Phyllotaxis Seminararbeit

Christina Imp Phyllotaxis Seminararbeit Karl-Franzens-Universität Graz Institut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen LV-Leiterin: Univ.-Prof. Dr.phil. Karin Baur Graz, Oktober 2014

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Der Goldene Schnitt 2 2.1 Die Goldene Zahl.......................... 2 2.2 Der Goldene Winkel........................ 7 2.3 Die Goldene Spirale........................ 8 3 Die Fibonacci-Zahlen 10 4 Phyllotaxis 12 4.1 Wie kann so etwas funktionieren?................ 14 5 Literatur 25 ii

1 Einleitung Phyllotaxis ist ein Begriff aus der Botanik und Mathematik und bezeichnet die Blattanordnung, die sich nach Regeln verhält, in Pflanzen. Es gibt hier natürlich unterschiedliche Formen, aber ich werde mich nur auf die mathematisch Interessanten beschränken. Das Phänomen der Phyllotaxis tritt z.b. bei Sonnenblumen, Ananas, Gänseblümchen, Blumenkohl, Tannenzapfen und diversen Kakteenarten auf. Um jedoch überhaupt die Phyllotaxis erklären zu können, müssen wir uns zuerst den Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt bzw. den damit einhergehenden Dingen wie der Goldenen Zahl und dem Goldenen Winkel widmen. 1

2 Der Goldene Schnitt 2.1 Die Goldene Zahl Der Goldene Schnitt ist ein Teilverhältnis einer Strecke oder das Teilungsverhältnis einer anderen Größe. Definition: Eine Strecke ist im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt, wenn sich die beiden Teilstücke zueinander verhalten wie die ganze Strecke zum längeren Teilstück. 1 x 1 = x 1 Bild aus Der goldene Schnitt, S.15 2

2 Der Goldene Schnitt Wobei die längere der beiden Seiten Major und die kürze Minor genannt wird Eine weiter Annäherung an das Gebiet des Goldenen Schnitts kann auch über ein Stück Papier erfolgen. Betrachtet man zum Beispiel ein A3 Papier, so sieht man zwei A4 Papiere in diesem A3 Papier. Das Verhältnis der Seiten ist bei allen Blattgrößen das selbe: Bild aus Gems of Geometry, S.1 2x y = y x, somit auch ( y x )2 = 2 was 2 = 1.414... beträgt. Wir wissen also, dass jedes kleinere Blatt genau um 2 kürzere Seiten hat, als das vorhergegangene (größere). Außerdem ist ein Blatt der Größe A0-3

2 Der Goldene Schnitt das größte - genau einen m 2 groß. Bild aus Gems of Geometry, S.2 Ein anderer Weg Papier zu teilen ist ein Quadrat am Ende wegzuschneiden. Hierfür benötigen wir das goldene Rechteck. Dies ist ein Rechteck, bei dem die Seitenverhältnisse im Goldenen Schnitt sind. Ein Goldenes Rechteck kann also in ein Quadrat und ein weiteres kleineres Goldenes Rechteck unterteilt werden. Nehmen wir an, das Papier hat folgende Abmessungen: 4

2 Der Goldene Schnitt Bilder aus Gems of Geometry, S.3 Man bekommt also wiederrum die Gleichung τ 2 = τ + 1, wodurch man wiedderum τ 2 τ 1 = 0 bekommt. Dies ist aber die gleiche Gleichung, die man auch bekommt, wenn man 1 x 1 = x 1 folgendermaßen auflöst: 1 x 1 = x 1 1 = x (x 1) 1 = x 2 x 0 = x 2 x 1 Möchte man diese Gleichung nun mit Hilfe der großen Lösungsformel x 1,2 = b± b 2 4ac 2a, a = 0 5

2 Der Goldene Schnitt lösen, so erhält man: x 1,2 = 1± 5 2 Da die von uns gesuchte Länge x positiv sein muss, ist die Lösung also: φ = 1+ 5 2 1, 61803 Der Goldene Schnitt wird in der Literatur entweder mit φ oder τ bezeichnet wird. Hier die (für unser Thema) wichtigsten Eigenschaften: φ = 1+ 5 2 1, 61803... die goldene Zahl 1 φ = 2 1+ = 1+ 5 τ = φ ρ = 1 φ φ = 1 5 2 5 2 0, 61803 Weiter gelten folgende Beziehungen: φ + φ 1 = 5 φ φ 1 = 1 φ 2 φ = 1 ( φ 1 )2 + φ 1 = 1 Die quadratische Gleichung x 2 x 1 = 0 hat als Lösungen x 1 = φ und x 2 = 1 φ 6

2 Der Goldene Schnitt und die quadratische Gleichung x 2 + x 1 = 0 hat als Lösungen x 1 = 1 φ und x 2 = φ. 2.2 Der Goldene Winkel Für die Phyllotaxis müssen wir auch den Goldenen Winkel definieren. Eigentlich (aber eher unüblich in der Verwendung) erhält man den Goldenen Winkel, wenn man den Vollwinkel im goldenen Schnitt teilt, was zu einem Winkel von 222, 5 führen würde. Definition: Der Goldene Winkel Ψ ist die Ergänzung zum Vollwinkel und beträgt daher Ψ = 2π 2π φ 2, 40 137, 5 er wird auch der Divergenzwinkel genannt. Die Winkel in diesem Kreis werden auch extreme and mean ratio genannt: 1 = 1 φ + 1 φ 2 360 φ = 222, 5 360 φ 2 = 137, 5 7

2 Der Goldene Schnitt Bild aus Gems of Geometry, S.16 Die Bedeutung des Goldenen Winkels für die Phyllotaxis liegt darin, dass durch wiederholte Drehung um den Goldenen Winkel immer neue Positionen erhalten werden, an denen sich Blattansätze bilden. Da φ eine irrationale Zahl ist, kommt es hier also nie zu exakten Überdeckungen und somit wird das Risiko, dass sich überdeckende Blätter an der Photosynthese hindern, minimiert. 2.3 Die Goldene Spirale Was hier auch erwähnt werden sollte ist die Goldene Spirale, auf die ich zwar nicht mehr genau eingehen werde, die man jedoch bei diesem Thema nicht auslassen kann: Die Goldene Spirale lässt sich nach dem gleichen Prinzip bilden, wie wir vorher mit Goldenen Rechtecken den Goldenen Schnitt gezeigt haben, nur das man nun Viertelkreise verwendet. Der Radius der Viertelkreise wird bei jeder 90 - Drehung also in jedem Rechteck um den Faktor φ verändert. 8

2 Der Goldene Schnitt Bild aus Der goldene Schnitt, S.59 9

3 Die Fibonacci-Zahlen Doch nicht nur der Goldene Schnitt und somit die goldene Zahl spielen eine wichtige Rolle für dieses Thema, sondern auch die Fibonacci Zahlen werden zur Erklärung der Phänomene benötigt. Besonders wichtig ist hierbei der Zusammenhang zwischen der goldenen Zahl und den Fibonacci Zahlen. Defintion: Sei (F n ) n N eine Folge natürlicher Zahlen. Die Folge heißt Fibonacci-Folge, wenn sie der Formel F n = F n 1 + F n 2 genügt, wobei F 1 = 1 und F 2 = 1 gilt. Das n-te Folgeglied bezeichnet man als die n-te Fibonacci-Zahl. Der Zusammenhang zwischen der Goldenen Zahl und den Fibonacci-Zahlen ist, dass das Verhältnis zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen gegen φ konvergiert. (Wir verwenden hier Identitäten, die bereits aus der Analysis bekannt sind.) 10

3 Die Fibonacci-Zahlen Beweis. zu zeigen : lim n F n+1 F n = φ Loesungsansatz : F n = 1 ( 1 + 5 ) n 1 ( 1 5 5 2 5 2 F n = 1 5 (φ n φ n ) und F n+1 = 1 5 (φ n+1 φ n+1 ) Betrachte : F n+1 = ( 1 )(φ n+1 5 φ n+1 ) F n ( 1 )(φ n 5 φ n ) F n+1 F n = (φn+1 φ n+1 ) (φ n φ n ) F n+1 F n = φ F lim n+1 = lim n F n φ n+1 φ n 1 φn φ n φ φ n+1 φ n n 1 φn φ n = φ ) n 11

4 Phyllotaxis Wie schon weiter oben erwähnt, treten geregelte Blattanordnung zum Beispiel bei Sonnenblumen, Ananans und Blumenkohl auf. Hier kann man zwei Systeme von Einzelblüten, Früchten, Zweigen, Blütenblättern usw. die in entgegengesetzte Richtungen verlaufen erkennen. Diese spiralförmige Anordnung der Punkte nennt man Parastichen. Wenn man sich nun zum Beispiel die Blume genauer anschaut, so erscheint sie doch sehr symmeterisch. In Wahrheit stimmt die Anzahl der im Uhrzeigersinn verlaufenden Spiralen nicht mit denen überein, die gegen den Uhrzeigersinn verlaufen Die Anzahl der Spiralen in diesem System sind aufeinanderfolgende Fibonacci Zahlen. Zum Beispiel: Ananas: 5 und 8, 8, 13 und 21 Sonnenblume 55 und 89, 34 und 55 12

4 Phyllotaxis Bild aus dem Internet Bild aus dem Internet 13

4 Phyllotaxis Bild aus dem Internet 4.1 Wie kann so etwas funktionieren? Hierzu muss man zuerst einmal Wissen, wie das Wachstum bei Pflanzen funktioniert. Dafür muss man die Spitze einer Pflanze betrachten ihren sogenannten Vegetationspunkt und betrachten ihn in weiterer Folge als Kegel, da man weiß, dass das Wachstum eben genau an dieser Stelle stattfindet. Weiters sieht man sich an, wie sich die Knospen auf diesem Kegel verteilen. Der Kegel kann flach sein (bei Sonnenblumen), spitz (Stengel) oder auch etwas zwischen diesen Extremen (Ananas). 14

4 Phyllotaxis Bild aus Zahlenzauber, S.132 In der Wachstumsphase kommt es zu einer gegenseitigen Verdrängung der Knospen. Da die Spitze kontinuierlich vorwärtsrückt bewegt sich ein gegebener Teil der Pflanze relativ zur Spitze stetig nach unten und nach außen. Bild aus Zahlenzauber, S.133 In den Bildern werden die Knospen in der Reihenfolge ihres Auftretens nummeriert, um den Sachverhalt besser beschreiben zu können. 15

4 Phyllotaxis Den Prozess der Blütenbildung zitiere ich aus Zahlenzauber (Seite 133):... haben wir die Knospennummer 0 an die Uhrenposition 12 gesetzt; da diese Knospe als erste gebildet wurde, ist sie bereits auf dem Umfang angekommen. Die Knospen 0 und 1 trennen den Kegel in einen größeren und einen kleineren Sektor. Knospe 2 findet es leichter, im größeren Sektor zu existieren und zwingt dadurch 3 in den kleineren. Wo ungefähr werden sie sich in diesen Sektoren aufhalten? Da die Zahl 1 neueren Ursprungs ist und sich näher an der Spitze befindet als die Zahl 0, wird sie wahrscheinlich eine größere Hemmwirkung ausüben; daher werden die Zahlen 2 und 3 etwas näher an der 0 als an der 1 liegen. [...] In diesem Stadium haben wir vier Sektoren, deren größter sich zwischen den Knospen 1 und 2 befindet. Wir erwarten, dass Nummer 4 in diesem Sektor gebildet wird und etwas näher bei 1 liegt, da 2 neueren Ursprungs ist. In einer perfekten Version bedeutet der Prozess, dass jede neue Knospe um den gleichen Winkel vorrückt, wobei es sich hier genau um den Goldenen Winkel handelt. Zur Veranschaulichung nehmen wir das Verhältnis von zwei aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen, multiplizieren dieses mit 360 und subtrahieren dieses von 360 (da wir ja den inneren Winkel genommen haben, der weniger als 180 beträgt). Somit bekommen wir eine Annäherung an den goldenen Winkel bzw. den Divergenzwinkel 137, 5 : 360 (1 5 3) = 360 25 = 144 360 (1 5 8 ) = 360 38 = 135 16

4 Phyllotaxis 360 (1 13 8 ) = 360 13 5 360 (1 21 13) = 360 21 8 360 (1 34 21) = 360 13 34 360 (1 55 34) = 360 21 55 = 138, 5 = 137, 1 = 137, 6 = 137, 5 Wenn die Anzahl der Spiralen zu klein oder zu groß ist und man somit nicht ganz auf den Divergenzwinkel kommt, so kommt es zu kleinen Lücken und man sieht die Spiralen nicht mehr so schön, oder gar nur eine Richtung davon. Ein weiteres Phänomen ist: Um die mathematischen Besonderheiten besser sehen zu können, betrachtet man eine idealisierte Pflanze, bei der der Kegel fast zylindrisch ist und wickeln diesen ab, um vor uns eine Art Rechteck zu erhalten. Bei einer natürlichen Pflanze sind klarerweise nicht alle Knospen genau an der richtigen (berechneten) Stelle, weichen aber auch nur knapp davon ab. In der folgenden Abbildung sieht man auch sehr gut, dass der Prozess der Knospenbildung ist er einmal im Gange kaum noch vom richtigen Weg abkommen kann; die gestrichelten Ellipsen zeigen genau an, wo die Knospe Nummer 25 auftauchen wird und selbst wenn sie eher am Rand oder knapp außerhalb dieses Bereiches entsteht, so wird sie im Laufe des Wachstums noch an ihren richtigen Platz geschoben. Die Spiralen, die auf unserem Bild gerade verlaufen existieren aber in ihrer Anzahl und Erscheinung hauptsächlich im Auge des Betrachters. Schaut man sich die 17

4 Phyllotaxis erste Abbildung an, so wird man hier die Knospen intuitiv zu Geraden mit der Differenz 3 (nach rechts aufsteigend) und mit der Differenz 5 (links aufsteigend) wahrnehmen. Schwerer zu erkennen sind hier schon die Geraden mit der Differenz 8 und 13 (von unten nach oben verlaufend). Bild aus Zahlenzauber, S.134 Die Zahlen, die man sieht, hängen davon ab, wie sehr der vertikale Maßstab im Vergleich zum horizontalen zusammengedrückt ist. In den folgenden Abbildungen kann man also erkennen, dass sich die Differenzen verändern (erhöhen). Das Gitter entsteht, indem man Bereiche bildet, bei denen jeder Punkt der ihm am nächsten liegenden Knospe zugeordnet wird. 18

4 Phyllotaxis Bild aus Zahlenzauber, S.135 Bild aus Zahlenzauber, S.136 19

4 Phyllotaxis Bild aus Zahlenzauber, S.132 20

4 Phyllotaxis Das oben gezeigte Bild erscheint uns wie das Zentrum einer Blume die in der Natur wachsen würde. In Wahrheit ist es aber ein computergeneriertes Bild, bei dem nach einem bestimmten Wachstumsfaktor, nach und nach die vertikale Stauchung verstärkt wurde. Um noch einmal auf den Winkel zusprechen zu kommen, stellen wir uns die Frage warum bei Pflanzen die Anzahl der Blütenblättern mit den diversen Fibonacci-Zahlen übereinstimmen. Wir wissen bereits, dass der Winkel zwischen den auftretenden Blütenblättern ca. 137, 5 umfasst. Betrachten wir zuerst eine Blume mit fünf Blütenblättern und nehmen an, dass sich die Blütenblätter im Gegensatz zu z.b. Sonnenblumen-Blütenblätter beim Wachsen nicht verdrängen bzw. sich vom Zentrum der Knospe wegbewegen, sondern rundherum um das Zentrum ohne zu überlappen entstehen. Wiederum werden die Blätter wie oben beschrieben gebildet. 21

4 Phyllotaxis Bild aus Gems of Geometry, S.21 Das letzte (sechste) Blatt würde nun zwischen dem ersten und dritten Blütenblatt entstehen, hat dort aber keinen Platz mehr. Dies könnte der Grund sein, warum so viele Blumen nur 5 Blätter haben. Nun könnte man einwenden, dass es sehr wohl viele Blumen mit engerstehenden und dadurch mehr Blütenblättern gibt. Bild aus Gems of Geometry, S.21 Doch egal wie groß die Anzahl auch ist, es ist doch immer die erste Zahl, die sich nicht mehr bilden kann, eine Zahl, die direkt auf eine Fibonacci-Zahl folgt. 22

4 Phyllotaxis Außerdem gibt es einen weiteren spannenden Punkt. Die Blüten der Blumen sind meist in Paaren und Einzelnen angeordnet. Gibt es nun genau F n Blüten, so gibt es dazu genau F n 2 Paare und F n 3 Einzelne. Bild aus Gems of Geometry, S.22 Dies ist deshalb so besonders, da wir ja wissen das gilt: F n = 2 F n 2 + F n 3 Beweis. durch vollständige Induktion: zu zeigen F n = 2 F n 2 + F n 3 23

4 Phyllotaxis IB: n = 4 F 4 = 2 F 2 + F 1 = 2 1 + 1 = 3 IS: es gelte die Aussage für n, zu zeigen: es gilt: F n+1 = 2 F (n+1) 2 + F (n+1) 3 = F n+1 = 2 F n 1 + F n 2 F n+1 = F n + F n 1 = 2 F n 2 + F n 3 + F n 1 = F n 2 + F n 2 + F n 3 + F n 1 = 2 F n 1 + F n 2 24

5 Literatur Adam, John A: Mathematics in Nature. New Jersey: Princeton University Press, 2003. Adler, Irving: Solving the Riddle of Phyllotaxis. Why the Fibonacci Numers and the Golden Ratio Occur on Plants. Singapur, World Scientific Publishing, 2012. Barnes, John: Gems of Geometry. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2009. Conway, John: Guy, Richard: Zahlenzauber. Berlin: Birkhäuser, 1997. Crilly, Tony: 50 Schlüsselideen. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, 2009. Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 6. Auflage, Leipzig: Edition am Gutenbergpatz, 2013. Links zu den Bildern aus dem Internet in auftretender Reihenfolge: http://www.redbubble.com/people/metrognome/works/1378704-phyllotaxis 25

5 Literatur http://www.tydecks.info/online/math multi muo.html http://www.atum-design.com/schluessel2 s2.html http://www.j-berkemeier.de/spiralen.html 26