Physikdepartment E13 SS 011 Übungen zu Physik für Maschinenwesen Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Eva M. Herzig, Dr. Volker Körstgens, David Magerl, Markus Schindler, Moritz v. Sivers Vorlesung 1.07.011, Übungswoche 18.07.011.07.011 Blatt 10 1. Lennard-Jones Potential Die potentielle Energie zwischen zwei Atomen in einem Molekül kann näherungsweise durch das Lennard-Jones-Potential beschrieben werden: [ (σ 1 ( σ ) ] 6 V = 4ǫ r) r ǫ und σ sind Konstanten. a) Berechnen Sie, in Abhängigkeit von σ, den Abstand r 0 der Atome für den die potentielle Energie minimal ist. dv dr dv dr = 4ǫ = 0 = Minimum [ ( ) σ 1 ( ) ] σ 6 1 r0 13 + 6 r0 7 = 0 σ 6 r0 7 = σ1 r 13 0 r 6 0 = σ 6 r 0 = 1/6 σ b) Berechnen Sie das dazugehörige Minimum der potentiellen Energie, V min. [ ( σ V(r 0 ) = V min = V( 1/6 σ) = 4ǫ 1/6 σ ( 1 = 4ǫ 4 1 ) = ǫ ) 1 ( σ ) ] 6 1/6 σ c) Skizzieren Sie das Lennard-Jones Potential und tragen Sie r 0, ǫ und σ ein.
lim r 0 V(r) = für kleine r dominiert 1 r 1 lim r V(r) = 0 für große r dominiert 1 r 6
. Energieniveauschema eines Moleküls Zeichnen Sie in einem Energieniveauschema alle Atomorbitale sowie alle bindenden und antibindenden Molekülorbitale des Cl -Moleküls ein. Ist das Cl -Molekül stabil oder instabil? Begründen Sie ihre Antwort qualitativ. Bestimmen Sie die Bindungsordnung des Cl -Moleküls. Cl hat die Kernladungszahl Z = 17 und damit 17 e. Die Elektronenkonfiguration im Grundzustand ist also: 1s s p 6 3s 3p 5 In der Abbildung sind die Energieniveaus der ungebundenen Cl-Atome sowie die resultierenden bindenden (σ) und antibindenden (σ ) Molekülorbitale schematisch gezeichnet. Es entstehen genau so viele Molekülorbitale wie die beteiligten Atome Atomorbitale haben. Im Grundzustand werden die Molekülorbitale so aufgefüllt, dass der energetisch günstigste Zustand erreicht wird. Sind sowohl der bindende als auch der antibindende Zustand eines Molekülorbitals mit Elektronen gefüllt, trägt dieses Orbital nicht zur Bindung bei. Im Cl -Molekül trägt folglich nur das bindende σ-orbital der 3p-Orbitale zur Molekülbindung bei (Einfachbindung). Das Cl -Molekül ist stabil, da die Anordnung der Elektronen in den Molekülorbitalen energetisch günstiger ist als in den ungebundenen Atomorbitalen. Hinweis: Die Wechselwirkung zwischen Orbitalen verschiedener Energieniveaus (Hybridisierung) wurde vernachlässigt. 3
Die LCAO-Methode liefert folgendes Diagramm: Energie σ 3p 3p x 3p y 3p z π 3px π 3px π 3py π 3py 3p x 3p y 3p z σ 3p 3s σ 3s σ 3s 3s σ p p x p y p z π px π px π py π py p x p y p z σ p s σ s σ s s Cl 1s σ 1s Cl σ 1s Cl 1s Die unteren Schalen sind alle voll besetzt. In der obersten Valenzschale (3p) befinden sich 6 Elektronen in bindenden MO und 4 Elektronen in antibindenden MO. Für die Bindungsordnung erhalten wir also: MO MO BO = = 6 4 Wir haben eine Einfachbindung (Bindungsordnung 1). = 1 4
3. Wellenfunktionen eines Moleküls Die kovalenten Bindungen in Molekülen treten durch den Überlapp der Orbitale der einzelnen Atome auf. Betrachtet man dabei die Wellenfunktionen von zwei Atomen so können sich diese entweder additiv oder subtraktiv überlagern. Als Näherung verwenden wir die radialen Wellenfunktionen für die s- (R 0 ) und p-orbitale (R 1 ) des Wasserstoffatoms, die sich folgendermaßen parametrisieren lassen. R 0 (ρ) = C 0 8 ( ρ) e ρ/ R 1 (ρ) = C 0 4 ρ e ρ/ wobei ρ = und C 0 = (1/a 0 ) 3/ ist. Zeichnen Sie die Wellenfunktionen für die additive und subtraktive Überlagerung von a) zwei s Wellenfunktionen mit dem Kernabstand d = 8a 0. Die Annäherung von zwei Atomen führt zu einer Überlappung der Atomorbitale, die durch die entsprechenden Wellenfunktionen beschrieben werden. Es gibt nun zwei Möglichkeiten der Wechselwirkung der Wellenfunktionen: Die Addition der Wellenfunktionen R add = R a+r b resultiert in einem bindenden Molekülorbital mit einer erhöhten Ladungsdichte zwischen den Atomkernen (Anziehung). Die Subtraktion der Wellenfunktionen R sub = R a R b resultiert in einem antibindenden Molekülorbital mit einer Knotenebene zwischen den Atomkernen (Abstoßung). 0.5 R a 0 R b 0 R 0 /C 0 R add = (R a 0 + Rb 0 )/ -0.5 5
0.5 R a 0 R 0 /C 0 R sub = (R a 0 - Rb 0 )/ -0.5 -R b 0 b) zwei p Wellenfunktionen mit dem Kernabstand d = 8a 0. 0. 0.1 R a 1 R b 1 R 1 /C 0-0.1 R add = (R a 1 + Rb 1 )/ -0. 0. 0.1 R a 1 R 1 /C 0-0.1 R sub = (R a 1 - R b 1)/ -R b 1-0. 6
4. Reduzierte Masse a) Leiten Sie die Gleichung I = m red r 0, mit m red = m 1m m 1 + m her, die den Zusammenhang zwischen Trägheitsmoment und reduzierter Masse eines Zweiatomigen Moleküls beschreibt. Die r-koordinate des Massenmittelpunkts des Moleküls ist mit dem Gleichgewichtsabstand r 0 der Atome gegeben durch r S = m m 1 + m r 0 Die Abstände der mit 1 und bezeichneten Atome vom Massenmittelpunkt sind r 1 = r s und r = r 0 r S = r 0 m m r 0 = 1 r 0 m 1 + m m 1 + m Mit diesen beiden Ausdrücken für r 1 und r ergibt sich für das Trägheitsmoment des zweiatomigen Moleküls ( ) ( ) I = m 1 r 1 + m r m m1 = m 1 r 0 + m r 0 m 1 + m m 1 + m Dabei ist m red = m 1m m 1 + m = m 1m m 1 + m r 0 = m red r 0 b) Zeigen Sie, dass die reduzierte Masse eines zweiatomigen Moleküls ungefähr gleich der Masse des leichteren Atoms ist, wenn das schwerere Atom eine wesentlich größere Masse hat. Wir dividieren im Ausdruck für die reduzierte Masse den Zähler und den Nenner durch m : m red = m 1m = m 1 m 1 + m 1+ m 1 m Bei m m 1 ist m 1 /m 1 und daher m red m 1. 7