Lösungen der Aufgaben

Lösungen der Aufgaben Aufgabe 1.3.1 Es gibt 42 mögliche Verschlüsselungen. Aufgabe 2.3.4 Ergebnisse sind 0, 4 und 4 1 = 4. Aufgabe 2.3.6 Da in Z 9 10 = 1 ist, erhalten wir x = c 0 + + c m = c 0 + + c m. Die Zahl x ist nur durch 9 teilbar, wenn x = 0 in Z 9, also nur, wenn c 0 + + c m durch 9 teilbar ist. Aufgabe 2.3.7 Die letzte Karte bleibt immer auf derselben Position liegen, also müssen wir diese nicht betrachten. Wenn wir die Positionen 0, 1,..., 50 als Elemente in Z 51 betrachten, dann landet die Karte von Position i nach einem perfect shuffle auf Position 2 i. Die Zahl, die wir suchen, ist also die kleinste positive ganze Zahl N mit 2 N 1 mod 51. Indem wir aufeinanderfolgende Werte für N ausprobieren erhalten wir N = 8. Alternative: Du kannst die Aufgabe auch lösen, indem du beachtest, dass eine Karte mit dem Wert i in Z 52 durch einen perfect shuffle durch eine Karte des Werts 26 i ersetzt wird. Aufgabe 2.4.4 Zuerst wenden wir den euklidischen Algorithmus an: 202 = 1 142 + 60 142 = 2 60 + 22 60 = 2 22 + 16 22 = 1 16 + 6 16 = 2 6 + 4 6 = 1 4 + 2 4 = 2 2 Der größte gemeinsame Teiler von 202 und 142 ist also 2. Mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus erhalten wir die folgende Tabelle: 1

202 142 202 = 1 202 + 0 142 1 0 142 = 0 202 + 1 142 0 1 60 = 202 142 1 1 22 = 142 2 60 2 3 16 = 60 2 22 5 7 6 = 22 16 7 10 4 = 16 2 6 19 27 2 = 6 4 26 37 Aus der letzten Zeile können wir ablesen, dass ist. 2 = 26 202 + 37 142 Aufgabe 2.5.4 (1) Nehmen wir an p sei eine Primzahl, die x und yz teilt. Aus dem Lemma von Euklid können wir folgern, dass p auch ein Teiler von y oder z sein muss. x und y haben aber keine gemeinsame Primteiler, x und z ebensowenig. (2) Wenn xy ein Teiler von z ist, dann sind auch x und y Teiler von z. Wir müssen also nur die umgekehrte Richtung zeigen. Seien x und y Teiler von z. Wir betrachten die Primfaktorzerlegungen x = p a 1 m, y = q b 1 1 qn bn. Da x ein Teiler von z ist, sollte der Primfaktor p i mindestens mit einer Potenz a i in der Primfaktorzerlegung von z für jedes i {1,..., m} vorkommen. Analog wird q i mindestens mit einer Potenz b j für jedes j {1,..., n} vorkommen. Da x und y teilerfremd sind, gibt es keinen Primfaktor, der sowohl in der Zerlegung von x als auch in der von y vorkommt. Darum können wir folgern, dass ein Teiler von z ist. xy = p a 1 m q b 1 1 qn bn (3) Es ist klar, dass x ein Teiler von yz ist, wenn x ein Teiler von z ist. Nehmen wir also an, dass x das Produkt von yz teilt, und betrachten die Primfaktorzerlegung x = p a 1 m. Wir erhalten die Primfaktorzerlegung von yz, indem wir die Zerlegungen von y und z miteinander multiplizieren und die Primfaktoren von klein nach groß anordnen. Da x ein Teiler von yz ist muss jeder Faktor p i mindestens mit einer 2

Potenz a i in einer Primfaktorzerlegung von yz vorkommen. p i kann aber nicht in der Primfaktorzerlegung von y vorkommen, da x und y teilerfremd sind. Also kommt p i mindestens mit einer Potenz a i in der Primfaktorzerlegung von z für jedes i {1,..., m} vor. Daraus folgt, dass x ein Teiler von z ist. Aufgabe 2.5.5 Die natürlichen Teiler von x sind genau die Zahlen der Form p a q b, wobei a und b natürliche Zahlen sind, so dass a 8 und b 13 sind. Alle diese Zahlen sind verschieden, da sie unterschiedliche Primfaktorzerlegungen besitzen. Die Anzahl der Teiler ist also 9 14 = 126. Aufgabe 2.5.6 Wir betrachten die Primfaktorzerlegung p a i 1 i n + 1 = p a 1 m. Durch wiederholte Anwendung von Aufgabe 2.5.4(2) sehen wir, dass es ausreicht, wenn wir zeigen, dass p a i i ein Teiler von n! für jedes i {1,..., m} ist. Wenn p a i i n, dann kommt p a i i sicher als Faktor in n! vor. Wir müssen also nur noch den Fall betrachten wenn p a i i = n + 1. Nach Voraussetzung ist n + 1 keine Primzahl und auch nicht das Quadrat einer Primzahl. Daraus können wir schließen, dass a i > 2. Dann sind p i und zwei verschiedene Faktoren von n!, so dass p a i i ein Teiler von n! ist. Aufgabe 2.7.3 Das Element 5 ist keine Einheit in Z 35, da ggt(35, 5) = 5. Die anderen Elemente sind Einheiten. Bei der Berechnung des Inversen von 6 sieht man sofort, dass 6 6 = 1 in Z 35 ist, so dass 6 sich selbst als Inverses hat. Das Inverse von 8 erhalten wir, indem wir den erweiterten euklidischen Algorithmus auf 35 und 8 anwenden. So erhalten wir, dass 1 = 3 35 13 8 und damit 13 = 22 das Inverse von 8 ist. Das Inverse von 34 erhalten wir, indem wir 34 = 1 beachten, so dass das Inverse von 34 gleich 34 ist. Aufgabe 2.7.4 (1) Wegen der Assoziativität und Kommutativität der Multiplikation in Z m gilt, dass (r s) (r 1 s 1 ) = (r r 1 ) (s s 1 ) = 1. r s ist also eine Einheit mit dem Inversen r 1 s 1. (2) Indem wir beide Seiten der Gleichung mit r 1 multiplizieren, erhalten wir also u = v. r u = r v (r 1 r) u = (r 1 r) v, 3

Aufgabe 2.7.5 Wir betrachten die Kongruenzklassen x und y modulo 100. Gegeben ist x = 13 und x y = 52. Da 13 eine Einheit von Z 100 ist, können wir aus Übung 2.7.4(2) schließen, dass y = 4. Aufgabe 2.7.9 Die Elemente von {0,..., m 1}, die nicht teilerfremd zu m sind, sind die Vielfachen von p und q. Das sind die Zahlen 0, p, 2p,..., (q 1)p, q, 2q,..., (p q)q. Beachte, dass all diese Zahlen verschieden sind, da eine ganze Zahl, die durch p und q teilbar ist, auch durch das Produkt pq teilbar sein muss (Aufgabe 2.5.4(2)). Unsere Liste enthält also genau 1 + (q 1) + (p 1) = p + q 1 verschiedene Elemente. Indem wir diese Anzahl von m abziehen, sehen wir, dass die Menge E m genau pq p q + 1 = (p 1)(q 1) Elemente enthält. Aufgabe 2.8.5 Um die letzte Ziffer von 7 (2n) zu finden, berechnen wir die Restklasse von 7 (2n) modulo 10. Die Euler-Zahl ϕ(10) ist (2 1) (5 1) = 4, so dass 2n 0 mod ϕ(10). Da 7 und 10 teilerfremd sind, können wir Folgerung 2.8.3 anwenden, und erhalten 7 (2n) 70 1 mod 10. Um zu zeigen, dass 2 (2n) + 1 mit einer 7 endet, reicht es aus zu beweisen, dass 2 (2n) auf einer 6 endet. Diesmal können wir Folgerung 2.8.3 nicht mehr direkt anwenden, da 2 und 10 nicht teilerfremd sind. Statt dessen berechnen wir die Restklasse von 2 (2n) modulo 5. Da ϕ(5) = 4 und ggt(5, 2) = 1 erhalten wir, wie aus der vorherigen Übung 2 (2n) 1 mod 5. Das bedeutet, dass 2 (2n) 1 ein Vielfaches von 5 ist. Die Zahl 2 (2n) kann also nur mit 1 oder 6 enden. Dass sie auf 1 endet ist jedoch unmöglich, da 2 (2n) gerade ist. Die letzten zwei Ziffern von 39 (412011) können wir bestimmen, indem wir modulo 100 rechnen. Wir betrachten erst, dass ϕ(100) = 40. Da 41 1 mod 40 erhalten wir sofort 41 2011 1 2011 1 mod 40. Da 39 und 100 teilerfremd sind, dürfen wir Folgerung 2.8.3 anwenden. Wir leiten 39 (412011) 39 mod 100 4

ab. Die Zahl 39 (412011) endet also mit 39. Aufgabe 3.1.1 Das Codewort ist D. Aufgabe 3.1.2 Bring it on! Aufgabe 4.6.1 Dies folgt direkt aus der Definition der Binärdarstellung. Wenn a = 1 2 n + a n 1 2 n 1 + + a 0 mit a i {0, 1}, dann ist das Ergebnis unserer Berechnung g 2n g a n 1 2 n 1 g a 0 = g a. Aufgabe 4.6.2 Für die Zahl a gilt a 2 800. Die Anzahl Operationen mit der ersten Methode ist a 1 2 800 1. Durch die Multiplikation mit 10 6 sehen wir, dass die gesamte Berechnung mit der ersten Methode mindestens 6 10 238 Sekunden kostet; das ist mehr als 13 10 9 Jahre. Mit der zweiten Methode müssen wir 799 binäre Ziffern von a abgehen. Wir nehmen an, dass wir hier 400-mal 0 und 399-mal 1 finden (die erste Ziffer ist immer die 1). Bei einer Null müssen wir eine Operation ausführen, bei einer 1 zwei. Die gesamte Anzahl Operationen ist also 400 + 2 399 = 1198. Durch die Multiplikation dieser Zahl mit 10 6 sehen wir, dass die gesamte Berechnung nur 0, 001199 Sekunden dauert. Aufgabe 4.7.1 Wir machen mehrmals Gebrauch von der folgenden Eigenschaft: Wenn a a mod p 1, dann ist g a = g a. Dies kannst du direkt aus Folgerung 2.8.3. ableiten. Nehmen wir an, dass a eine ganze Zahl ist, die teilerfremd zu p 1 ist. Da g ein erzeugendes Element von Z p ist, können wir jedes Element x aus Z p schreiben als als g c mit c {0,..., p 2}. Da a eine Einheit modulo p 1 ist, können wir ein Element b {0,..., p 2} finden, so dass (wähle b so, dass b = a 1 c). Dann ist ab c mod p 1 (g a ) b = g c = x in Z p. g a ist also auch ein erzeugendes Element von Z p. Nehmen wir nun an, dass a eine ganze Zahl ist, so dass g a ein erzeugendes Element von Z p ist. Dann exisitiert eine ganze Zahl b, so dass (g a ) b = g. 5

Sei nun c das eindeutige Element in {0,..., p 2}, derart dass Dann ist ab c mod p 1. g = g ab = g c in Z p. Dies ist nur möglich, wenn c = 1 ist, weil g ein erzeugendes Element von Z p Also ist a eine Einheit in Z p 1, mit dem Inversen b. Wir können also feststellen, dass die erzeugenden Elemente von Z p genau die Elemente der Form g a mit a {0,..., p 2} sind, die teilerfremd zu p 1 sind. All diese Potenzen von g sind verschieden, da g ein erzeugendes Element ist. Es gibt also genau ϕ(p 1) erzeugende Elemente von Z p. Aufgabe 4.7.2 Sei q = (p 1)/2. Wenn p = 5, dann ist ϕ(p 1) = 2 und ist. ϕ(p 1) p 1 = 1 2. Wenn p 5 ist q 2. Damit sind 2 und q teilerfremd. Aus Voraussetzung 2.7.8 folgt dann ϕ(p 1) p 1 = q 1 2q. Die Wahrscheinlichkeit liegt ungefähr bei 1, wenn q groß genug ist. 2 Aufgabe 4.7.3 Wenn es so ein d gibt, kann g eindeutig kein erzeugendes Element sein, da g d gleich g p 1 = 1 ist. Nimm nun umgekehrt an, dass g kein erzeugendes Element ist. Dann existieren Elemente i, j {0,..., p 2}, so dass i > j und g i = g j, oder also g i j = 1. Sei d der größte gemeinsame Teiler von i j und p 1. Er ist ein Teiler von p 1, jedoch ungleich p 1, da i j p 2. Wegen des Satzes von Bézout-Bachet können wir ganze Zahlen a und b finden, so dass a(i j) + b(p 1) = d. Daraus folgt g d = (g i j ) a (g p 1 ) b = 1. Aufgabe 5.3.1 Für jede ganze Zahl i > 0 gilt ) p 1 e i (x g d = xe (g p 1) ie d = x e, wobei die letzte Gleichung aus der Tatsache g p 1 Fermat folgt. = 1 wegen des kleinen Satzes von 6

Aufgabe 5.3.2 Wir haben x = x ae+b(p 1) = (x e ) a (x p 1 ) b = (x e ) a, wobei die letzte Gleichung aus der Tatsache x p 1 Fermat folgt. = 1 wegen des kleinen Satzes von Aufgabe 5.3.3 Weil wir n = pq und ϕ(n) = (p 1)(q 1) kennen, können wir auch p + q = pq (p 1)(q 1) + 1 bestimmen. Die Primzahlen p und q sind dann die Lösungen der quadratischen Gleichung x 2 (p + q)x + pq = 0. Aufgabe 5.4.1 Da x Z n, ist x teilerfremd zu n. Da y d = x de und de 1 mod n folgt direkt aus der Kongruenz von Euler, dass y d = x. 7