Der rechte Winkel!

Der rechte Winkel www.walser-h-m.ch/hans

senkrecht, lotrecht, rechtwinklig

Was ist ein rechter Winkel?

Was ist ein rechter Winkel? Ein rechter Winkel misst 90. Der rechte Winkel kocht bei 90

Was ist ein rechter Winkel? Ein rechter Winkel misst 90. Ein Winkel von einem Grad kann nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Der rechte Winkel kocht bei 90

Was ist ein rechter Winkel? Ein rechter Winkel misst 90. Ein Winkel von einem Grad kann nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. 1 è 40 è regelmäßiges Neuneck è Widerspruch Wie ist es mit dem gon-maß?

Was ist ein rechter Winkel? Euklid: Gleich groß wie sein Nebenwinkel Rechter Winkel gleich linker Winkel

Was ist ein rechter Winkel? Euklid: Gleich groß wie sein Nebenwinkel Gleichmäßigkeit, Symmetrie

Was ist ein rechter Winkel? Euklid: Gleich groß wie sein Nebenwinkel Vierscheid

Werkzeuge

Werkzeuge Geodreieck

Werkzeuge Rechter Winkel und Zirkel

Werkzeuge Anschlagwinkel Das ist nicht im Winkel

Werkzeuge Spenglerwinkel

Werkzeuge Orthogonal zirkel S P G g

Werkzeuge Orthogonal zirkel Einsicht S P G g

Schreibstift anderswo setzen? S P G g

Werkzeuge Zwölfknotenschnur Historisch nicht abgesichert unpraktisch ungenau Das Lehrerdreieck

Werkzeuge Dreiknotenschnur

Werkzeuge Dreiknotenschnur Symmetrie

Falten Eine Lage

Falten setzt den Raum voraus Zwei Lagen

Falten Kante auf Kante Vier Lagen

Falten Rechter Winkel

Falten Loch stanzen und auffalten?

Falten Rechteck

Haus der Vierecke Rechte Winkel?

Haus der Vierecke Rechteckiger Rahmen Zelle Ist die rote Liste vollständig?

Haus der Vierecke Rechtwinkliges Gerüst Skelett

Haus der Vierecke Rechtwinkliges Gerüst Skelett Da fehlt was

Viereck mit orthogonalen Diagonalen

Viereck mit orthogonalen Diagonalen Grün = Rot... genau dann...

Viereck mit orthogonalen Diagonalen Ecke einklappen

Viereck mit orthogonalen Diagonalen Briefumschlag... genau dann...

Grün = Rot

Viereck mit orthogonalen Diagonalen Gemeinsamer Schnittpunkt... genau dann...

Viereck mit orthogonalen Diagonalen Winkel von 45... genau dann...

Minimale Wegenetze 1 1 1 120 120 120 1 3 +1 2.732 2 2 2.828

Minimale Wegenetze 1 1 1 120 120 120 1 3 +1 2.732 3 +1 2.732 Geänderte Topologie

Minimale Wegenetze 9 8 = 1.125 9 8 = 1.125 1 120 120 120 1 3 + 9 8 2.857 9 8 3 +1 2.949 Globales Minimum Lokales Minimum

Minimale Wegenetze 1 120 120 120 Gesamtlänge = 25.91

Minimale Wegenetze 1 Gesamtlänge = 26.59

Minimale Wegenetze 1 Gesamtlänge = 25.91 Gesamtlänge = 26.59

Viereck mit orthogonalen Diagonalen Haag, Wilfried (2003): Wege zu geometrischen Sätzen. Stu8gart: Kle8

Analogon im Raum Singular?

Analoga im Raum Zelle Würfel Gerüst Oktaeder Plural

Analoga im Raum v 3 v 4 v 2 Vektorzug v 1 Drehung um +90 v n+1 = v n Rekursion Noch eines

Viertakter

Ansaugen Verdichten Viertakter Ausstoßen Arbeiten

Ansaugen reales Problem Modellbildung mathematisches Problem Verdichten Überprüfung Viertakter Analyse Simulation Ausstoßen reale Lösung Interpretation mathematische Lösung Arbeiten

Analoga im Raum v 3 v 4 v 2? Vektorzug v 1 Drehung um +90 v n+1 = v n Rekursion Noch eines

Analoga im Raum v 3 v 4 v 1 v 2 Drehung um +90 v 1 v2 v 3 Vektorzug Startvektoren: v 1 v 2 v 1 = 1, v 2 = 1 v n+1 = v n v n+1 = v n 1 v n Rekursion Rekursion Wie geht es weiter?

Analoga im Raum v 3 v 4 v 1 v 2 Drehung um +90 v 1 v2 v 3 cross Vektorzug Startvektoren: v 1 v 2 v 1 = 1, v 2 = 1 v n+1 = v n v n+1 = v n 1 v n Rekursion Rekursion Wie geht es weiter?

Analoga im Raum Geschlossener Vektorzug Offener Vektorzug v 4 v 3 v 1 v 2 v 1 v2 v 4 = v 1 v 3 Wie geht es weiter?

Analoga im Raum Geschlossener Vektorzug Offener Vektorzug Dreikant-Spirale v 4 v 3 v 1 v 2 v 1 v2 v 4 = v 1 v 3 Eckige Spirale

Analoga im Raum Offener Vektorzug Dreikant-Spirale v 3 v 4 = v 1 v 4 v 2 v 3 v 1 v 1 v2 Eckige Spirale

Modell aus DIN-Querformat v 3 v 4 v 2 v 1 Eckige Spirale

Analoga im Raum Eckige Spirale

Analoga im Raum Achse Eckige Spirale

Analoga im Raum Achsensicht

Analoga im Raum Achsensicht Tribar (Penrose)

Analoga im Raum v 3 v 4 v 2 v 3 Vektorzug v 1 Drehung um +90 v n+1 = v n v 1 v2 cross v n+1 = v n 1 v n Rekursion Rekursion Analogie?

Formale Analogie (Äußeres Produkt, wedge product) a = a 1 a 2 A = a 1 e 1 a 2 e2 Matrix mit Einheitsvektoren det( A) = det a 1 e1 a 2 e2 = a 1e 2 a 2 e1 = a 2 a 1 = a

Formale Analogie (Äußeres Produkt, wedge product) a = a 1 a 2 A = a 1 e 1 a 2 e2 Drehung um +90 det( A) = det a 1 e1 a 2 e2 = a 1e 2 a 2 e1 = a 2 a 1 = a

Formale Analogie (Äußeres Produkt, wedge product) a = a 1 a 2 a 3 b = b 1 b 2 b 3 A = a 1 b 1 e1 a 2 b 2 e2 a 3 b 3 e3

Formale Analogie (Äußeres Produkt, wedge product) det( A) = det a 1 b 1 e1 a 2 b 2 e2 a 3 b 3 e3 = Laplace, dritte Spalte = e 1 det a 2 b 2 a 3 b 3 e 2 det a 1 b 1 a 3 b 3 + e 3 det a 1 b 1 a 2 b 2 = = a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 = a b Lässt sich in höhere Dimensionen verallgemeinern

Formale Analogie (Äußeres Produkt, wedge product) ( a 1,..., a n 1 ) " det cross a 1,1 # a 1,n 1 e1 $ $ $ a n,1 # a n,n 1 en Lässt sich in höhere Dimensionen verallgemeinern

Formale Analogie (Äußeres Produkt, wedge product) ( a 1,..., a n 1 ) " det a 1,1 # a 1,n 1 e1 $ $ $ a n,1 # a n,n 1 en Eigenschaften? Input n 1 Vektoren Output ein Vektor orthogonal zu den Inputvektoren Länge = antikommutativ a 1,..., a n 1 n 1-d- Volumen des a 1,..., a n 1 - Spates Lässt sich in höhere Dimensionen verallgemeinern

Formale Analogie (Äußeres Produkt, wedge product) ( a 1,..., a n 1 ) " det a 1,1 # a 1,n 1 e1 $ $ $ a n,1 # a n,n 1 en Eigenschaften: Input n 1 Vektoren Output ein Vektor orthogonal zu den Inputvektoren Länge = antikommutativ a 1,..., a n 1 n 1-d- Volumen des a 1,..., a n 1 - Spates Lässt sich in höhere Dimensionen verallgemeinern

Formale Analogie (Äußeres Produkt, wedge product) ( a 1,..., a n 1 ) " det a 1,1 # a 1,n 1 e1 $ $ $ a n,1 # a n,n 1 en Eigenschaften: Input n 1 Vektoren Output ein Vektor orthogonal zu den Inputvektoren a 1,..., a n 1 Länge = n 1-d- Volumen des a 1,..., a n 1 - Spates antikommutativ Lässt sich in höhere Dimensionen verallgemeinern

Quadrat als Vektorzug Paritätsunterschiede gerade / ungerade Gerade Dimension: schließt sich nach 2n Schritten Ungerade Dimension: Spirale, Ganghöhe n Grund: Alternierende Vorzeichen bei der Laplace-Entwicklung

Optimierung - Kulturtechniken

Optimierung Kürzester Weg über die Straße

Optimierung Theorie

Optimierung Praxis Reibung Der letzte Schritt bringt nicht viel Durchgestrichen wird orthogonal. Querdenker

Optimierung Praxis Reibung Der letzte Schritt bringt nicht viel Die letzte Mark ist die teuerste.

Optimierung Materialersparnis Bauen in Notzeiten

Optimierung Materialersparnis Bauen in Notzeiten Marzahn Berlin Die stille Schönheit der Plattenbauten

Optimierung Materialersparnis Bauen in Notzeiten King s College Chapel Cambridge Perpendicular Style

Kulturtechniken Flechten Weben: Schuss und Kette

Kulturtechniken Flechten

Ethik und Sprache Aber erst musst du mir selber gebaut sein, rechtwinklig an Leib und Seele. Nietzsche, Zarathustra Schräger Vogel Querdenker Querdenken als Prinzip Die Sache ist im Winkel. Die Sache ist im Lot. Windschiefe Geraden (deux droites gauches)

Orientierungsmuster

Orientierungsmuster senkrecht und waagerecht im Sinne der Schwerkraft im Sinne des Schreibpapiers Quadrat Raute

Orientierungsmuster Wie viele Quadrate gibt es im Schachbrett? Studie von Diemut Lange und Benjamin Rott 46 Fünftklässler

Orientierungsmuster Wie viele Quadrate gibt es im Schachbrett? Bodenständige Quadrate Anzahl = 8 2 + 7 2 ++ 2 2 + 1 2 = 204

Orientierungsmuster Wie viele Quadrate gibt es im Schachbrett? Spitzständige Quadrate (von SchülerInnen nicht gesehen) Anzahl = 7 2 + 5 2 + 3 2 + 1 2 = 84

Orientierungsmuster Wie viele Quadrate gibt es im Schachbrett? Weißer Läufer Weißer Läufer: Anzahl = 2( 3 2 + 2 2 + 1 2 ) = 28 Schwarzer Läufer: Anzahl = 2( 3 2 + 2 2 + 1 2 ) = 28

Orientierungsmuster Wie viele Quadrate gibt es im Schachbrett? Springer in vier Zügen Anzahl = 2 5 2 = 50

Orientierungsmuster Wie viele Quadrate gibt es im Schachbrett? Springer baut einen Würfel Anzahl = 48

Orientierungsmuster Wie viele Quadrate gibt es im Schachbrett? Springer hüpft einen 4d-Hyperwürfel Anzahl = 4

Orientierungsmuster Wie viele Quadrate gibt es im Schachbrett? Origami-Papier auf Schachbrett Anzahl =