Das Jaynes-Cummings-Modell

Das Jaynes-Cummings-Modell Brem Samuel Hauer Jasper Lachmann Tim Taher Halgurd Wächtler Christopher Projekt in Quantenmechanik II - WS 2014/15 12. Februar 2015 Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 1/ 29

Table of Contents 1 Einleitung 2 3 4 Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 2/ 29

Table of Contents 1 Einleitung 2 3 4 Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 3/ 29

Einleitung 1963 von E.T. Jaynes, F.W. Cummings Wechselwirkung von Zwei-Niveau-Systems (ZNS) und quantisiertem EM-Feld Effekte wie Vakuum-Rabi-Oszillation, Collapse-Revival Dynamik Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 4/ 29

Table of Contents 1 Einleitung 2 3 4 Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 5/ 29

Der Atom-Hamiltonian Annahme: elektronisches ZNS z.b. Valenzelektronen im Atom oder Festkörper Bekannten Eigenenzustände und -energien Grundzustand (Ground State) g angeregter Zustand (Excited State) e Atom Hamiltonian : H Atom = i=g,e ω i i i Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 6/ 29

Der EM-Feld-Hamiltonian Einzelne quantisierte Lichtmode Hamilton Operator in zweiter Quantisierung: H Feld = ωc c Mit zugehörigen Energieeigenwerten E n = ωn zu Eigenzuständen n (harmonischer Oszillator) Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 7/ 29

Der Wechselwirkungs-Hamiltonian Dipol-Näherung: H WW = ˆd Ê ˆd = d ge e g + d eg g e Ê = αc + βc mit Rotating-Wave-Approximation (Energieerhaltung) H WW = g( g e c + e g c) g = Kopplungsstärke Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 8/ 29

des Gesamtsystems Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 9/ 29

Darstellung durch Pauli-Matrizen ZNS Wellenfunktion als 2D-Vektor : ψ = C g g + C e e = ( Ce Hamiltonian lässt sich durch Auf- und Absteigeoperatoren darstellen: C g ) H JC = εσ + σ + ωc c+ g(σ c +σ + c) σ + = 1 2 (σ x + iσ y ) = ( 0 1 0 0 ) und σ = 1 2 (σ x iσ y ) = ( 0 0 1 0 ) Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 10/ 29

Anregungszahlerhaltung Anregungszahloperator : ˆN = c c + σ + σ Betrachte zeitliche Entwicklung von ˆN : [ H JC, ˆN ] = 0 ˆN ist Erhaltungsgröße Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 11/ 29

Table of Contents 1 Einleitung 2 3 4 Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 12/ 29

H JC und ˆN haben gemeinsame Basis aus Eigenvektoren Entwickle nach ungestörten Eigenzuständen σ, n = σ n mit σ = g, e H JC = σ, n σ,n hσ,n σ, n mit h σ,n σ,n = σ, n H JC σ, n σ,σ n,n Außerdem aus der Anregungszahlerhaltung: h σ,n σ,n = σ, n H JC σ, n = 0 für n n > 1 Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 13/ 29

Definiere 2 2-Matrizen ( H (n) JC = h g,n g,n h g,n e,n 1 h e,n 1 g,n h e,n 1 e,n 1 ) = ( ωn g n g n ε + ω(n 1) ) Blockdiagonalmatrix: 0 0 0 0 0 H (1) H JC = JC 0 0 0 0 H (2) JC 0. 0 0 0.. Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 14/ 29

des Jaynes-Cummings Hamiltonians Diagonalisiere H (n) JC für beliebige n Bestimme dafür zunächst Eigenwerte von H (n) JC ψ (n) i : H (n) JC ψ(n) i = E (n) i ψ (n) i zu den Eigenzuständen Liefert: E (n) ± = ωn + ( 2 δ ± Ω (n) (δ) ) Mit dem Frequenz-Detuning: δ = ω ge ω Und der verallgemeinerten Rabi-Frequenz: Ω (n) (δ) = δ 2 + 4g 2 n Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 15/ 29

Dressed States Neue Eigenzustände n+ = sin α n g, n + cos α n e, n 1 n = cos α n g, n sin α n e, n 1 ( ) mit α n = arctan 2g n δ+ω n Kopplung von EM-Feld und Atom führt zur Hybridisierung der Zustände Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 16/ 29

Energieeigenwerte des Jaynes Cummings Hamiltonians Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 17/ 29

Table of Contents 1 Einleitung 2 3 4 Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 18/ 29

Zeitliche Dynamik Entwickle nackte Produktzustände: ψ(t) = n C e,n (t) e, n + C g,n (t) g, n + 1 Zeitentwicklung im Wechselwirkungsbild : i t ψ(t) = H WW ψ(t) Einsetzen liefert Bewegungsgleichung für Koeffizienten: Ċ e,n = ig n + 1C g,n Ċ g,n = ig n + 1C e,n Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 19/ 29

Zeitliche Dynamik Anfangsbedingung : ZNS angeregt und Feld in beliebigem Zustand Lösung : C e,n (t) = C 0 n cos(g n + 1t) C g,n (t) = ic 0 n sin(g n + 1t) Mit Photonenstatistik p(n) = C n 0 2 Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 20/ 29

Zeitentwicklung der Besetzungsinversion Betrachte die Besetzungsinversion: = n e n g = σ z Einsetzen ergibt: (t) = p(n) cos(2g n + 1t) n=0 Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 21/ 29

Verschiedene Lichstatistiken Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 22/ 29

Fockzustand (t) = cos(2g n 0 + 1t) Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 23/ 29

Thermisches Lichtfeld Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 24/ 29

Kohärenter Zustand Quantum-Collapse/-Revivals Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 25/ 29

Einfluss von Kopplungsstärke g g=1 g=2 Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 26/ 29

Einfluss der mittleren Photonenzahl n n = 20 n = 40 Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 27/ 29

Literaturangaben [1] M. O. Scully: Quantum Optics (Cambridge University Press, 1997). [2] C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, and G. Grynberg: Atom-photon interactions: basic processes and applications (J. Wiley, 1992). [3] D. Suter: Vorlesungsskript Laserspektroskopie und Quantenoptik (Sommersemester 2010). [4] A. Knorr: Vorlesungsskript Theoretische Optik (Sommersemester 2014) Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 28/ 29

Danke für die Aufmerksamkeit. Brem, Hauer, Lachmann, Taher, Wächtler Das Jaynes-Cummings-Modell 29/ 29