What you do when you don't know what to do (G.H. Wheatley)
Problemlösen geschieht sowohl in innermathematischen als auch außermathematischen Kontexten Modellieren (=Modellbilden) meint in der Regel die Arbeit mit Problemen aus der Umwelt Eine scharfe Trennung der beiden Begriffe ist aber oft schwierig. Bei manchen Autoren wird sie (fast) ignoriert, andere versuchen bewusst sie zu überwinden 2
der kleinste gemeinsame Nenner aller Problemdefinitionen: ein Problem entsteht z.b. dann, wenn ein Lebewesen ein Ziel hat und nicht weiß, wie es dieses Ziel erreichen soll. Wo immer der gegebene Zustand sich nicht durch bloßes Handeln (Ausführen selbstverständlicher Operationen) in den erstrebten Zustand überführen läßt, wird das Denken auf den Plan gerufen (Duncker) Dörner nutzt dazu den vielzitierten Begriff der Barriere: ein echtes Problem besteht aus einem unerwünschten Anfangszustand, einem erwünschten Endzustand und einer Barriere, die es zu überwinden gilt um das Erwünschte zu erreichen 3
Bromme beschreibt sieben Merkmale des Problembegriffs: 1. Unbestimmtheit 2. Ausgangszustand 3. Zielzustand 4. Operationen 5. Spannungssystem 6. Kongnitive Repräsentation 7. Hintergrundwissen 4
Die Repräsentation eines Problems Gleichungen übliche äußere Repräsentationsformen graphische Darstellung Material Handlung sprachlich (innere) Repräsentationsmedien (innerlich) handelnd (enaktiv) anschaulich-bildhaft (ikonisch) symbolisch Visuell vs. nicht-visuell (Wessels) Lösungserfolg durch geeignete Repräsentationsform! 5
Problemaufgaben bilden keine Grundmodelle von Rechenoperationen ab verlangen besondere Konstruktionsfähigkeiten von den Schülern führen Grundschulkinder zu eigentlicher Denkarbeit. Die Lernenden erwerben Fähigkeiten im heuristischen Lösen von Aufgaben. Schüler lernen diese Denkarbeit indem sie diese tun behandeln meist einen relativ kleinen Zahlenraum, damit sich die Lösenden ganz auf das Suchen nach Lösungswegen konzentrieren können und die Rechentechnik an sich vernachlässigt werden kann Die Voraussetzungen des Lösenden definieren eine Problemaufgabe können meist nicht eindeutig in bekannte Aufgabentypisierungen eingeordnet werden 6
Phasenmodelle (Ablauf des Problemlösens) Polya (Schule des Denkens - Vom Lösen mathematischer Probleme,1949) Die vier Phasen des Problemlösens 1. 2. 3. 4. Verstehen Ausdenken Ausführen Rückschau der Aufgabe eines Planes des Planes Schule des Denkens - Vom Lösen mathematischer Probleme (1949) 1. Verstehen der Aufgabe: Analyse des Problems: Welche Daten stehen zur Verfügung? Welche Beziehungen bestehen zwischen den Daten? Welche Informationen müssen erst ermittelt werden? 7
Phasenmodelle (Ablauf des Problemlösens) Polya (Schule des Denkens - Vom Lösen mathematischer Probleme,1949) Die vier Phasen des Problemlösens 1. 2. 3. 4. Verstehen Ausdenken Ausführen Rückschau der Aufgabe eines Planes des Planes Schule des Denkens - Vom Lösen mathematischer Probleme (1949) 2. Ausdenken eines Planes: Welche Rechnungen, Umformungen, Konstruktionen usw. müssen wir ausführen um das Gesuchte zu erhalten? Eine Verbindung zwischen Gegebenem und Gesuchtem wird hergestellt. 8
Phasenmodelle (Ablauf des Problemlösens) Polya (Schule des Denkens - Vom Lösen mathematischer Probleme,1949) Die vier Phasen des Problemlösens 1. 2. 3. 4. Verstehen Ausdenken Ausführen Rückschau der Aufgabe eines Planes des Planes Schule des Denkens - Vom Lösen mathematischer Probleme (1949) 3. Ausführen des Planes: Anwendung bekannter mathematischer Verfahren 9
Phasenmodelle (Ablauf des Problemlösens) Polya (Schule des Denkens - Vom Lösen mathematischer Probleme,1949) Die vier Phasen des Problemlösens 1. 2. 3. 4. Verstehen Ausdenken Ausführen Rückschau der Aufgabe eines Planes des Planes Schule des Denkens - Vom Lösen mathematischer Probleme (1949) 4. Rückschau: Überprüfung der Ergebnisse Überprüfung und Bewertung des Vorgehens Verallgemeinerung erfolgreicher Vorgehensweisen 10
Phasenmodelle (Ablauf des Problemlösens) Polya (Schule des Denkens - Vom Lösen mathematischer Probleme,1949) Die vier Phasen des Problemlösens 1. 2. 3. 4. Verstehen Ausdenken Ausführen Rückschau der Aufgabe eines Planes des Planes Schule des Denkens - Vom Lösen mathematischer Probleme (1949) Wessels (1990): 1. 2. 3. 4. Definition Aufstellen Exekution Evaluierung des des Problems einer Strategie, der Strategie Fortschritts bzgl. einer Methode, des Ziels eines Plans 11
Bildung heuristischer Regeln (Bromme/Hömberg: Psychologie und Heuristik) Heuristik Sachrechnen/Größen WS 14/15- Defizit-Definition : Unter heuristischen Methoden sind jene systematischen, d.h. also auch nicht mathematischen Problemlösenverfahren zu verstehen, die mit Hilfe allgemeiner bzw. spezieller heuristischer Regeln (Prinzipien, Strategien, Verfahrensvorschriften) eine bestimmte Klasse von Problemen bzw. ganz spezielle Probleme zu lösen versuchen, jedoch im Einzelfall das Auffinden einer zulässigen Lösung und in jedem Fall das Auffinden einer optimalen Lösung nicht garantieren kann. Wikipedia: Heuristik bezeichnet die Kunst, mit begrenztem Wissen (unvollständigen Informationen) und wenig Zeit zu guten Lösungen zu kommen. Es bezeichnet ein analytisches Vorgehen, bei dem mit begrenztem Wissen über ein System mit Hilfe von mutmaßenden Schlussfolgerungen Aussagen über das System getroffen werden. Die damit gefolgerten Aussagen können von der optimalen Lösung abweichen. Durch Vergleich mit einer optimalen Lösung kann die Güte der Heuristik bestimmt werden. Bekannte Heuristiken sind zum Beispiel Versuch und Irrtum (trial and error) und das Ausschlussverfahren. Heuristische Verfahren basieren auf Erfahrungen. 12
Bildung heuristischer Regeln (Bromme/Hömberg: Psychologie und Heuristik) Eine Heuristik ist kein Algorithmus! Ein Algorithmus ist eine eindeutige Handlungsvorschrift zur Lösung eines Problems oder einer Klasse von Problemen. Algorithmen bestehen aus endlich vielen, wohldefinierten Einzelschritten. Somit können sie zur Ausführung in einem Computerprogramm implementiert, aber auch in menschlicher Sprache formuliert werden. Bei der Problemlösung wird eine bestimmte Eingabe in eine bestimmte Ausgabe überführt. (wikipedia) Heuristik historisch ars inveniendi (Erfindungskunst, -lehre) es ist unmöglich ein System zu erschaffen, das wissenschaftliche Entdeckungen garantiert nicht universelle Methoden, sondern heuristische Regeln 13
Bildung heuristischer Regeln (Bromme/Hömberg: Psychologie und Heuristik) Regeln für die Problemanalyse 1a 1b 1c 1d 1e 1f Erfasse die Problemsituation! Definiere das Problem präzise! Führe passende Bezeichnungen ein! (Begriffsbildung) Klassifiziere das Problem! Formuliere Teilziele! Plane die Arbeitsschritte! Regeln für die Eingrenzung des Lösungsraums 2a 2b 2c 2d 2e 2f Orientiere dich an dem anzustrebenden Ziel! Nimm heterogene Informationen auf! ( Kaufhausregel ) Schränke den zulässigen Lösungsbereich ein! Formuliere Verbote! Formuliere Prioritäten Lege die Variablen fest, mit denen die Lösung erreicht werden soll! 14
Bildung heuristischer Regeln (Bromme/Hömberg: Psychologie und Heuristik) Regeln für die Generierung von Lösungshypothesen 3a Formuliere Hypothesen mit Hilfe des morphologischen Kastens! 3b mit Hilfe der Methode der Negation und Konstruktion! 3c mit Hilfe von Analogien! 3d Verwende ein Modell! 3e Variiere die Problemstellung! Regeln für die Auswahl von Lösungshypothesen 4a 4b 4c 4d 4e 4f Formuliere alle Möglichkeiten und wähle die richtige aus! Suche die Lösung durch trial-and-error-verhalten! Suche die Lösung durch sukzessive Approximation! Suche den Lösungsweg durch Rückwärtsschreiten! Formuliere ein Abbruchkriterium! Lege vor der Lösung Zahl und Typen der zu prüfenden Lösungswege fest! Regeln für die Überprüfung der Lösung 5a 5b Überprüfe die Lösung! Ziehe Lehren aus der angewendeten Lösungsmethode! 15
Heuristische Strategien Sachrechnen/Größen WS 14/15- Analogiebildung Wurde schon einmal eine ähnliche Aufgabe gelöst? Gibt es Ähnlichkeiten bei einzelnen Teilen? Suchraumeingrenzung In welchem Bereich liegt das Ergebnis? Das Probieren erfolgt systematisch durch Eingrenzen des Suchraums Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten vorwärts: das Gegebene wird so verknüpft, dass das Gesuchte erreicht wird. rückwärts: man geht vom Gesuchten aus. Welche Verknüpfung der gegebenen Informationen führt dorthin? Die Strategien vorwärts und rückwärts können auch kombiniert werden. Hilfsmittel einbeziehen z.b. Tabellen, Skizzen, Planfiguren, konkrete Objekte, symbolische Hilfsmittel (Formeln, Terme, Gleichungen usw.), fertige Hilfsmittel: Zahlenstrahl, Kalender usw. Zerlegen in Teilschritte Was kann man als erstes berechnen? Es werden einzelne Teile des Problems bearbeitet. Oder das gesamte Problem wird durch das sukzessive Bearbeiten von Teilzielen bearbeitet. 16
Heuristische Strategien Sachrechnen/Größen WS 14/15- R.Rasch: Grundschulkinder lernen mit Hilfe des eigenen Wissens Sachaufgaben zu bearbeiten eigene Mittel für die Lösungsdarstellung zu entwickeln mit Lösungsunsicherheiten umzugehen verschiedene Lösungsvarianten zu durchdenken allgemeine heuristische Strategien einzusetzen (in Ansätzen) 17
Heuristische Strategien Sachrechnen/Größen WS 14/15- R.Rasch: Strategien am Ende der Grundschulzeit (1) Bewusstes Nutzen mathematischer Zusammenhänge (2) Bewusstes Nutzen von Zahlbeziehungen (3) Bewusstes Zuordnen von Rechenaufgaben/Gleichungen (4) Systematisches Probieren (5) Umwegstrategie (mehr oder weniger zufälliges Probieren) 18
Klassifikation von Problemaufgaben Sachrechnen/Größen WS 14/15- Regina Bruder: Inhaltliche Klassifikationen strukturell nach mathematischen Inhalten nach Art des Wissens Nach Teilhandlungen beim Lösen Franke/Ruwisch: Einteilung nach Repräsentationsform Renate Rasch: Beachtung verschiedener struktureller Ebenen entwicklungsspezifische, sprachlich-situative, semantische, mathematisch-logische Aspekte 19
Klassifikation von Problemaufgaben Renate Rasch: Beachtung verschiedener strukturelle Ebenen Problemaufgaben auf Zeit Besonderheiten in den Aufgabenbedingungen sprachliche und situative Besonderheiten mit offenen Elementen rätselhafte Bedingungen Schwierige mathematische Strukturen mit Kombinatorischem Hintergrund zur Schlussrechnung (Dreisatz) Vergleichs- & Ausgleichsaufgaben zur Verhältnisverteilung mit komplexen Informationen mit unbekanntem Anfangszustand zugrunde liegende Zahlenfolgen Sachrechnen/Größen WS 14/15- Aufgaben mit geometrisch-physikalischem Hintergrund Bewegungsaufgaben Verhältnis von Zwischenräumen und Begrenzungen 20