Bachelor-Arbeit. Bewerten von Rainbow-Optionen: Ein Dualitätsansatz. Rolf Waeber 14. Juli 2006

Bachelor-Arbeit Bewerten von Rainbow-Optionen: Ein Dualitätsansatz Rolf Waeber 14. Juli 2006 Bachelor-Arbeit am Departement Mathematik der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich Betreuer: Prof. Dr. Philipp J. Schönbucher

Bewerten von Rainbow-Optionen INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Theorie 2 2.1 Problemformulierung................................ 2 2.2 Dynamisches Programm.............................. 5 3 Cox-Ross-Rubinstein-Modell 6 3.1 Ein Underlying................................... 6 3.2 Mehrere Underlyings................................ 7 3.3 Numerische Beispiele................................ 8 4 Regressionsbasierende Methode 10 4.1 High und Low Bias................................. 10 4.2 High-Biased Schätzer................................ 11 4.3 Low-Biased Schätzer................................ 13 5 Dualitätsansatz 13 5.1 Theoretische Überlegungen............................ 14 5.2 Obere Grenze.................................... 15 5.3 Implementation................................... 17 5.4 Numerische Beispiele................................ 18 6 Abschliessende Bemerkungen 21 7 Appendix 22 7.1 Appendix A: Wahrscheinlichkeitstheorie..................... 22 7.2 Appendix B: Geometrische Brownsche Bewegung................ 24 7.3 Appendix C: Regressionstheorie.......................... 27 1

Bewerten von Rainbow-Optionen 1 EINLEITUNG 1 Einleitung In dieser Arbeit stelle ich drei Methoden vor, wie amerikanische Optionen auf mehrdimensionale Underlyings (sog. Rainbow-Optionen) bewertet werden können. Solche Optionen sind besonders interessant um Portfolios mit mehreren Aktien abzusichern. Deterministische Methoden, welche auf einer Baum- oder Netzstruktur aufbauen, können benutzt werden, um Optionen mit wenigen Underlyings zu bewerten. Das Cox-Ross- Rubinstein Modell ist eine solche Baummethode, welche ich im Abschnitt 3 vorstelle. Für höher-dimensionale Probleme sind deterministische Methoden wegen dem Fluch der Dimension nicht mehr geeignet. Eine gute Alternative, um Optionen auf höher-dimensionale Underlyings zu bewerten, sind Monte-Carlo Simulationen. Auf eine regressionsbasierende Monte-Carlo Methode gehe ich im Abschnitt 4 ein. Eine weitere Monte-Carlo Simulation ist der Dualitätsansatz von Haugh und Kogan [6]. Diesen stelle ich im Abschnitt 5 näher vor und er bildet das Ziel dieser Arbeit. Herrn Prof. Dr. Philipp J. Schönbucher danke ich bestens für den interessanten Themenvorschlag und die stetige Unterstützung während dieser Arbeit. 2 Theorie 2.1 Problemformulierung Eine europäische Option ist ein Vertrag zwischen einem Verkäufer (Bank) und einem Käufer (Kunde). Dieser Vertrag gibt dem Kunde das Recht, aber nicht die Pflicht, ein Underlying S t (Aktie) zum Zeitpunkt T zum Preis K (Strike) zu kaufen (Call), resp. zu verkaufen (Put). Um diesen Vertrag zum Zeitpunkt t zu erwerben, muss der Kunde einen gewissen Betrag V t der Bank bezahlen. V t ist der Wert oder auch die Derivaten-Sicherheit der Option. Mit diesem Betrag ist es für die Bank möglich, die Option zu hedgen (d.h. den Betrag in Geld, resp. Aktien zu investieren, so dass der erwartete Verlust gleich Null ist). Beim Bewerten von Optionen wird versucht diesen Betrag V t zu bestimmen. Eine amerikanische Option kann im Gegensatz zu einer europäischen Option jederzeit ausgeübt werden und nicht nur am Verfallsdatum T. Beim Bewerten von amerikanischen Optionen muss deshalb nicht nur eine Derivaten-Sicherheit bzgl. dem Strike-Preis berechnet werden. Es muss ein Optimierungsproblem gelöst werden, indem eine Strategie des optimalen Stoppens gefunden wird. Ich werde mich im Folgenden auf Bermudian Optionen beschränken. Das sind Optionen welche zu M verschiedenen Zeitpunkten T = {1,..., M} ausgeübt werden können, also eine Verbindung zwischen europäischen und amerikanischen Optionen. Zur Vereinfachung nehme ich an, dass die Ausübungszeitpunkte gleichmässig über das Intervall [0, T ] verteilt sind. Diese Annahme ist jedoch nicht zwingend. Eine Arbitrage-Möglichkeit bietet sich, falls Gewinn ohne Risiko realisiert werden kann. In einem gut funktionierenden und genügend liquiden Markt löst sich eine Arbitrage- Möglichkeit schnell auf. Deshalb ist die Annahme eines Arbitrage-freien Markt sinnvoll. 2

Bewerten von Rainbow-Optionen 2 THEORIE Dies ist eine sehr populäre Annahme beim Bewerten von Optionen, mehr dazu in Hausmann et al. [7]. Der Zeitpunkt 0 ist nicht in T enthalten, weil im Arbitrage-freien Markt das Ausüben der Option zum Zeitpunkt 0 keinen Sinn macht. Falls die Anzahl der möglichen Ausübungszeitpunkten M, entspricht die diskrete Bermudian Option einer stetigen Amerikanischen Option. Bermudian Optionen zu betrachten hat den Vorteil, dass mit diskreter Zeit und diskreten Modellen gerechnet werden kann. Um mit stetiger Zeit arbeiten zu können, sind Modelle nötig, welche auf stetigen Prozessen aufbauen. Ein wichtiges Hilfsmittel dabei ist die berühmte Black-Scholes-Formel, hierfür verweise ich auf Hausmann et al. [7] und Shreve [9]. Zur Notation: Den Zeitfaktor t werde ich stets im Index schreiben, z.b. S t := S(t) oder V t := V (t). Betrachte ich diskrete Zeitpunkte t i, i = 0,..., M so werde ich dies ebenfalls abkürzen, z.b. S i := S ti = S(t i ) oder V i = V ti = V (t i ). Beim Bewerten von Optionen sind Grundkenntnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie nötig. Die wichtigsten Definitionen und Eigenschaften, die ich benützen werde, sind im Appendix A enthalten. Das Underlying des Derivats zum Zeitpunkt t wird als Zustand X t im Zustandsraum Ω dargestellt. Bei einer Option auf d Aktien ist z.b. Ω = R d >0. Zum Zeitpunkt t dürfen keine zukünftigen Informationen vorhanden sein, dies wird durch die Informationsstruktur als Filtration {F t : t {0,..., M}} sichergestellt. Es ist bekannt [7], dass im Arbitragefreien Markt unter gewissen Bedingungen ein eindeutiges risiko-neutrales Wahrscheinlichkeitsmass P existiert. Der Preisprozess des Underlyings wird als F t -adaptierter Markov- Prozess {X t Ω : t {0,..., M}} dargestellt. Die Pay-Off Funktion h t = h(x t ) ist ein nicht-negativer adaptierter Prozess der den Betrag angibt, der beim Ausüben der Option zum Zeitpunkt t fällig wird. Wird z.b. eine Call-Option auf eine Aktie X t = S t betrachtet, so besitzt diese h t = max(s t K, 0) als Pay- Off Funktion oder die Pay-Off Funktion einer Put-Option auf das Minimum von 2 Aktien ist h t = max(k min(s ta, S tb ), 0), wobei S ta, resp. S tb der Wert der Aktie A, resp. B zum Zeitpunkt t bezeichnet. Beim Optionenbewerten gehe ich stets davon aus, dass Geld auch risikofrei angelegt resp. geliehen werden kann (z.b. in Sparbücher oder Obligationen). Diese Anlage wird mit der Zinsrate r t kontinuierlich verzinst, d.h. der Zinsprozess hat die Form: = exp( t 0 r sds). Damit Geldbeträge zu zwei verschiedenen Zeitpunkten t 1, t 2 miteinander verglichen werden können, muss mit dem Zinsprozess B t = exp( t 2 t 1 r s ds) diskontiert werden. Ich nehme an, dass der Pay-Off Prozess integriebar ist in dem Sinne dass ] E 0 [max h t t T < (1) erfüllt ist, wobei ich die Notation E t [ ] = E[ F t ] verwende. Das bedeutet E t [ ] entspricht dem Erwartungswert bedingt auf die bekannten Informationen bis zum Zeitpunkt t. Der Erwartungswert wird bzgl. dem risiko-neutralen Wahrscheinlichkeitsmass berechnet. Die Bank muss davon ausgehen, dass der Kunde zum optimalen Zeitpunkt seine Option ausüben wird. Jedoch kann der Kunde seine Entscheidung, die Option auszuüben oder nicht, 3

Bewerten von Rainbow-Optionen 2 THEORIE nur auf Informationen stützen, die bis zum momentanen Zeitpunkt t vorhanden sind. Deshalb wird eine amerikanische Option folgendermassen bewertet [ ] Bt h τ V t = sup E t. (2) τ Θ t B τ Wobei Θ t die Menge der Stoppzeiten mit Werten in T [t, T ] ist. Hier wird vorausgesetzt, dass die Option bis zum Zeitpunkt t noch nicht ausgeübt worden ist. Eine Option zum heutigen Zeitpunkt 0 zu bewerten entspricht also dem Lösen des Problems V 0 = sup τ Θ 0 E 0 [ hτ B τ ]. (3) Verpasst der Kunde, die Option zum optimalen Zeitpunkt auszuüben, so sinkt der erwartete Wert der Option. Aus diesem Grunde ist der stochastische Preisprozess V t, einer amerikanischen Option, ein Supermartingal. Bei europäischen Optionen tritt das Problem des optimalen Stoppens nicht auf, der Preisprozess V t kann als Martingal dargestellt werden. Die nächste Proposition 2.1 enthält elementare Eigenschaften des Bewertungsprozesses (2). Zudem stellt sie sicher, dass V t ein fairer Preis für ein amerikanisches Derivat ist. Proposition 2.1 (Eigenschaften des Preisprozesses V t ) Der Preisprozess V t aus (2) hat folgende Eigenschaften: i.) V t h t t R 0 ; ii.) Der diskontierte Prozess Vt ist ein Supermartingal; iii.) Sei Y t ein anderer Prozess welcher Y t h t für alle t R 0 erfüllt und für welchen Yt ein Supermartingal ist, dann gilt: Y t V t t R 0. Eigenschaft (ii) garantiert, dass ein Händler mit Anfangskapital V 0 ein hedging Portfolio konstruieren kann, dessen Wert V t für alle t beträgt. Eigenschaft (i) besagt, dass, wenn der Händler dieses Portfolio konstruiert, er das Amerikanische Derivat gehedged (abgesichert) hat. Das heisst (i) und (ii) garantieren, dass der Preis für den Anbieter des Derivats akzeptierbar ist. Eigenschaft (iii) besagt, dass der Preis für den Verkäufer nicht höher als nötig ist. Dadurch ist der Preis für den Käufer und den Anbieter des Derivats fair. Proposition 2.1 sagt auch aus, dass der Preisprozess V t das minimale Supermartingal ist, dass den Pay-Off Prozess h t dominiert. Auf dieser Eigenschaft baut der Dualitätsansatz im Abschnitt 5 auf. Beweis s. Shreve [9] oder Folgerungen aus Theorem 5.1. Das Bewerten von amerikanischen Optionen hängt also davon ab, wie der Erwartungswert in (2) berechnet wird und wie die optimale Stoppzeit gefunden wird. Dieses Problem kann im diskreten Fall als dynamisches Programm formuliert werden. 4

Bewerten von Rainbow-Optionen 2 THEORIE 2.2 Dynamisches Programm Um das dynamische Programm in einer kompakten Schreibweise anzugeben, ist es nützlich, den Fortsetzungswert einzuführen. Definition 2.2 (Fortsetzungswert) Der Fortsetzungswert C i entspricht dem Wert der Option zum Zeitpunkt i, bedingt dass die Option zum Zeitpunkt i nicht ausgeübt wird [ ] [ ] Vi+1 (X i+1 ) Vi+1 C i (x) := E X i = x = E i (4) B t B t x Ω, i = 0,..., M 1. 1 Wobei der Faktor B t der Diskontierungsfaktor ist, mit B t = exp( t i+1 t i r s ds). Der Fortsetzungswert kann rekursiv berechnet werden: C M 0; (5) [ { hi+1 (X i+1 ) C i (x) = E max, C } ] i+1(x i+1 ) X i = x, (6) B t B t für i = M 1,..., 1. Zum Zeitpunkt 0 entspricht der Fortsetzungswert genau dem Optionswert: V 0 = C 0. (7) Damit ist die Option bewertet. Der Bewertungsprozess V i definiert den Fortsetzungswert durch (4), umgekehrt kann auch der Bewertungsprozess durch den Fortsetzungswert berechnet werden: V i (x) = max {h i (x), C i (x)} (8) für i = 1,..., M. Um eine amerikanische Option zu bewerten, wird versucht der Fortsetzungswert (4) möglichst gut zu approximieren. Dies kann rekursiv durch (6) realisiert werden, allerdings ist es nicht einfach, den bedingten Erwartungswert zu berechnen. Darin liegt auch die Hauptschwierigkeit beim Bewerten von amerikanischen Optionen. Im nächsten Abschnitt gebe ich eine deterministische Methode zum Bestimmen dieses Erwartungswertes an, im Abschnitt 4 benutze ich eine Monte-Carlo Methode um den Erwartungswert zu simulieren. Ist eine Approximation Ĉi an den Fortsetzungswert bekannt, kann ein Stoppzeit durch ˆτ = min{i 1,..., m : h i (X i ) Ĉi(X i )} (9) definiert werden. Diese liefert uns eine Stoppstrategie: Sobald der momentane Pay-Off grösser ist als der Fortsetzungswert soll die amerikanische Option ausgeübt werden. 5

Bewerten von Rainbow-Optionen 3 COX-ROSS-RUBINSTEIN-MODELL 3 Cox-Ross-Rubinstein-Modell Eine berühmte deterministische Methode, um Optionen zu bewerten, ist das Binomialbaum- Modell von Cox, Ross und Rubinstein (CRR) [3]. Ein Vorteil dieses Modells liegt darin, dass es im Grenzwert (d.h. für N ) gegen das Black-Scholes Modell konvergiert. Daher können Eigenschaften aus dem Black-Scholes Modell auf das CRR-Modell angewandt werden. Das CRR-Modell kann sowohl für europäische wie auch amerikanische Optionen benützt werden. Ich beschreibe die Methode im eindimensionalen Fall. Die Erweiterung auf den mehrdimensionalen Fall folgt dann relativ einfach. Dabei wird allerdings ersichtlich, wie sich der Fluch der Dimensionen in der Optionen-Bewertung auswirkt. Die Baum-Methode ist eine exakte Methode in dem Sinn, dass sie einen einzigen Wert V t der Option wiedergibt und nicht bei jeder Simulation eine neue Approximation wie Monte- Carlo Methoden. Das grosse Problem der Baum-Methode ist, dass für höher-dimensionale Probleme der Rechenaufwand enorm gross wird. Das N-Periodenmodell braucht für d Underlyings eine Rechenleistung von O(N d+1 ). 3.1 Ein Underlying Im CRR-Modell wird der zugrundeliegende (Aktien-)Kurs durch einen Baum simuliert. Die Wurzel des Baumes ist S 0, im ersten Schritt steigt der Kurs mit Wahrscheinlichkeit p um den Faktor u (für up ) oder sinkt mit Wahrscheinlichkeit q = (1 p) um den Faktor d (für down ). Im zweiten Schritt geht es dann von us 0, resp. ds 0 wieder mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten hinauf, resp. hinunter. Da du = ud gilt, ist das Modell wiedervereinigend, der Kurs kann nach zwei Schritten 3 mögliche Werte annehmen (vgl. Abb. 1). Abbildung 1: Baum-Konstruktion nach Cox-Ross-Rubinstein, Abbildung aus [3] Allgemein kann das Underlying nach N Schritten N + 1 verschiedene Werte annehmen. Die Faktoren u und d müssen die Bedingung 0 < d < 1+r < u erfüllen, wobei r der konstante risikofreie Zinssatz ist. Ohne dieser Bedingung wäre die Voraussetzung des Arbitrage-freien Marktes verletzt. 6

Bewerten von Rainbow-Optionen 3 COX-ROSS-RUBINSTEIN-MODELL Der Fortsetzungswert C i (x) kann im eindimensionalen Binomialmodell berechnet werden durch [ ] Vi+1 (S i+1 ) C i (S i ) = E i = 1 [pv i+1 (us i ) + qv i+1 (ds i )]. (10) B t B t Es bleibt zu klären wie die Wahrscheinlichkeiten p und q, sowie die Faktoren u und d bestimmt werden. Die Wahrscheinlichkeit p wird mit der no-arbitrage Bedingung und einem geeigneten δ-hedging zu p = er t d (11) u d ermittelt, q berechnet sich durch q = 1 p. Die Faktoren u und d können zum Beispiel aus dem Black-Scholes Modell abgeleitet werden: u = e σ t, d = 1 u, (12) wobei σ der Volatilität des Underlyings entspricht. Eine genaue Herleitung dieser Faktoren würde den Rahmen dieser Arbeit sprengen, deshalb verweise ich hierzu auf Hausmann et al. [7] und Shreve [9]. Mit Hilfe des Fortsetzungswertes von (10) und des dynamischen Programms durch (6) und (8) kann jetzt ein Algorithmus zum Bewerten von amerikanischen Optionen im CRR- Modell angegeben werden. Hier mache ich die Annahme dass N = M ist, man könnte auch N M annehmen. Algorithmus 3.1 (CRR-Algorithmus) i.) Schritt: Setze V N (S N ) = max {h N (S N ), 0}; ii.) Schritt: Berechne rekursiv V i (S i ) = max { } 1 h i (S i ), [pv i+1 (us i ) + qv i+1 (ds i )] B t (13) für i = N 1,..., 1; iii.) Schritt: Setze V 0 = 1 B t [pv 1 (us 0 ) + qv 1 (ds 0 )]. Dies entspricht dem Optionswert nach dem CRR-Modell. Um diesen Algorithmus zu berechnen sind 1 + 2 +... + (N + 1) = (N+1)(N+2) 2 = O(N 2 ) Rechenschritte nötig. 3.2 Mehrere Underlyings Um ein amerikanisches Derivat mit mehreren Underlyings zu bewerten, kann immer noch eine Baum-Methode verwendet werden. Bei unabhängigen Underlyings lassen sich die theoretischen Überlegungen der CRR-Methode bzgl. Wahrscheinlichkeit p und Faktoren u und d ohne Probleme auf mehrere Dimensionen ausweiten. Sollen die Underlyings abhängig voneinander sein, müssen die Wahrscheinlichkeiten p und q anders definiert werden. Boyle [2] schlägt einen modifizierten CRR-Algorithmus vor, in welchen auch Abhängigkeiten zwischen den Underlyings eingebaut werden können. 7

Bewerten von Rainbow-Optionen 3 COX-ROSS-RUBINSTEIN-MODELL Problematisch ist, dass der Baum schnell wächst und daher diese Methode nur unter grossem rechnerischen Aufwand möglich ist. Der Baum wächst exponentiell in der Anzahl Underlyings. Wird ein Derivat mit d Underlyings betrachtet, so wächst der Zustandsbaum in N Schritten zu einem Baum mit N d Blätter. Der Algorithmus benötigt also Laufzeit O(N d+1 ). Dieses Problem ist in der Statistik bekannt unter dem Begriff Fluch der Dimensionen. Abbildung 2: Baum-Konstruktion für 2 Underlyings, Abbildung aus [4] Abb. 2 zeigt die Baum-Konstruktion für 2 Underlyings. Aus jedem Knoten gibt es 4 Möglichkeiten weiterzugehen, wobei ein paar Möglichkeiten wieder identisch sind. Damit wächst der Baum quadratisch mit Anzahl der Schritte. Bei amerikanischen Optionen, wo möglichst viele Ausübungszeitpunkte nötig sind um das stetige Modell anzunähern, ist eine Baum-Methode in höheren Dimensionen nicht mehr rechenbar. 3.3 Numerische Beispiele Das erste numerische Beispiel, welches ich betrachte, ist eine amerikanische Put-Option auf das Minimum zweier unabhängiger Aktien A und B. Die benutzten Parameter sind K = 50, σ A = 0.25, σ B = 0.15, T = 1, M = 12, Dividendenausschüttung δ = 0.08 und der risikofreie Zinssatz ist r = 0.05. T = 1 kann interpretiert werden, dass die Laufzeit der Option ein Jahr dauert, M = 12 sagt damit aus, dass die Option einmal pro Monat ausgeübt werden kann. Da die Dividende vom Aktienkurs abgezogen wird, muss die Dividendenausschüttung ebenfalls von dem Verlauf der Aktie abgezogen werden. Konkret: Beim Aufbau des Zustandsbaums muss r durch (r δ) ersetzt werden. 8

Bewerten von Rainbow-Optionen S0A, S 0B 40 50 60 3 COX-ROSS-RUBINSTEIN-MODELL Cox-Ross-Rubinstein 14.95 7.30 2.58 Boyle 14.96 7.31 2.59 Tabelle 1: Werte V0 einer amerikanische Put-Option auf das Minimum von 2 Aktien Tabelle 1 gibt den Wert V0 der Option zu verschiedenen Startwerten S0A und S0B wieder (hier: S0A = S0B ). Die Resultate von dem CRR-Algorithmus und dem Algorithmus von Boyle [2] stimmen fast überein. Abb. 3 stellt den Optionspreis in Abhängigkeit von verschiedenen Startwerten S0A und S0B dar. Abbildung 3: Werte V0 einer amerikanische Put-Option auf das Minimum von 2 Aktien Als zweites Beispiel betrachte ich eine amerikanische Call-Option auf den geometrischen Mittelwert von 2 unabhängigen Aktien A und B. Die Parameter bleiben die gleichen wie im ersten Beispiel. S0A, S 0B 40 50 60 Cox-Ross-Rubinstein 0.09 2.11 10 Boyle 0.09 2.10 10 Tabelle 2: Werte V0 einer amerikanische Call-Option auf den geometrischen Mittelwert von 2 Aktien 9

Bewerten von Rainbow-Optionen 4 REGRESSIONSBASIERENDE METHODE 4 Regressionsbasierende Methode Eine Alternative zu deterministischen Algorithmen sind Monte-Carlo Algorithmen (MC). Diese verwenden zusätzlich zum normalen Input noch einen randomisierten Input. Angewandt auf Derivate bedeutet das, dass der zugrundeliegende Wert X t Ω des Derivats als ein stochastischer Prozess simuliert wird und anhand dieser Simulation das Derivat bewertet wird. Eine populäre Methode, um Aktienkurse zu simulieren, ist die geometrische Brownsche Bewegung GBM(µ, σ 2 ). Die Definition und die wichtigsten Eigenschaften der GBM sind im Appendix B enthalten. Es gibt auch andere stochastische Prozesse, die sinnvoll wären, um Aktienkurse zu simulieren, z.b. ein Prozess mit Sprüngen. Für Details zur Simulation von Aktienkursen verweise ich auf Glasserman [5]. MC-Methoden sind besonders bei höher dimensionalen Problemen und beim Bewerten von exotischen Optionen unverzichtbare Werkzeuge, da MC-Methoden nicht so stark vom Fluch der Dimensionen eingeschränkt werden wie deterministische Algorithmen. Glasserman [5] betrachtet verschiedene Monte-Carlo Methoden, um amerikanische Optionen zu bewerten. Ich gehe auf eine davon, nämlich die regressionsbasierende Methode, näher ein. Im Abschnitt 5 werde ich den Dualitätsansatz von Haugh und Kogan [6], welcher auch Glasserman betrachtet, erläutern. Glasserman, Haugh und Kogan verwenden das Prinzip von high- und low-biased Schätzer, um Vertrauensintervalle für den Optionspreis zu berechnen. Dieses erkläre ich kurz. 4.1 High und Low Bias Gesucht ist ein Schätzer ˆV 0 für den wahren Optionswert V 0. Es ist jedoch schwer einen Schätzer ohne Bias zu konstruieren, d.h. einen Schätzer der E[ ˆV 0 ] = V 0 (14) erfüllt. Glasserman schlägt vor, zwei biased-schätzer zu kombinieren und so ein Vertrauensintervall zu erhalten, das fast so gut wie das Vertrauensintervall eines unbiased-schätzer ist. Angenommen, es existiert ein high- und ein low-biased Schätzer ˆV 0 und ˆv 0 in dem Sinne, dass E[ ˆV 0 ] V 0 E[ˆv 0 ] (15) gilt. Zusätzlich existieren Vertrauensintervalle (z.b. 95%) von dem high- wie auch von dem low-biased Schätzer: ˆV 0 ± H 0 ; ˆv 0 ± L 0. (16) Ein Vertrauensintervall für den Optionspreis V 0 kann konstruiert werden, indem vom low-biased Schätzer die untere Grenze und vom high-biased Schätzer die obere Grenze zu einem neuen grossen Intervall zusammengefasst werden (vgl. Abb. 4) (ˆv 0 L 0, ˆV 0 + H 0 ). (17) Sind die beiden Intervalle der high- und low-biased Schätzer 95%-Vertrauensintervalle, so ist das neue Intervall (17) mindestens ein 90%-Vertrauensintervall (sind die Schätzer 10

Bewerten von Rainbow-Optionen 4 REGRESSIONSBASIERENDE METHODE Abbildung 4: Vertrauensintervall aus low- und high-biased Schätzer symmetrisch bzgl. ihrem Mittelwert, dann ist es mind. ein 95%-Vertrauensintervall). Die Reduktion auf ein 90%-Vertrauensintervall geschieht, weil die 5%, welche jeweils ausserhalb der 95%-Vertrauensintervalle der beiden biased Schätzer liegen, total links von ˆv 0 L 0 und total rechts von ˆV 0 + H 0 liegen könnten. 4.2 High-Biased Schätzer In diesem Abschnitt zeige ich, wie Glasserman in [5] den high-biased Schätzer für die regressionsbasierende Methode konstruiert. Jeder Fortsetzungswert C i (x) zum momentanen Zustand x in (4) ist der bedingte Erwartungswert von dem diskontierten Optionswert V i+1 (X i+1 ), also eine lineare Funktion abhängig von der Zufallsvariable X i+1. Dies liefert ein Schätzverfahren: C i wird approximiert durch eine Linearkombination von bekannten Funktionen zum Zustand x, mit linearer Regression (Kleinste-Quadrate) werden die besten Koeffizienten der Linearkombination geschätzt. Der Fortsetzungswert (4) kann, für K verschiedene bekannte Basisfunktionen ψ r : R d R und Konstanten β ir, r = 1,..., K, dargestellt werden als: 1 C i (x) = E[ V i+1 (X i+1 ) X i = x] = B t Dies kann in Vektorschreibweise ausgedrückt werden als mit K β ir ψ r (x). (18) r=1 C i (x) = β T i ψ(x), (19) β i = (β i1,..., β ik ) T, ψ(x) = (ψ 1 (x),..., ψ K (x)) T. (20) Angenommen (18) gilt, dann kann der Vektor β i durch β i = (E[ψ(X i )ψ(x i ) T ]) 1 E[ψ(X i ) 1 B t V i+1 (X i+1 )] D 1 ψi D ψv i. (21) bestimmt werden. D ψi ist eine K K - Matrix (angenommen nicht singulär) und D ψv i ist ein Vektor der Länge K. Die Variablen-Paare (X i, X i+1 ) innerhalb des Erwartungswertes haben die gemeinsame Verteilung des Zustands der zugrundeliegenden Markov-Kette zu den Zeitpunkten i und i + 1. (21) ist eine Folgerung aus dem linearen Regressionsmodell, eine Herleitung von (21) ist im Appendix C enthalten. Wir betrachten b unabhängige Pfade (X ij,..., X mj ), j = 1,..., b und nehmen für den Moment an, dass die Werte V i+1 (X i+1,j ) bekannt sind. Damit können die Koeffizienten β ir 11

Bewerten von Rainbow-Optionen 4 REGRESSIONSBASIERENDE METHODE aus den beobachteten Paare (X ij, 1 B t V i+1 (X i+1,j )), j = 1,..., b geschätzt werden, d.h. vom aktuellen Zustand der Markov-Kette und dem diskontierten Wert der Option zum Zeitpunkt i + 1. Der Kleinste-Quadrate Schätzer von β i ist somit ˆβ i = ˆD 1 ψi ˆD ψv i, (22) wobei ˆDψi und ˆD ψv i die geschätzten Gegenstücke von D ψi und D ψv i sind. Genauer, ˆDψi ist die K K - Matrix mit qr-eintrag ˆD ψi (q, r) = 1 b b ψ q (X ij )ψ r (X ij ) (23) j=1 und ˆD ψv i ist der K-Vektor mit r-tem Eintrag ˆD ψv i (r) = 1 b b k=1 ψ r (X ik ) 1 B t V i+1 (X i+1,k ). (24) In Wirklichkeit sind die V i+1 unbekannt und müssen durch Rückwärtsrekursion analog dem dynamischen Programm (6) geschätzt werden. Mit den geschätzten Koeffizienten ˆβ i kann dann der Fortsetzungswert, für alle x aus dem Zustandsraum R d >0, geschätzt werden Ĉ i (x) = ˆβ T i ψ(x). (25) Jetzt kann ein Algorithmus angegeben werden, um den Optionspreis zu schätzen. Algorithmus 4.1 (Regressionsbasierender Bewertungs-Algorithmus) i.) Schritt: Simuliere b unabhängige Pfade X 1j,..., X mj, j = 1,..., b, von der zugrundeliegende Markov-Kette (z.b. durch GBM(µ, σ 2 )); ii.) Schritt: In den Endknoten setze ˆV mj = h m (X mj ), j = 1,..., b; iii.) Schritt: Wende Rückwärtsinduktion für i = m 1,..., 1 an, (a) Für gegebene ˆV i+1 (X i+1,j ), j = 1,..., b, benutze Regression wie oben beschrieben um ˆβ 1 i = ˆD ˆD ψi ψv i zu schätzen; (b) setze dann { } ˆV i (X ij ) = max h i (X ij ), Ĉi(X ij ), j = 1,..., b, (26) mit Ĉi wie in (25); iv.) Schritt: Setze ˆV 0 = 1 B t [ 1 b ( ˆV1 (X 11 ) + + ˆV 1 (X 1b ))]. ˆV 0 ist der high-biased Schätzer für den Optionspreis V 0. Dieser Ansatz wurde von Tsitsiklis und Van Roy [8] enwickelt, sie zeigen, dass, falls die Bedingung (18) für alle i = 1,..., m 1 gilt, der geschätzte Wert ˆV 0 gegen den wahren Wert V 0 (X 0 ) für b konvergiert. Für festes b ist dieser Schätzer jedoch high-biased: In (26) kann der zugrundeliegende Markov-Prozess, anstatt eines beliebigen Pfades, nur einer der b möglichen Pfade annehmen. Die Koeffizienten β i sind jedoch genau auf diese b Pfade optimal angepasst, d.h. im Schritt iii.) (b) besitzt man einen Vorteil gegenüber einem beliebigen Pfades des Markov-Prozesses X t. Daraus resultiert der high Bias in ˆV 0. 12

Bewerten von Rainbow-Optionen 5 DUALITÄTSANSATZ 4.3 Low-Biased Schätzer Mit Hilfe des high-biased Schätzer und dessen Schätzung des Fortsetzungswert Ĉi(x) durch (25) für jeden Schritt i und für jeden Zustand x R, kann jetzt eine Stoppstrategie definiert werden. Diese Strategie ist suboptimal, deswegen wird der Schätzer, welcher durch Ausüben nach dieser Stoppstrategie definiert wird, low-biased sein. Der Fortsetzungswert Ĉi(x) kann durch den high-biased Schätzer für alle x Ω berechnet werden. Jetzt wird ein neuer Pfad der Markov-Kette X 0, X 1,..., X m simuliert. Dieser Pfad ist unabhängig von den Pfaden, welche benutzt wurden, um Ĉi(x) zu schätzen. Die Stoppzeit kann definiert werden durch { } ˆτ := min i 1,..., m : h i (X i ) Ĉi(X i ). (27) Dies ist der erste Zeitpunkt, zu welchem der Ausübungswert grösser ist als der Fortsetzungswert. Der low-biased Schätzer für einen einzigen Pfad ist der diskontierte Pay-Off ˆv := 1 Bˆτ hˆτ (Xˆτ ), (28) der beim Ausüben der Option nach dieser Stoppstrategie fällig wird. Wird (28) auf mehrere unabhängige Wege angewendet, so liefert der Durchschnitt dieser Schätzungen einen stabilen low-biased Schätzer. Durch mehrmaliges Anwenden vom high- und low-biased Schätzer können Mittelwerte und Standardabweichungen der Schätzer bestimmt werden. Dies liefert uns 2 Vertrauensintervalle, welche wie in (17) zu einem einzigen Vertrauensintervall zusammengefasst werden können. Die numerischen Beispiele zur regressionsbasierenden Methode folgen im nächsten Abschnitt, gemeinsam mit den numerischen Beispielen des Dualitätsansatzes. 5 Dualitätsansatz Das Ziel des Dualitätsansatzes, welcher von Haugh und Kogan [6] vorgeschlagen wurde, ist eine obere und untere Grenze des Optionspreises zu bestimmen. Dazu benötigt die Methode eine Approximation an den wahren Optionswert. Je besser diese Approximation ist, desto besser sind die oberen und unteren Grenzen. Die untere Grenze wird direkt, durch suboptimales Ausüben der Option anhand der Approximation, berechnet (vgl. low-biased Schätzer (28)). Die obere Grenze wird anhand eines Dualitätsproblem berechnet. Dieses benützt die Eigenschaften des Preisprozesses, welche in Proposition 2.1 zusammengefasst sind. Die obere Grenze wird definiert als minimales Supermartingal, welches den Preisprozess V t noch dominiert. Haugh und Kogan verwenden neurale Netzwerke und low-discrepancy Sequenzen um die Approximation des Optionswertes zu erhalten. Ich werde die regressionsbasierende MC- Methode aus Abschnitt 4 gebrauchen. 13

Bewerten von Rainbow-Optionen 5 DUALITÄTSANSATZ 5.1 Theoretische Überlegungen Der Dualitätsansatz ist aufgegliedert in 3 Schritte: 1. Schritt: Berechnen einer Approximation an den gegenwärtigen Marktpreis der Option als Funktion der Zeit und des Zustands des Underlyings. Es wird ein dynamischer Algorithmus benötigt, um den Fortsetzungswert zu berechnen. 2. Schritt: Schätzen der unteren Grenze des Optionswertes durch Simulation der approximierten Ausübungsstrategie basierend auf dem Fortsetzungswert von Schritt 1 (vgl. (28)). 3. Schritt: Basierend auf der Optionspreis-Approximation wird ein Supermartingal-Prozess definiert, anhand von diesem und mit Hilfe von MC-Simulation wird eine obere Grenze geschätzt. Dieser Schritt basiert auf der neuen Dual-Repräsentation der amerikanischen Option. Schritt 1 und 2 werden berechne ich anhand des regressionsbasierenden Algorithmus aus Abschnitt 4. Schritt 3 erläutere ich jetzt genauer. Im klassischen Sinn ist das Bewerten einer amerikanischen Option das Lösen des folgenden Problems (vgl. (3)) [ ] hτ V 0 = sup E 0. (29) τ Θ 0 B τ Jetzt wird für ein beliebiges F t -adaptiertes Supermartingal π die Dualfunktion F (t, π) durch F (t, π) := E t [ max s {[t,t ] T } ( )] hs π s + π t (30) B s definiert. Das Dualitätsproblem ist, die Dualfunktion zum Zeitpunkt 0 über alle Supermartingale π zu minimieren. Sei U 0 der geschätzte Wert mit dem Dualitätsansatz, dann gilt U 0 = inf π [ ( )] F (0, π) = inf E ht 0 max π t + π 0. (31) π t T Das Infinum wird über alle F t -adaptierten Supermartingale π genommen. Theorem 5.1 zeigt, dass der optimale Wert des Dualitätsproblem und die Lösung des klassischen Problems übereinstimmen. Theorem 5.1 (Dualitätsrelation) Der Wert des klassischen Optimierungsproblem (29) und der Wert des Dualitätsproblem (31) stimmen überein, d.h. V 0 = U 0. Mehr noch, eine optimale Lösung des Dualitätsproblem (31) ist gegeben durch πt = Vt, wobei V t der Bewertungsprozess der amerikanischen Option ist V t = sup τ Θ t E t [ hτ B τ ]. (32) 14

Bewerten von Rainbow-Optionen 5 DUALITÄTSANSATZ Beweis Für ein beliebiges F t -adaptiertes Supermartingal π gilt: [ ] [ hτ hτ V 0 = sup E 0 = sup E 0 τ Θ 0 B τ τ Θ 0 sup τ Θ 0 E 0 E 0 [max t T B τ π τ + π τ [ hτ ] ] π τ + π 0 B τ )] + π 0. (33) ( ht π t Die erste Ungleichung folgt aus dem Optional Sampling Theorem und dessen Korollar (s. Appendix A). Die Voraussetzungen des Theorems werden durch die Bedingung (1) und durch die Voraussetzung, dass die Stoppzeit τ durch die konstante Stoppzeit T beschränkt ist, erfüllt. Die zweite Ungleichung kann leicht durch Widerspruch gezeigt werden. Wird auf der rechten Seite von (33) das Infinum über alle Supermartingale π genommen, so impliziert dies V 0 U 0. Andererseits ist der Prozess Vt selber ein Supermartingal. Somit gilt ( ht U 0 E 0 [max V )] t + V 0. (34) t T Weil V t h t für alle t, folgt U 0 V 0. Und damit U 0 = V 0. Gleichheit gilt für πt = Vt als optimales Supermartingal. Theorem 5.1 besagt, dass eine obere Grenze zu einem Preis einer amerikanischen Option konstruiert werden kann, indem die Dualfunktion über ein beliebiges F t -Supermartingal π ausgewertet wird. Erfüllt ein solches Supermartingal die Bedingung π t ht für alle t, so ist der Optionspreis V 0 durch den Wert π 0 von oben beschränkt. Theorem 5.1 impliziert daher auch die bekannten Eigenschaften des Preisprozesses einer amerikanischen Option s. Proposition 2.1. Proposition 5.2 (Charakterisierung amerikanischer Optionen) Der diskontierte Bewertungsprozess Vt ist das kleinste Supermartingal, das den diskontierten Payoff ht der Option für alle t dominiert. 5.2 Obere Grenze Kommen wir nun zur Konstruktion der oberen Grenze des Optionspreises. Theorem 5.1 besagt, dass falls das Supermartingal π t in (30) mit dem diskontierten Bewertungsprozess Vt übereinstimmt, die obere Grenze F (0, π) gleich dem Wert der amerikanischen Option ist. Daraus kann man schliessen, dass eine gute Approximation Ṽt an den Bewertungsprozess V t ebenfalls eine gute obere Grenze liefert, indem das Supermartingal π t so definiert wird, dass wenn Ṽt mit V t übereinstimmt, π t gleich dem diskontierten Optionswert Vt ist. Es macht deshalb Sinn, das Supermartingal π t zu definieren durch 15

Bewerten von Rainbow-Optionen 5 DUALITÄTSANSATZ π t+1 := π t + Ṽt+1 +1 Ṽt E t [ Ṽt+1 +1 Ṽt π 0 := Ṽ0, (35) ] +. (36) Diese Konstruktion erfüllt die Supermartingal-Eigenschaft E t [π t+1 π t ] 0. Damit ist ein adaptiertes Supermartingal für eine beliebige Approximation Ṽt konstruiert. Die obere Grenze kann durch Weglassen des positiven Teiles in (36) weiter verbessert werden. Dadurch wird π t ein Martingal, also bleibt ein Supermartingal. Dieses Martingal kann immer noch als obere Grenze benutzt werden, es stimmt mit π t für t = 0 überein und ist immer grösser oder gleich π t für t > 0. Da jetzt π t sogar ein Martingal und nicht nur ein Supermartingal ist, wird der Wert der Dualfunktion (30) kleiner und somit das Minimierungsproblem besser gelöst. Ab jetzt werde ich die folgende Martingal-Konstruktion des Supermartingals π t verwenden π t+1 := π t + Ṽt+1 +1 Ṽt E t π 0 := Ṽ0, (37) ] [ Ṽt+1 +1 Ṽt. (38) Wird das Supermartingal (38) in (31) eingesetzt, dann ist die obere Grenze gegeben durch V 0 = Ṽ0 + E 0 max t T h t Ṽt + t j=1 [ ] Ṽj E j 1 Ṽj 1. (39) B j B j 1 Folgendes Theorem 5.3 liefert uns eine Worst-Case Abschätzung für die obere Grenze (39) im Vergleich zur Qualität der Approximation Ṽt. Theorem 5.3 (obere Grenze) Wird irgendeine Approximation an den Wert der amerikanischen Option Ṽt, welche Ṽt h t erfüllt, betrachtet, dann gilt T Ṽt V t V 0 V 0 + 2E. (40) t=0 Beweis Die Konstruktion der oberen Grenze ist gegeben durch (39): V 0 = Ṽ0 + E 0 max t T h t Ṽt + Diese Grenze kann abgeschätzt werden t j=1 [ ] Ṽj E j 1 Ṽj 1. (41) B j B j 1 16

Bewerten von Rainbow-Optionen 5 DUALITÄTSANSATZ [ ] t V 0 Ṽ0 + E 0 max Ṽj E j 1 V j + V j V j 1 + V j 1 Ṽj 1 t T B j=1 j B j B j B j 1 B j 1 B j 1 [ ] T Ṽ0 + E 0 E Ṽj j 1 V j + V j 1 Ṽj 1 B j=1 j B j B j 1 B j 1 T ( [ ] ) Ṽ j V 0 + Ṽ0 V 0 + E0 E j 1 V j Ṽ j 1 + V j 1. B j B j 1 j=1 B j B j 1 Die erste Ungleichung folgt, weil Ṽt h t t. Die zweite Ungleichung folgt aus der Super- Martingal Eigenschaft des diskontierten Preisprozesses Vt. Die dritte Ungleichung ist die Dreiecks-Ungleichung. Theorem 5.3 folgt aus dieser Abschätzung. Theorem 5.3 besagt, dass sich die obere Grenze linear in der Anzahl Ausübungspunkte verschlechtert, dies jedoch nur im Worst-Case. Der wichtige Term in (39) E 0 max t T h t Ṽt + t j=1 [ ] Ṽj E j 1 Ṽj 1, (42) B j B j 1 wächst zwar mit der Anzahl Ausübungspunkte, aber nicht unbedingt linear wie numerische Beispiele zeigen. 5.3 Implementation In diesem Abschnitt beschreibe ich, wie die obere Grenze V 0 von (39) implementiert wird. Ich gehe davon aus, dass ein Schätzer Ĉi(x) für den Fortsetzungswert C i (x) existiert (z.b. durch regressionsbasierende Methode). Mit Hilfe dieses Fortsetzungswertes kann durch eine suboptimale Ausübungsstrategie wie in (28) eine untere Grenze V 0 an den Optionspreis V 0 gefunden werden. Da immer noch V 0 h 0 gilt, macht es Sinn in (39) Ṽ0 = V 0 zu setzen. Der approximierte Preisprozess kann wie üblich als } Ṽ t = max {Ĉt, h t berechnet werden. Die obere Grenze wird also mit Hilfe der Formel [ ] V 0 = V 0 + E 0 max h t t Ṽt Ṽj + E j 1 Ṽj 1. (44) t T B j B j 1 berechnet. Um V 0 zu schätzen, werden b unabhängige Pfade des zugrundeliegenden Markov-Prozess X t simuliert. Mit Hilfe dieser Pfade werden die Zufallsvariablen j=1 (43) 17

Bewerten von Rainbow-Optionen 5 DUALITÄTSANSATZ max t T h t Ṽt + t j=1 [ ] Ṽj E j 1 Ṽj 1 (45) B j B j 1 berechnet. Der Mittelwert über diese Zufallsvariablen liefert uns eine Annäherung an den Erwartungswert E 0 auf der rechten Seite von (44). Um die Zufallsvariablen aus (45) zu berechnen, müssen die bedingten Erwartungswerte [ ] Ṽj E j 1 Ṽj 1 (46) B j B j 1 ermittelt werden. Meist können diese bedingten Erwartungswerte nicht exakt berechnet werden und es ist nötig diese ebenfalls mittels Simulation zu schätzen. Dazu kann folgender kurzer Algorithmus verwendet werden: Algorithmus 5.4 (Bedingter Erwartungswert) i.) Schritt: Der zugrundeliegende Markov-Prozess X t hat zum Zeitpunkt j den Wert X j, simuliere d-mal den nächsten Schritt X j+1 des Markov-Prozess und berechne d-mal den Wert des Preisprozesses V j+1 mit (43). ii.) Schritt: Der Mittelwert dieser d simulierten Werte für V j+1 ist die Schätzung des bedingten Erwartungswertes. Damit haben wir alles, um die obere Grenze zu berechnen. Im nächsten Abschnitt gebe ich einige numerische Beispiele zur regressionsbasierenden Methode und zum Dualitätsansatz an. 5.4 Numerische Beispiele Die regressionsbasierende Methode ist davon abhängig, welche Basisfunktionen ψ verwendet werden. Ich habe drei verschiedene Sets von Basisfunktionen getestet. Als Basisfunktionen verwende ich die konstante 1-Funktion, das Underlying des Markov-Prozesses, die Pay-Off Funktion h t, so wie Produkte und Differenzen des Underlyings. Die Algorithmen habe ich in Matlab 6.5 implementiert und auf einem Computer mit Intel Pentium IV Prozessor 2,80 GHz und 1 GB RAM laufen lassen. Der Matlab-Code kann auf Wunsch beim Autor bestellt werden. Um einen Vergleich mit dem CRR-Modell zu ermöglichen, berechne ich wieder die beiden Beispiele von Abschnitt 3. Als erstes Beispiel betrachte ich eine amerikanische Put-Option auf das Minimum zweier unabhängiger Aktien A und B. Als Parameter benutze ich S 0A = S 0B, K = 50, σ A = 0.25, σ B = 0.15, T = 1, M = 12 Dividendenausschüttung δ = 0.08 und risikofreier Zinssatz r = 0.05. Für die Simulation der regressionsbasierende Methode verwende ich b = 2000 unabhängige Pfade für die obere Grenze und nochmals b = 2000 unabhängige Pfade für die untere Grenze. Um den Dualitätsansatz zu simulieren verwende ich b dual = 200 unabhängige Pfade und jeweils d = 20 Schritte um die bedingten Erwartungswerte zu schätzen. 18

Bewerten von Rainbow-Optionen 5 DUALITÄTSANSATZ Die meiste Rechenzeit wird in die Simulation der Pfade investiert, mit den gewählten Parameter b, b dual und d beanspruchen die regressionsbasierende Methode und der Dualitätsansatz ungefähr gleichviel Rechenzeit. Für eine Simulation der regressionsbasierenden Methode benötigt der Algorithmus im Durchschnitt 160 Sekunden, für den Dualitätsansatz ca. 167 Sekunden. Die Wahl und die Anzahl der Basisfunktionen beeinflusst die Rechenzeit nur geringfügig (± 1 Sekunde). Jede Simulation habe ich 100 Mal durchgeführt um Schätzungen der Mittelwerte und Standardabweichungen zu erhalten. Die Resultate sind in Tabelle 3 zusammengefasst. Zur Abkürzung habe ich S i geschrieben, wobei i {A, B} gilt. Die Standardabweichungen sind in Klammern angegeben. Im ersten Set habe ich 5 Basisfunktionen, im zweiten Set 8 Basisfunktionen und im dritten Set 12 Basisfunktionen benutzt. In den Spalten mit Regression, resp. Dualität sind jeweils die oberen Grenzen der regressionsbasierenden Methode, resp. des Dualitätsansatzes enthalten. Die Spalte CRR beinhaltet den Wert der deterministischen Methode von Cox, Ross und Rubinstein, vgl. Abschnitt 3. Dieser Wert dient als Vergleich. Das Resultat Na (Not available) bedeutet, dass die Matrix ˆD ψi in (22) singulär ist und somit keine Approximation mit der regressionsbasierenden Methode möglich ist. Dies ist vor allem der Fall bei Optionen welche tief im Geld (deep in-the-money) oder tief aus dem Geld (deep out-of-the-money) sind. Dort ist bei der Wahl der Basisfunktionen jeweils Vorsicht geboten. S 0i Basisfunktionen Untere Grenze Regression Dualität CRR 40 1, S i, Si 2 14.92 16.36 15.68 14.95 (0.11) (0.11) (0.11) 1, S i, Si 2, S3 i, S AS B 14.92 15.41 15.38 14.95 (0.11) (0.11) (0.09) 1, S i, Si 2, S3 i, S AS B, Na Na Na 14.95 SA 2 S B, S A SB 2, h(s A, S B ), S A S B 50 1, S i, Si 2 7.31 8.66 7.94 7.30 (0.11) (0.12) (0.12) 1, S i, Si 2, S3 i, S AS B 7.32 8.00 7.76 7.30 (0.12) (0.11) (0.10) 1, S i, Si 2, S3 i, S AS B, 7.35 7.44 7.64 7.30 SA 2 S B, S A SB 2, h(s A, S B ), S A S B (0.12) (0.12) (0.09) 60 1, S i, Si 2 2.55 3.78 3.15 2.58 (0.09) (0.09) (0.10) 1, S i, Si 2, S3 i, S AS B 2.56 3.12 2.91 2.58 (0.09) (0.09) (0.07) 1, S i, Si 2, S3 i, S AS B, 2.58 2.70 2.76 2.58 SA 2 S B, S A SB 2, h(s A, S B ), S A S B (0.09) (0.08) (0.07) Tabelle 3: Werte ˆV 0 für eine amerikanische Put-Option auf das Minimum von 2 Aktien 19

Bewerten von Rainbow-Optionen 5 DUALITÄTSANSATZ Als zweites Beispiel betrachte ich eine amerikanische Call-Option auf den geometrischen Mittelwert von 2 unabhängigen Aktien. Die Parameter bleiben die gleichen wie beim ersten Beispiel. Die Resulate sind in der Tabelle 4 aufgelistet. S 0i Basisfunktionen Untere Grenze Regression Dualität CRR 40 1, S i, Si 2 0.08 0.32 0.27 0.09 (0.01) (0.04) (0.03) 1, S i, Si 2, S3 i, S AS B 0.09 0.26 0.23 0.09 (0.01) (0.03) (0.02) 1, S i, Si 2, S3 i, S AS B, Na Na Na 0.09 SA 2 S B, S A SB 2, h(s A, S B ), S A S B 50 1, S i, Si 2 2.01 3.06 2.67 2.11 (0.08) (0.08) (0.07) 1, S i, Si 2, S3 i, S AS B 2.05 2.36 2.38 2.11 (0.07) (0.06) (0.05) 1, S i, Si 2, S3 i, S AS B, 2.05 2.15 2.30 2.11 SA 2 S B, S A SB 2, h(s A, S B ), S A S B (0.07) (0.06) (0.05) 60 1, S i, Si 2 9.40 9.90 10.28 10 (0.15) (0.08) (0.07) 1, S i, Si 2, S3 i, S AS B 9.70 9.81 10.20 10 (0.08) (0.07) (0.06) 1, S i, Si 2, S3 i, S AS B, Na Na Na 10 SA 2 S B, S A SB 2, h(s A, S B ), S A S B Tabelle 4: Werte ˆV 0 für eine amerikanische Call-Option auf den geometrischen Mittelwert von 2 Aktien Diese zwei Beispiele lassen nur limitierte Interpretationen zu. Folgende Punkte sind dabei erwähnenswert: Die untere Grenze scheint viel näher am exakten Wert zu sein als die obere Grenze. Mit dem low-biased Schätzer kann eine genauere Approximation an den Optionswert gemacht werden, als mit dem high-biased Schätzer. Die Wahl der Basisfunktionen ist beim regressionsbasierenden Modell essentiell. Je mehr sinnvolle Basisfunktionen gebraucht werden, desto besser wird die Schätzung. Doch zuviele Basisfunktionen können auch problematisch werden, weil die Matrix ˆD ψi in (22) singulär werden könnte und damit die regressionsbasierende Methode nicht mehr anwendbar ist. Es ist nicht immer klar welche und wieviele Funktionen als Basisfunktionen geeignet sind. Unter Umständen ist es schwer Basisfunktionen überhaupt zu berechnen (z.b. bei sehr exotischen Optionen). Mit mehr Basisfunktionen steigt der rechnerische Aufwand, dieser Einfluss ist aber eher klein. Der Dualitätsansatz liefert beim ersten Set von Basisfunktionen eine markante Verbesserung, beim zweiten Set noch eine geringe Verbesserung und beim dritten Set sind die 20

Bewerten von Rainbow-Optionen 6 ABSCHLIESSENDE BEMERKUNGEN Schätzungen des Dualitätsansatzes sogar leicht schlechter. Daraus kann man schliessen, dass bei wenigen zur Verfügung stehenden Basisfunktionen mit dem Dualitätsansatz eine Verbesserung erzielt werden kann. Besonders beim Bewerten von Optionen auf höherdimensionalen Underlyings ist dies nützlich. Auch um eine Option welche tief aus dem Geld oder tief im Geld ist, zu bewerten, scheint es effektiver (resp. sicherer) eine Approximation mit wenigen Basisfunktionen durchzuführen und diese Grenze mit Hilfe des Dualtiätsansatzes zu verbessern, anstatt viele Basisfunktionen zu benutzen. 6 Abschliessende Bemerkungen Effizientes Bewerten von Rainbow-Optionen stellt nach wie vor eine grosse Herausforderung dar. Deterministische Methoden sind dafür nicht besonders gut geeignet, Monte-Carlo Methoden bieten eine Alternative. Hier gibt es verschiedene Ansätze. Der Dualitätsansatz von Haugh und Kogan ist ein starkes Werkzeug um eine bestehende Approximation an den Optionspreis zu verbessern. Auch liefert dieser Ansatz eine obere und eine untere Grenze an den Optionspreis. Bei vorhandener grosser Rechenleistung kann das Vertrauensintervall sehr klein gemacht werden. Der Dualitätsansatz ist auch besonders aus theoretischer Sichtweise sehr interessant. Im klassischen Sinne ist das Bewerten von amerikanischen Optionen stets ein Maximierungsproblem über alle Stoppzeiten. Der Dualitätsansatz betrachtet das Bewertungsproblem aus einem anderen Blickwinkel. Neu ist das Bewerten von amerikanischen Optionen ein Minimierungsproblem über alle, den Preisprozess dominierenden, Supermartingale. 21

Bewerten von Rainbow-Optionen 7 APPENDIX 7 Appendix 7.1 Appendix A: Wahrscheinlichkeitstheorie In diesem Appendix stelle ich eine kleine Sammlung von Definitionen, Eigenschaften und Sätzen der Wahrscheinlichkeitstheorie zusammen. Es ist kein Exkurs in die Wahrscheinlichkeitstheorie, sondern nur das Auflisten von in dieser Arbeit benützten Definitionen und Notationen. Für mehr Details verweise ich auf Sznitman [10]. Nach den Axiomen von Kolmogorov wird ein Zufallsexperiment durch einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) modelliert. Definition 7.1 (Wahrscheinlichkeitsraum) Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) besteht aus: Ω, eine nicht leere Menge (z.b. R) A, eine σ-algebra auf Ω. D.h. A ist eine Familie von Teilmengen von Ω, mit den Eigenschaften: i.) Ω A ; ii.) A A A c A ; iii.) für jede abzählbare Folge A i, i 1, A i A gilt i 1 A i A. P, ein Wahrscheinlichkeitsmass auf (Ω, A ). Definition 7.2 (Zufallsvariable) Eine Zufallsvariable X ist eine messbare Abbildung von (Ω, A ) nach (R, B(R)). Wobei B(R) die Borel-σ-Algebra in R ist. Definition 7.3 (Stochastischer Prozess) Ein stochastischer Prozess in diskreter Zeit ist eine endliche oder unendliche Folge von Zufallsvariablen X 0, X 1,..., X n, wobei der Index die Zeit darstellt. In stetiger Zeit kann ein stochastischer Prozess als X t t R geschrieben werden. Dies bedeutet, dass zu jedem Zeitpunkt t eine Zufallsvariable realisiert wird. Definition 7.4 (Erwartungswert) Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen X auf (Ω, A, P ), die X dp < (47) erfüllt, wird definiert wie folgt: Ω E[X] = Ω XdP. (48) Definition 7.5 (Filtration) Eine Filtration ist eine aufsteigende Folge F n, n 0 von Teil σ-algebren von A (d.h. F 0 F 1 F n A ). 22

Bewerten von Rainbow-Optionen 7 APPENDIX Definition 7.6 (F n -adaptiert) Eine Folge X n, n 0, von Zufallsvariablen heisst F n -adaptiert, falls für n 0, X n F n - messbar ist. Der bedingte Erwartungswert E[X F n ] ist der Erwartungswert von der Zufallsvariable X, bedingt, dass wir alle Informationen die in der σ-algebra F n enthalten sind kennen. Bei diskreten stochastischen Prozessen kann der bedingte Erwartungswert E[X n+1 F n ] interpretiert werden als: Beste Prognose der Zufallsvariablen X n+1 unter der Bedingung, dass die Zufallsvariablen X 0, X 1,..., X n bekannt sind. Der bedingte Erwartungswert kann durch folgende Proposition mathematisch korrekt definiert werden: Proposition 7.7 (Bedingter Erwartungswert) Sei X eine integrierbare Zufallsvariable auf (Ω, A, P ) und F eine Teil σ-algebra von A. Dann existiert eine Zufallsvariable Z mit Z ist F -messbar und integrierbar. (49) E[X 1 F ] = E[Z 1 F ] für F F. (50) 1 F ist die Indikatorfunktion auf der Menge F. Z ist eindeutig bis auf P-Null Äquivalenz bestimmt. Notation: Z = E[X F ], genannt bedingter Erwartungswert. Für den Beweis und weitere Erläuterungen verweise ich auf Sznitman [10]. Definition 7.8 (Super-, Sub-, Martingal) Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und F n, n 0, eine Filtration. Eine F n -adaptierte Folge X n, n 0 von integrierbaren Zufallsvariablen heisst F n -adaptiertes Martingal (bzw. Supermartingal, bzw. Submartingal), falls gilt: n 0, E[X n+1 F n ] = X n, P-f.s. (Martingal); (51) n 0, E[X n+1 F n ] X n, P-f.s. (Supermartingal); (52) n 0, E[X n+1 F n ] X n, P-f.s. (Submartingal). (53) Diese Definition wird vielfach auch Martingal-Eigenschaft genannt. Definition 7.9 (Markov-Prozess) Ein Markov-Prozess ist ein stochastischer Prozess der folgende Eigenschaft erfüllt: P [X t+1 = j X t = i t, X t 1 = i t 1,..., X 0 = i 0 ] = P [X t+1 X t = i t ] (54) Ein Markov-Prozess kennt immer nur den momentanen Zustand X t, aber nicht den Pfad, der zu diesem Zustand führt, in diesem Sinne ist der Prozess vergesslich. 23

Bewerten von Rainbow-Optionen 7 APPENDIX Definition 7.10 (Stoppzeit) Eine Zufallsvariable N : Ω N { } heisst Stoppzeit (bzgl. der Filtration F n ), falls {ω Ω : N = n} F n n N (55) gilt. D.h. die Entscheidung zum Zeitpunkt n zu stoppen, hängt nur von den Informationen bis zum Zeitpunkt n ab. Durch Ausüben der Option nach einer Stoppzeit wird eine Stoppstrategie definiert. Theorem 7.11 (Optional Sampling Theorem) Es sei X n ein F n -adaptiertes Supermartingal. Weiter sei τ eine beschränkte Stoppzeit bzgl. der F n -Filtration, so dass τ T, für ein T R, gilt. Dann ist X τ ein F τ -adaptiertes Supermartingal. Korollar 7.12 Unter den gleichen Voraussetzungen wie im Optional Sampling Theorem gilt E[X 0 ] E[X τ ] E[X T ]. (56) Für den Beweis des Optional Sampling Theorem und des Korollars verweise ich auf Bauer [1]. 7.2 Appendix B: Geometrische Brownsche Bewegung Definition 7.13 (Standard Brown sche Bewegung SBM) Eine Standard Brown sche Bewegung auf [0, T ] ist ein stochastischer Prozess {W (t), 0 t T } mit den folgenden Eigenschaften: 1. W (0) = 0; 2. Die Abbildung t W (t) ist, mit Wahrscheinlichkeit 1, auf [0, T ] stetig; 3. Die Zuwächse W (t 1 ) W (t 0 ), W (t 2 ) W (t 1 ),..., W (t k ) W (t k 1 ) sind unabhängig für alle k und für alle 0 t 0 < t 1 <... < t k T ; 4. W (t) W (s) N (0, t s) für alle 0 s < t T. Definition 7.14 (Brown sche Bewegung BM(µ, σ 2 )) Für Konstanten µ und σ > 0 nennt man einen stochastischen Prozess X(t) eine Brown sche Bewegung mit Drift µ und Diffusions-Koeffizient σ 2 (X BM(µ, σ 2 )), falls X(t) µt σ eine Standard Brown sche Bewegung SBM nach Definition 7.13 ist. 24

Bewerten von Rainbow-Optionen 7 APPENDIX Eine BM(µ, σ 2 ) X(t) kann aus einer Standard Brown schen Bewegung SBM W (t) konstruiert werden: X(t) = µt + σw (t). Aus den Definitionen 7.13 und 7.14 folgt, dass X(t) N (µt, σ 2 t). X(t) löst die stochastische Differentialgleichung (SDE): dx(t) = µdt + σdw (t). (57) Die Annahme X(0) = 0 ist eine Normalisierung. Eine Brown sche Bewegung mit Parameter µ und σ 2 und Startwert x kann konstruiert werden, indem zu jedem X(t) noch x dazuaddiert wird. Definition 7.15 (Geometrische Brown sche Bewegung GBM) Ein stochastischer Prozess S(t) ist eine geometrische Brown sche Bewegung, falls log S(t) ein Brown sche Bewegung 7.14 mit Startwert log S(0) ist. Das heisst eine geometrische Brown sche Bewegung ist eine exponentierte Brown sche Bewegung. In einer ersten These hat Louis Bachelier (1900) vorgeschlagen, die BM zur Simulation von Aktienkursen zu verwenden. Der Durchbruch in der Finanzmathematik hatte die BM erst 1960 geschafft, als Paul Samuelson vorgeschlagen hat die GBM anstatt die BM zum Simulieren von Aktienkursen zu verwenden. Seither ist die geometrische Brown sche Bewegung eines der wichtigsten Modelle der Finanzmathematik. Warum ist die GBM besser als die BM, um Aktienkurse zu simulieren? Ein grosser Vorteil gegenüber der BM ist, dass S(t) keine negative Werte annehmen kann, was eine wichtige Voraussetzung bei der Simulation von Aktienkursen ist. Doch noch wichtiger ist die Eigenschaft, dass die relativen Veränderungen S(t 2 ) S(t 1 ) S(t 1 ), S(t 3) S(t 2 ),..., S(t n) S(t n 1 ) S(t 2 ) S(t n 1 ) (58) unabhängig sind für t 1 < t 2 < < t n, anstatt die absoluten Veränderungen S(t i+1 ) S(t i ). Vielfach wird die Geometrische Brown sche Bewegung auch durch eine SDE der Form ds(t) S(t) = µdt + σdw (t) (59) beschrieben. Die Koeffizienten µ und σ stimmen nicht mehr mit dem µ und σ der exponentierten BM(µ, σ 2 ) überein. S(t) hat Drift µs(t) und Diffusions-Koeffizient σ 2 S 2 (t). Mit der Notation S GBM(µ, σ 2 ) meine ich einen Prozess der Form (59). µ wird ebenfalls Drift Parameter genannt, obwohl er nicht der Drift-Parameter von S(t) oder von log S(t) im herkömmlichen Sinn ist. σ von (59) ist der Volatilitäts Parameter von S(t). Von (59) folgt, durch Anwenden von Itô s Formel (siehe z.b. Glasserman [5]), wobei dw (t) eine Standard Brown sche Bewegung ist. d log S(t) = (µ 1 2 σ2 )dt + σdw (t), (60) 25