Neue Aufgaben, Oktober 2008 1. Aus einem Quader wurde an einer Ecke ein Würfel herausgeschnitten. Berechne das Volumen des Restkörpers. Lösung: 333cm 3 2. Die Nationalfahne der Schweiz zeigt ein weißes Kreuz auf rotem Grund. Für die vier kongruenten Arme des Kreuzes ist durch Beschluss der Schweizer Bundesversammlung aus dem Jahr 1889 festgelegt: Die Länge l eines Arms ist um 1 der Breite b 6 größer als b (vergleiche Abbildung). (a) Wie lang ist ein Arm, wenn seine Breite 18 cm beträgt? (b) Stelle einen Term auf, der den Flächeninhalt des weißen Kreuzes in Abhängigkeit von der Breite b eines Arms beschreibt. Fasse den Term, in dem nur noch b als Variable vorkommen soll, so weit wie möglich zusammen. Lösung: A = 4 b l+b 2 = 4 b ( 7 6 b)+b2 = 17 3 b2 1
3. Die Tabelle zeigt, wie viele Euro-Geldscheine am 31. Mai 2007 in Umlauf waren. Beispielsweise befanden sich von den 200 Euro-Scheinen 153 Millionen Stück in Umlauf. Wert Anzahl der Scheine in Millionen 500 EUR 429 200 EUR 153 100 EUR 1116 50 EUR 3983 20 EUR 2244 10 EUR 1804 5 EUR 1325 (a) Wie hoch war der Gesamtwert aller 50 Euro-Scheine? (b) Ungefähr wie viel Prozent aller in Umlauf befindlichen Scheine waren 20 Euro- Scheine? Die notwendigen Rechnungen brauchen nicht exakt ausgeführt zu werden, es genügt jeweils ein Überschlag. Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein. Lösung: (a) ca. 200 Milliarden Euro (b) ungefähr 20% 4. Der größte Gletscher Bayerns, der Nördliche Schneeferner im Zugspitzgebiet, hat ein Volumen von 5,1 Millionen Kubikmetern und bedeckt eine Fläche von 30 ha. An einem heißen Tag verliert er 30000m 3 Eis durch Schmelzen und Verdunstung. Näherungsweise kann man davon ausgehen, dass sich dieser Verlust an Eis gleichmäßig über die gesamte Gletscherfläche verteilt. (a) Wie viele heiße Tage müssten aufeinander folgen, bis der Gletscher unter den oben beschriebenen Bedingungen vollständig verschwunden ist? (b) Das Eisvolumen, das der Gletscher an einem heißen Tag verliert, soll durch einen Vergleich mit dem Volumen von Zimmern veranschaulicht werden. Geben Sie dazu sinnvolle Abmessungen eines Zimmers und die Anzahl dieser Zimmer an. (c) Schätzen Sie durch Rechnung ab, um wie viele Zentimeter die Dicke des 30 ha großen Gletschers an einem heißen Tag durchschnittlich abnimmt. Lösung: (a) 170 Tage (b) Z. B. 500 Zimmer mit 5 m Länge, 4 m Breite und 3 m Höhe 2
(c) 10 cm 5. Im Rahmen des Verkehrsunterrichts wurden die Fahrräder der Unterstufenschüler überprüft. Die einzelnen Mängel wurden in folgender Liste zusammengefasst: mangelhafte Bremsen an 15% der Fahrräder mangelhafte Reifen an 1 der Fahrräder 5 mangelhafte Beleuchtung an jedem 6. Fahrrad (a) Welcher Mangel wurde am häufigsten festgestellt? Begründe deine Antwort durch einen Größenvergleich der in der Liste genannten Anteile. (b) Peter schaut sich die obige Liste mit den Ergebnissen der Überprüfung an, rechnet kurz und sagt dann:,,nach dieser Liste sind mehr als 50% aller untersuchten Fahrräder mangelhaft. Begründe, dass Peter nicht unbedingt Recht hat. Lösung: (a) Z. B.: 1 6 < 1 5 und 15% > 20% = 1 5, also am häufigsten wurden mangelhafte Reifen festgestellt (b) Z. B.: Ein Fahrrad kann gleichzeitig mehrere der genannten Mängel haben. 6. Die Summe der Innenwinkel in einem n-eck beträgt (n 2) 180. (a) Wie viele Ecken hat ein n-eck mit der Innenwinkelsumme 720? (b) Ein n-eck mit lauter gleich langen Seiten und gleich großen Innenwinkeln heißt reguläres n-eck. Berechne die Größe eines Innenwinkels im regulären Zehneck. Lösung: (a) (n 2) 180 (b) 144 7. Im unteren Teil hat die Straße von Berchtesgaden zum Rossfeld eine Steigung von 25%. 3
(a) Zeigen Sie, dass die Steigung von 25% im abgebildeten Verkehrsschild nicht richtig dargestellt ist. Messen Sie dazu geeignete Strecken in einem Steigungsdreieck. Machen Sie im Bild kenntlich, welche Strecken Sie abgemessen haben. (b) Welcher der folgenden Terme gibt an, wie viele Meter man auf der unteren Rossfeldstraße zurücklegen müsste, um einen Höhenunterschied von 100 m zu erzielen? 4 100m 0,25 100m 400 2 100 2 4002 +100 2 4002 100 2 Lösung: (a) Z. B. 1,5 25 2,6 0,2100 (b) 400 2 +100 2 8. Aus einer Urne mit 6 roten und 4 blauen Kugeln werden nacheinander 2 Kugeln gezogen. Zu diesem Zufallsexperiment gehört das nachstehende Baumdiagramm. (a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der zwei verschiedenfarbige Kugeln gezogen werden. (b) Wurde in diesem Zufallsexperiment mit oder ohne Zurücklegen gezogen? Begründen Sie Ihre Entscheidung anhand des Baumdiagramms. Lösung: (a) 8 15 (b) ohne Zurücklegen, da sich Wahrscheinlichkeiten verändern 4
9. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm für die Funktion f bzw. g an, die die jeweils angegebene Eigenschaft haben soll. Eine Definitionsmenge braucht nicht angegeben zu werden; es wird die für den jeweiligen Term maximal mögliche vorausgesetzt. (a) Die Funktion f hat genau die zwei Nullstellen 3 und 0. (b) Die Funktion g ist bei x = 2 nicht definiert. Lösung: (a) Z. B. x(x 3) (b) Z. B. 1 x 2 10. Ein gerader Kreiszylinder hat die Höhe h und den Radius r. (a) Erklären Sie, wie man die Formel M = rh2π für den Inhalt der Mantelfläche des Zylinders herleiten kann. (b) Für den Inhalt O der Oberfläche des Zylinders gilt demnach: O = 2πr 2 +2πrh Lösen Sie diese Formel nach der Höhe h auf. Lösung: (a) Der abgewickelte Mantel ist ein Rechteck mit den Seiten h und 2πr (Umfang der Grundfläche). (b) h = O 2πr2 2πr 5