Elementare Stochastik

Elementare Stochastik

Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II Herausgegeben von Prof. Dr. Friedhelm Padberg Universität Bielefeld Bisher erschienene Bände (Auswahl): Didaktik der Mathematik P. Bardy: Mathematisch begabte Grundschulkinder Diagnostik und Förderung (P) M. Franke: Didaktik der Geometrie (P) M. Franke/S. Ruwisch: Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule (P) K. Hasemann/H. Gasteiger: Anfangsunterricht Mathematik (P) K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe (P) K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe, Band 2 (P) F. Käpnick: Mathematiklernen in der Grundschule (P) G. Krauthausen: Digitale Medien im Mathematikunterricht der Grundschule (P) G. Krauthausen/P. Scherer: Einführung in die Mathematikdidaktik (P) G. Krummheuer/M. Fetzer: Der Alltag im Mathematikunterricht (P) F. Padberg/C. Benz: Didaktik der Arithmetik (P) P. Scherer/E. Moser Opitz: Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe (P) A.-S. Steinweg: Algebra in der Grundschule Muster und Strukturen/Gleichungen/funktionale Beziehungen (P) G. Hinrichs: Modellierung im Mathematikunterricht (P/S) R. Danckwerts/D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten (S) G. Greefrath: Didaktik des Sachrechnens in der Sekundarstufe (S) K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Sekundarstufe I (S) F. Padberg: Didaktik der Bruchrechnung (S) H.-J. Vollrath/H.-G. Weigand: Algebra in der Sekundarstufe (S) H.-J. Vollrath/J. Roth: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe (S) H.-G. Weigand/T. Weth: Computer im Mathematikunterricht (S) H.-G. Weigand et al.: Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I (S) Mathematik F. Padberg: Einführung in die Mathematik I Arithmetik (P) F. Padberg: Zahlentheorie und Arithmetik (P) K. Appell/J. Appell: Mengen Zahlen Zahlbereiche (P/S) A. Filler: Elementare Lineare Algebra (P/S) S. Krauter/C. Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie (P/S) H. Kütting/M. Sauer: Elementare Stochastik (P/S) T. Leuders: Erlebnis Arithmetik (P/S) F. Padberg: Elementare Zahlentheorie (P/S) F. Padberg/R. Danckwerts/M. Stein: Zahlbereiche (P/S) A. Büchter/H.-W. Henn: Elementare Analysis (S) G. Wittmann: Elementare Funktionen und ihre Anwendungen (S) P: Schwerpunkt Primarstufe S: Schwerpunkt Sekundarstufe Weitere Bände in Vorbereitung

Herbert Kütting Martin J. Sauer Elementare Stochastik Mathematische Grundlagen und didaktische Konzepte 3. Auflage

Herbert Kütting Martin J. Sauer Institut für Didaktik der Mathematik und Universität Münster Münster, Deutschland ISBN 978-3-642-40857-1 DOI 10.1007/978-3-8274-2760-1 ISBN 978-3-8274-2760-1 (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1999, 2008, 2011, korrigierter Nachdruck 2014 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Dr. Meike Barth Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.springer-spektrum.de

Vorwort Aus dem Vorwort zur 1. Auflage Bei der Abfassung des Buches konnte der Autor auf langjährige Erfahrungen aus Vorlesungen, Übungen und Seminaren zur Stochastik zurückgreifen, die ihn nachhaltig darin bestärkten, dass noch so ausführliche Erläuterungen nie die Wirksamkeit von Beispielen erreichen. Und so nehmen Beispiele und Übungsaufgaben beidefür das Verstehen von Mathematik von eminenter Bedeutung in unserer Darstellung der Theorie einen breiten Raum ein. Beispiele erleichtern die Erarbeitung und die Anwendung der Begriffe und Regeln und erzeugen Motivation, Aufgaben dienen daneben der Überprüfung des erreichten Kenntnisstandes und der Vertiefung des Stoffes. Sie fördern selbständiges Tun. Da der Autor davon überzeugt ist, dass ein Blick in die Entstehungsgeschichte einer mathematischen Disziplin den Zugang zu dieser Disziplin sehr erleichtern kann, werden im vorliegenden Buch auch Aspekte der Entwicklungsgeschichte der Stochastik mit ihren faszinierenden Problemen und Paradoxien berücksichtigt. Das Werden von Wissenschaft wird gleichsam miterlebt. Das gibt auch wiederum Gelegenheit zur didaktischen Reflexion. Auswahl und Umfang der Themenkreise waren unter Berücksichtigung unterschiedlicher Vorgaben zu treffen, die sich aus der Sache und dem Adressatenkreis ergeben. Die Sache selbst, also das Stoffgebiet Stochastik, verlangt auch bei einer elementaren Einführung eine Darstellung in einem Umfang, der sichtbar machen kann, was Stochastik meint. Andererseits dürfen die durch die Zielgruppe festgelegten Vorgaben, die wesentlich durch zeitliche Beschränkungen gekennzeichnet sind, nicht übersehen werden. Es muß also davon ausgegangen werden, dass nicht in jedem Kurs alle hier angesprochenen Themenkreise behandelt werden können. Der Aufbau des Buches lässt dem Dozenten die Freiheit, durch eine Auswahl Schwerpunkte zu setzen. In Kapitel I geht es um eine kurze Betrachtung über das Verhältnis zwischen Zufall und Wahrscheinlichkeit und um eine Beschreibung der Zielvorstellung. Der Zufall soll dem mathematischen Denken unterworfen und soweit wie möglich entschlüsselt werden. Das sehr umfangreiche Kapitel II beleuchtet die Ursprünge der Wahrscheinlichkeitsrechnung und lässt die spannende Diskussion, die die berühmten Beispiele auslösten, aufleben. Bevor dann die Stochastik axiomatisch aufgebaut wird, werden zunächst erste Schritte des Modellbildungsprozesses behandelt. Da die Laplace-Wahrscheinlichkeit, die in den axiomatischen Aufbau eingebettet ist, zu ihrer Berechnung Anzahlbestimmungen verlangt, müssen Strategien für geschicktes Zählen entwickelt werden. Hier nimmt das Fundamentalprinzip des Zählens eine beherrschende Rolle ein. Besondere Auswahlsituationen führen

vi Vorwort dann auf spezifische kombinatorische Figuren wie geordnete bzw. ungeordnete Proben. Nach diesem Exkurs in die Kombinatorik wird das Gebäude der Stochastik durch die Einführung der bedingten Wahrscheinlichkeit, der totalen Wahrscheinlichkeit und des Begriffs der stochastischen Unabhängigkeit von Ereignissen erweitert. Kapitel III unterbricht den Theorieausbau der Stochastik und widmet sich dem reizvollen Thema der Simulation, einem Thema, das heute weite Bereiche in den Wissenschaften und in der Praxis beherrscht. Die dargelegten grundsätzlichen Überlegungen und die Lösung von Problemen mit Hilfe von Zufallszahlen (Monte-Carlo-Methode) können einen Eindruck von der Kraft der Methode vermitteln, insbesondere dann, wenn rechenstarke Computer eingesetzt werden. In Kapitel IV werden mit den Begriffen Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen zentrale Begriffe für die Stochastik eingeführt. Es erfolgt eine Abstraktion vom Besonderen einer Ergebnismenge und damit eine wichtige Erweiterung der Theorie. Kapitel V greift spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen heraus, die wir als geeignete Modelle zur Lösung von realen Problemen häufig verwenden. In Kapitel VI wird mit Hilfe der Tschbyscheffschen Ungleichung das Schwache Gesetz der großen Zahlen bewiesen, das eine Beziehung zwischen der Wahrscheinlichkeit und der relativen Häufigkeit aufzeigt. Münster, im Januar 1999 Herbert Kütting

Vorwort vii Vorwort zur 3. Auflage Die äußerst freundliche Aufnahme der 2. Auflage macht schon eine weitere Auflage erforderlich. Wir danken dem Verlag, dass er unseren Wunsch unterstützte und der Aufnahme von weiteren Themenkreisen, die uns aus dem Leserkreis angetragen worden waren und veränderten Studiengängen Rechnung tragen, zustimmte. Die überarbeitete und wiederum stark erweiterte 3. Auflage richtet sich vornehmlich an Lehramtsstudierende, die Mathematik als eines ihrer Fächer haben, an Studierende in den Bachelor- und Masterstudiengängen und an Lehrer mit dem Fach Mathematik. Die Überarbeitung verbessert zur Verständniserleichterung einige Formulierungen und legt insbesondere im Kapitel 4 Zufallsvariable, Erwartungswert und Varianz eine noch breitere sorgfältige mathematische Fundierung dieser Begriffe. Hatten wir schon in der zweiten Auflage einen neuen Abschnitt Geometrische Wahrscheinlichkeiten und im Abschnitt Kombinatorisches Zählen drei neue Themenbereiche (k-stellige Sequenzen; Rencontre-Probleme; Vier- Schritte-Modell) aufgenommen und in zwei weiteren Kapiteln (Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume; Wahrscheinlichkeitsmaße auf (IR, B(I)) die Thematik auf abzählbar-unendliche und überabzählber-unendliche Wahrscheinlichkeitsräume ausgeweitet, so haben wir jetzt in der 3. Auflage drei weitere Kapitel hinzugefügt. In Kapitel 1 wird die Beschreibende Statistik (einschließlich der historischen Entwicklung), im Kapitel 9 Schätzen und im Kapitel 10 Testen werden Themen der induktiven Statistik ausführlich behandelt. Bei der Neugestaltung leitete uns wie bisher der didaktische Grundsatz, dass Beispiele und Aufgaben das Verstehen von Mathematik erleichtern, und so bilden sie auch in der erweiterten dritten Auflage das Rückgrat der Darstellung. Die annähernd 100 nummerierten, ausführlich dargestellten Beispiele und eine große Anzahl weiterer Beispiele aus Theorie und Praxis erfüllen zwei Funktionen. Sie dienen einerseits der Motivation und führen behutsam in die neuen Begriffe und Sätze ein, und sie zeigen andererseits nach der Erarbeitung der Theorie erste Anwendungsbereiche auf. Die dadurch sich ergebende breitere Darstellung kommt dem in das Sachgebiet Einsteigenden entgegen und regt zum Selbststudium an. In vielen Themenbereichen heben Anmerkungen und Hinweise zur Didaktik einzelne Gesichtspunkte hervor (Modellbildungsprozese, Einsatz von Baumdiagrammen und Feldertafeln, verschiedene Lösungswege, Aufgabenvarianten), so dass unterschiedliche Sichtweisen deutlich werden und sich ein Beziehungsgeflecht aufbauen kann. Zur Überprüfung der erarbeiteten Themenbereiche bieten die über 150 Aufgaben mit zahlreichen Unterpunkten ein reiches Betätigungsfeld. Die Angabe

viii Vorwort von Ergebnissen und Lösungshinweisen im Kapitel 11 gibt die Möglichkeit der raschen Kontrolle und Bestätigung. Frau Anita Kollwitz (Münster) danken wir an dieser Stelle sehr herzlich für die nicht immer leichte Arbeit, ein druckfertiges Manuskript sorgfältig mit den vielen Änderungen und Ergänzungen zu erstellen. Ferner danken wir dem Herausgeber dieser Reihe, Herrn Prof. Dr. F. Padberg (Bielefeld) und dem Verlag für die freundliche Unterstützung bei der Verwirklichung dieser dritten, stark erweiterten Auflage. Münster, im Februar 2011 Herbert Kütting und Martin J. Sauer Vorwort zum korrigierten Nachdruck der 3. Auflage Neben kleinen Korrekturen haben wir aus didaktischen Gründen Textumstellungen, Textänderungen und Textergänzungen vorgenommen. Frau Anita Kollwitz (Münster) gilt wiederum unser Dank für die sorgfältige Umsetzung der Änderungen. Münster, im Juni 2013 Herbert Kütting und Martin J. Sauer

Inhaltsverzeichnis 1 Beschreibende Statistik... 1 1.1 DiehistorischeEntwicklungderStatistik einkurzerabriss... 1 1.1.1 DieAmtlicheStatistik... 2 1.1.2 DiePolitischeArithmetik... 5 1.1.3 Die UniversitätsstatistikundihreWeiterentwicklung... 5 1.2 Grundbegriffe der beschreibenden Statistik und Aufbereitung der Daten... 8 1.2.1 Statistische Erhebung, Daten, Merkmale, Merkmalsausprägungen... 8 1.2.2 GraphischeDarstellungenvonDaten... 14 1.2.3 Lageparameter... 29 1.2.4 Streuungsparameter...... 45 1.2.5 Lineare Regression... 53 1.2.6 Korrelation... 61 1.2.7 Fehler und Manipulationsmöglichkeiten... 65 1.2.8 Aufgaben und Ergänzungen... 65 2 Wahrscheinlichkeit... 71 2.1 ZufallundWahrscheinlichkeit... 71 2.2 MathematikdesZufalls... 72 2.3 Entwicklung der klassischen Wahrscheinlichkeit... 76 2.3.1 Berühmte historische Beispiele und einige interessantebriefwechsel... 76 2.3.2 Aufgaben und Ergänzungen... 84 2.4 ZurgeschichtlichenEntwicklungderStochastik... 85 2.5 SchrittezurMathematisierung... 89 2.5.1 Zum Modellbildungsprozess..... 89 2.5.2 Aufgaben und Ergänzungen... 96 2.6 Endliche Wahrscheinlichkeitsräume(Teil1)... 97 2.6.1 Das Axiomensystem von Kolmogoroff...... 97 2.6.2 Folgerungen aus dem Axiomensystem Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten... 103 2.6.3 Ein zum Axiomensystem von Kolmogoroff äquivalentes Axiomensystem... 112 2.6.4 DieLaplace-Verteilung(Gleichverteilung)... 115 2.6.5 Aufgaben und Ergänzungen... 119 2.7 GeometrischeWahrscheinlichkeiten... 121 2.7.1 Vier Beispiele: Glücksrad, Zielscheibe, ParadoxonvonBertrand,NadelproblemvonBuffon... 121 2.7.2 Aufgaben und Ergänzungen... 128 2.8 Kombinatorisches Zählen... 129

x Inhaltsverzeichnis 2.8.1 Abzählen... 129 2.8.2 Allgemeines ZählprinzipderKombinatorik... 131 2.8.3 KombinatorischeFiguren... 137 2.8.4 Anwendungen der kombinatorischen Figuren..... 153 2.8.5 Vier-Schritt-Modell zur Lösung von Kombinatorikaufgaben EindidaktischerAspekt... 162 2.8.6 Aufgaben und Ergänzungen... 165 2.9 Endliche Wahrscheinlichkeitsräume(Teil2)... 168 2.9.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit Stochastische UnabhängigkeitvonEreignissen... 168 2.9.2 Bernoulli-Ketten.... 187 2.9.3 TotaleWahrscheinlichkeitundSatzvonBayes... 194 2.9.4 Aufgaben und Ergänzungen... 207 3 Simulation und Zufallszahlen... 213 3.1 BegriffserklärungenundBeispiele... 213 3.2 Aufgaben und Ergänzungen... 226 4 Diskrete Zufallsvariable, Erwartungswert und Varianz... 229 4.1 Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung....... 229 4.2 Kumulative Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen... 237 4.3 Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsvariablen... 239 4.3.1 Erwartungswert... 239 4.3.2 Varianz... 245 4.4 Mehrere Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum.... 250 4.4.1 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen... 250 4.4.2 Erwartungswert einer Summe diskreter Zufallsvariabler..... 252 4.4.3 Varianz einer Summe diskreter Zufallsvariabler... 253 4.5 Aufgaben und Ergänzungen... 255 5 Spezielle diskrete Verteilungen... 259 5.1 Binomialverteilung... 259 5.2 HypergeometrischeVerteilung... 263 5.3 ZusammenhangzwischenVerteilungen... 267 5.4 GeometrischeVerteilung(Pascal-Verteilung)... 269 5.5 Aufgaben und Ergänzungen... 273 6 Ungleichung von Tschebyscheff für diskrete Zufallsvariable und Schwaches Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli 275 6.1 UngleichungvonTschebyscheff... 275 6.2 SchwachesGesetzdergroßenZahlen... 279 6.3 Aufgaben und Ergänzungen... 282 7 Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume... 283 7.1 Abzählbar-unendliche Wahrscheinlichkeitsräume... 284 7.2 Überabzählbar-unendliche Wahrscheinlichkeitsräume... 286

Inhaltsverzeichnis xi 7.2.1 Die Menge IR und das System der Borelmengen auf IR..... 286 7.2.2 Abstrakte Wahrscheinlichkeitsräume... 290 7.3 Aufgaben und Ergänzungen... 292 8 Wahrscheinlichkeitsmaße auf (IR, B(I))... 293 8.1 VerteilungsfunktionenundDichtefunktionen... 295 8.2 VerteilungsfunktionenzuvorgegebenenDichtefunktionen... 300 8.2.1 Konstruktion einer stetigen Verteilungsfunktion zu einer Dichtefunktion... 300 8.2.2 Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten durch Integrale übereinedichtefunktion... 301 8.3 Rechteckverteilung... 303 8.4 Exponentialverteilung... 304 8.5 Normalverteilung(Gauß-Verteilung)... 308 8.5.1 EigenschaftenderDichtefunktion... 309 8.5.2 DieStandard-Normalverteilung... 311 8.5.3 Approximation der Binomialverteilung mittels der Normalverteilung... 316 8.5.4 Die Sigma-Regeln fürdienormalverteilung... 318 8.6 Erwartungswert und Varianz fürverteilungsfunktionen... 319 8.7 Ausblick: Abstrakte Zufallsvariable.... 325 8.7.1 Messbare Abbildungen.... 325 8.7.2 Zufallsvariable mit Werten in IR...... 326 8.8 Aufgaben und Ergänzungen... 327 9 Schätzen... 331 9.1 DieMaximum-Likelihood-Methode... 331 9.2 SchätzenvonErwartungswertundVarianz... 337 9.3 Konfidenzintervalle... 342 9.3.1 Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit bei einer binomialverteilten Zufallsvariablen..... 342 9.3.2 Konfidenzintervalle bei N(μ, σ 2 )-verteilten Funktionen..... 345 9.4 Aufgaben und Ergänzungen... 347 10 Testen... 349 10.1 EinseitigeTests... 349 10.2 ZweiseitigeTests... 353 10.3 Testen unter Verwendung der Normalverteilung... 356 10.4 Zusammenfassung zum Thema Hypothesentest... 360 10.5 Qualitätskontrolle... 361 10.6 Aufgaben und Ergänzungen... 372 11 Lösungshinweise zu den Aufgaben... 375 11.1 AufgabenausKapitel1,Abschnitt1.2.8... 375 11.2 AufgabenausKapitel2... 379

xii Inhaltsverzeichnis 11.2.1Abschnitt2.3.2... 379 11.2.2Abschnitt2.5.2... 379 11.2.3Abschnitt2.6.5... 380 11.2.4Abschnitt2.7.2... 380 11.2.5Abschnitt2.8.6... 381 11.2.6Abschnitt2.9.4... 382 11.3 AufgabenausKapitel3,Abschnitt3.2... 385 11.4 AufgabenausKapitel4,Abschnitt4.5... 387 11.5 AufgabenausKapitel5,Abschnitt5.5... 390 11.6 AufgabenausKapitel6,Abschnitt6.3... 391 11.7 AufgabenausKapitel7,Abschnitt7.3... 392 11.8 AufgabenausKapitel8,Abschnitt8.8... 393 11.9 AufgabenausKapitel9,Abschnitt9.4... 395 11.10 AufgabenausKapitel10,Abschnitt10.6... 398 Literaturverzeichnis... 403 Index... 411