3. Bindungen im Festkörper

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1 Prof. Dieter Suter Festkörperphysik WS 95 / Grundlagen 3... Übersicht 3. Bindungen im Festkörper Die Struktur eines Festkörpers ergibt sich aus der Wechselwirkung zwischen den darin enthaltenen Gitterbausteinen, also den Atomen, Ionen oder Molekülen. Für die in Kapitel besprochenen Gittertypen spielen zunächst nur relative Distanzen eine Rolle. Die Größe einer Einheitszelle wird hingegen direkt von der Wechselwirkung zwischen den Bauteilen des Gitters bestimmt: Man kann den Abstand bestimmen indem man die Abstandsabhängigkeit der Wechselwirkungsenergie berechnet und deren Minimum als Funktion des Abstandes bestimmt. Die Bestandteile eines Festkörpers können auf unterschiedliche Art zusammengehalten werden. Es ist meist nützlich, als Bestandteile Atomrümpfe und Valenzelektronen zu betrachten. In einer klassischen Näherung kann man die Bindungsenergie von Festkörpern diskutieren indem man abstoßende Wechselwirkungen zwischen positiv geladenen Atomrümpfen und zwischen Valenzelektronen betrachtet, welche eine Vergrößerung der Abstände bewirken, sowie anziehende Wechselwirkungen zwischen Valenzelektronen mit Atomrümpfen. Das Wechselspiel zwischen den unterschiedlichen Abstands- und Richtungsabhängigkeiten ergibt die beobachtete Gleichgewichtsstruktur. Ein vollständiges Verständnis setzt jedoch quantenmechanische Betrachtungen voraus. Die angesprochenen Wechselwirkungen können sich auf qualitativ sehr unterschiedliche Weise bemerkbar machen. Als erste Klassifizierung unterscheidet man - kovalente Bindung - ionische Bindung - van der Waals B. - metallische Bindung. Ionische und kovalente Bindungen ergeben die größten Bindungsenergien und damit die starrsten Festkörper.

2 Grob vereinfacht kann man sich vorstellen, dass im Falle der Van der Waals Bindung die neutralen Bestandteile (z.b. Argon im Festkörper) sich gerade berühren und durch schwache Kräfte aneinander gehalten werden. Bei der ionischen Bindung sind die Bestandteile entgegengesetzt geladen. Bei der metallischen Bindung sind die Atomrümpfe in ein Bad aus freien Elektronen eingelagert, welche sie zusammenhält. Im Falle der kovalenten Bindung existiert ein verstärkter Überlapp zwischen den Elektronen der einzelnen Atome, welcher zu einer starken, gerichteten Bindung führt. Die Stärke des Zusammenhaltes kann quantitativ auf verschieden Art charakterisiert werden. Je nach Bindungstyp spricht man von der Bindungsenergie oder der Gitterenergie, welche dem Kristall zugeführt werden muss, um ihn in Atome oder Moleküle zu zerlegen, welche durch unendlich große Distanz getrennt sind. Bindungen November 6, 00

3 Ein Blick auf eine Tabelle von Bindungsenergien für die Elemente zeigt die großen Unterschiede, die hier auftreten können. In der Tabelle fehlen außerdem die beiden leichtesten Elemente, H und He, welche sehr schwierig zu verfestigen sind. Insbesondere He wird nicht einmal bei der Temperatur 0K zu einem Festkörper, außer man legt Druck an. Am stärksten fallen die Edelgase auf, deren Bindungsenergie bei weniger als 0 kj/mol liegt Das Wasserstoffmolekül Wir betrachten zunächst nur die Kräfte, welche bei der Wechselwirkung zwischen zwei Atomen auftreten. Das einfachste System, bei dem sich mehrere Teilchen zu einer bestimmten Energie zusammenfinden ist wahrscheinlich das Wasserstoffmolekül. Mit klassischer Mechanik allein ist es schwierig einzusehen, wie zwischen zwei neutralen Teilchen eine bindende Wechselwirkung zustande kommen soll. Um dies zu verstehen müssen wir das Problem also quantenmechanisch analysieren. Wir betrachten dazu zwei Wasserstoffatome A und B, deren Elektronenhülle sich zum Teil überlagert. Wir schreiben die Wellenfunktionen der beiden Elektronen als ψ A und ψ B und den Hamiltonoperator als H. Dieser beinhaltet neben den Hamiltonoperatoren der isolierten Atome einen Kopplungsterm, der beschreibt, dass das Elektron beide Kerne spürt. Eine vollständige Analyse des molekularen Hamiltonoperators ist sehr aufwändig. Da wir an dieser Stelle aber nicht ein quantitatives, sondern nur ein qualitatives Verständnis anstreben genügt uns eine relativ einfache Beschreibung. Wir suchen die Eigenfunktion Ψ des gesamten Bindungen November 6, 00

4 Hamiltonoperators, wobei wir nicht die explizite Darstellung des Hamiltonoperators verwenden, sondern lediglich die (unbekannten) Matrixelemente in der Basis der Grundzustands- Eigenfunktionen der einzelnen Atome. Der molekulare Zustand kann in dieser Basis geschrieben werden als Die Energie dieses Zustandes ist Ψ = c A ψ A + c B ψ B. E = <Ψ H Ψ>/<Ψ Ψ> = (c A H AA + c B H BB + c A c B H AB )/(c A + c B + c A c B S) wobei wir die Koeffizienten c A, c B und H AB als reell angenommen haben. Hier stellen dar. H xy = <ψ x H ψ y > und S = <ψ A ψ B > S wird als Überlappungsintegral bezeichnet und wurde ebenfalls als real angenommen. Es ist ein Maß für die Stärke der Wechselwirkung zwischen den beiden Atomen: je näher die Atome zusammenliegen desto größer ist der Überlapp zwischen den beiden Orbitalen. Wir erweitern diese Gleichung mit dem Nenner der rechten Seite E (c A + c B + c A c B S) = c A H AA + c B H BB + c A c B H AB. Diese Gleichung können wir nun dazu benutzen, die Energie zu minimieren und so den Eigenzustand zu finden. Wir suchen zunächst das Minimum bezüglich c A indem wir danach ableiten: Die Ableitung nach c B ergibt entsprechend c A (H AA E) + c B (H AB - ES) = 0. c A (H AB - ES) + c B (H BB E) = 0. Damit beide Gleichungen simultan lösbar sind muss die Determinante (H AA E) - (H AB - ES) = 0 verschwinden, wobei wir benutzen, dass für identische Atome H AA = H BB. Dies können wir als Gleichung für die Energie verwenden, Bindungen November 6, 00

5 Somit ist E = E (- S ) E (H AA +H AB S) + H AA - H AB = 0 ( ) ( H AA +H ABS) ± ( H AA +H ABS) ( H AA - H AB) S S = ( H +H ) AA ABS ± H AA +H ABS + H AAH ABS H AA + H AB + H AAS H ABS S = ( H AA +H AB S ) ± ( H AB + H AA S ) = ( H AA ± H AB )( ± S) S S oder E s,as = H AA ± H AB m S für die Energien. Die zugehörigen Eigenfunktionen sind Ψ s = (ψ A +ψ B )/ ( + S ) Ψ as = (ψ A -ψ B )/ ( S, ) d.h. die symmetrische und antisymmetrische Linearkombination der beiden Atomorbitale Molekülorbitale Die Wechselwirkung zwischen den beiden Atomen führt also zu einer Aufspaltung der Energiezustände, die ohne Wechselwirkung entartet sind. Das symmetrische Molekülorbital liegt energetisch unterhalb der Atomorbitale, die antisymmetrische Linearkombination oberhalb. Wie im Atom kann jedes dieser Molekülorbitale mit maximal zwei Elektronen besetzt werden. Offensichtlich weist das neutrale Wasserstoffmolekül, bei dem das bindende Orbital von zwei Elektronen besetzt wird, die stabilste Konfiguration auf. Bindungen November 6, 00

6 - 6 - Beim bindenden Molekülorbital Ψ s werden die beiden Atomorbitale mit dem gleichen Vorzeichen addiert. Es entsteht deshalb zwischen den beiden Atomen eine positive Interferenz und die Elektronendichte steigt in diesem Gebiet. Das antibindende Orbital hingegen weist zwischen den beiden Kernen eine Knotenebene auf; in dieser Ebene verschwindet die Elektronendichte. Bindungen November 6, 00

7 Paarwechselwirkungen 3... Kovalente Bindung Das Überlappintegral und damit die Stärke der Wechselwirkung nimmt mit abnehmendem Abstand zu. Das antisymmetrische Orbital liegt für alle Abstände über den Atomorbitalen. Bringt man das Molekül in diesen Zustand so kann es immer Energie gewinnen indem seine Kerne sich voneinander entfernen. Man nennt dieses Orbital deshalb antibindend, im Gegensatz zum tiefer liegenden bindenden Orbital. Bringt man ein Molekül in diesen Zustand so ist seine Energie niedriger als diejenige der freien Atome, sie bleiben deshalb aneinander gebunden. Erst wenn der Abstand unter den Gleichgewichtswert fällt führt die Abstoßung zwischen den Kernen (und ev. zwischen den geschlossenen Schalen) zu einer zusätzlichen abstoßenden Wechselwirkung, so dass die Gesamtenergie wieder ansteigt. Solche Bindungen werden als kovalente Bindungen bezeichnet. Man findet sie auch in Kristallen. Das prototypische Beispiel eines Kristalls, der in diesem Bindungstyp kristallisiert, ist Diamant. Hier zeigt es sich, dass diese Bindungsart stark gerichtet ist: jedes Kohlenstoffatom hat vier nächste Nachbarn, welche in tetraedrischer Anordnung angeordnet sind. Die resultierende Kristallstruktur hat eine relativ niedrige Raumfüllung von 0.34, gegenüber einer dichtesten Kugelpackung mit Dies zeigt, dass die Anzahl möglicher Bindungen und damit die Richtung der Bindungen bei diesem Bindungstyp wichtiger ist als die Zahl der nächsten Nachbarn. Diese wird direkt bestimmt durch die sp 3 Hybridisierung am Kohlenstoff. Neben Diamant gibt es auch einige weitere Elemente, welche diese Art von Bindung eingehen, insbesondere die im Periodensystem direkt darunter liegenden Silizium und Germanium. Entsprechend ist auch deren Struktur vom gleichen Typ. Kovalente Bindungen in diesen Elementen führen aber nicht zu lokalisierten Bindungselektronen wie in Molekülen, sondern die Elektronen sind hier zwar zwischen den Atomen konzentriert, aber über Bindungen November 6, 00

8 den gesamten Körper delokalisiert, wie die Halbleitereigenschaften von Si und Ge zeigen. Diamant ist zwar bei Raumtemperatur ein ausgezeichneter Isolator, aber sollte auch einen sehr attraktiven Hochtemperatur-Halbleiter darstellen. Bis hierher hatten wir angenommen, dass es sich um zwei identische Atome handelt. Kovalente Bindungen können aber auch bei ungleichen Partnern entstehen. In diesem Fall sind auch die Koeffizienten der Atomorbitale bei der Kombination zu Molekülorbitalen nicht mehr vom gleichen Betrag, wie die Figur zeigt. Das tiefer liegende Orbital ist dominiert durch das energetisch näher liegende Atomorbital und auch die Elektronendichte ist auf diesem Atom konzentriert. Beim antibindenden Orbital ist der größte Teil der Elektronendichte auf dem energetisch höher liegenden Atom. Falls beide Atome je ein Elektron zur Bindung beitragen findet deshalb ein teilweiser Ladungstransfer vom rechten zum linken Atom statt. Je nach Energieunterschied kann dieser Transfer vollständig sein. Dies ist der Fall der ionischen Bindung Ionenpaare Das typische Beispiel für ionische Kristalle sind die Alkali-Halogenide: Hier wird ein Elektron von einem Alkali-Atom auf ein Halogenid-Atom übertragen, sodass die beiden einfach geladenen Ionen jeweils Edelgaskonzentration erreichen. Aufgrund der Elektronenübertragung besitzen beide Atome eine elektrische Ladung und ziehen sich deshalb gegenseitig an. Wir diskutieren die Situation zunächst für ein einzelnes Ionenpaar. Die Energie des Systems kann konzeptionell auf verschiedene Prozesse verteilt werden. Die gesamte Energie pro Ionenpaar, setzt sich zusammen aus der Ionisierungsenergie des Natriums (5.4 ev), der Elektronenaffinität des Chloratoms (-3.6 ev), sowie der Bindungsenergie, als der elektrostatischen Energie, welche bei der Bildung des Ionengitters frei wird. Zur Berechnung der Bindungsenergie setzen wir ein interionisches Potenzial von U ij = λ exp(-r ij /ρ) ± 4πε0 q r ij, Wobei q den Betrag der Ladungen bezeichnet. Das + Zeichen gilt für gleiche Ladungen, das - Zeichen für entgegengesetzte Ladungen. Bindungen November 6, 00

9 Der erste Term ist eine Approximation des Abstoßungspotenzials, welches aufgrund des Pauli-Prinzips bei kurzen Distanzen wirkt. Die hier gewählte exponentielle Abstandsabhängigkeit wird als Born-Meyer Potenzial bezeichnet. Es handelt sich offenbar nicht um eine reine Coulomb-Abstoßung, sondern sie variiert sehr viel schneller. Die genaue Form hat keinen wesentlichen Einfluss auf die Eigenschaften des Kristalls. Sie deutet aber an, dass sich die Ionen bei kleinen Abständen fast wie harte Kugeln verhalten, d.h. der Überlapp der Elektronenhüllen bleibt sehr klein. Dieser Effekt kann als Folge des Pauli-Ausschließungsprinzips verstanden werden. Zwei Elektronen können sich nicht im gleichen Quantenzustand befinden. Um sich im gleichen Raumelement aufzuhalten müsste eines der beiden Elektronen in einen energetisch höheren Zustand übergehen. Im He z.b. würde dafür eine Energie von ev benötigt. Der Parameter ρ des Born-Meyer Potenzials kann experimentell aus Messungen der Kompressibilität bestimmt werden; typische Werte sind rund 0.3 Å. Bindungen November 6, 00

10 In ionischen Kristallen kann man die Gleichgewichtsabstände in guter Näherung bestimmen wenn man die Ionen als (beinahe) harte Kugeln betrachtet und jeder Ionensorte einen entsprechenden Ionenradius zuordnet. Die Abstände werden dann durch die Bedingung bestimmt, dass sich die Ionen gerade berühren Van der Waals Bindung Atome oder Moleküle können aber auch eine bindende Wechselwirkung eingehen bei der keine Elektronen transferiert werden. Dies geschieht immer dann wenn die Bausteine schon gefüllte Elektronenschalen aufweisen, sodass keine Elektronen zur Verfügung stehen, welche geteilt werden könnten und dadurch eine Bindung erzeugen könnten. Von den Elementen gehören die Edelgasatome in diese Klasse, aber auch Moleküle kristallisieren auf diese Weise. Diese Art der Wechselwirkungen tritt auch in realen (van der Waals-) Gasen auf und wird als van der Waals Wechselwirkung, London- Wechselwirkung oder induzierte Dipol-Dipol Wechselwirkung bezeichnet. Sie kann so verstanden werden, dass die beiden Atome gegenseitig Dipole induzieren, welche sich anziehen. Allerdings handelt es sich nicht um statische Dipole, der Kristall besitzt kein globales Dipolmoment. In einem klassischen Bild (das notwendigerweise unvollständig ist) müssten die Atome oszillierende Dipolmomente besitzen. Wenn diese in Phase oszillieren stellt sich insgesamt eine anziehende Wechselwirkung ein. Bindungen November 6, 00

11 Um zu verstehen, wie die van der Waals Wechselwirkung zustande kommt betrachten wir ein einfaches elektrostatisches Modell. Zwei Atome bestehen aus jeweils einem Kern und einer Elektronenhülle, die sich gegenüber dem Kern verschieben kann. Die elektrostatische Anziehung zwischen Kern und Elektronenhülle R stellt eine rücktreibende Kraft dar, welche zu einer oszillatorischen Bewegung führt. Die Oszillationsfrequenz x x entspricht einer optischen Resonanz mit Frequenz ω 0. Der Abstand zwischen den beiden Atomen sei R und die Auslenkungen der Elektronenhülle aus der Ruhelage seien x und x. In guter Näherung können die Positionen der Kerne als konstant betrachtet werden. Ohne die Wechselwirkung zwischen den Atomen ist der Hamiltonoperator dieses Systems H 0 = m p + C x + m p + C x Die Kraftkonstante ergibt sich aus der Resonanzfrequenz als C = mω 0, wobei m die reduzierte Masse (~Elektronenmasse) darstellt. Die Coulomb Wechselwirkung der beiden Systeme ist H = q 4πε { 0 R + R x + x - R x - R+ x }, Wobei wir angenommen haben dass die Ladung des Kerns +q und diejenige der Elektronenhülle q sei. Hier stellen die beiden ersten (positiven) Terme die Abstoßung zwischen den Kernen und zwischen den Elektronen dar, die beiden negativen Terme die Anziehung zwischen der Elektronenhülle des einen Atoms und dem Kern des andern Atoms dar. Für kleine Auslenkungen, x, x «R kann dieser Ausdruck entwickelt werden. Wir schreiben dafür H = 4πε { q ( + 0 R x/ R+ x / R - x / R - +x / R ) }. In erster Ordnung verschwindet die Summe. In zweiter Ordnung, d.h. erhält man +ε ε + ε.. H - πε0 q x x 3. R Bindungen November 6, 00

12 Der gesamte Hamiltonoperator ist die Summe H = H 0 + H des ungestörten Systems H 0 und des Kopplungsterms H. Dieser Operator kann diagonalisiert werden, wenn wir symmetrieangepasste Koordinaten verwenden x s = (x +x ) x a = (x -x ) und x = (x s+x a ) x = wobei s und a für symmetrische und antisymmetrische Linearkombination stehen. In diesen Koordinaten ist (x s-x a ) H = - q πε 0 R 3 x x = - q 4πε 0 R 3 (x s -x a ). Analog definieren wir für die Impulse der beiden Elektronenhüllen: p s = (p +p ) p a = Die kinetische Energie wird somit (p -p ) und p = (p s+p a ) p = (p s-p a ). H kin = m [p + p ] = m [p s + p a ]. Für den gesamten Hamiltonoperator erhalten wir in den symmetrieangepassten Koordinaten H = H 0 + H = [ m p s + (C- q πε 0 R 3 ) x s ] + [ m p a + (C+ Die beiden unabhängigen Schwingungen haben nun eine Frequenz q πε 0 R 3 ) x a ]. ω = C m q ± π 0R 3 ε. Mit Hilfe der Taylor-Reihe erhalten wir für x = q πε 0 RC 3 ± x = ± x - /8 x + die Näherung ω ω 0 [± q πε 0 RC 3-8 ( q πε 0 RC 3 ) +... ]. Bindungen November 6, 00

13 Offenbar sind die Frequenzen der beiden Eigenmoden leicht verschoben. Die Verschiebung erster Ordnung ist für die beiden Frequenzen entgegengesetzt, die Verschiebung zweiter Ordnung ist für beide zu kleineren Frequenzen. Im Schwingungsgrundzustand besitzt das Gesamtsystem die Energie h(ω s+ω a ). Diese ist etwas geringer als die Grundzustandsenergie hω 0 der beiden getrennten Atome, zwar um U = - h ω 0 8 ( q πε 0 RC 3 ) = - A R 6. Die Kopplung führt somit zu einer anziehenden Wechselwirkung, die indirekt proportional zur sechsten Potenz des Abstandes ist. Da es sich um eine Änderung der Nullpunktenergie handelt sollte dieser induzierte Dipol nicht als schwingender Dipol verstanden werden. Offensichtlich verschwindet die Wechselwirkung im statischen Grenzfall, wo ω 0 0, wie auch im klassischen Grenzfall (h 0) Lennard-Jones Potenzial Wenn sich die Elektronendichteverteilungen zweier identischer Atome mit gefüllten Elektronenschalen überlappen muss deshalb eines der beiden Elektronen in ein höher gelegenes Orbital ausweichen. Weil dafür eine hohe Energie aufgebracht werden muss entspricht dies einer starken abstoßenden Wechselwirkung. Empirisch hat man für Edelgase ein Potenzial gefunden, das etwa mit R von der Distanz abhängt. Das gesamte Potenzial für die Wechselwirkung zwischen zwei Atomen ist dann U(R) = 4ε σ R ( ) ( ) 6 σ R Dieses Potenzial ist als Lennard-Jones Potenzial bekannt. Der Parameter σ ist die Distanz bei der das Potenzial zwischen anziehend und abstoßend wechselt, während ε die Stärke der Wechselwirkung skaliert. Bindungen November 6, 00

14 Die Eigenschaften von Edelgaskristallen zeigen die Zunahme der Bindungsenergie mit der Masse der Atome. Dies ist auf die höhere Polarisierbarkeit bei einer größeren Zahl von Elektronen zurückzuführen Weitere Bindungsarten Die am Beispiel des H -Moleküls diskutierte kovalente oder gerichtete Bindung spielt auch in Festkörpern eine wichtige Rolle. Das klassische Beispiel dafür ist der Diamant. Daneben gibt es auch einige weitere Elemente, welche diese Art von Bindung eingehen, insbesondere die im Periodensystem direkt darunter liegenden Silizium und Germanium. Entsprechend ist auch deren Struktur vom gleichen Typ. Kovalente Bindungen in diesen Elementen führen in Festkörpern aber nicht zu lokalisierten Bindungselektronen wie in Molekülen, sondern die Elektronen sind hier zwar zwischen den Atomen konzentriert, aber über den gesamten Körper delokalisiert, wie die Halbleitereigenschaften von Si und Ge zeigen. Diamant ist zwar bei Raumtemperatur ein ausgezeichneter Isolator, aber er sollte auch einen sehr attraktiven Hochtemperatur-Halbleiter darstellen. Diese Delokalisierung der Elektronen macht sich noch wesentlich stärker bemerkbar in Metallen, wo die Valenzelektronen sich frei durch den gesamten Kristall bewegen können. Typische Metalle zeigen deshalb eine hohe elektrische Leitfähigkeit. Die Bindung kann im wesentlichen so verstanden werden, dass die Delokalisierung der Elektronen ihre kinetische Energie erniedrigt. Diese Bindung ist nicht sehr stark. Alkalimetalle haben deshalb einen relativ niedrigen Schmelz- und Siedepunkt, da hier lediglich die metallische Bindung spielt. Bei den Übergangsmetallen hingegen tragen auch die nur teilweise gefüllten d-orbitale zur Bin- Bindungen November 6, 00

15 dung bei. Deren Beitrag ist eher kovalenter Natur und ergibt deshalb eine sehr viel stärkere Bindung und dementsprechend höhere Schmelzpunkte. Die Eigenschaften von Materialien mit delokalisierten Elektronen, wie Metalle und Halbleiter werden in den Kapiteln 5-7 im Detail diskutiert; hier wird deshalb nicht darauf eingegangen. Wasserstoff zeigt eine besondere Art von Bindungen. Mit seinem einzelnen Elektron kann es nicht nur mit einem Partner eine kovalente Bindung eingehen. Statt dessen geht es eine sehr stark polare Bindung ein, bei der das Elektron größtenteils an den stärker elektronegativen Partner (F, O oder N) abgegeben wird, während das verbleibende Proton sich gleichzeitig an ein weiteres Atom bindet, welches ein freies Elektronenpaar ausweist. Diese Art der Bindung wird als Wasserstoffbrücke bezeichnet. H-Brücken sind sehr wichtig für die besondere Struktur von Eis oder die hohe Verdampfungswärme von Wasser. Sie spielen aber auch in der Biologie eine große Rolle. So werden z.b. die beiden Stränge des DNS-Moleküls durch Wasserstoffbrücken zusammengehalten, und Wasserstoffbrücken bestimmen teilweise die Struktur von Proteinen. Bindungen November 6, 00

16 - 7 - Diese Klassifizierung von Bindungstypen ist hilfreich. Wirkliche Materialien lassen sich aber selten exakt einer dieser Kategorien zuordnen. Stattdessen tragen im allgemeinen unterschiedliche Bindungsarten bei, wie das Beispiel der Übergangsmetalle zeigt. So kann man bei binären Verbindungen einen kontinuierlichen Übergang von kovalenter zu ionischer Bindung beobachten. Der relevante Parameter ist die Differenz der Elektronegativitäten der beiden Partner. Bindungen November 6, 00

17 Gitterenergie Gittersumme In Festkörpern bewirken diese Kräfte, dass sich ein sehr große Zahl von Atomen aufgrund ihrer Wechselwirkung in ein regelmäßiges Gitter anordnen. Wir müssen deshalb nicht nur einzelne Paare betrachten, sondern auch das gesamte Gitter. Zum Glück findet man, dass sich die Eigenschaften des Gitters in sehr vielen Fällen auf die Paarwechselwirkungen zurückführen lassen. Die Gitterenergie erhält man dementsprechend indem man über alle möglichen Paarwechselwirkungen summiert. Im Falle der van der Waals Moleküle fällt die Stärke der Wechselwirkung σ σ U ij (R) = 4 ε R 6 ij R ij mit der sechsten Potenz des Abstandes ab, sodass fast nur die Wechselwirkung zwischen nächsten Nachbarn eine Rolle spielt. Wir betrachten als Beispiel die fcc Struktur. Hier besitzt jedes Atom nächste Nachbarn im Abstand a. Von der Stelle (0,0,0) aus sind dies die Positionen (±/, ±/, 0), (±/, 0, ±/), (0, ±/, ±/). In der zweiten Schale mit Abstand a befinden sich 6 Nachbarn an den Positionen (±00), (0,±,0), (0,0,±). Wir schreiben für R ij = p ij R, so dass p ij den Abstand in Einheiten des Abstandes zwischen nächsten Nachbarn darstellt. Eine Summierung über alle Wechselwirkungen ergibt für diese Struktur Σ j /R ij 6 = 6 R Σ j /p ij 6 = 6 R [ ] = 6 R 4.45 Σ j /R ij = R.3. Bei der abstoßenden Wechselwirkung spielen somit praktisch nur die nächsten Nachbarn eine Rolle, während bei der anziehenden Wechselwirkung auch etwas entferntere Schalen eine Rolle spielen. Die Gesamtenergie wird damit U(R) = Σ 6 ij U ij (R ij ) = N ε. 3 σ σ R R, wobei N die Anzahl der Gitteratome darstellt. Den Gleichgewichtsabstand R 0 erhält man aus der Minimierung der Gitterenergie bezüglich des Abstandes: Bindungen November 6, 00

18 du dr σ σ = 0 = Nε[ R 0 R0 3. R0 7 ] σ = 86. 7R 0. Daraus folgt, dass der Gleichgewichtsabstand R 0 =.09 σ sein sollte. Da sich der Parameter σ aus Messungen in der Gasphase bestimmen lässt, kann diese Vorhersage experimentell überprüft werden. Tatsächlich liegen die Gitterkonstanten für alle Edelgase im Bereich von σ. Indem man diesen Gleichgewichtsabstand in das Potenzial einsetzt erhält man die Bindungsenergie U = -8.6Nε, die man wiederum aus Gasphasenmessungen erhalten kann. Dabei wird aber die Nullpunktsenergie der Bewegung der Atome noch nicht berücksichtigt, welche insbesondere bei den leichten Atomen eine signifikante Reduktion der Bindungsenergie von bis zu 8% ergeben Ionische Bindung Im Falle der ionischen Bindung gehen wir aus von der Paarwechselwirkung Uij = λexp( pijr/ ρ) 4 π ε0 q pijr. Da der Abstoßungsterm exponentiell mit der Distanz abfällt kann er für alle Paare außer den nächsten Nachbarn vernachlässigt werden. Die Gittersumme wird damit für das i-te Ion U i = z λe -R/ρ - 4πε0 αq /R wobei die Madelung-Konstante α - Σ j ± p ij eine Summe über alle Atome des Gitters darstellt und z die Anzahl nächster Nachbarn bezeichnet. Sie hängt nur von den relativen Koordinaten p ij ab und kann deshalb für einen bestimmten Gittertyp berechnet werden. Unterschiedliche Substanzen, welche im gleichen Gittertyp kristallisieren besitzen somit die gleiche Madelung- Konstante. Die Unterschiede in der Gitterenergie sind (in dieser Näherung) lediglich auf die unterschiedlichen Abstände R zurückzuführen. Die Gitterkonstante a, resp. der Abstand R wird bestimmt durch die Minimierung der Energie bezüglich R. Der Gleichgewichtsabstand R 0 ist bestimmt durch U i / R R0 = 0 = -zλe -R0/ρ /ρ + α 4πε q /R 0. 0 z λ 4πε 0 R 0 e -R 0/ρ = ρ α q. Bindungen November 6, 00

19 Wir verwenden diese Beziehung für die Berechnung der Gesamtenergie Nαq U tot = - (-ρ/r 0 ). 4πε0R0 Die Energie ist somit proportional zur Madelung-Konstante, und diese muss positiv sein, damit das Gitter stabil ist. Im eindimensionalen Fall kann die Madelung- Konstante relativ einfach berechnet werden. Wir summieren über eine alternierende Kette mit konstantem Abstand und erhalten α = [-/+/3-/4 +...]. Für die Berechnung der Summe kann man die Reihenentwicklung verwenden und erhält α = ln. ln(+x) = x - x / +x 3 /3 - x 4 /4... In drei Dimensionen ist die analytische Berechnung der Summe im allgemeinen sehr schwierig. Wir betrachten als Beispiel zunächst das Natriumchlorid. Wir können entweder ein Na oder ein Cl Ion als Referenz benutzen und wählen Na. Jedes Na Ion ist von 6 Cl Ionen in oktaedrischer Anordnung umgeben, wobei der Abstand die Hälfte der Gitterkonstante beträgt. Diese tragen somit einen Beitrag 6 zur Madelung- Konstante bei. Die zweitnächsten Nachbarn sind wieder Na Ionen: sitzen im fachen Abstand. Bis zu dieser Koordinationshülle gerechnet ist die Madelung-Konstante deshalb 6-. Die nächsten beiden Hüllen bestehen aus 8 Cl Ionen im Abstand 3 und 6 Na Ionen im Abstand. Die Konvergenz ist offenbar sehr langsam. Bindungen November 6, 00

20 Eine etwas bessere Konvergenz erhält man durch Aufsummieren über die Beiträge von entgegengesetzten Ionenpaaren. Auch hier muss man jedoch über viele Tausend Ionenpaare summieren bis die Schwankungen gering werden. Für unterschiedliche Gittertypen erhält man die Werte NaCl:.7476 CsCl.767 ZnS.638 CaF Bänder Bei der Diskussion der Paarwechselwirkung wurde gezeigt, dass die Wechselwirkung zwischen zwei identischen Atomen zur Aufhebung der Entartung der Atomorbitale führt. Dasselbe gilt natürlich für eine größere Anzahl Atome. Im Falle eines Festkörpers, wo rund 0 3 Atome in Wechselwirkung treten, erwarten wir deshalb eine entsprechend hohe Zahl von nicht entarteten Zuständen. Da man bei der theoretischen Behandlung von einer unendlichen Zahl ausgeht bildet sich in diesem Fall ein Kontinuum. Die Details dieser Bänderstruktur wird im Kapitel 6 über das Modell des freien Elektronengases diskutiert. Die Breite dieser Bänder hängt von der Stärke der Wechselwirkung zwischen den Bauteilen ab. Die Stärke der Wechselwirkung hängt umgekehrt ab vom Überlapp der Atomorbitale. Im Falle der van Der Waals Bindung oder ionischen Kristallen, wo alle Elektronen in gefüllten Schalen sitzen, ist der Überlapp sehr klein und die Bänder entsprechend schmal und außerdem vollständig gefüllt. Die Bänderstruktur spielt deshalb hier praktisch keine Rolle und wird nicht benutzt. Bindungen November 6, 00