Strömungslehre. Teil II - Strömungsmaschinen - WS 2005/2006. Grundlagen der Turbinen, Kompressoren und Kreiselpumpen

Strömungslehre Teil II - Strömungsmaschinen - WS 2005/2006 Grundlagen der Turbinen, Kompressoren und Kreiselpumpen PROF. DR.-ING. KNUT KAUDER FAKULTÄT MASCHINENBAU FLUIDENERGIEMASCHINEN UNIVERSITÄT DORTMUND

Vorwort An der Universität Dorhnund wird im Rahmen einer Gemeinschaftsveranstaltung für die Studenten der Fakultät Maschinenbau eme einsemestrige Vorlesung über Fluidenergiemaschinen im 5. Semester gehalten und durch Übungen sowie Laborversuche ergänzt. Die Vorlesung Strömungslehre behandelt die Strömungsmaschinen, die Energie durch Drehimpulsänderung wandeln. In der Veranstaltung Fluidenergiemaschinen II werden im Rahmen der Vertiefungsvorlesung Maschinentechnik die Verdrängermaschinen, deren Arbeitsweise auf eine zyklische Volumenänderung des energiewandelnden Arbeitsraumes beruht, dargestellt. Beiden Maschinengruppen ist die Energiewandlung der verarbeiteten Fluide eigentümlich. In die Reihe der Vertiefungsvorlesungen gehören weiter die Vorlesungen Dampfturbinen sowie Gasturbinen- und Gasmotoranlagen. Die teilweise noch benutzten Begriffe Kraft- und Arbeitsmaschinen sind inhaltlich weder präzise gefaßt, noch beschreiben sie vom darstellenden Umfang her den Bereich der Strömungs- und Verdrängermaschinen. Deshalb wird auf die nur historisch zu rechtfertigende Begriffsbezeichnung vollständig verzichtet. Die Vorlesung macht den Hörer mit den grundlegenden, gememsamen physikalischen Gesetzen des Energieumsatzes in Fluidenergiemaschinen vertraut, behandelt den Aufbau, die Wirkungsweise und das betriebliche V erhalten solcher Maschinen. Dabei werden Grundkenntnisse in der begleitenden Vorlesung Strömungsmechanik und in der Thermodynamik vorausgesetzt. Bewußt werden konstruktive Gesichtspunkte zugunsten der Diskussion von Kennfeldparametern in den Hintergrund gestellt. Das voliegende Skriptum, für den internen Gebrauch bestimmt, soll dem Hörer das Mitschreiben erleichtern und das Mitzeichnen ersparen, es soll keine vollständige Stoff- und Rezeptsammlung sein, sondern die einfachsten und wichtigsten Grundlagen der Strömungsmaschinen beinhalten. Mein besonderer Dank gilt Herrn Dipl.-Ing. B. Kliem für die Überarbeitung der Reinschrift. Außerdem danke ich Herrn P. Goeken für die Erstellung der Zeichnungen sowie Frau J. Schmitt für die Anfertigung der Reinschrift. (Prof. Dr.-Ing. K. Kauder) Dortmund, im Herbst 2003

Inhalt 1. 1.1. 1.1.1. 1.2. 1.2.1. 1.2.1.1. 1.2.2. 1.2.3. 1.2.4. 1.2.5. Vorwmi Einleitung Verzeichnis der wichtigsten Symbole Allgemeine Grundlagen Grundbegriffe und Aufbau Historische Entwicldung Energiewandhmg Der stationäre Fließprozeß Der Fließprozeß fiir kompressible Fluide Der instationäre Fließprozeß Stationäre Strömungsprozesse Energiewandlung in Strömungsmaschinen Zustände von Gasen und Dämpfen 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. Strömung im rotierenden System Kinematik der Axialmaschine Kinematik der Radialmaschine Zirkulation im Laufrad, Momentensatz Eulerscher Momentensatz Radarbeit tmd Radleistung (Hauptgleichung) Strömung im rotierenden, radialen Schaufelgitter (reversibler Fließprozeß) Strömung im rotierenden Schaufelgitter bei irreversiblem Fließprozeß 3. 3.1. 3.1.1. 3.1.2. 3.2. 3.3. Energiewandlung in der Maschinenstufe Die Turbinenstufe Energiefluß Darstellung der Gefalle Die Pumpen- bzw. Kompressorstufe Definition der Wirkungsgrade (Wirld(ette) 4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. Aktions- und Reaktionswirkung Gleichdruckturbinen Überdruckturbinen Reaktionsgrad (allgemein) Vergleich der Arbeitsverfahren

5. 5.1. 5.2. 5.3. 6. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 7. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 8. 8.1. 8.1.1. 9. 9.1. 9.1.1. 9.1.2. 9.1.3. 9.2. 9.2.1. 9.2.2. 9.3. 9.3.1. 9.3.2. 9.3.3. 9.3.4. 9.3.5. 9.3.6. 10. Axiales Laufgitter und Einzelflügel Tragflügeltheorie Anwendtmg der Tragflügeltheorie auf das axiale Laufrad Das Schaufelprofil Maschinenkennzallien Äluliichkeit Kem12ahlen Anwendtmg der Kennzalllen auf die Maschinenauslegung Mehrstufigkeit und Mehrflutigkeit Baureihenbildm1g Dissipation in Strömungsmaschinen Dissipation an Welle und Laufrad Dissipation infolge Spaltströmung Dissipation im Gitter Dissipation durch Stoß Dissipation durch partielle Beaufschlagung Konstrulctive Besonderheiten Axialschub Ausgleich oder Teilausgleich des Axialschubes Betrieb von Strömungsmaschinen Kemliinien, Kemlfelder Pumpenlcennlinien Genauere Betrachnmg des Strömungswinkels ß 2 Kemlfelder von Ptnnpen und Kompressoren Betriebsgrenzen von Strömungsmaschinen Kavitation im Kreiselpumpenbetrieb Überschallgefalrr im Turbokompressorbetrieb Maschinenkennlinien bei Einzel- und Mehrfachanordnung Kennlinienumreclmung Reihenschalttmg Parallelschaltung Passive Anlagenteile Ermittlung von Arbeitspunlcten Instabile Arbeitspunlcte "Pumpen" und "Pumpgrenze" Literatl1r- und Sachwortverzeichnis

Einleitung Die gnmdlegenden physikalischen Gesetze der Energiewandhmg sind bei allen Fluidenergiemaschinen gleich. Lediglich findet sich für den Eulerschen Momentensatz keine Anwendung im Bereich der Verdrängermaschinen, wohl aber für verschiedene "Hybride Maschinentypen". Für die Darstellung der physikalischen Zusammenhänge werden Größen tmd Größengleichungen benutzt (DIN 1313). Physikalische Größen sind meßbare Eigenschaften von Objekten, Vorgängen und Zuständen, die - in Gleichtmgen benutzt - von der Wahl der Einheiten unabhängige Größengleichungen ergeben. Unter einer Einheit wird eine aus der Menge gleichaliiger Größen ausgewählte und festgelegte Größe verstallden. Die in Beispielen allgegebenen Zahlenwe1ie von physikalischen Größen entstehen aus dem Verhältnis Größe --- = Zahlenwert Einheit ' dabei ist die benutzte Größe invariant gegenüber dem Wechsel der Einheiten. In dem vorliegenden Skripttun wird das internationale Einheitensystem - MJSAKC - benutzt mit den Grundeinheiten: Meter m für die Länge Kilogramm kg für die Masse Sekunde s für die Zeit Ampere A für die Stromstärke Kelvin K für die Temperatt1r Cal1dela cd für die Lichtstärke. Die wichtigsten, daraus abgeleiteten, kohärenten Einheiten sind: Kraft IN (Newton) 1 kgms-2 Druck 1 Pa (Pascal) 1 Nm-2 1 kgm-is-2 Arbeit 1 J (Joule) lnm 1 kgm2 s-2 Leisttmg lw (Watt) 1 Js-1 1 kgm2 s-3. Die im Skriprum allgegebenen Kapitel, Gleichtmgen und Bilder sind abschnittweise 1.1., 1.2.,... muneriert. Definitionsgleichtmgen werden mit dem Definitionszeichen := gekennzeichnet.

Verzeichnis der wichtigsten Symbole mit den Grunddimensionen m Masse l Länge T Temperatur t = Zeit Symbol A a a a b b c D d e F Fr g H h i L 1 Mct m n n nq ii p p Q q Dimension e 12 f1 lt-2 lt-1 er 2 lt-1 lt-1 12 r2 r1 m 1 2 f 2 er 2 m 1 f 2 lt-2 mer 2 fr 2 m 1 f 2 mer 1 m r1 f1 1 mer 3 mr 1 f 2 mff 2 er 2 Bedeutung Fläche materielles Vektorfeld Beschleunigung Schallgeschwindigkeit Breite (Laufrad-), spez. Anergie Geschwindigkeit Auftreffgeschwindigkeit von Kavitationsblasen spezifische Wärme Beiwe1i (Auftriebs-, - Widerstand-) Außendurchmesser Im1endurchmesser hydraulischer Durchmesser Energie, Exergie spezifische Energie Kraft Froude Zahl Fallbeschleunigung Enthalpie spezifische Enthalpie Impulsstrom Drehimpuls Länge Drehmoment Masse Drehzahl Polytropenexponent spezifische Drehzahl äußerer Normaleinheitsvektor Leistung Druck Wärme massebezogene Wärme

Verzeichnis der wichtigsten Symbole mit den Grunddimensionen m Masse l Länge T Temperatur t = Zeit Symbol Dimension Bedeutung R Re r r s s T t u u V V w w w w"' X X ~YH y z 1 me f 2 T 1 er 2 T 1 T t er 2 lt-1 13 13 m-1 ml 2 f 2 lt-1 er 2 lt-1 1 1 er 2 1 1 Radius Reynolds Zahl Radius, Kurbelradius Reaktionsgrad Entropie spezifische Entropie thermodynamische Temperatur Zeit spezifische innere Energie Umfangsgeschwindigkeit Volumen spezifisches Volmnen Arbeit Relativgeschwindigkeit spezifische Arbeit Anströmgeschwindigkeit Stromlinienkoordinate kartesische Koordinate spezifische Halteenergie kcuiesische Koordinate ka1iesische Koordinate a a ß ßr ßp 8 r 8 s 11 (rad) mf 3 T 1 (rad) 1 t 2 m- 1 r1 (rad) e f 1 mr 1 f 1 Winkel der Absolutströmung (ü ~ c) Wärmeübergangskoeffizient Winkel der Relativströmung (-ü ~ w) isothermer Kompressibilitätskoeffizient iso ba1 er Wärmeausdehnm1gskoeffizient Anstellwinkel Zirkulation Durchmesser Widerstandszahl, Verlustziffer dynan1ische Zähigkeit

Verzeichnis der wichtigsten Symbole mit den Grunddimensionen m Masse I Länge T Temperatur t = Zeit Symbol Dimension Bedeutung K V p Ci Ci \jfs \[!K (J) m r 2 r 1 m f 2 r 1 mer 2 er 2 (rad) Wirkungsgrad c Verhältnis der spezifischen Wärmen ( K := _P) cv Widerstandszahl der Rohrströmtmg Längenmaßstab Reibtmgswinkel Wärmeleitfähigkeit Leistungszahl, Energiebeiwert kinematische Zähigkeit Dichte Laufzahl Spanmmg (Normal) Spannung (Schub, Schenmg) Zeitmaßstab Dissipationsenergie spezifische Dissipationsenergie Drehwinkel, Zylinderkoordinate Volumenstromzahl Druckzahl Enthalpiezahl Kavitationszahl Winkelgeschwindigkeit Eindeutige vektorielle Zusammenhänge werden olme~ benutzt.

Indices A Austritt, Anlage, Auftrieb a angesaugt, atmosphärisch, Beschleunigung B Behälter D Dmchsatz, Dampfdruck E Eintritt e effektiv Fl Fluid f _Eörder-, Gefälle-, G Gegengewicht, Gebläse g gesamt h hydraulisch indiziert, i-te Stufe, innen id ideal m irreversibel K Kompressor (Tmboverdichter) k kinematisch La Laufrad Le Leitrad m Meridian-Komponente m Mittelwert, auch dmch Querstrich oben ausgedrückt (z.b. c =mittlere Geschwindigkeit) NP Nennpunkt n Nutz, normal ö öffnen P Pumpe pol polytrop R Rad, Resultierende, Reibung RR Radseitemaum RT Triebwerlaeibung red reduziert rev reversibel S Schwerpunkt Sch Schaufel SD Sicherheitsabstand s isentrop, synchron Sp Spalt St Stoß T Tmbine

Indices t total th isotherm, theoretisch tr trocken u Umfang v volumetrisch W Widerstand z Zylinder Mittelwert auf die Zeiteinheit bezogenes Symbol 1 Ort der geringsten Dmckenergie ( Saugseite) 2 Laufrad, Ein- bzw. Austritt 3 Leitrad, Ein- bzw. Austritt 4 Ort höchster Dmckenergie (Dmckseite)

1.1 1. 1.1. Allgemeine Grundlagen Grundbegriffe und Aufbau Strömungsmaschinen wandeln durch Drehimpulsänderung den Energieinhalt eines zu verarbeitenden Fluids. Allgemein soll unter dem Sammelnamen F 1 u i d fließfähige Materie, also Flüssigkeiten 1 ), Gase und Dämpfe verstanden werden. Zu den Strömungsmaschinen gehören: Turbinen, Turbokompressoren (Kompressoren), Kreiselpumpen, Propeller, Strömungsgetriebe und Strömungskupplungen. Turbinen sind Energiewandler, die einem Fluid Energie entziehen und diese Energie m mechanisch nutzbare Arbeit an die Maschinenwelle in Fonn eines Drehmomentes abgeben. Turbokompressoren, Kreiselpumpen und Propellern wird mechanisch nutzbare Arbeit als Wellenarbeit zugeführt und an das Fluid in Form von potentieller und/oder kinetischer Energie übertragen. Strömungsgetriebe zählen zu den hydrodynamischen Wandlern, die die Eigenschaften der ersten zwei Gruppen in sich vereinigen. Bei den Turbinen unterscheidet man nach der Art des Arbeitsfluids Dampfturbinen, Wasserturbinen und Windturbinen. Eine wirtschaftliche Erzeugung elektrischer Energie ist heute ohne den Einsatz von Turbinen kaum vorstellbar. Kreiselpumpen gehören zu den verbreitetsten Energiewandlern in der modernen Technik, heute gibt es kaum eine Anlage oder ein V erfahren, bei dem nicht Flüssigkeiten zu fördern sind. Das gemeinsame Kennzeichen aller Strömungsmaschinen ist ein rotierendes Laufrad, Bild 1.1. Dieses Laufrad ist mit Schaufeln (Laufschaufeln) am Umfang besetzt. Häufig findet sich im Gehäuse ein feststehendes Leitrad. l) Flüssigkeit im allgemeinen Sinn ist ein Stoff, der einer scherenden Beanspruchung unbegrenzt nachgibt. Die hier behandelten Maschinen wandeln den Energieinhalt von newtonscheu Fluiden, d.h., die Schubspannung ist eine lineare Funktion der Schergeschwindigkeit (Newton'sches Fluidreibungsgesetz).

1.2 Strömungsmaschinen besitzen offene Kanäle, in denen die Energiewandlung stattfindet. a) Leitrad ( Le} fest Spalt Laufrad (La} b) +t Bild 1.1: Aufbau von Strömungsmaschinen a) Axial- oder Meridianschnitt b) abgewickelter Zylinderschnitt (Schnitt A-B) Turbine Pumpe, Kompressor Le Schaufeln sind nicht im Schnitt sondern zirkular projiziert dargestellt. Im Gegensatz dazu ist das gemeinsame Kem12eichen aller Verdrängennaschirren ein gekapselter, also geschlossener Arbeitsraum, dessen Größe sich während eines Arbeitsspieles zyklisch verändert. Der Arbeitsraum ist, wie der offene Strömungskanal, mit Fluiden gefüllt. Bei der Umströmung der Laufschaufeln entstehen durch die träge Masse des Fluids Strömungskräfte und damit eine nach außen wirkende Arbeit pro Zeiteinheit. Diese Trägheitskräfte werden durch Richtungsänderungen und damit Dralländerungen bzw. durch Beschleunigungen der Strömung verursacht. LeUschaufeln haben die Aufgabe der besseren Energienutzung durch Strömungsrichtungsänderung und sollen darüber hinaus Druckenergie in Geschwindigkeitsenergie (Turbine) bzw. Geschwindigkeitsenergie in Druckenergie (Pumpe, Kompressor) umsetzen. Dabei bleibt aber im Gegensatz zum Laufrad der Gesamtenergieinhalt unverändert. Dem Laufrad und damit den Laufschaufeln wird ein Drehmoment von außen zugeführt (Pumpe, Kompressor) oder entzogen (Turbine).

1.3 Für die Darstellung emer Strömungsmaschinenstufe (Laufrad plus Leitrad) werden die Schaufeln in der Drehachse geschnitten, Bild l.l.a. Diese Meridianschnitte ergeben bei zirkularer Projektion durch ein Hineindrehen der Teilschnitte in die Zeichenebene die Schaufel umrisse. Ein Zylinderschnitt A-B ergibt abgewickelt, Bild l.l.b, das Lauf- und Leitradgitter, allgemein das Schaufelgitter. Je nach Durchflußrichtung dieses Schaufelgitters wechselt die Energiewandlungsrichtung, d.h., die Strömungsmaschine arbeitet entweder als Turbine (ausgezogener Pfeil) oder als Pumpe bzw. Kompressor (gestrichelter Pfeil), damit ändert sich auch die Drehrichtung der Welle. Turbinen sind also die Umkehrung der Pumpen bzw. Kompressoren. Strömungsmaschinen, die abwechselnd antreiben und nach Änderung der Dreh- und Durchflußrichtung angetrieben werden, heißen Pumpenturbinen (Pumpspeicherwerke). Für alle reversiblen Vorgänge ergibt sich die Umkehrung unmittelbar. Reale Strömungen verlaufen aber irreversibel, d.h., unter Entropieerzeugung. Diese Irreversibilität ist abhängig von der Durchströmrichtung der Maschine. Die notwendig verzögerte Pumpen- bzw. Kompressorströmung erzeugt vorwiegend durch Grenzschichteinflüsse einen höheren dissipativen Anteil bei der Energiewandlung als die beschleunigte Turbinenströmung. Bestimmte konstruktive Maßnahmen, die dann zu differenzierter Bauweise führen, können diese negativen Einflüsse mildern. Kanäle zur Verzögerung einer Strömung werden Diffusoren, solche zur Beschleunigung werden Düsen genannt. Zur Beschreibung der Laufradbauarten dient das Strömungsfeld 2 ). Es ist hauptsächlich von der Form der Laufradkanäle abhängig. Beim Durchfluß des Fluids können die Stromflächen3) nicht beliebig verlaufen. Die Schaufelflächen sind als Begrenzungsflächen zu betrachten, weil diese mit den Stromflächen ein kongruentes System bilden sollen. Aus den Stromflächen, Bild 1.2., sind die Laufradbauarten in Bild 1.3. abzuleiten. Aus den Laufradbauarten ergeben sich spezifische Maschinenbaufonnen, Bild 1.4. Bild 1.5, Bild 1.6 und Bild 1. 7 zeigen ausgeführte Maschinen. 2) Strömungsfeld: Hier die Beschreibung eines zeitunabhängigen Richtungsfeldes von Elementarvolumina 3) Stromfläche entsteht durch Rotation einer mittleren Stromlinie um die Maschinendrehachse. Stromlinie:= Integralkurve eines Richtungsfeldes, d.h., diejenigen Linien, deren Tangenten zu einem Zeitpunkt t mit der Strömungsrichtung übereinstimmen.

1.4 Bild 1.2: Stromflächen zur Beschreibung von Laufrädern A - radial B, C - diagonal (halbaxial) D - axial A. 8. Bild 1.3: Laufradbauarten A - radial B - diagonal (halbaxial) C - axial c.

1.5 Kaplan- Turbine (axial durchströmt) Froncis -Turbine (diagonal durchströmt) Froncis-Turbine (radial durchströmt) Bild 1.4: Bauformprinzipien nach den Laufradbauarten radial 1 Laufrad Dichtung Saugstutzen... Bild 1.5: Radiale Kreiselpumpe (Die Abströmrichtung des augesaugten Fluids ist radial)

1.6 halbaxial ~ Bild 1.6: Halbaxiale Kreiselpumpe (Diagonalrad) mit Spiralgehäuse (Die Abströmrichtung des augesaugten Fluids ist halbaxial)

1.7 axial Bild 1.7: Axiale Kreiselpumpe (Propellerpumpe) (Die An- und Abströmrichtung des augesaugten Fluids ist axial)

1.8 1.1.1. Historische Entwicklung Auszug aus: Die praktischen Beziehungen der KINEMATIK zu GEOMETRIE und MECHANIK von Prof. Dr. F. REULEUX, Braunschweig 1900 Flud-Krafträder Langsam musste man sich zu dieser Klärung durcharbeiten. Das sieht man noch an der Ausführung, die der kenntnisreiche und e1jinderische Oberbergrath Althans d. Aelt. in der Jugendzeit der Turbinen dem Segner'schen Wasserrade gab 4 ), indem er das zu schnell abfliessende Wasser ein zweites Rad treiben liess, statt die Uebersetzungszahl entsprechend zu ändern. Pettonräder werden jetzt auch bei uns gebaut, und zwar von Briegleb, Hansen & cie in Höchst a. M und von Ganz & cie in Pest. Die ersteren haben u.a. durch Bremsversuche an einem 76pferdigen Rade 84-88/100 Wirkungsgrad ermittelt; dieser zeigt sich stark abhängig von der Düsenweite. J.J. Rieter & cie ermittelten an einem Breuer'schen Rade 81/100 als Wirkungsgrad, Ganz & cie fanden 81-88/100. Kleinere, schwächere Räder haben nicht so günstige Zahlen geliefert, als stärkere. In Amerika hat Cazin 5 ) versucht, durch besonders feine Ausbildung der Schaufelfonn und enge Schaufelstellung den Wirkungsgrad des Rades noch etwas zu steigern, Fig435. 4) S. Weisbach, Ing. u. Masch.-Mechanik, III. Aufl., 1859, Bd. II, SDD. 595; ebenda IV. Aufl. S. 636 5) Von der American lmpulse-wheel Company in Newyork

1.9 Durchweg zeigen die Versuche von drüben wie von hüben, dass das Rad vorzüglich brauchbar ist, entgegen den Zweifeln, die gleich nach dem Erscheinen meines angeführten Vortrages an der Veröffentlichungsstelle geäußert wurden. DieLava l s c h e Da m p fm a s c hin e, Fig. 436, hat man wohl auch eine Dampfturbine genannt; das ist aber nicht glücklich, man muss sie nach dem Besprochenen ein, Dampfi ad nennen. Denn die Lava! sehen rinnenformigen Schaufeln werden gerade so vom Fludstrom getroffen und gedrückt, der Strom wird gerade so wieder abgeleitet, wie bei den zu Z\Veien vereinigten Schaufeln des Peltonrades; nur ist der Austrittswinkel nicht so günstig wie dort. Ausgeführt wird bei uns das Rad in vorzüglicher Weise durch die Maschinenbauanstalt Humboldt in Kalle. Das in Fig. 436 dargestellte Rad ist einer 30pferdigen Maschine entnommen; es hat 198 mm mittleren Durchmesser und läuft 15 OOOmal in der Minute um; Zahnräderübersetzung setzt die Umlaufzahl zunächst auf den zehnten Theil herab. Die Schmifelhöhlung ist Ja eisbogenformig und umfasst 120. Ein 100pferdiges Rad aus derselben Anstalt macht 13000, ein 50pferdiges 16400 Umläufe in der Minute. Unsere Untersuchung klärt auch bestimmt auf, wodurch sich die Laval'sche Dampfmaschine von der Parsons'schen, die ziemlich im selben Lmif der Jahre erfunden worden ist, unterscheidet. Erstere ist ein Drucla ad, letztere eine wirkliche echte, und zwar melufache Turbine, ein Strahlrad, das aus dem Schraubentrieb (s 2 F)i gemäß den Ausführungen in 55 allgemein, und S. 389 insbesondere abgeleitet ist. Diefolgende Figur stellt sie dar. Der Fluidschraubentrieb ist hier in einer grossen Anzahl von St4en wirksam, nach deren jeder der Fludstrang wieder von Drehung befi eit wird. Insbesondere hat Parsans hier Zwiselschraubentrieb benutzt, um Längsdruck auf die Lager zu vermeiden; die Längspressungen mif die 38 Schaufella änze heben sich gegenseitig mif 6 ). 6) S. die engl. Patentschriften 6735/1884, 5512/1887 und 1120/1890; ausserdem den 1897 von Parsans in der Inst. ofcivil Engineers gehaltenen Vortrag über: "Vor- und Nachthele der rotirenden und hin- und hergehenden Dampfmaschinen für Schiffs betrieb", wiedergegeben im Engineering vom 4./6.1897, sowie eine fernere Mittheilung im Engineering vom 2./7. 1897.

1.10 Die wichtigste Anwendung der Turbine hat Parsans selbst auf dem Dampferehen Turbinia gemacht. Dieses kleine Schiff, 100' lang, 9' breit und 3' tief gehend, 44 1/2 Tonnen verdrängend, ist mit 3 Parsons'schen Dampfturbinen der oben dargestellten Bauart ausgerüstet, einer Hoch-, einer Mittel- und einer Niederdruckturbine, die im Verbund arbeiten und die Dampfspannung stufenweis von 170 II oder 11 1/3 at auf 1 II I~ oder 2/15 at herabsetzen; mit dieser letzteren Spannung fliesst der Dampf in den Kondensator. Jede der drei Turbinen, von denen die mit Niederdruck arbeitende die grösste ist, und zwar 3' im Durchmesser hat, trägt auf dem äusseren Fortsatz ihrer leicht geneigten Welle 3 Triebschrauben, sodass deren im Ganzen 9 Stück das Schiff fortbewegen; bei ganzer Kraft machen sie 2200 Runden minutlich und geben dem Schiff eine Fahrt von 32 3/4 Knoten. Arbeitsstärke insgesammt 2100 PS ind., Dampfverbrauch nach P's-Angabe 14,5 II oder 6,68 kg aufdie PS. Parsans erwähnte Patente sindjüngst um sieben Jahre verlängert worden. Die Parsons-Turbine hat inzwischen schon ihren Weg in den allgemeinen Maschinenbau gefimden. Drei Stück von je 500 PS... 1.2. Energiewandlung Das Arbeitsvennögen eines Systems wird vom Energiegefälle bestimmt. Ein System entsteht durch Abgrenzung eines Gebietes durch Kontrollraumgrenzen. An den Kontrollraumgrenzen soll der erste Hauptsatz der Thermodynamik, das Prinzip von der Erhaltung der Energie, angewendet werden. Energie kann in verschiedenen Formen auftreten, als mechanische Energie, Wärme, elektromagnetische Energie, Kernenergie usw. hn Wandlungsfalle stehen alle Energiefonneu in bestitmnten Äquivalenzverhältnissen. Die Kontrollraumgrenzen sollen für Energie und für die Arbeitsfluide durchlässig sein. In Fluidenergiemaschinen wird kontinuierlich Leistung zu- bzw. abgeführt, weil ein dauernd neu zufließender Fluidstrom das verarbeitete Fluid ersetzt. Man nennt daher die ablaufenden Prozesse

1.11 stationäre Fließprozesse oder allgemein offene Systeme. Stationär bedeutet hier, daß an den Systemgrenzen die Zustandsgrößen zeitlich konstant sind. 1.2.1. Der stationäre Fließprozeß Für die Formulierung des Energieerhaltungssatzes beim stationären Fließprozeß muß eme Vorzeichenvereinbarung getroffen werden: 11 Alle zugeführten Energieströme werden positiv, die abgeführten Energieströme negativ gezählt! 11 Aus Kontinuitätsgründen muß der Massenstrom am Eintritt (Index E) genau so groß wie am Austritt (Index A) sein, wenn keine Fluidmasse durch Quellen oder Senken in den Kontrollraum zuströmen noch ihn verlassen kann, Bild 1.8. ~----- 1 I I I I I QEA.. I I I I I I I I L -----, I I I I I I ~ I~ I I I I Systemgrenze V peje,ce,ze,me;i f(t) Bild 1.8: Kontrollraum einer Fluidenergiemaschine = Wärmestrom = effektive Kupplungsleistung p, T, c, z = Zustandsgrößen an der Kontrollraumgrenze Die aus den Leistungen und Wärmeströmen folgenden Arbeiten und Wärmen sind Prozeßund keine Zustandsgrößen, d.h., sie können je nach Prozeßführung verschiedene Werte annehmen. Die von einem stationären Fließprozeß in der Zeiteinheit abgegebene oder aufgenommene Arbeit wird als effektive oder Kupplungsleistung P e bezeichnet, wobei das

1.12 Triebwerk inhärenter Bestandteil des Systems sein soll, also sich innerhalb der Systemgrenze befindet. Mit dem zeitlich konstanten Massenstrom rh ergibt sich zwischen Leistung und spezifischer Arbeit die Beziehung GI. (1.2.-1). Die Zustandsänderung des Massenstromes zwischen den Gleichgewichtszuständen E und A, also innerhalb des Kontrollraumes, ist für die Betrachtung der Energien an der Systemgrenze belanglos. Man bezeichnet mit QEA die während des Prozesses zu- oder abgeführte Wänne und mit QEA den Wärmestrom, der für beliebig große Zeitintervalle gilt, da voraussetzungsgemäß der Prozeß stationär sein soll. Die Leistungsbilanz (Leistung= Energie pro Zeiteinheit) für den stationären Fließprozeß nach Bild 1.8. liefert: GI. (1.2.-2). Schreibt man die Leistung und den Wännestrom auf die eine Seite der Gleichung, so steht auf der anderen Seite die aus- bzw. eintretende Energie des Massenstromes. Abkürzend führt man noch den Begriff der spezifischen Enthalpie h=u+pv ein. So entsteht der 1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse: GI. (1.2.-3). Bezieht man diese Gleichung auf den Massenstrom rh, so stehen in der Gleichung nur spezifische Größen: GI. (1.2.-4). Die Differenz der Enthalpien, Geschwindigkeits- und Lageenergien zwischen Ein- und Austritt bestimmt also die Größe der ausgetauschten Wärme und Arbeit.

1.13 Aufgrund des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik liefert die Definition der Entropie die Beziehung für die Enthalpiedifferenz J dh = J vdp + J Tds GI. (1.2.-5) oder für den Sonderfall eines inkompressiblen Mediums mit p = const. wird GI. (1.2.-6). Bei den Gleichungen GI. (1.2.-5) und GI. (1.2.-6) ist zu beachten, daß J Tds die gesamte, auf den Massenstrom bezogene Energieänderung durch Entropieänderung ist, d.h., im Falle eines realen, irreversiblen Prozesses mit Reibung J Tds = J TdsQ + J Tds;,.,. GI. (1.2.-7) gilt, worin J Tdsirr die durch Reibung im Inneren des Systems entstehende Energieänderung bedeutet, das J TdsQ die übertragene Wärme. Die Energieänderung durch Entropieänderung teilt sich also auf in GI. (1.2.-8a), mit GI. (1.2.-8b ). Somit gilt: A c~ - ci [ ] JA we + q EA = fvdp + + g z A - z E + Tds E 2 E GI. (1.2.-9).

1.14 1.2.1.1. Der Fließprozeß für kompressible Fluide In den meisten Fällen kann man die Änderung der Lage- und der Geschwindigkeitsenergie eines Gases vernachlässigen, weil diese Energieanteile sehr klein gegenüber den übrigen Energien sind. Der 1. Hauptsatz vereinfacht sich zu GI. (1.2.-10). Bei nicht zu hohen Drücken lassen sich bei thermodynamischen Berechnungen der Fluidenergiemaschinenreale Gase durch die Zustandsgleichung idealer Gase (bzw. Gemische von idealen Gasen) pv = mrt GI. (1.2.-11) beschreiben. Die Enthalpie h soll dann nur eine Funktion der Temperatur sein. Demnach gilt dh = cp (T) dt GI. (1.2.-12) mit der spezifischen Wännekapazität bei konstantem Druck cp: = (8h I 8T)p, die durch die Beziehung c P ( T) - c" ( T) = R GI. (1.2.-13) mit der Gaskonstanten R verknüpft ist, dabei soll cv: = (8u I 8T)v sein. Der Ersatz der spezifischen Wänne cp durch den Isentropenexponenten k GI. (1.2.-14) führt zu einer Gleichung, die bei der Beschreibung von Zustandsänderungen oft benutzt wird

1.15 Aus Gleichung (1.2.-5) folgt auch oder Tds = dh- vdp Tds = du- pdv. Gl. (1.2.-16) Für den stationären Fließprozeß mit quasi stationärer Zustandsänderung im Kontrollraum von E nach A gilt daher A A f Tds = ha -he-j E E vdp Gl. (1.2.-17). Aus Gleichung (1.2.-17) und Gleichung (1.2.-1 0) des 1. Hauptsatzes folgt A A we +qea = f Tds+ f vdp Gl. (1.2.-18). E E A Das Integral J Tds stellt für reversible Prozesse die Energie dar, die einem System in Fonn E einer Wärmeübertragung zu- bzw. abgeführt wird. Bei reversiblen Prozessen gilt: A qea = ftds=(qea)rev E Im Falle des irreversiblen Prozesses kann man die als Wänne übertragene Energie nicht mehr umnittelbar als Integral über die Temperatur und die Entropieänderung des Systems ausdrücken. Deshalb teilt man die Energieänderung durch Entropieänderung in zwei Anteile auf: A A A frds= frdsq + frds;,.,. Gl. (1.2.-19) E E E entprechend Gl. (1.2.-7) mit A A qea =J TdsQ und rpea = E E J Tds;,.,. Gl. (1.2.-20) entsprechend Gl. (1.2.-9).

1.16 Dabei bedeutet <pea die im System erzeugte Entropie, die bei irreversiblen Prozessen auftritt, so daß stets rpea > 0 sein muß. Für die Dissipationsterme legen die Integrationsgrenzen E und A lediglich den Systeminhalt fest, in dem Entropie erzeugt wird. Treten bei der Berechnung unterschiedliche Entropieerzeugungsmechanismen auf, so müssen diese daher aufintegriert werden. Die spezifische Energie läßt sich nun mit Gleichung (1.2.-18) und Gleichung (1.2.-19) für adiabate stationäre Fließprozesse nach der Beziehung berechnen. "'0 "'0 A 1,----------A--- ~ f vdprev =We-CfJEA--(c~-c~;)-g(zA-zE) E 2 GI. (1.2.-21) Die von einer Strömungsmaschine dem Fluid entzogene oder ihm übertragene spezifische reversible Arbeit ist GI. (1.2.-22). Aus Gleichung (1.2.-21) geht hervor, daß Arbeit We aus einem Fluid nur gewonnen werden kann, wenn dieses seinen Druck, seine Geschwindigkeit oder seine geodätische Höhe beim Durchströmen durch einen Kontrollraum ändert. Die tatsächlichen Vorgänge werden zu ihrer Beurteilung meist mit einfachen Zustandsänderungen verglichen. Dazu definiert man eine allgemeine Gleichung für die polytrope Zustandsänderung. Aus ihr werden die speziellen Zustandsänderungen abgeleitet vdp pol =-n pdv n := -~(:) P pol GI. (1.2.-23). Danach lassen sich folgende spezielle Zustandsänderungen festlegen: n 0 ~ p const Isobare n 00 ~ V const Isochore n 1 ~ pv const Isotherme n k ~ s const Isotrope.

1.17 Die Darstellung der verschiedenen Polytropen im p, V- und T,s-Diagramm zeigt Bild 1.9. (ideales Gas). p T n=o (p=const) +- 1/) c 0 u II > 8 II c,, 1/) \ \ \ --;.. \~ \''f \ \ ' \ ' ' ' ' ' ' V 5 Bild 1.9: Darstellung spezieller Zustandsänderungen im p, V- und T,s- Diagramm Der Polytropenexponent n ist während einer realen Zustandsänderung häufig nicht konstant. Man bildet für Überschlagsrechnungen deshalb den mittleren Polytropenexponenten und kennzeichnet ihn mit einem Querstrich, n. Die spezifische Energie nach Gleichung (1.2.-21) läßt sich für eine polytrope Zustandsänderung eines idealen Gases mit p v 11 schreiben als: weiter gilt daraus folgt für die spezifische Energie GI. (1.2.-24).

1.18 1.2.2. Der instationäre Fließprozeß Die Beschreibung von instationären Energiewandlungsprozessen mit dem vollständigen ersten Hauptsatz muß die jetzt zeitabhängigen Prozeß- und Zustandsgrößen sowie die unterschiedlichen Massenströme an Aus- und Eintrittsseite berücksichtigen. Für instationär ablaufende Vorgänge (Anlaufen, Lastwechsel o.ä.) tritt eine zeitabhängige Differenz zwischen ein- und austretenden Massen auf; es gilt für das Zeitintervall ~t Damit ist die Einführung von massenstrombezogenen spezifischen Größen nicht mehr möglich. Zusätzlich muß der jetzt nicht konstante Energieinhalt des Systems E (t) c2 E (t) - J ( u + 2 + g z) dm m(l) Gl. (1.2.-25) in die Energiewandlung zwischen den Kontrollraumgrenzen mit aufgenommen werden. Die Energiewandlung für das instationäre adiabate Fließsystem lautet deshalb in differentieller Schreibweise wobei die Zustands- und Prozeßgrößen jeweils eine Funktion der Zeit t sind. Die Energiewandlung für ein Zeitintervall ~t = t 2 - t 1 ist durch Integration dieser Gleichung zu ermitteln. Es gilt: lll,j (12) E (t2)- E (tl) + f lila (II) Gl. (1.2.-27). Für den Sonderfall der stationären Fließprozesse geht diese Gleichung mit E (t2) = E (tl) dm = dma = dme über in die bekrumte Form

1.19 CÄ? - CE? ].. ~ = m ha - he + + g (za - ze), vergleiche Gleichung (1.2.-4). [ 2 1.2.3. Stationäre Strömungsprozesse Strömungsprozesse stellen eine Sonderform der Fließprozesse dar. Strömungsprozesse enthalten vereinbarungsgemäß keine Einrichtung zur Zufuhr bzw. Entnahme von Arbeit, also nur passive Bauelemente (Rohrleitungen, Einbauten, Apparate). Für adiabate Systeme gilt, weil dq =0 nach Gleichung (1.2.-25). In differentieller Schreibweise ist auch c2 0 = dh 1 = dh + d - + g dz 2 und mit dem 2. Hauptsatz wird dh = dhrev + dhirr Gl.(1.2.-28), also Gl. (1.2.-29). Eingesetzt erhält man: 0 = dhs + d ( ~) + g dz + drp Gl.(1.2.-30). Für den Strömungsprozeß ergeben sich nun drei wichtige Möglichkeiten (Änderungen der Geschwindigkeit infolge von Temperatureinflüssen werden vernachlässigt):

1.20 1. Die beschleunigte Strömung: (ca > ce) ergibt sich nach J( C: )~dh, -~ ObdG~" d hs = vdp E d ( ~) = - vdp - d rp GI. (1.2.-31) durch eine Enthalpieabnahme, d.h., durch eine Drucksenkung dp, in Strömungsrichtung. Die Entropieerzeugung Tdsirr = d<p, also ds > 0, vermindert die Beschleunigungsenergie. 2. Für die verzögerte Strömung: (ce > ca ) wird analog durch Wandlung der Geschwindigkeits- in Druckenergie GI. (1.2.-32). A Eine Druckumsetzung tritt im irreversiblen Fall de1m1ach erst? c auf, wenn- d- ~ drp wird. 2 3. E -- - +-... A 2 Bei der Rohrströmung wird c A = ce und damit d ~ = 0 also 2 0 = dhs- drp drp = - dhs drp = - 1 vdp und fiir v =- = const p dp drp =-- p GI. (1.2.-33) d.h., bei konstanter Geschwindigkeit kommt es in der Rohrströmung zu einem dissipativen Druckabfall längs des Strömungsweges. Die h,s-diagrmmne der Strömungsprozesse verdeutlichen die Energiewandlung in passiven Bauteilen von Fluidenergiemaschinen und Anlagen.

1.21 t hte= h1a?? c;a -Cf: = - (hsa - he) 2 he? c2 A - C}; -(ha-he) 2?? c;a -Cf: h 2 - (ha- he) + rpea ~--L----L-- ha _. J ~--1-----1.=------ hsa (h A - he)- <pea = (hsa - h E) SE SA Gl. (1.2.-34). Bild 1.10: Umwandlung von Druck- in Geschwindigkeitsenergie in einer Düse für isentrope und polytrope Zustandsänderungen (Annahme: p A = const) t h 2? csa -Cf;; 2 2? CA -Cf;; ha 2, hsa 2? ~ csa -Cf;; 2 2 (hsa- he) (ha- he) (ha- he)- (/JEA Gl. (1.2.-35) Bild 1.11: Energiewandlung von Geschwindigkeits- in Druckenergie in einem Diffusor für isentrope und polytrope Zustandsänderungen (Annahme: PA PE und ce = const, real bewirken die Verluste q>ea gerade einen geringeren Austrittsdruck PA)

1.22 I h 1----------.------7"': ---hte=hta - drp = vdp - rpea = hsa - ha GI. (1.2.-36) s... Bild 1.12: Energietransport in der Rohrströmung 1.2.4. Energiewandlung in Strömungsmaschinen Erweitert man die Vorstellung des Strömungsprozesses auf die zuvor ausgeschlossene Einrichtung zur Zufuhr bzw. Entnahme von Arbeit, so wird die Energiewandlung in Strömungsmaschinen sofort verständlich. Über die Kontrollraumgrenzen wird jetzt auch Arbeit in Form eines Arbeitsstromes als mechanische Leistung transportiert. Die im Folgenden getroffene Annahme einer adiabaten Prozeßführung folgt den realen Bedingungen weitestgehend. Auch bei thermischen Turbomaschinen krum der Wännestrom über die Kontrollraumgrenze, bedingt durch die Maschinenisolierung, vernachlässigt werden. Wenn keine adiabaten Zustandsänderungen angenommen werden können, z.b. bei Turbokompressoren mit Zwischenkühlung, wird die getroffene Vereinbarung nur auf die Maschine und nicht auf die Anlage bezogen. Drunit lautet die den Arbeitsprozeß beschreibende Energiegleichung, in differentieller und auf die Masseneinheit der Fluide bezogener Schreibweise GI. (1.2.-3 7) Für den reversiblen stationären Prozeß wird

1.23 2 (dwe) = dhs + d (c ) + g rev 2 dz Gl. (1.2.-38). Das ist die Energie, die z.b. einer Turbine angeboten wird, bzw. jene, die bei einer Pumpe nutzbar an das Fluid übergegangen ist. Sie wird daher als spez. Fall- bzw. Förderenergie bezeichnet. Also dw := (dw) 7) f e rev Gl. (1.2.-39) dw 1 = vdp + d ( ~) + g dz Gl. (1.2.-40). 1.2.5. Zustände von Gasen und Dämpfen Die bekannten thermischen und kalorischen Zustandsgleichungen beschreiben die Zustandszusammenhänge idealer Gase, d.h., Gase, deren Moleküle kein Eigenvolumen haben und deren spezifische Wärmen cp und Cv nicht von der Temperatur abhängen, also konstant sind. Wirkliche Gase sind zwar ebenfalls mit der thermischen Zustandsgleichung pv = RT zu beschreiben, ihre spez. Wännen sind aber von der Temperatur abhängig. Dämpfe unterscheiden sich von den Gasen lediglich dadurch, daß sie sich leicht verflüssigen lassen. Die thermische Zustandsgleichung gilt bei Dämpfen nur bei kleinem Druck und hoher Temperatur. Die Dampfdruckkurve (Bild 1.13) gibt die Abhängigkeit der Sättigungstemperatur vom Druck an. 7 ) wrwird in der Literatur häufig als" Stutzenarbeit Y st" bezeichnet

1.24 t T t h Bild 1.13: T, s- und h,s- Diagramm für Wasserdampf Überhitzter Dampf ist Dampf, dessen Temperatur höher als die Sättigungstemperatur ist. Naßdampf ist ein Gemisch aus Flüssigkeit und Dampf (spezifischer Dampfgehalt x). Sattdampf ist Dampfbei Sättigungstemperatur (x = 1 ). t p Bild 1.14: Zustandsfläche des Wasserdampfes

2.1 2. Strömung im rotierenden System (Laufrad) Die Beschreibung der Vorgänge im Laufradkanal (Schaufelkanal) wird durch Kenntnis der Strömungskinematik erleichtert. Dazu betrachtet man die Bewegung eines Fluidteilchens entlang einer Stromlinie im Laufradkanal, weil aus seiner Bewegung seine Drehimpulsänderung und damit seine Energiewandlung unter bestimmten Voraussetzungen berechnet werden kann. Die Änderung des Fluid-Drehimpulses entspricht dem Laufraddrehmoment Für den "feststehenden (absoluten) Beobachter" sind die Laufschaufeln emes mit der Winkelgeschwindigkeit ro drehenden Laufrades nicht sichtbar. Er sieht das Fluid am -) gesamten Laufradumfang mit der Absolutgeschwindigkeit c ein- bzw. ausströmen. Der "mitbewegte (relative) Beobachter" dagegen nitmnt die Bewegung des Fluids im -) Schaufelkanal, z.b. entlang einer mittleren Stromlinie, mit der Relativgeschwindigkeit w wahr, die zunächst schaufelkongruent angenommen werden soll. Mit der -) Umfangsgeschwindigkeit (Führungsgeschwindigkeit) u lautet die vektorielle Summe der Geschwindigkeiten: Ferner werden die dazu gehörigen Winkel festgelegt: a ß Winkel der Absolutströmung, gemessen zwischen c und der positiven Umfangsgeschwindigkeitsrichtung -) -) Winkel der Relativströmung, gemessen zwischen w und der negativen Umfangsgeschwindigkeitsrichtung. Geschwindigkeitsvektoren am Austritt eines radialen Laufrades Von wesentlicher Bedeutung für die Drehimpulsänderung sind die Geschwindigkeiten am Ein- und Austritt des Schaufelkanalkontrollraumes. Für die Gesamtenergiewandlung müssen die Geschwindigkeiten an den Kontrollraumgrenzen bekannt sein.

2.2 Mit der nachfolgenden Indexkennzeichnung werden Strömungsgrößen an bestimmten Orten gekennzeichnet. Radialmaschine Axialmaschine Bild 2.1: Pumpe; Eintritt -- mittlerer Stromfaden Stelle Kompressor, Austritt _"..._,. 4 Eintritt mittlerer Stromfaden Stelle 4 - -- _,4_ Turbine: Aus tritt 1 Indexkennzeichnung der Strömungsgrößen Pumpen bzw. Kompressoren unterscheiden sich von den Turbinen prinzipiell nur durch die Durchströmungsrichtung und den Leistungsfluß an der Kupplung. Daher wird eine gemeinsame Indizierung verwendet, bei der 1 immer dem Ort der geringsten Druckenergie am Laufrad - "Saugseite" - und 4 dem der höchsten Druckenergie am Leitrad - "Druckseite" - zugeordnet sind. Die Zahlen sind also nach dem Grad der Energieheiadung geordnet. Für einstufige Maschinen folgt daraus die Bindung an die Indizierung des Fließsystems mit den Kontrollraumgrenzen EintrittE und Austritt A: Pumpe, Kompressor Turbine E~1~2~3~4~A E~4~3~2~1~A für n-stufige Maschinen wird die Indizierung 1...4 n-fach wiederholt und ggfls. mit der Stufen-Nr. zusätzlich gekennzeichnet.

2.3 2.1. Kinematik der Axialmaschine Die Kinematik des Laufradgitters der Axialmaschine ergibt sich aus der Abwicklung des Zylinderschnittes A, B in Bild 1.1.. Die Schaufeln haben den Abstand t = Teilung. Das Gitter eines Leitrades steht, das eines Laufrades verschiebt sich mit der Umfangsgeschwindigkeit u, Bild 2.2. Bild 2.2: Das gerade ebene Gitter ist die Abwicklung eines koaxialen Zylinderschittes eines Laufrades in der Ebene (vgl. S. 1.3) In einer Turbinenströmung, Bild 2.3. wird das mit der Geschwindigkeit c 4 zuströmende Fluid im Leitgitter auf eine Austrittsgeschwindigkeit c 3 ---t! ---t ---t unter entsprechendem Druckabfall be- schleunigt. Es tritt mit c 2 = c 3 in das Laufradgitter ein und durchläuft seine Absolutbahn, auf ---t ---t ---t der es mit der Geschwindigkeit c 1 austritt. Aus der Anderung von c 2 auf c 1 wird später die Drehimpulsänderung abgeleitet. Das Laufradgitter dreht mit der Winkelgeschwindigkeit co, d.h., der Punkt mit dem Radius Rx rotiert mit der Umfangsgeschwindigkeit ux = w Rx Ein auf gleichem Radius und auf der Absolutbahn zwischen 2 und 1 mit der Geschwindigkeit ---t ---t c x strömendes Fluidelement hat gegenüber dem Gitter die Relativgeschwindigkeit w x. Die eindimensionale Theorie der Strömungsmaschinen setzt den Durchfluß entlang der Mittellinie des Schaufelkanals voraus, so daß die mittlere Geschwindigkeit über die Kanalbreite den ---t ---t ---t ---t Charakter eines Vektors c hat. Vereinbart wird die Schreibweise c = c, u = u, w = w.

2.4 Laufschaufeln 0 4 Leitrad 3 2 Laufrad Bild 2.3: Kinematik der Axialmaschine links: Meridianschnitt rechts: abgewickelter Zylinderschnitt 2.2. Kinematik der Radialmaschine Bei Radialmaschinen liegen Ein- und Austritt des Laufrades auf unterschiedlichen Radien, d.h., es herrschen dort auch unterschiedliche Umfangsgeschwindigkeiten. Das Bild 2.4 zeigt den Bild 2.4: Absolute (E, A') und relative (E, A) Bahn eines Flüssigkeitsteilchens

2.5 Achsnormalschnitt eines radialen Laufrades einer Pumpe. Für den Laufradein- und austritt sind die Geschwindigkeitspläne angegeben. Unter der Almahme schaufelkongruenter Strömung entspricht der Verlauf der Laufschaufel E-A dem relativen Weg, den ein Flüssigkeitsteilchen im Laufrad zurücklegt. Die von diesem Flüssigkeitsteilchen zurückgelegte absolute Bahn E-A ist gestrichelt eingezeichnet. Während des Zeitintervalls L1 tea dreht sich das Laufrad um den Winkel <!> von A nach A'. 2.3. Zirkulation im Laufrad, Momentensatz Bild 2.5: Zirkulation im Laufrad einer Kreiselpumpe r := fcds Der Zirkulationsbegriff erlaubt die Beurteilung der Energiewandlung in einem abgegrenzten durchströmten Bereich. Das Laufrad einer Kreiselpumpe rotiere mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ro. Die Zylinderflächen am Eintritt des Fluids werden mit rl> die am Austritt mit r 2 gebildet. Entlang dieser Zylinderflächen, die gleichzeitig auch Kontrollraumgrenzen sein sollen, wird die Zirkulation gebildet Gl. (2.3.-1) und Gl. (2.3.-2),

2.6 dabei ist cu die Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit Die Drehimpulse der Umfangskomponenten, bezogen auf den Massenstrom sind: 1] clu = _G_ 27r Gl. (2.3.-3) und r2 c2u r2 27r Gl. (2.3.-4). Die Drehimpulsdifferenz gibt direkt das übertragbare Laufradmoment an oder MR = - m 27r - er? - rl) Gl. (2.3.-5) Gl. (2.3.-6). Gl. (2.3.-6) wurde 1756 von Leonhard EDLER, allerdings unter Anwendung des Drehimpulssatzes, erstmals angegeben. Im Gegensatz zur eindimensionalen axialsymmetrischen Strömungstheorie, die nicht ohne die Annahme von unendlich vielen Schaufeln zur Strömungsführung auskommt, liefert die auf die Zirkulation gestützte Theorie auch ein Ergebnis bei der Annahme von endlich vielen Schaufeln. 2.4. EDLERSCHER Momentensatz Das Fluid im Laufrad sei von einem Kontrollraum umschlossen, der durch zwei konzentrische Zylinderflächen der Radbreite b begrenzt ist, dabei soll die eine Fläche dicht vor den Saugkanten und die andere dicht hinter den Druckkanten der Laufschaufeln liegen. Es wird angenommen, daß das Geschwindigkeitsfeld des Fluids unabhängig vom Drehwinkel <j> ist. Das im Kontrollraum eingeschlossene Fluid besitzt den aufr = 0 bezogenen Drehimpuls -+ f-+-+ La := p r x c d V Gl. (2.4.-1 ). V Nach dem Drehimpulssatz ist die zeitliche Änderung des Drehimpulsvektors gleich dem auf 0 bezogenen Momentenvektor aller auf das Fluid einwirkenden Kräfte:

2.7 -t dl -t -t o = Mo=MR dt GI. (2.4.-2). Bild 2.6: Strömung durch einen Pumpenkontrollraum In der Strömungsmechanik wurde bewiesen, daß d ---+ t3 ---+ ---+ ---+---+ -fpadv=f-(pa)dv+fpa (c n)da dty y ct A GI. (2.4.-3) gilt. Dabei ist ä ein beliebiges materielles Vektorfeld, A die Oberfläche des Kontrollvolumens und ii der äußere Nonnaleneinheitsvektor eines Flächenelementes von A. Mit ---+ ---+ ---+ a := r x c GI. (2.4.-4) und der Annahme, daß die Bewegung des Fluids durch das Laufrad stationär ist, wird MR = f p; X;(;.~) da GI. (2.4.-5). A

2.8 Dieses Integral zerfällt in zwei Integrale über die Zylinderflächen r = r 1 und r = r 2 : Gl. (2.4.-6). -t -t = - p lj C 1 u ez C 1 r 2TC lj b + p r 2 C 2 u ez c 2 r 2TC r 2 b Mit dem Massenstrom durch die Kontrollraumzylinderflächen p C 2111 2TC 12. b = p C 1111 2TC lj b = rn Gl. (2.4.-7) erhält man für das vom Rad auf das Fluid wirkende Moment, siehe auch Gl. (2.3.-6), -t -t MR = m (r2 c2u - lj cl.j ez Gl. (2.4.-8). Für alle passiven Bauelemente dagegen bleibt für die wirbelfreie kreisende Bewegung eines reibungsfreien Fluids der Drall für alle Flüssigkeitsteilchen konstant. Bild 2.7: a)schaufelkanal eines Radialpumpenrades b)kontrollraum um diesen Schaufelkanal mit den Impulsströmen j 1 undj 2 der Wirkrichtungen von c 2 und eh KR-Kontrollraum P2 Überdruck am KR bei r2 steht _Lauf der Umfangsfläche Pt Überdruck am KR bei r1 steht _L auf der Umfangsfläche rilz Massenstrom durch den Kontrollraum, Schaufelkanal z

2.9 hn Gegensatz zu den V erdrängennaschinen wirkt der Druck an den Kontrollraumgrenzen sich nicht unmittelbar auf das übertragbare Drehmoment M 0 = z Moz aus (z =Anzahl Schaufelkanäle). Der Drehimpulssatz liefert zu dem Bezugspunkt 0 für einen Schaufelkanal also Gl. (2.4.-9) undmit j = m c SOWie R = r cos a wird z ' Gl. (2.4.-1 0) Gl. (2.4.-11) also Gl. (2.4.-12), schaufelkongruente Strömung vorausgesetzt. 2.5. Radarbeit und Radleistung (Hauptgleichung der Strömungsmaschinen) Aus Gl. (2.3.-6) kann unmittelbar die Radleistung gebildet werden zu Gl. (2.5.-1). Entsprechend der getroffenen Vorzeichenregelung, nach der alle zugeführten Prozeßgrößen positiv und alle abgeführten negativ zu zählen sind, folgt für: Turbinen ~ =- OJR MR Gl. (2.5.-2), Pumpen und Kompressoren ~ = + OJR MR Gl. (2.5.-3).

2.10 Da die Radleistung nur vom Massenstrom übertragen werden kann und die darin enthaltene spezifische Radarbeit wr analog Gl. (1.2.-1) (rn = Massenstrom durch das Laufrad) Gl. (2.5.-4) ist, kann man auch schreiben Gl. (2.5.-5) bzw. Gl. (2.5.-6). Mit Gl. (2.3.-6) wird Gl. (2.5.-7), Gl. (2.5.-8). Führt man die Umfangsgeschwindigkeit u = r mein, folgt aus Gl. (2.5.-8) die Hauptgleichung der Strömungsmaschinen Gl. (2.5.-9). Ein negatives Vorzeichen der Enthalpiedifferenz charakterisiert den Turbinenbetrieb, ein positives den Pumpen- bzw. Kompressorbetrieb, d.h., hier wird Energie über die Kontrollraumgrenzen zugeführt. Betrachtet man die Masseteilchen auf emer Stromlinie bei ihrem Weg durch den Kontrollraum, lassen sich Beziehungen zwischen der Umfangs-, Absolut- und Relativgeschwindigkeit angeben, die es gestatten, die Radarbeit einer weitergehenden Betrachtung zu unterziehen.

2.11 Der Cosinussatz GI. (2.5.-10) liefert mit C 11 = c cosa 2 In GI. (2.5.-9) eingesetzt ergibt sich die "Relative Form" der Hauptgleichung der Strömungsmaschinen. -Turbine + Pumpe, Kompressor GI. (2.5.-11). Der Anteil beinhaltet den dynamischen Anteil der totalen Enthalpiedifferenz aus der Betrachtung der Fließprozesse, und steht demnach für den statischen Anteil, d.h., für die Druckänderung irrfolge Umfangsgeschwindigkeits- und Relativgeschwindigkeitsänderung im SchaufelkanaL 2.6. Strömung im rotierenden, radialen Schaufelgitter (reversibler Fließprozeß) Die eindimensionale Theorie der Strömungsmaschinen liefert eme gleichförmige Geschwindigkeitsverteilung in den Zylinderschnitten der Schaufelkanäle. Die wirkliche Verteilung ist ungleichfönnig. Die Durchströmung im Schaufelkanal kmm als eine Überlagerung einer Verdrängungsströmung (Wirbelbewegung) und einer Durchflußströmung mit gleichförmiger Geschwindigkeitsvt:rteilung angesehen werden. Bild 2.8. veran-

2.12 schaulicht den Verlauf der relativen Drehbewegung eines Flüssigkeitsteilchens bei der Strömung durch einen rotierenden SchaufelkanaL Ein kugelfonniges Teilchen, dessen Lage im Raum durch einen Pfeil gekennzeichnet ist, dreht gegen die Drehrichtung des Rades. Da voraussetzungsgemäß keine Reibungskräfte vorhanden sein sollen, behält das Teilchen im Verlauf der Drehung seine absolute Richtung bei. Oben ist der Pfeil nach außen gerichtet, unten dagegen radial nach innen; d.h., in dem Relativsystem dreht sich das Teilchen mit -ffi, im Absolutsystem dagegen bleibt es drehungsfrei Einen solchen "freien" Strömungszustand der Kreisbewegung nennen wir einen Potentialwirbel, für den r cu = const. ist. Die erwähnte Relativbewegung dieses "Wirbels" wird besonders deutlich in einem geschlossenen Schaufelkanal, also ohne Durchfluß. Es entsteht ein relativer Kanalwirbel Im durchflossenen Kanal sind die Geschwindigkeiten des relativen Kanalwirbels auf der Vorderseite der Schaufel entgegengesetzt zur Strömungsrichtung, auf der Rückseite aber in Strömungsrichtung. Dadurch ergeben sich Geschwindigkeitsdifferenzen, also niedrige Geschwindigkeiten und hoher Druck auf der Vorderseite und hohe Geschwindigkeiten und niederer Druck auf der Rückseite der Schaufel. Im rotierenden radialen Schaufelgitter wird durch den relativen Kanalwirbel also der Schaufeldruck geändert. Bild 2.8: Kanalwirbel und theoretische Geschwindigkeitsverteilung im reversiblen Fließprozeß Im Gegensatz dazu kennen wir die erzwungene Kreisströmung von Teilchen, sog. reine Wirbel. In reinen Wirbeln drehen sich die Fluidteilchen infolge Reibung, bis sie die Winkelgeschwindigkeit des antreibenden Körpers (z.b. Rotationshohlraum) angenommen haben; das Fluid dreht sich also wie ein starrer Körper mit cu = r OJ

2.13 drehungsfrei Potentialwirbel ey r= canst ~einer Wirbel c;= r w Bild 2.9: Potentialwirbel und reiner Wirbel 2. 7. Strömung im rotierenden Schaufelgitter bei irreversiblem Fließprozeß Eine gemessene Verteilung der Relativgeschwindigkeit am Austritt eines radialen Pumpenlaufrades zeigt Bild 2.10. So können sich im Gegensatz zum bisher Gesagten am Schaufelaustritt im Bereich der Schaufelvorderseite viel höhere Geschwindigkeiten als im Bereich der Schaufelrückseite ergeben. Ursache ist die Irreversibilität realer Strömungsprozesse, d.h., die Existenz von Reibungskräften. Die Verhältnisse in einem feststehenden Krümmer, Bild 2.11.a, erleichtern die Vorstellung. Neben Schubspannungen wirken im Krümmer auch Zentrifugalbeschleunigungen, dadurch wächst der Druck mit dem Krümmungsradius in Zentrifugalrichtung (Druckseite) und verursacht eine Sekundärströmung. Nach einer Anlaufstrecke ist die Geschwindigkeit in der Kanalmitte vor der Richtungsänderung stets größer als in W andnähe. Diese größere Strömungsgeschwindigkeit verursacht jedoch bei der erzwungenen Richtungsänderung auch größere Zentrifugalbeschleunigungen, die die Fluidteilchen aus der Kanalmitte zu der Kanalwanddruckseite hin befördern. An den seitlichen Kanalbegrenzungsflächen werden Fluidteilchen hingegen von der Druckseite verdrängt und fließen zu kleineren Krümmungsradien hin ab. Die Folge dieser Sekundärströmung sind steigende Strömungsgeschwindigkeiten hin zur druckseitigen Kanalwand. An diesen Verhältnissen ändert sich grundsätzlich nichts, wem1 man einen rotierenden Kanal, Bild 2.1l.b, betrachtet, in dem durch die Relativgeschwindigkeitsverteilung diesmal größere Corioliskräfte in der Kanalmitte hervorgerufen werden.