Freie Universität Berlin WS 2006/2007 Fachbereich Physik 26.01.2007 Statistische Physik - heorie der Wärme PD Dr. M. Falcke) Übungsblatt 12: Ferromagnet Aufgabe 1 6 Punkte) Ein ferromagnetisches System aus N Spins kann bei tiefen emperaturen durch die freie Energie a F = N 2 m2 + b ) 4 m4 hm modelliert werden. Hierbei ist m die Magnetisierung und h ein externes magnetisches Feld. Bezeichne C die kritische emperatur, dann ist a) = a 0 C )/ C. Des weiteren seien a 0, b R +. a. Skizzieren Sie Fm) für die drei Fälle > C, = C und < C bei h = 0. b. Berechnen Sie m) für h = 0, indem Sie die freie Energie minimieren. c. Berechnen Sie die Entropie S) und die Wärmekapazität C V ) für h = 0 und skizieren Sie C V ). d. Berechnen Sie die magnetische Suszeptibilität χ = m/ h) h=0. e. Diskutieren Sie graphisch die Abhängigkeit der Magnetisierung m vom externen Feld h für die drei Fälle a < 0, a = 0 und a > 0. Aufgabe 2 7 Punkte) In einer Kette aus N Spins mögen nur die direkt benachbarten Spins miteinander wechselwirken. Ein solches System wird durch den Hamiltonoperator H = J i s i s i+1 beschrieben, wobei J i die platzabhängige Stärke der Wechselwirkung und s i = ±1 ist. a. Berechnen Sie die kanonische Zustandsumme. Beweisen Sie dazu, dass Z N = 2 coshβj )Z gilt. Werten Sie die Zustandsumme für konstantes J aus, d.h. J l = J k für l k. b. Berechnen Sie die freie Energie f, die Entropie s, die spezifische Wärme c V und die innere Energie u pro eilchen im thermodynamischen Limes N für konstantes J. c. Zeigen Sie, daß der dritte Hauptsatz erfüllt ist. d. Die Korrelationsfunktion Gi, n) := s i s i+n charakterisiert den Zerfall der Spinkorrelation als Funktion des Abstandes n. Berechnen Sie Gi, n) und zeigen Sie dazu zunächst, daß [ Gi, n) = 1 i+n 1 ] Z N. Z N βj k k=i
e. Werten Sie die Korrelationsfunktion für konstantes J aus und zeigen Sie, daß G exponentiell abfällt, i.e. Gi, n) = exp n/ξ). Hierbei bezeichnet ξ die Korrelationslänge. Berechnen Sie ξ in führender Ordnung für kleine emperaturen. Abgabetermin: Mittwoch, 07.02.2007 vor Beginn der Vorlesung.
Lösungen Aufgabe 1 a. Abbildung 1 stellt die freie Energie für die drei Bereiche < C, = C und > C dar. Deutlich erkennbar ist die bistabile Form von F für < C. F Abbildung 1: Freie Energie F als Funktion der Magnetisierung m bei h = 0 für < C durchgezogen), = C gestrichelt) und > C gepunktet). m b. Aus der Minimierung von F folgt die notwendige Bedingung 0 = am + bm 3. Diese Gleichung besitzt die Lösungen m = 0, m = ± a b = ± a0 C. 1) b C Gleichung 1) zeigt, daß von Null verschiedene Extrema nur für < C auftreten können. Das Minimum, daß bei m = 0 für C existiert, geht in ein lokales Maximum für < C über. Dies ist in Abbildung 2 verdeutlicht. m Abbildung 2: Extrema der Magnetisierng m als Funktion der emperatur bei h = 0. Die Minima sind als durchgezogene Linien, das Maximum als gestrichelte Linie gezeichnet. c. Um F als Funktion der emperatur zu untersuchen, setzen wir die Lösungen für m) aus Gleichung 1) in die Definition von F ein. Da F 0 für m = 0, betrachten wir im folgenden nur den Bereich < C F) N = a 0 C a 0 C + b a 2 0 2 C b C 4 b 2 Daraus ergibt sich die Entropie zu S) = C C ) F = a2 0 N C N 2b C 2 ) 2 ) 2 = a2 0 C. 2) 4b C 3)
und die Wärmekapazität bei konstantem Volumen zu C V = 2 F 2 = a2 0 N 2b 2 C. 4) Abbildung 3 stellt die Wärmekapazität als Funktion der emperatur dar. Da m = 0 für > C, verschwindet dort auch die Wärmekapazität. Somit springt die Wärmekapazität am kritischen Punkt um C V = a 2 0N/2b C ). C V C Abbildung 3: Wärmekapazität C V als Funktion der emperatur bei h = 0. d. Bei endlichem h folgt aus der Minimierung von F der Zusammenhang h = ma + bm 3. Daraus finden wir durch Ableiten nach h für die Suzeptibilität so daß 1 = aχ + 3m 2 bχ 2 χ = χ = { C a 0, C) > C C 2a 0, < C) C. Am kritischen Punkt divergiert die Suszeptibilität. 1 a + 3bm 2, 5) e. Abbildung 4 zeigt die Magnetisierung bei endlichem äußeren Feld für verschiedene emperaturbereiche. Die Bedingungen a < 0, a = 0 und a > 0 entsprechen jeweils < C, = C und > C. Deutlich erkennbar ist, daß für < C in einem endlichen Intervall von h zu einem Wert des äußeren Feldes drei Werte der Magnetisierung existieren. Diese Kurve ist die Grundlage für das Phänomen der Hysterese. 6) m Abbildung 4: Magnetisierung m als Funktion des äußeren Feldes h für < C durchgezogen), = C gestrichelt) und > C gepunktet), h
Aufgabe 2 a. Aus der Definition der Zustandssumme Z N = Sp exp βh) folgt Z N = s 1=±1 = s 1=±1 = s 1=±1 s N=±1 exp β s N 1=±1 s N=±1 s N 1=±1 exp β exp J i s i s i+1 ) N 2 β N 2 J i s i s i+1 ) expβj s s N ) J i s i s i+1 )2coshβJ s ) 7) = 2 coshβj )Z, da s = ±1 und coshx) = cosh x). Damit erhalten wir Verwenden wir schließlich Z 2 = s 1=±1 s 2=±2 Z N = Z 2 k=2 so ergibt sich die kanonische Zustandssumme zu 2 coshβj k ). 8) expβj 1 s 1 s 2 ) = 2 2 coshβj 1 ), 9) Z N = 2 2 coshβj k ) = 2 [2 coshβj)], 10) k=1 wobei wir in der letzten Umformung J = const gesetzt haben. b. Die freie Energie pro Spin lautet f = F N = k B N ln 2 k BN 1) ln [2 coshβj)] k B ln [2 coshβj)]. 11) N Damit erhalten wir für die Entropie pro Spin s = S ) f N = k B ln [2 coshβj)] J tanh βj) 12) und für die innere Energie pro Spin Die Wärmekapazität pro Spin folgt schließlich zu N u = U N = N β lnz N = J tanh βj). 13) Die Näherungen beziehen sich auf den Limes N. c V = C V N = u = J2 1 k B 2 cosh 2 βj). 14) c. Der dritte Hauptsatz der hermodynamik besagt, daß die Entropie pro eilchen im Grenzfall 0 verschwindet. Dies ist in der at erfüllt, da lim {k s = lim B ln [2 coshβj)] J } tanh βj) = 0. 15) 0 0
Für 0 gilt β, so daß 2 coshβj) = expβj) + exp βj) expβj). Daher divergiert der erste erm in Gleichung 15) wie lim 0 k B ln [2 coshβj)] J. 16) Auf der anderen Seite ist lim β tanhβj) = 1, woraus mit Gleichung 16) die Behauptung 15) folgt. d. Setzen wir τ i := s i s i+1, so gilt wegen s 2 i = 1 Gi, n) = s i s i+n = s i s i+1 s i+1 s i+n 1 s i+n 1 s i+n = τ i τ i+n 1. 17) Die Zustandssumme lässt sich mit der Bindungsvariablen τ als Z N = 2 )... exp β J i τ i, 18) τ 1=±1 τ N 1=±1 schreiben, wobei der Faktor 2 daher kommt, daß die Werte τ i = ±1 für jedes Paar s i s i+1 zweimal angenommen werden. Für die Korrelationsfunktion erhalten wir Gi, n) = 1 Z N βj i [ Z N = 1 i+n 1 βj i+n 1 Z N k=i βj k e. Werten wir Gleichung 19) für konstantes J aus, so erhalten wir ] Z N = i+n 1 k=i tanhβj k ). 19) Gi, n) = tanh n βj). 20) Damit finden wir für die Korrelationslänge ξ aus dem Ansatz Gi, n) = exp n/ξ) ξ 1 = ln[tanhβj)] [ ] 1 + e 2βJ = ln 1 e 2βJ ln 1 + 2e 2βJ + e 4βJ) 2e 2βJ. Hier haben wir in der letzten Zeile die für x 1 β 1) gültigen Approximationen 1 1 + x und ln1 + x) x 1 x benutzt und den erm e 4βJ vernachlässigt. Die Korrelationslänge ξ = 1 2 e2βj 21) divergiert also in erster Ordnung im Limes 0, was auf einen Phasenbergang hindeutet. Einen Phasenbergang bei endlichen emperaturen liefert erst das 2-dimensionale Ising Modell.