Übungsblatt

Übungsblatt 3 3.5.27 ) Die folgenden vier Matrizen bilden eine Darstellung der Gruppe C 4 : E =, A =, B =, C = Zeigen Sie einige Gruppeneigenschaften: a) Abgeschlossenheit: Berechnen Sie alle möglichen Produkte dieser Matrizen (inkl. der Quadrate) und zeigen Sie, daß alle Resultate wieder unter diesen vier Matrizen zu finden sind. b) C 4 ist eine abelsche Gruppe: Zeigen Sie, daß für diesen speziellen Satz von Matrizen die Matrixmultiplikation kommutativ ist. c) C 4 ist eine zyklische Gruppe: Zeigen Sie (aus den obigen Resultaten, ohne erneute komponentenweise Matrixmultiplikationen), daß alle Matrizen Potenzen einer einzigen Matrix sind: A = A, A 2 = B, A 3 = C, A 4 = E 2) Konstruieren Sie (in 2D-kartesischen Koordinaten) nach folgender Anleitung die Matrixdarstellung A eines Operators, der einen beliebigen Vektor a in Richtung einer Gerade g um einen Faktor r streckt, wobei g durch den Ursprung geht und um einen Winkel ϑ im mathematisch positiven Drehsinn von der positiven x-halbachse weg gedreht ist. a) Notieren sie die Matrixdarstellung B einer Drehung um ϑ im gewünschten Drehsinn, ihr Inverses B, sowie die Matrixdarstellung C einer Streckung um r entlang der x-achse. b) Bilden Sie das Matrixprodukt BCB. Erklären Sie anschaulich, warum sich dabei das gesuchte A = BCB ergibt. c) Zeigen Sie, daß die in Teilaufgabe (b) erhaltene Form von A zumindest für die drei Spezialfälle r =, ϑ = und ϑ = 9 richtig ist. d) Zweimalige Anwendung von A, also AA = A 2, sollte zu einer Streckung in dieselbe Richtung um den Faktor r r = r 2 führen, womit die Matrixdarstellung von A 2 sofort aus dem Resultat von Teilaufgabe (b) geraten werden kann. Zeigen Sie, daß die Matrixmultiplikation A A tatsächlich zu diesem Resultat führt. e) Ebenso läßt sich die Matrixdarstellung von A, der Inversen von A, leicht aus Teilaufgabe (b) erraten. Verifizieren Sie durch Matrixmultiplikation die Beziehung AA = A A = E (mit der Einheitsmatrix E). 3) a) Konstruieren Sie (in 3D-kartesischen Koordinaten) a) die Matrixdarstellung A des Operators Â, der einen beliebigen Vektor a um 45 um die z-achse dreht (im Sinne einer Rechte-Hand-Regel);

a2) die Matrixdarstellung B des Operators ˆB, der einen beliebigen Vektor a an der xz-ebene spiegelt. (Erinnerung: Sie erhalten die Spaltenvektoren der Matrixdarstellung eines Operators, indem Sie ermitteln, wie der Operator auf die einzelnen Basisvektoren wirkt, die hier die drei kartesischen Einheitsvektoren î, ĵ und ˆk sind.) b) Zeigen Sie, daß beide Matrizen orthogonal sind. c) Berechnen Sie die det(a) und det(b). Warum war det(a) = det(b) = zu erwarten? d) Zeigen Sie, daß [Â, ˆB] ist. e) Konstruieren Sie A unter Verwendung der unter (b) demonstrierten Eigenschaft. f) Berechnen Sie C = ABA. Welche Operation wird durch C realisiert? 4) In der Basis (ihrerseits dargestellt in kartesischen Koordinaten) e =, e 2 =, e 3 = sind eine Matrix A und ein Vektor a gegeben: 2 A = 2, a = a) Zeigen Sie (in dieser Basis), daß A a = a gilt. b) Transformieren Sie den Vektor a und die Matrix A in kartesische Koordinaten. c) Lesen Sie aus der Darstellung in kartesischen Koordinaten ab, welcher Operation die Matrix A entspricht und begründen Sie damit, warum sie den Vektor a nicht verändert. 5) Die folgende Matrix c s R = s c (mit c = cos ϕ und s = sin ϕ) entspricht einer Drehung um den Winkel ϕ um die z-achse (der tatsächliche Wert von ϕ ist hier irrelevant). a) Ermitteln Sie alle Eigenwerte und normierten Eigenvektoren von R. b) Zu welcher Klasse von Matrizen gehört R? Was gilt demzufolge für ihre Eigenwerte und Eigenvektoren? Demonstrieren Sie diese Eigenschaften mit den von Ihnen gewonnenen Eigenwerten und Eigenvektoren. c) Zeigen Sie außerdem durch Einsetzen in die Eigenwertgleichung R x = λ x und explizites Ausführen des Matrix-Vektor-Produkts, daß Ihre Eigenvektoren x mit den dazugehörigen Eigenwerten tatsächlich die Eigenwertgleichung erfüllen. 2

d) Stellen Sie die Transformationsmatrix U mit den Eigenvektoren als Spaltenvektoren auf und zeigen Sie durch explizite Matrixmultiplikation, daß U RU = D gilt, wobei D eine Diagonalmatrix ist, die die Eigenwerte von R auf der Diagonalen enthält. 6) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden linearen Gleichungssysteme. Überprüfen Sie Ihre Resultate jeweils durch einen Test, ob A x = b für Ihre Lösung x tatsächlich gilt. a) 9x 2x 2 + 5x 3 = b) 9x 2x 2 + 5x 3 = 3x + 2x 2 7x 3 = 3x + 2x 2 + 7x 3 = 5x + 4x 2 + 3x 3 = x 3 5x + 4x 2 + 3x 3 = c) 4x + 2x 2 3x 3 4 = d) x 2 + 2x + x 4 = x + x 3 + 2x 4 = 2x 4 x + 3x 3 = 3x + 4x 2 4x 3 + x 4 = x 2 + 3x 4 + x + 3x 3 = 2 2x 3x 2 + x 3 + 3x 4 = 5x 4 + x 2 + 6x 3 = 3 7) Gegeben ist die Matrix A = a) Bestimmen Sie alle Eigenvektoren von A und den zugehörigen vollständigen, orthonormalen Satz von Eigenvektoren. b) Setzen Sie eine Matrix U aus den Eigenvektoren von A als Spaltenvektoren zusammen. Zeigen Sie durch explizite Matrixmultiplikationen, b) daß U orthogonal ist: U T U = UU T = E (mit E=Einheitsmatrix). b2) daß U AU = D gilt, wobei D eine Diagonalmatrix ist, die die Eigenwerte von A auf der Diagonalen enthält. b3) Was ändert sich an den Resultaten von (b) und (b2), wenn Sie die Reihenfolge der Spaltenvektoren in U verändern? 8) Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem A x = b mit der Matrix 2 A = 3 3 a) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung x für den Fall b =. b) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung x für den Fall b = (,, ) T. c) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung x für den Fall b = (, 2, 2) T. 3

d) Für den Fall b = (, 2, 2) T ist x = (,, ) T eine spezielle Lösung. Zeigen Sie, wie x = (,, ) T mit Ihrer allgemeinen Lösung aus Teilaufgabe (c) zusammenhängt. e) Bilden Sie die inverse Matrix A, falls diese existiert. Wo immer möglich, verifizieren Sie Ihre Lösungen durch Einsetzen in A x = b. 9) Gegeben ist die Matrix A: 3 2 4 A = 2 2 4 2 3 a) Begründen Sie anhand der Eigenschaften von A wie viele Eigenwerte und Eigenvektoren Sie erwarten, ob die Eigenvektoren orthogonal zueinander sind oder nicht, und ob die Eigenwerte reell oder komplex sind. b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte. c) Einer der Eigenwerte ist nicht entartet. Bestimmen Sie den zugehörigen Eigenvektor v und normieren Sie ihn. d) Der andere Eigenwert ist entartet. Bestimmen Sie den zugehörigen Eigenvektor v e (ggf. mit unbestimmten Variablen) und schreiben Sie ihn als Linearkombination zweier konstanter Vektoren: v e = α v 2 + β v 3, wobei v 2 und v 3 normiert sein sollen. e) Testen Sie, ob v 2 und v 3 orthogonal zueinander sind. Wenn das der Fall ist, dann erzeugen Sie einen weiteren Vektor v 4 = γ v 2 + δ v 3, mit beliebigen Werten für γ und δ (außer Null). Wenn v 2 und v 3 nicht orthogonal zueinander sind, dann erzeugen Sie einen weiteren Vektor v 4 durch Gram-Schmidt-Orthogonalisierung von v 3 auf v 2. Überprüfen Sie rechnerisch, ob v 4 ein Eigenvektor von A ist, und wenn ja, zu welchem Eigenwert. Erklären Sie Ihren Befund in Worten! ) Gegeben ist das inhomogene lineare Gleichungssystem x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = x + 3x 2 + 2x 3 + 5x 4 = x + 5x 3 + 2x 4 = 3 x + x 2 6x 3 x 4 = 4 a) Ist dieses inhomogene Gleichungssystem lösbar? Wieviele freie Parameter enthält seine allgemeine Lösung? b) Ermitteln Sie die allgemeine Lösung des zugehörigen homogenen Systems. c) Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung des inhomogenen Systems. d) Wie lautet die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems? Zeigen Sie, daß der Vektor x = (,,, ) ein Spezialfall dieser allgemeinen Lösung ist. 4

) Gegeben ist die Matrix 2 a A = 2 a mit a = a a 2 2 a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen normierten Eigenvektoren. b) Berechnen Sie (mit expliziter Ausführung des Rechenwegs) alle möglichen paarweisen Skalarprodukte zwischen unterschiedlichen Eigenvektoren. Was bedeutet das Resultat? c) Aus welcher Eigenschaft der Matrix A können Sie das Resultat von Teilaufgabe (b) ohne Rechnung folgern? 2) Bestimmen Sie mit den in der Vorlesung vorgestellten Methoden (Gauß-Elimination) die allgemeinen Lösungen der folgenden Gleichungssysteme: a) u + v + w = u + 2v + 3w + = 3u + 2v + 2w = b) 2a = 2c + a 3b = 4d 2c + 3b + 2a = 3 4d 2c 3 2 = 2c + 2 c) x + 2x 3 = 3x 2 + 4x 4 = 2x + 4x 3 + 4x 4 = 3( x 2 ) 2x 4 + 3x 2 2 + 2 = 2x 3 + x 3) Gegeben ist die Matrix A = 3 2 2 3 2 2 a) Wieviele Eigenwerte hat diese Matrix und warum ist dies so? b) Erwarten Sie, daß einige oder alle dieser Eigenwerte möglicherweise komplex oder daß sie definitiv alle reell sind? Warum? c) Zur Bestimmung der Eigenwerte λ i wird zunächst die Säkulardeterminante aufgestellt. Zeigen Sie, daß dies zur folgenden Gleichung führt: λ 4 λ 3 3λ 2 + λ + 2 = () d) Woher kommt die Null auf der rechten Seite von Gl. und welche Auswirkung hat sie? 5

e) Raten der beiden Eigenwerte λ = und λ 2 = + und jeweils nachfolgende Polynomdivision liefert λ 2 λ 2 = (2) Bestimmen Sie aus Gl. 2 die verbleibenden Eigenwerte. f) Zur Bestimmung der Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten werden Sie in der nächsten Teilaufgabe die jeweilig zugehörigen linearen Gleichungssysteme lösen. Geben Sie vorher in dieser Teilaufgabe für jeden Eigenwert an, wie viele freie Parameter (bzw. wieviele Nullzeilen) Sie dabei erwarten (mit Begründung). g) Bestimmen Sie alle Eigenvektoren und normieren Sie sie. Wählen Sie bei Eigenwertentartung die zugehörigen Eigenvektoren so, daß sie linear unabhängig oder orthogonal sind, und zeigen Sie diese Eigenschaft. 4) Gegeben ist die Matrix A: 3 2 2 A = 2 3 2 2 a) Aus welchen Eigenschaften der Matrix A können Sie vor jeglicher Rechnung welche Aussagen über Eigenwerte und Eigenvektoren machen? b) Ermitteln Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A. Erzeugen Sie bei entarteten Eigenwerten zueinander senkrechte Eigenvektoren und normieren Sie alle Eigenvektoren. c) Zeigen Sie durch explizite Berechnung aller einzelnen Matrixelemente von D in DD = E (E=Einheitsmatrix), daß sich zu jeder Diagonalmatrix D die zugehörige inverse Matrix sehr leicht nach folgendem Schema bilden läßt: λ D = λ 2, D λ = λ 2 λ 3 λ 3 d) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem A x = b für die anfangs gegebene Matrix A und den Vektor b = (5, 4, 3) T, aber nicht auf dem üblichen Weg (Gauß-Elimination), sondern mit Hilfe der Formel x = UD U T b wobei die Matrix U die orthonormalen Eigenvektoren von A enthält und die Matrix D die diagonalisierte Matrix A ist. 6