7. Frequenzselektive Messungen

Fortgeschrittenenpraktikum I Universität Rostock - Physikalisches Institut 7. Frequenzselektive Messungen Name: Daniel Schick Betreuer: Dipl. Ing. D. Bojarski Versuch ausgeführt: 1. Juni 2006 Protokoll erstellt: 6. Juni 2006

Inhaltsverzeichnis 1 Versuchsbeschreibung 4 1.1 Ziel..................................... 4 1.2 Aufgaben................................. 4 2 Aktive Filter 6 2.1 Tiefpass.................................. 7 2.2 Hochpass................................. 9 2.3 Bandpassfilter............................... 11 2.4 Bandsperrfilter.............................. 12 3 Phasenempfindlicher Verstärker 14 3.1 Synchronbetrieb.............................. 14 3.2 Asynchronbetrieb............................. 16 2

1 Versuchsbeschreibung 1.1 Ziel Asubsection Untersuchung frequenzselektiver Verstärkerschaltungen. Vertrautmachen mit verschiedenen Filtertypen sowie Strategien zur Realisierung optimaler Filterkurven. Aufbau und Funktionsüberprüfung eines phasenempfindlichen Gleichrichters (PEG), der heute ein Grundelement bei der Messdatenerfassung ist. Untersuchung der Linearität und Selektivität des PEG. 1.2 Aufgaben Aktive Filter 1. Tiefpass (Abb. 1) Ermitteln Sie den Frequenzgang der Verstärkung und der Phasenverschiebung eines aktiven Tiefpasses 2. Ordnung mit Einfachmittkopplung in der Einstellung als: a) Bessel-Filter b) Butterworth-Filter c) Tschebyscheff-Filter Stellen Sie die Messwerte über der normierten Frequenz dar. 2. Hochpass (Abb. 2) Untersuchen Sie den aktiven Hochpass 2. Ordnung in den gleichen Einstellungen wie in 1. Messen Sie die Verstärkung als Funktion der Frequenz, indem Sie aus dem Funktionsgenerator und dem Oszilloskop einen Wobbelmessplatz aufbauen. 3. Bandpassfilter (Abb. 3) Ermitteln Sie den Frequenzgang der Verstärkung eines Bandpassfilters mit Einfachmittkopplung für 3 verschiedene Einstellungen der Güte ɛ = 2, 5 ; 3 ; 3, 9 und stellen Sie die Ergebnisse wie in 2 dar. 4. Bandsperrfilter (Abb. 4, 5) Ermitteln Sie analog zu 2 den Frequenzgang der Verstärkung eines aktiven Doppel-T-Bandsperrfilters. 3

Phasenempfindlicher Verstärker (Gleichrichter / PEG) (Abb. 6) 5. Synchronbetrieb a) Bestimmen Sie die Ausgangsspannung U a des aufgebauten PEG in Abhängigkeit von der Phasenverschiebung ϕ zwischen der Signalspannung U e und der Steuer- bzw. Referenzspannung U ref bei U e = 1V/1kHz. Vergleichen Sie quantitativ mit der Theorie. b) Bestimmen Sie die Gleichrichterkennlinie U a = f(u e ) bei ϕ = 0. 6. Asynchronbetrieb Untersuchen Sie das Übertragungsverhalten des PEG für Asynchronspannungen unterschiedlicher Frequenz bei konstanter U ref = 1V/1kHz für 3 Grenzfrequenzen des an den Ausgang geschalteten Tiefpasses (f g = 100 ; 50 ; 20Hz). 4

2 Aktive Filter Als aktive Filter bezeichnet man Filter, die nur aus Widerständen, Kondensatoren und aktiven Bauelementen wie z.b. Operationsverstärkern bestehen. Ihr Vorteil im Gegensatz zu Filtern mit Induktivitäten ist, dass sie auch problemlos im niederfrequenten Bereich eingesetzt werden können. Wo hingegen Filtern mit Induktivitäten nur auf Kosten schlechter elektrischer Eigenschaften, Unhandlichkeit und zumeist auch eines hohen Preises arbeiten können. Allgemein werden Filter durch eine Übertragungsfunktion beschrieben. Sie gibt an, wie das Eingangssignal in Phase und Amplitude vom Filter verändert wird. In der Praxis haben sich dabei verschiedene optimierte Frequenzgänge bewährt: Bessel-Filter optimales Rechteckübertragungsverhalten und linearer Phasengang, Amplitudengang knickt nicht sehr scharf ab Butterworth-Filter glatter Amplitudengang, der erst kurz vor der Grenzfrequenz scharf abknickt Tschebyscheff-Filter schärfster Abfall bei der Grenzfrequenz, aber welliger Amplitudengang Der Filtertyp wird dabei nur von dessen innerer Verstärkung bestimmt und damit von der Verstärkung der verwendeten OVs, siehe Abb. 1. + - R 1 U e R 0 U a V = U a U e = 1 + R 1 R 0 = 1 + (e 1)R 0 R 0 = e Abbildung 1: Schaltplan OV Für die drei beschriebenen Filtertypen sind folgende innere Verstärkungen tabelliert: Bessel Butterworth 3dB -Tschebyscheff e 1, 268 1, 586 2, 234 Tabelle 1: Innere Verstärkungen e 5

2.1 Tiefpass Die allgemeine Übertragungsfunktion für Tiefpässe lautet: A(P ) = A 0 i (1 + a ip + b i P 2 ), mit P = jf f g Die Grenzfrequenz für Tiefpässe zweiter Ordnung ergibt sich mit b1 f g = 2πRC Für die drei zu untersuchenden Filtertypen sind folgende Koeffizienten tabelliert: Bessel Butterworth 3dB -Tschebyscheff a 1 1, 3617 1, 4142 1, 0650 b 1 0, 6180 1, 0000 1, 9305 Tabelle 2: Koeffizienten für Tiefpässe 2. Ordnung Um den Frequenzgang der Verstärkung und der Phasenverschiebung der verschiedenen Filtertypen zu messen wird ein Tiefpassfilter 2. Ordnung mit einfacher Mitkopplung wie in Abb. 2 aufgebaut. Am Oszillographen werden die Ausgangsspannung und die Phasenverschiebung in Abhängigkeit von der Frequenz der Eingangsspannung aufgenommen. Im Bereich der Grenzfrequenz wird dabei mit besonderer Sorgfalt gemessen. (1) Abbildung 2: Schaltplan Tiefpass 2. Ordnung Die Dimensionierung der verschiedenen Filter wurde wie folgt vorgenommen: U e R R 0 C 2V 10kΩ 10kΩ 10nF Tabelle 3: Dimensionierung der Tiefpässe 2. Ordnung 6

Bessel Butterworth 3dB-Tschebyscheff f/hz U a /V ϕ/ f/hz U a /V ϕ/ f/hz U a /V ϕ/ 20 1,937 0,0 50 3,125 0,0 20 4,437 0,0 50 1,969 0,0 100 3,125 0,0 50 4,437 0,0 100 1,937 0,0 200 3,125 7,2 100 4,375 1,2 200 1,937 7,0 300 3,125 11 200 4,437 2,4 300 1,906 16 400 3,125 17 300 4,437 5,4 400 1,875 24 500 3,125 22 400 4,562 10 500 1,875 29 600 3,125 29 500 4,625 13 600 1,812 35 700 3,063 35 608 4,812 18 700 1,750 41 800 2,938 45 706 4,937 23 800 1,719 47 900 2,938 45 803 5,187 26 900 1,656 52 1000 2,875 54 900 5,312 32 1000 1,594 55 1100 2,750 59 1002 5,562 37 1100 1,500 61 1200 2,688 65 1103 5,582 44 1200 1,437 67 1300 2,563 76 1206 6,000 53 1300 1,375 72 1400 2,438 81 1304 6,125 58 1400 1,312 75 1500 2,313 83 1403 6,000 69 1500 1,250 81 1600 2,188 90 1507 5,875 79 1600 1,187 86 1700 2,063 92 1605 5,625 90 1700 1,125 85 1800 1,937 97 1709 5,187 98 1800 1,062 91 1900 1,812 103 1803 4,812 105 1900 1,000 96 2000 1,687 104 1908 4,312 112 2000 0,938 98 2500 1,187 126 2017 3,813 118 2500 0,688 113 3000 0,891 130 2135 3,375 128 3000 0,506 121 3500 0,656 138 2495 2,375 140 3500 0,400 130 4000 0,500 134 3086 1,500 152 4000 0,325 135 4500 0,406 146 3580 1,125 155 4500 0,268 142 5000 0,328 151 4093 0,875 159 5000 0,225 149 5500 0,272 154 4610 0,575 162 5500 0,193 153 6000 0,228 155 5003 0,487 163 6000 0,162 156 6500 0,194 158 5556 0,393 165 6500 0,150 157 7000 0,166 159 6046 0,331 165 7000 0,131 163 8000 0,128 160 6630 0,275 168 8000 0,106 163 9000 0,103 162 7048 0,250 169 9000 0,087 167 8026 0,200 170 10000 0,075 171 9025 0,156 170 10040 0,125 172 Tabelle 4: Messwerte Tiefpässe 7

Die Messwerte aus Tab. 4 sind in den Abb. 3 a) und b) dargestellt. Dabei wurden beide Graphen über der normierten Frequenz f/f g aufgetragen. Die Messwerte A(P) / db 10 5 0-5 -10-15 -20-25 -30 a) Amplitudengang Tschebyscheff Bessel Butterworth 0,01 0,1 1 10 f / f g ϕ / 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 b) Phasengang Tschebyscheff Bessel Butterworth -20 0,01 0,1 1 f / f g Abbildung 3: Amplitudengang und Phasengang der drei Tiefpässe zeigen hier eine sehr gute Übereinstimmung mit der Theorie. Der Tschebyscheff- Tiefpass besitzt den schärfsten Abfall der Verstärkung und steilsten Anstieg des Phasenganges. Außerdem überschwingt er deutlich im Amplitudengang. Der Bessel- Filter zeigt einen annähernd linearen Phasengang und einen weniger steilen Abfall der Verstärkung. Der Butterworth-Filter liegt in Amplituden- und Phasengang etwa zwischen den beiden anderen Filtertypen. In Tab. 5 sind die theoretischen und experimentellen Grenzfrequenzen der drei Bessel Butterworth 3dB -Tschebyscheff f g,theo /khz 1, 251 1, 591 2, 211 f g,exp /khz 1, 396 1, 586 2, 218 f 11, 6% 0, 3% 0, 3% Tabelle 5: Vergleich der Grenzfrequenzen für die Tiefpässe Tiefpässe gegenübergestellt. Die Theoriewerte ergeben sich dabei nach Gleichung (1), die experimentellen Frequenzen wurden aus Abb. 3 a) bei einer Ausgangsspannung von U a,max / 2 abgelesen. Die Werte stimmen bis auf den Bessel-Filter sehr gut mir der Theorie überein. 2.2 Hochpass Ähnlich wie in der vorherigen Aufgabe, sollte nun das Frequenzverhalten für Hochpässe untersucht werden. Dazu wurde ein Hochpass, s. Abb. 4, aufgebaut, bei dem im Gegensatz zum vorherigen Hochpass die R und C Glieder vertauscht wurden. Die Übert- 8

ragungsfunktion für einen Hochpass lautet dann: A(P ) = ( i 1 + a i + ) b i P P 2 Die Grenzfrequenz für Hochpässe zweiter Ordnung ergibt sich dann mit 1 f g = 2πRC (2) b 1 A Abbildung 4: Schaltplan Hochpass 2. Ordnung Zur Messung des Amplitudenganges wurde ein Wobbel-Messplatz aufgebaut. Dazu wurde die Frequenz der Ausgangsspannung des Funktionsgenerators mit einer zusätzlichen Dreieckspannung linear verändert. Diese Spannung und die Ausgangsspannung des Hochpassfilters wurden auf dem Oszillographen als x- und y-ablenkung verwendet. Um die Filter wiederum nach Bessel, Butterworth und Tschebyscheff zu nutzen, wurden die gleichen Einstellung wie in Abschnitt 2.1 verwendet. a) Bessel b) Butterworth c) 3dB-Tschebyscheff Abbildung 5: Amplitudengang der drei Hochpässe Zur Berechnung der theoretischen Grenzfrequenzen wurde Gleichung(2) verwendet. Zur Bestimmung der experimentellen Grenzfrequenzen, wurde die Frequenz gesucht, bei der die Ausgangsspannung auf U a = U a,max 2 abfiel. In Tab. 7 sind wiederum die experimentellen und theoretischen Werte gegenübergestellt. 9

Bessel Butterworth 3dB -Tschebyscheff f g,theo /khz 2, 024 1, 591 1, 145 f g,exp /khz 1, 972 1, 618 1, 176 f 2, 6% 1, 7% 2, 7% Tabelle 6: Vergleich der Grenzfrequenzen für die Hochpässe Es zeigt sich eine sehr gute Übereinstimmung aller experimentellen Grenzfrequenzen mit der Theorie. In Abb. 5 a) bis c) kann man deutlich die Arbeitsweise der Hochpässe erkennen. Für tiefe Frequenzen dämpfen sie die Ausgangsspannung und ab der Grenzfrequenz lassen sie die Eingangsspannung ungehindert passieren. Dabei zeigt auch hier der Bessel-Filter wieder den geringsten Anstieg. Der Tschebyscheff-Filter zeichnet sich durch seinen steilen Anstieg der Ausgangsspannung und sein Überschwingen aus. 2.3 Bandpassfilter Ein Bandpassfilter ist eine Kombination aus Hoch- und Tiefpass. Mit Hilfe der Bauelemente aus den vorherigen Aufgaben wurde eine Schaltung wie in Abb. 6 aufgebaut. Abbildung 6: Schaltplan Bandpassfilter mit Einfachmitkopplung Die Eigenschaften des Bandpasses lassen sich wiederum über die innere Verstärkung e einstellen. Man definiert die Güte eines solchen Filters mit: 2 Q = (3) 4 e f 0 = (4) f g,o f g,u Dabei sind f g,o und f g,u die obere und untere Grenzfrequenz, bei der jeweils die Ausgangsspannung auf 1/ 2 ihres Maximalwertes angestiegen bzw. abgefallen ist. Mit f 0 wird die Mittelfrequenz bezeichnet, bei der die maximale Spannungsübertragung besteht. Für sie gilt 1 f 0 = (5) 2πRC 10

Zur Bestimmung der spezifischen Frequenzen wurde wiederum ein Wobbel-Messplatz genutzt. In Abhängigkeit von der inneren Verstärkung e wurden dann die Ausgangsspannungen in Abhängigkeit von der Frequenz der Eingangsspannung aufgenommen. a) e = 2, 5 b) e = 3, 0 c) e = 3, 9 Abbildung 7: Amplitudengang des Bandpasses bei variierender innerer Verstärkung e Die Abb. 7 a) bis c) zeigen deutlich, dass der Verstärkungsbereich mit steigender inneren Verstärkung immer schmaler wird. Außerdem wird die maximale Verstärkung immer größer. Die theoretischen Werte für die Güte wurden aus Gleichung (4) und für die Mittelfrequenz aus Gleichung (5) errechnet. Die experimentellen Werte für die Güte folgen nach Gleichung (4). e 2,5 3,0 3,9 f g,u /khz 1, 370 1, 580 2, 156 f g,o /khz 3, 775 3, 228 2, 368 f 0,theo /khz 2, 250 2, 250 2, 250 f 0,exp /khz 2, 327 2, 302 2, 257 f 0 3, 5% 2, 3% 0, 3% Q theo 0, 943 1, 414 14, 14 Q exp 0, 968 1, 397 10, 65 Q 2, 7% 1, 2% 24, 7% Tabelle 7: Vergleich der Grenzfrequenzen für die Hochpässe Es zeit sich eine gute Übereinstimmung der Mittenfrequnzen und Güten für Theorie und Praxis. Einzig die große Abweichung der Güte bei e = 3, 9 sticht heraus. Doch die recht große Differenz kann durch das schwierige Ablesen am Oszilloskop gerade bei steilen Anstiegen begründet werden. 2.4 Bandsperrfilter Durch Kombination von Hoch- und Tiefpässen können auch Bandsperrfilter realisiert werden. Nach Abb. 8 wurde hier ein Doppel-T-Bandsperrfilter realisiert. Auch hier kamen wieder die gleichen Bauelemente wie in den Aufgaben zu vor zum Einsatz. Die theoreische Grenzfrequenz ergibt sich für den Bandsperrfilter mit: f g = 1 (6) πrc 11

Abbildung 8: Schaltplan Doppel-T-Bandsperrfilter Das in Abb. 9 dargestellte Oszillogramm zeigt den mit Hilfe des Wobbel-Messplatzes aufgenommenen Amplitudengang des Bandsperrfilters. Abbildung 9: Amplitudengang des Bandsperrfilters f g,theo = 3, 183kHz f g,exp = 3, 219kHz f = 1, 1% Auch hier stimmt der Vergleich von Theorie und Praxis sehr zufrieden. 12

3 Phasenempfindlicher Verstärker Es wurde ein Phasenempfindlicher Verstärker (PEG) analog zu Abb. 10 aufgebaut. Im oberen Zweig befinden sich zwei OVs. Das Eingangssignal wird zuerst von OV1 invertiert und wird dann einmal an den Source-Eingang von FET Tr1 und an den invertierenden Eingang von OV2 geleitet. OV2 invertiert wiederum sein Eingangssignal und leitet dieses an den Source-Eingang von FET Tr2. Die Verstärkung der beiden OVs sollte hierbei gleich sein. Mit Hilfe von Potentiometer P1 kann die Ausgangsspannung der beiden OVs geregelt werden. Im unteren Zweig wird das Referenzsignal eingespeist. Hier dient OV3 dazu den Eingang 3 rückkopplungsfrei. Dahinter befindet sich eine Wien-Brücke, die mit Hilfe des Tandem-Potentiometers P2 gesteuert werden kann. Um eine zusätzliche Phasenverschiebung zu erzeugen, kann R6 auf Masse gelegt werden. OV4 und OV5 bilden jeweils einen Schwellwert Schmitt-Trigger. Ihre Ausgangssignale sind also Rechteckspannungen die invertiert zu einander sind. Durch die Potentiometer P3 und P4 können die Ausgangsspannungen in ihrer Amplitute verändert werden. Anschließend steuern diese beiden Spannungen die Gate-Eingänge der beiden FETs Tr1 und Tr2. Die Ausgangsspannung des PEGs ist dann gleichgerichtet. Abbildung 10: Schaltplan PEG 3.1 Synchronbetrieb Eine echte Gleichspannung am Ausgang erhält man jedoch nur, wenn Eingangsspannung und Referenzspannung des PEG ein und die selbe sind, da es sonst durch ge- 13

ringste Frequenzunterschiede zu Schwebungen am Ausgang kommt. Deshalb wurde in diesem Abschnitt das Verhalten des PEG im Synchronbetrieb untersucht. Dazu wurde an Eingang 2 und 3 das gleiche Signal von 1V/1kHz gelegt. Anschließend wurden alle Potentiometer des PEG so nachgeregelt, dass eine möglichst symmetrische Ausgangsspannung in Abhängigkeit von der Phasenverschiebung abgegriffen werden konnte. Abbildung 11: Ausgangsspannung des PEG bei unterschiedlicher Phasenverschiebung Abb. 11 zeigt die Ausgangsspannung des PEG bei unterschiedlicher Phasenverschiebung ϕ. Es ist klar, dass die gemittelte Ausgangsspannung genau bei ϕ = 0 am größten ist. 0,4 a) b) 0,2 1200 0,0 1000-0,2 800 U a / V -0,4-0,6 U a / mv 600 400-0,8 200-1,0 0-140 -120-100 -80-60 -40-20 0 20 40 60 ϕ / 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 U e / mv Abbildung 12: Ausgangsspannung des PEG bei unterschiedlicher Phasenverschiebung Abb. 12 a) bestätigt dies. Es ist ein annähernd kosinusförmiger Verlauf zu erkennen, der bei ϕ = 0 einen vom Betrag maximalen Spannungswert aufweist. Die in Abb. 12 b) dargestellte Kennlinie U a (U e ) bei ϕ = 0 zeigt wie zu erwarten einen linearen Verlauf. 14

f/hz U a /V f/hz U a /V -118,0 0,3015-30,90-0,7881-110,7 0,2624-20,12-0,8541-100,0 0,1297-12,22-0,8776-92,88 0,0268 0,00-0,9060-80,80-0,1767 10,08-0,8860-73,44-0,2689 20,16-0,8226-58,93-0,4756 30,96-0,7411-51,84-0,5733 38,72-0,6714-40,24-0,6959 - - Tabelle 8: Messwerte U a (ϕ) U e /mv U a /mv 76,1 101,2 165,6 199,1 435,1 492,5 602,7 678,4 672,3 754,1 877,8 982,7 1131,4 1258 Tabelle 9: Messwerte U a (U e ) 3.2 Asynchronbetrieb Für die Messung im Asynchronbetrieb wurde mit Hilfe des GF22 Sinusspannungsgenerators eine 1V/1kHz Referenzspannung U ref an den Eingang 3 gelegt. An Eingang 2 wurde dann mit dem Funktionsgenerator eine variable Sinusspannung angelegt und diese dann von 1 U ref bis etwa 7 U ref variiert. An den Ausgang des PEG wurde zusätzlich ein RC-Tiefpassfilter geschaltet, der das Ausgangssignal glättet. Es wurden dabei drei verschieden Tiefpassfilter mit Grenzfrequenzen bei 20, 50 und 100Hz untersucht. Die Messwerte aus Tab. 10 sind in den Abb. 13 a) bis c) dargestellt. Es ist gut zu erkennen, dass die Ausgangsspannung nur bei Frequenzen der Eingangsspannung, die ungerade Vielfache der Referenzfrequenz sind, ungleich Null ist. Bei geraden Vielfachen sorgt die Phasenverschiebung dafür, dass die gemittelte Ausgangsspannung Null ergibt. Mit zunehmender Frequenz nehmen die Spitzenwerte der Spannungsspitzen zudem exponentiell ab. Im Vergleich der Tiefpässe am Ausgang besitzt der 20Hz- Tiefpass die größten Spannungsspitzen. Dies kann damit erklärt werden, dass dieser nur Schwebungen bis etwa 20Hz passieren lässt und somit weniger Frequenzen passieren können, die die Ausgangsspannung im Mittel verkleinern. 15

800 700 a) 20Hz 700 600 b) 50Hz 600 500 U a / mv 500 400 300 200 100 U a / mv 400 300 200 100 0-100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 f / Hz c) 100Hz 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 f / Hz 200 150 U a / mv 100 50 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 f / Hz Abbildung 13: Ausgangsspannung bei Asynchronbetrieb 16

20 Hz Tiefpass 50 Hz Tiefpass 100 Hz Tiefpass f/hz U a / V f/hz U a / V f/hz U a / V f/hz U a / V f/hz U a / V 1007 762 1000 657 3750 13 950 98 4840 10 1048 305 1050 144 3900 12 980 175 4900 13 1103 152 1100 79 3950 13 1000 200 4950 18 1254 62 1250 30 4000 15 1050 116 4980 29 1574 29 1500 17 4050 12 1100 60 5000 42 1760 24 1750 12 4100 10 1300 23 5050 33 1938 20 1900 11 4250 8 1500 15 5100 14 1900 20 1950 11 4500 7 2000 9 5300 7,7 2005 21 2000 17 4750 9 2500 10,3 5500 6,8 2893 48 2050 10 4950 31 2700 10 6000 5,9 3015 218 2100 10 4995 135 2800 13 6500 6,1 3117 48 2250 10 5050 27 2900 17 6900 9,7 4134 11 2500 10 5100 17 2970 60 6950 13 4902 33 2750 12 5250 12 2990 60 6990 21 4982 113 2900 30 5500 8 3000 68 7000 29 5105 29 2950 60 5750 6 3050 49 7100 13 6031 9 3000 200 6000 5 3100 32 7300 5 6906 25 3050 48 6750 6 3300 10 6983 85 3100 30 6900 13 3500 12 7100 23 3250 17 6950 24 4000 8,5 3500 14 7000 80 4500 6,9 Tabelle 10: Messwerte Asynchronbetrieb 17