bleibt B unverändert, und aus C wird dabei C. Ist k die Anzahl der dabei ausgeführten Zeilenvertauschungen, so gilt det A = ( 1) k det A. Nun mache man B durch Zeilenumformungen an M zu einer oberen Dreiecksmatrix B. Dabei bleiben A und C unverändert. Ist l die Anzahl der dabei ausgeführten Zeilenvertauschungen, so gilt det B = ( 1) l det B. Damit haben wir nun insgesamt eine obere Dreiecksmatrix ( M A C = ) 0 B K n n konstruiert. Nach den Regeln in der Übersicht auf Seite 551 gilt det M = det A det B. Wegen det M = ( 1) k+l det M folgt die Behauptung. Rechenaufgaben Aufgabe 16.9 Zwei Matrizen sind nur dann miteinander multiplizierbar, wenn der erste Faktor des Produktes so viele Spalten wie der zweite Faktor Zeilen hat. Damit erhalten wir die folgenden Produkte: ( ) ( ) 3 10 15 5 2 1 10 4 10 3 2 15 AB =, AC =, BA = 4 16 24, CB = 2 6, BD = 0 16, 7 18 5 4 26 1 2 3 3 0 1 2 ( ) 1 0 16 ( ) 3 10 15 DA=, CC= 1 10 2 1 8, DD=. 4 16 24 0 16 0 0 9 Aufgabe 16.10 Wir führen die Multiplikation der Matrix A mit B durch und erhalten die Gleichung: 2 a 11 a 11 b 12 + 2 b 22 + 3 b 32 10 + a 11 2 a 21 a 21 b 12 + b 22 + 3 b 32 8 + a 21 2 a 31 a 31 b 12 b 22 2 b 32 6 + a 31 2 3 c 13 = 4 3 c 23 0 0 c 33
Lösungswege zu Kapitel 16 253 Zwei Matrizen sind genau dann gleich, wenn sie gleich viele Zeilen und Spalten haben und komponentenweise übereinstimmen. Da beide Matrizen gleich viele Zeilen und Spalten haben, führen wir nun einen Vergleich der Komponenten durch. Dies sind neun Gleichungen: 2 a 11 = 2 2 a 21 = 4 2 a 31 = 0 a 11 b 12 + 2 b 22 + 3 b 32 = 3 a 21 b 12 + b 22 + 3 b 32 = 3 a 31 b 12 b 22 2 b 32 = 0 10 + a 11 = c 12 8 + a 21 = c 23 6 + a 31 = c 33 Aus diesem (nicht-linearen) Gleichungssystem erhalten wir der Reihe nach a 11 = 1, a 21 = 2, a 31 = 0 und hieraus, indem wir diese Werte in die rechten drei Gleichungen einsetzen, c 13 = 11, c 23 = 10, c 33 = 6. Nun setzen wir diese sechs bekannten Werte in die mittleren drei Gleichungen ein und erhalten das lineare Gleichungssystem b 12 +2 b 22 +3 b 32 = 3 2 b 12 +b 22 +3 b 32 = 3 b 22 2 b 32 = 0 mit der eindeutig bestimmten Lösung b 12 = 2, b 22 = 2, b 32 = 1. 1 2 3 2 2 1 2 3 11 Also gilt A = 2 1 3, B = 0 2 2, C = 4 3 10. 0 1 2 0 1 2 0 0 6 Aufgabe 16.11 Wir wenden das Verfahren an, das auf Seite 529 beschrieben wurde. Für die Matrix A erhalten wir:
254 Lösungswege zu Kapitel 16 6 3 8 1 0 0 1 1 2 0 1 0 4 3 7 0 0 1 0 3 4 1 6 0 1 1 2 0 1 0 0 1 1 0 4 1 1 1 2 0 1 0 0 3 4 1 6 0 0 1 1 0 4 1 1 1 2 0 1 0 0 0 1 1 6 3 0 1 1 0 4 1 1 1 2 0 1 0 0 1 1 0 4 1 0 0 1 1 6 3 1 1 2 0 1 0 0 1 1 0 4 1 0 0 1 1 6 3 1 1 0 2 13 6 0 1 0 1 10 4 0 0 1 1 6 3 1 0 0 1 3 2 0 1 0 1 10 4 0 0 1 1 6 3 Es ist also A invertierbar und 1 3 2 A 1 = 1 10 4. 1 6 3 Für die Matrix B erhalten wir: Also ist B invertierbar und 1 1 1 1 0 0 2 0 2 0 1 0 1 2 3 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 2 0 2 1 0 0 3 2 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 2 0 2 1 0 0 3 2 1 0 1 1 5/4 1/2 B 1 = 1 1/2 0 1 3/4 1/2
Lösungswege zu Kapitel 16 255 Bei der Matrix C gehen wir analog vor: Es ist also C invertierbar und 1 1 1 2 1 0 0 0 0 1 0 2 0 1 0 0 0 0 1 3 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 3 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 3 C 1 = 0 1 0 2 0 0 1 3. 0 0 0 1 Bei der Matrix D wird das Verfahren abbrechen. Denn die Summe der ersten drei Zeilen ergibt die vierte Zeile. Also sind die Zeilen linear abhängig, sodass beim Anwenden von elementaren Zeilenumformungen eine Nullzeile entstehen wird. Wir führen das Verfahren dennoch durch: Es ist also D nicht invertierbar, da rg D = 3 gilt. 0 1 1 2 1 0 0 0 1 0 1 2 0 1 0 0 2 1 2 1 0 0 1 0 3 2 0 3 0 0 0 1 1 0 1 2 0 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 4 5 0 2 1 0 0 2 3 3 0 3 0 1 1 0 1 2 0 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 0 0 5 7 1 2 1 0 0 0 5 7 2 3 0 1 1 0 1 2 0 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 0 0 5 7 1 2 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 Aufgabe 16.12 Das gesuchte lineare Gleichungssystem muss homogen sein, da der Nullvektor eine Lösung ist. Weil die Dimension des Lösungsraumes 2 ist und die Lösungen im R 3 liegen, muss die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems den Rang 1 (= 3 2) und drei Spalten haben. Also können wir für das gesuchte Gleichungssystem annehmen, dass es von der folgenden Form ist: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0. Die Homogenität des Gleichungssystems besagt, dass alle Lösungen senkrecht auf dem Vektor a = a 1 a 2 R 3 stehen. Dies liefert, wenn wir die zwei linear unabhängigen, erzeugenden Vektoren des a 3
256 Lösungswege zu Kapitel 16 Lösungsraumes L betrachten, die Bedingungen: a 1 a 3 = 0 a 2 a 3 = 0 Also können wir a 1 = a 2 = a 3 = 1 wählen. Damit ist also x 1 + x 2 + x 3 = 0 ein lineares Gleichungssystem, das L als Lösungsmenge hat. Aufgabe 16.13 Zunächst berechnen wir eine LR-Zerlegung von A. Dabei tragen wir die Eliminationsfaktoren m ij anstelle der Nullen an den entsprechenden Stellen ein: 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 1/5 1/6 1/7 1/8 }{{} =A 1/2 1/3 1/4 1/5 2/3 1/36 1/30 1/30 1/2 1/30 1/24 3/70 2/5 1/30 3/70 9/200 Somit besitzt A die LR-Zerlegung: 1/2 1/3 1/4 1/5 2/3 1 2 2 1/2 6/5 1/600 1/350 2/5 6/5 1/350 1/200 1/2 1/3 1/4 1/5 2/3 1/36 1/30 1/30 1/2 6/5 1/600 1/350 2/5 6/5 12/7 1/9 800 ( 1 0 0 0 ) 2/3 1 0 0 A = 1/2 6/5 1 0 2/5 6/5 12/7 1 }{{} =:L ( 1/2 1/3 1/4 1/5 0 1/36 1/30 1/30 0 0 1/600 1/350 0 0 0 1/9 800 ) } {{ } =:R Für die Determinante det A gilt wegen des Determinantenmultiplikationssatzes det A = det L det R = det R = Aufgabe 16.14 Wir bezeichnen die gesuchten Elemente: 1/2 a 1/ 2 A = 1/2 1/2 b c 1/ 2 d und nehmen nun an, dass die Matrix A orthogonal ist. 1 2 36 600 9 800.
Lösungswege zu Kapitel 16 257 Weil die Zeilen einer orthogonalen Matrix normiert sind, gelten für a und b: 1/4 + a 2 + 1/2 = 1 a =±1/2 1/4 + 1/4 + b 2 = 1 b =±1/ 2 Nehmen wir an, dass a = 1/2 gilt. Dann folgt ein Widerspruch zur Orthogonalität der Matrix A, weil das Skalarprodukt zwischen erster und zweiter Zeile den Wert Null ergeben muss: 1/4 1/4 + 1/ 2 b = 0 Also ist a = 1/2. Damit folgt für b mittels des Skalarproduktes der ersten beiden Zeilen, sogleich b = 1/ 2. 1/4 + 1/4 + 1/ 2 b = 0, Nun kommen wir zu c. Weil die erste Spalte die Länge 1 haben muss, gilt 1/4 + 1/4 + c 2 = 1 c =±1/ 2. Wir nehmen an, dass c = 1/ 2 gilt. Dann folgt durch Bildung des Skalarproduktes der ersten beiden Spalten ein Widerspruch zur Orthogonalität der Matrix A: Also ist c = 1/ 2. 1/4 1/4 1/2 = 0 Um schließlich d zu ermitteln, nutzen wir aus, dass die dritte Zeile die Länge 1 haben muss: Hieran erkennen wir, dass d = 0 gelten muss. 1/2 + 1/2 + d 2 = 1 Nun haben wir alle Komponenten der Matrix A bestimmt: 1/2 1/2 1/ 2 A = 1/2 1/2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0 Jetzt ist noch nachzuprüfen, dass die Matrix tatsächlich orthogonal ist. In der Tat gilt für das Produkt A T A: 1/2 1/2 1/ 2 1/2 1/2 1/ 1/2 1/2 1/ 2 2 1/ 2 1/ 1/2 1/2 1/ 2 2 0 1/ 2 1/ 2 0 = E 3 Aufgabe 16.15 Da A eine Blockdreiecksmatrix (siehe Aufgabe 9) ist, ergibt sich det A = 1 2 2 1 3 4 4 3 = = (1 2 2 2 )(3 2 4 2 ) = ( 3)( 7) = 21. Da B zwei identische Zeilen (z. B. die erste und die letzte Zeile) hat, ist det B = 0.
258 Lösungswege zu Kapitel 16 Aufgabe 16.16 Zunächst sei n = 2 m gerade. Durch die m Zeilenvertauschungen 1 n, 2 n 1,...,m m + 1 entsteht aus 0... 0 d 1. d 2 ( ) 0. d n... die Matrix d n.... 0... d2, 0... 0 d 1 deren Determinante d 1 d 2 d n ist. Also gilt: 0... 0 d 1. d 2 = ( 1) m d 1 d 2...d n 0. d n... = ( 1) m(2 m 1) d 1 d 2...d n = ( 1) n(n 1) 2 d 1 d 2...d n Als nächstes sei n = 2 m + 1 ungerade. In diesem Fall ergibt sich die Matrix ( ) aus ( ) durch die m Zeilenvertauschungen 1 n, 2 n 1,...,m m + 2, und es folgt genauso: 0... 0 d 1. d 2 = ( 1) m d 1 d 2...d n 0. d n... = ( 1) m(2 m+1) d 1 d 2...d n = ( 1) (n 1)n 2 d 1 d 2...d n ( ) Anwendungsprobleme Aufgabe 16.17 Wir verwenden die Bezeichnungen von Seite 532. 0.5 0.0 0.1 (a) Wegen E 3 P = 0.0 0.2 0.2 erhält man für v: 0.1 0.0 0.2 0.5 0.0 0.1 150 61 v = (E 3 P) g = 0.0 0.2 0.2 230 = 18. 0.1 0.0 0.2 140 13 Für den Rohstoffvektor erhält man 1 1 0.3 150 422 r = R g = 0.3 0.2 1 230 = 231. 1.2 1 0.2 140 438
(b) Wegen (E 3 P) 1 = 1 40 0 20 20 90 100 erhält man für g 18 20 0 100 g = (E n P) 1 v = 1 40 0 20 90 240 20 90 100 54 = 570. 18 20 0 100 36 300 Dabei ergibt sich der Rohstoffvektor r = R (E n P) 1 v = 1 1 1 0.3 40 0 20 90 0.3 0.2 1 20 90 100 54 18 1.2 1 0.2 20 0 100 36 1 1 0.3 240 900 = 0.3 0.2 1 570 = 486. 1.2 1 0.2 300 918 (c) Für den Vektor g, der die Gesamtproduktion darstellt gilt g = R 1 r. Lösungswege zu Kapitel 16 259 Das Inverse zu R ist die Matrix R 1 = 1 99 480 50 470 570 80 455. 30 100 50 Damit erhalten wir für den gesuchten Vektor g g = R 1 r = 1 480 50 470 200 570 80 455 100 99 30 100 50 200 = 1 3 000 15 000. 99 6 000 Damit ergibt sich für den zugehörigen Verkaufsvektor v = (E n P) R 1 r v = 1 900 1 800. 33 900 Aufgabe 16.18 (a) Wegen der Gleichverteilung ist der Anfangszustand a 1 1/3 a 2 = 1/3. a 3 1/3 Damit erhalten wir nach einem Fortpflanzungszyklus die Verteilung: 0.7 0.4 0.4 1/3 1.5 0.1 0.5 0.2 1/3 = 1/3 0.8 0.2 0.1 0.4 1/3 0.7
260 Lösungswege zu Kapitel 16 a 1 (b) Dass sich die Anfangsverteilung a = a 2 nicht ändert, bedeutet a 3 P a = a. Diese Bedingung liefert ein Gleichungssystem für die Zahlen a 1,a 2,a 3 : 0.7 0.4 0.4 a 1 a 1 0.1 0.5 0.2 a 2 = a 2 0.2 0.1 0.4 a 3 a 3 Wir geben die erweiterte Koeffizientenmatrix an: 0.3 0.4 0.4 0 0.1 0.5 0.2 0 0.2 0.1 0.6 0 Das Eliminationsverfahren von Gauß liefert die Lösungsmenge 28 L = λ 11 10 111 λ R. Damit ist also 28 : 10 : 11 die gesuchte Verteilung. Aufgabe 16.19 Wir setzen z 1 (t) x 1 (t) z = z 2 (t) z 3 (t) = ẋ 1 (t) x 2 (t) z 4 (t) ẋ 2 (t) und erhalten durch komponentenweises Differenzieren: ż 1 (t) ẋ 1 (t) z 2 (t) ż = ż 2 (t) ż 3 (t) = ẍ 1 (t) ẋ 2 (t) = m 1 1 (k 1 + k 2 )x 1 + m 1 1 k 2 x 2 z 4 (t) ż 4 (t) ẍ 2 (t) 1 m 2 k 2 x 1 m 1 2 (k 2 + k 3 )x 2 Damit erfüllt die Matrix 0 1 0 0 1 1 A = m 1 (k 1 + k 2 ) 0 m 1 k 2 0 0 0 0 1 R4 4 1 m 2 k 2 0 m 1 2 (k 2 + k 3 ) 0 die Eigenschaft ż = A z.