Protokoll zum Anfängerpraktikum Messung von Magnetfeldern Gruppe 2, Team 5 Sebastian Korff Frerich Max 8.6.6
Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung -3-1.1 Allgemeines -3-1.2 IOT-SAVART Gesetz -4-1.3 Messung von Magnetfeldern mit Induktionsspulen -5-2. Versuchsdurchführung -5-2.1 Magnetfeld von HELMHOLTZ-Spulen -5-2.2 Messung der Horizontalkomponente des örtlichen -8- Magnetfeldes 2.3 Messung eines stationären Magnetfeldes mit der -9- Induktionsspule 3. eantwortung der Fragen -1- Literaturverzeichnis Anhang 2
1. Einleitung 1.1 Allgemeines Magnetische Felder werden durch die ewegung elektrischer Ladung erzeugt. Die Geschwindigkeit (in etrag und Richtung), sowie die Größe (etrag und Vorzeichen) der bewegten Ladung bestimmen die Stärke und Richtung der magnetischen Kräfte. Abb.1: Stromdurchflossener Leiter mit erzeugtem Magnetfeld 1 Ein Strom I, der durch einen geradlinigen Leiter fließt, erzeugt ein Magnetfeld, dessen Feldlinien kreisförmig um den Leiter herum verlaufen. Die Stärke eines Magnetfeldes kann durch zwei verschiedene physikalische Größen ausgedrückt werden: die magnetische Feldstärke H mit [ H ] = A / m und die magnetische Flussdichte mit [ ] = T (sprich: Tesla). Während die magnetische Feldstärke bei erechnungen mit elektrischen Strömen von Vorteil ist, verwendet man die magnetische Flussdichte zum erechnen von induzierten Spannungen oder der Lorentzkraft. Die beiden Feldgrößen sind über die magnetische Feldkonstante µ miteinander verknüpft. Es gilt: 7 Vs µ = = 4 π 1 H Am Ein Magnetfeld übt eine Kraft auf bewegte Ladungen aus, die so genannte LORENTZKRAFT. Sie wirkt senkrecht zu den Feldlinien des Magnetfeldes sowie senkrecht zur ewegungsrichtung der Ladung. eim klassischen magnetischen Kompass zum eispiel wird dieser Effekt ausgenutzt indem das vom Magnetfeld r erzeugte Drehmoment T r die Kompassnadel, mit dem magnetischen Dipolmoment M r, nach dem Erdmagnetfeld ausrichtet. Es gilt: r r r (1) T = M und M sinθ T =, mit [ M ] A m² = (siehe Anhang) 1 http://de.wikipedia.org/wiki/ild:rechtehand.png (4.6.6) 3
Lenkt man die Magnetnadel um einen kleinen Winkel θ aus, so vollführt sie eine harmonische Oszillation. Ist J das Trägheitsmoment der Nadel, so gilt ohne erücksichtigung der Reibung für diese Rotationsbewegung die bekannte ewegungsgleichung d² θ (2) J = M θ dt² Durch lösen dieser Differentialgleichung erhalten wir die Periodendauer τ mit (3) τ = 2 π J M θ Abb.2: Magnetnadel im Magnetfeld 1.2 iot Savart Gesetz Das IOT-SAVART-Gesetz beschreibt das Magnetfeld, das durch bewegte elektrische Ladungen erzeugt wird. enannt wurde es nach den beiden französischen Mathematikern JEAN APTISTE IOT (1774-1862) und FELIX SAVART (1791-1841). Es stellt neben dem Ampèrschen Gesetz über die Kraftwirkung magnetischer Felder auf bewegte elektrische Ladung eines der beiden Grundgesetze der Magnetostatik dar. Danach erzeugt ein Strom I in einem Leiter, die sich am Ort r r im Leitersegment ds bewegt, ein Magnetfeld r nach r r r µ ds (4) ( ) = I 3 4 π r Eine häufig verwendete, einfache Geometrie zur Erzeugung eines allseitig zugänglichen homogenen Magnetfeldes ist das HELMHOLTZ-Spulenpaar. Die Anordnung besteht aus zwei sich koaxial im Abstand R gleich dem ihres Radius R gegenüberstehenden Spulen mit gleicher Windungszahl n. Wenn die Einzelspulen gleichsinnig stromdurchflossen werden, erhält man einen großen ereich mit konstanter Feldstärke. Werden die Spulen gegensinnig durchflossen, erhält man im Inneren einen konstanten Feldgradienten. Hierbei gilt für das Magnetfeld r 4
(5) z = µ n I R 4 5 3 2 1.3 Messung von Magnetfeldern mit Induktionsspulen Eine andere Methode zur Messung der Feldstärke ist die Messung der induzierten Spannung einer in das Feld eingebrachten Induktionsspule. nter elektromagnetischer Induktion versteht man das Entstehen einer elektrischen Spannung, die durch Veränderung des Magnetflusses φ verursacht wird. Die Induktion wurde von Michael FARADAY entdeckt bei dem emühen, die Funktionsweise eines Elektromagneten ("Strom erzeugt Magnetfeld") umzukehren ("Magnetfeld erzeugt Strom"). ei einer Spule mit der Querschnittsfläche A und n Windungen gilt für die induzierte Spannung in Abhängigkeit der Zeit t : dφ (6) ( t) = n & φ = n dt, wobei der magnetische Fluss φ definiert ist als (7) = A ( ω t) φ cos. S Durch Ableiten von (7) ergibt sich also für die Induktionsspannung (8) t) = n ω A sin( ω t) = sin( ω t) (, mit = n ωs A s S S 2. Versuchsdurchführung 2.1 Magnetfeld von HELMHOLTZ-Spulen Es soll das Magnetfeld von einem HELMHOLTZ-Spulenpaar mit dem Radius R = ( 7,54 ±,2) cm räumlich vermessen werden. Dazu wurde das Magnetfeld mittels einer Induktionsspule auf der z- und x-achse gemäß Abbildung 3 vermessen. Abb.3: HELMHOLTZ-Spulenpaar HS mit dem Radius R und der Induktionsspule IS auf den ewegungsachsen x, y, und z, sowie externe eschaltung mit Funktionsgenerator FG und Leistungstransistor D139 5
m ein homogenes Magnetfeld zu erzeugen, wurden eine sinusförmige Wechselspannung mit der Frequenz f = 2 Hz und der Amplitude FG = 84mV angelegt und über einen Operationsverstärker invertiert. Die Stärke des so erzeugten Magnetfeldes wird nun mittels einer Induktionsspule mit n =15 Windungen und einer Querschnittsfläche A = π ( r ² r ²) = (1,23,27) cm² mit dem außen innen ± Oszilloskop gemessen. Mit Gleichung (8) lässt sich nun die Feldstärke bestimmen (wobei ω S = 2 π 2Hz ). Wir erhielten für die vermessenen Achsen x und z folgende Messwerte (Abb.4-6): z R /[] / mv ±,5 mv /µt σ µt / 12 11,99 14,1 7,31,19,93 14,3 7,42,2,86 15,4 7,99,21,8 16,6 8,61,23,73 17,5 9,8,24,66 18,5 9,59,25,6 19,5 1,11,27,53 2,8 1,79,28,46 21,3 11,5,29,4 21,6 11,2,3,33 22, 11,41,3,27 22, 11,41,3,2 22, 11,41,3,13 22, 11,41,3,7 22, 11,41,3, 22,4 11,62,31 -,7 22, 11,41,3 -,13 22, 11,41,3 -,2 22, 11,41,3 -,27 22, 11,41,3 -,33 22, 11,41,3 -,4 22, 11,41,3 -,46 21,6 11,2,3 -,53 21, 1,89,29 -,6 21, 1,89,29 -,66 2,1 1,42,28 -,73 19,6 1,16,27 -,8 18,4 9,54,25 -,86 17,6 9,13,24 -,93 16,4 8,5,22 -,99 15, 7,78,21 / µt 1 9 8 7-1 1 z/r / [] Abb.4: Messwerte mit berechnetem Magnetfeld, sowie grafischer Darstellung dieses Zusammenhangs für ( x =, y =, R z R) 6
x /[] R / mv ±,5 mv /µt σ / µt 12, 22,2 11,51,3,7 22 11,41,3,13 22,2 11,51,3,2 22 11,41,3,27 22 11,41,3,33 22 11,41,3,4 22 11,41,3,46 22 11,41,3,53 21,4 11,1,29,6 2,8 1,79,28,66 19,4 1,6,27,73 18,4 9,54,25,8 17 8,82,23,86 14,2 7,36,19 1,6 5,2 2,7,7 1,13 3,2 1,66,4 1,19 1,24,64,2 1,26-1,8 -,56,1 1,33-1,4 -,73,2 1,39-1,84 -,95,3 1,46-2,2-1,14,3 1,52-2,28-1,18,3 / µt 1 8 6 4 2-2,,5 1, 1,5 x/r / [] Abb.5: Messwerte mit berechnetem Magnetfeld, sowie grafischer Darstellung dieses Zusammenhangs für ( x 1,5 R, y =, z = ) x R /[] / mv ±,5 mv /µt σ / µt 25, 2,8 1,79,28,7 2,8 1,79,28,13 2,8 1,79,28,2 22,2 11,51,3,27 21,6 11,2,3,33 21,6 11,2,3,4 22,4 11,62,31,46 23,4 12,13,32,53 24 12,45,33,6 25,2 13,7,34,66 27,2 14,11,37,73 3,4 15,77,42,8 35 18,15,48,86 41,6 21,57,57 1,6-22,4-11,62,31 1,13-19,6-1,16,27 1,19-12,4-6,43,17 1,26-9,2-4,77,13 1,33-6,8-3,53,9 1,39-5,2-2,7,7 1,46-4 -2,7,5 1,52 -,8 -,41,1 / µt 2 15 1 5-5 -1-15,,5 1, 1,5 x/r / [] Abb.6: Messwerte mit berechnetem Magnetfeld, sowie grafischer Darstellung dieses Zusammenhangs für ( x 1,5 R, y =, z =,5R) 7
2.2 Messung der Horizontalkomponente des örtlichen Magnetfeldes Zur Messung der Horizontalkomponente des örtliches Magnetfeldes im Labor schalten wir das HELMHOLTZ-Spulenpaar in Reihe mit einem Ampère-Meter und einer Stromquelle. Wir positionieren nun eine Magnetnadel in der Mitte der noch stromlosen Spulen und richten die Spulen so aus, dass sie in die gleiche horizontale Richtung wie die Nadel zeigen. Dadurch können wir mit den Spulen ein Magnetfeld erzeugen, dass das örtliche Magnetfeld ausgleicht. Dazu messen wir mit einer Stoppuhr die Schwingungsdauer τ der Nadel bei kleiner Auslenkung in Abhängigkeit der Stromstärke,5A I, 5A. Es ergab sich: I / A / s τ 2 2 τ / s,6 -,48 1,645,37 -,38 1,92,271 -,28 2,46,173 -,18 3,419,86 -,8 7,33,19,2 3,43,85,12 2,39,175,22 1,829,299,32 1,577,42,42 1,346,552 τ -2 / s -2,4,2, -,2 -,4 -,6 -,4 -,2,,2,4 I / A Abb.7: Messwerte τ in Abhängigkeit der Stromstärke I mit graphischer Darstellung und 2 linearer Regression mit τ = (,983 ±,11) I + (,93 ±,32) Durch die lineare Regression erhalten wir durch Einsetzen an der Stelle τ 2 = einen Wert für den Strom I, bei dem die Schwingungsdauer τ gegen unendlich geht von: I = (-,95,3) A ± Eingesetzt in Gleichung (5) erhalten wir für die horizontale Komponente des Magnetfeldes ( n = 1, R = 7, 54 cm ): I 3 n h S µ 2 4 2 = = = (56,62 ± 1,79) µt R 5 Dabei ist zu beachten, dass die Standartabweichung ohne die menschliche Reaktionszeit der Messung von τ berechnet wurde. 8
2.3 Messung eines stationären Magnetfeldes mit der Induktionsspule Es soll nun die Feldstärke eines Hufeisenmagnetes bestimmt werden. Dazu lassen wir 3 verschiedene Induktionsspulen nacheinander in seinem Magnetfeld mit v = 5Hz rotieren und messen mit dem Oszilloskop die Induktionsspannung. Aus der Querschnittsfläche einer Windung von Gleichung (8) die Stärke des Magnetfeldes = n 2 π v A n = 2 π v A A / mm² n A A = und der Windungszahl n lässt sich mit Hilfe n / V ±,2V bestimmen. Es gilt in diesem Fall / T 56,24 ±,43 2 2,3,13 151,93 ±,47 5 9,189 274,23 ±,51 8 13,75,16 Mittelwert,159 ±,24 Abb.8: Messwerte zur estimmung der Feldstärke eines Hufeisenmagnetes Die Standartabweichung der Einzelmessungen bewegt sich im mt -ereich und ist deshalb nicht mit angegeben. Es ergibt sich für die gemittelte Feldstärke des Hufeisenmagnetfeldes mit statistischer Standartabweichung = (,159 ±,24)T. 9
3. eantwortung der Fragen Frage 1: Vs Nm = [ M ] m² Nm m² [ M ] = = Vs A Vs m² = A m² Vs Frage 2: Die zu Gleichung (2) analoge Gleichung im Fall des Federpendels der Masse m und der Federkonstanten k lautet: d² x m = k x dt² Frage 3: Die deutliche Abweichung der Magnetfelder ist durch die ngenauigkeit bei der Mittelung der Windungsfläche zu erklären, denn die reite der Spulen ist jeweils gleich. Da die Spulen bei größerer Windungszahl einen größeren Außendurchmesser haben, fällt diese Abeichung bei größeren Windungszahlen natürlich stärker ins Gewicht. 1
Literaturverzeichnis reuer, Hans, dtv-atlas Physik, 6. Auflage, Deutscher Taschenbuch Verlag GmbH & Co. KG München, September 25 Helmers, Dr. Heinz, Skript zum Anfängerpraktikum Physik II, CvO niversität Oldenburg, Institut für Physik, April 26 Halliday, David, Physik, Wiley VCH GmbH, Weinheim, 23 11