Wiederholung aus Diskreter Mathematik I: I: Graphentheorie

Wiederholung aus Diskreter Mathematik I: I: Graphentheorie Inhalt: W.1 Grundlagen W.2 Das Königsberger Brückenproblem W.3 Bäume W.4 Planare Graphen W.5 Färbungen

W.1 Grundlagen Ein Ein Graph besteht aus aus Ecken und und Kanten; dabei verbindet jede jede Kante genau zwei zwei Ecken; je je zwei zwei Ecken können durch keine, eine eine oder oder mehr als als eine eine Kante verbunden sein. Beispiele: Seite 2

Anwendungen Städteverbindungen: Ecken = Städte, Kanten = Straßen. Typische (und (und schwere) Frage: Wie Wie kann man man eine eine Rundreise kürzester Länge finden? ( Travelling Salesman Problem ). Chemische Moleküle: Ecken = Atome, Kanten = Verbindungen. Wichtige Frage (die (die zur zur Entwicklung der der Graphentheorie entscheidend beigetragen hat): hat): Gegeben eine eine Summenformel (z.b. (z.b. C n H n 2n+1 OH), 2n+1 wie wie viele viele verschiedene Strukturformeln gibt gibt es es dazu? Soziogramme: Ecken = Personen einer Gruppe, Kanten = Beziehungen zwischen den den Menschen (z.b. (z.b. bekannt sein sein mit ). Seite 3

Vollständige Graphen Ein Ein Graph heißt vollständig, wenn jede jede Ecke mit mit jeder anderen durch genau eine eine Kante verbunden ist. ist. Das Das heißt, bei bei einem vollständigen Graphen sind sind je je zwei zwei Ecken verbunden, aber aber nur nur durch eine eine Kante. Der Der vollständige Graph mit mit n Ecken wird wird mit mit K n bezeichnet. n Beispiele: K 1 K 1 2 K 2 3 K 3 4 K 4 5 5 Seite 4

Zusammenhängende Graphen Ein Ein Graph heißt zusammenhängend, wenn man man von von jeder Ecke zu zu jeder anderen über über eine eine Folge von von Kanten kommen kann. Das Das bedeutet: Ein Ein Graph ist ist zusammenhängend, wenn er er nicht in in mehrere Teile zerfällt. Beispiel: zusammenhängend unzusammenhängend Seite 5

Grad einer Ecke Der Der Grad einer Ecke ist ist die die Anzahl der der Kanten, die die von von dieser Ecke ausgehen. Beispiele: a) a) Der Der Grad einer Ecke ist ist gleich 0, 0, falls falls von von ihr ihr keine Kante ausgeht. b) b) In In dem dem vollständigen Graphen K n hat n hat jede jede Ecke den den Grad n 1, n 1, da da sie sie mit mit jeder der der n 1 n 1 anderen durch genau eine eine Kante verbunden ist. ist. Im Im allgemeinen haben die die Ecken eines Graphen verschiedene Grade. Beispiel: Seite 6

W.2 Das Königsberger Brückenproblem Dem Mathematiker Leonhard Euler wurde 1736 folgendes Problem gestellt, das das ihn ihn zur zur Entwicklung der der ge- Graphentheorie geführt hat. hat. Durch Königsberg fließt die die Pregel, die die sich sich teilt teilt und und zwei zwei Inseln umfließt. Diese sind sind untereinander und und mit mit den den Ufern wie wie abgebildet durch Brücken verbunden. Schwierige Frage: Gibt Gibt es es einen Spaziergang, der der jede jede Brücke genau einmal überquert und und bei bei dem dem man man zum zum Ausgangspunkt zurückkehrt? Seite 7

Übersetzung der Karte in in einen Graphen Jedem Landteil wird wird eine eine Ecke zugeordnet: Jede Brücke wird wird mit mit einer Kante identifiziert: Aus Aus der der Landkarte erhält man man so so den den folgenden Graphen: Seite 8

Übersetzung des Problems (I): Eulersche Kreise Sei Sei G ein ein Graph. Eine Eine Folge k 1, 1, k 2,..., 2,..., k s von s von Kanten von von G heißt Kantenzug, falls falls es es Ecken e 0, 0, e 1, 1,..., e s gibt, s gibt, so so daß daß die die Kante k 1 die 1 die Ecken e 0 und 0 und e 1 verbindet, 1 die die Kante k 2 die 2 die Ecken e 1 und 1 und e 2 verbindet,...,..., die die Kante k s die 2 ver- s die Ecken e s 1 und s 1 und e s verbindet. s e 1 e 0 k 1 k 2 k s e 2 e s-1 e s Ein Ein Kantenzug heißt ein ein eulerscher Kreis von von G, G, wenn jede jede Kante von von G genau einmal unter den den k 1, 1, k 2, 2,...,., k s auftaucht s und und e s = s e 0 ist. 0 ist. Seite 9

Übersetzung des Problems (II): Eulersche Graphen Ein Ein eulerscher Graph ist ist ein ein Graph, der der einen eulerschen Kreis enthälthält. ent- Mit Mit anderen Worten: Ein Ein Graph ist ist eulersch, wenn man man -- seine Kanten in in einem Zug Zug zeichnen kann und und -- am am Ende wieder am am Ausgangspunkt anlangt. Beispiel: K 5 ist 5 ist eulersch: Seite 10

Lösung des Königsberger Brückenproblems Der Der gesuchte Spaziergang, der der jede jede Brücke genau einmal überquert und und zum zum Startpunkt zurückkehrt, entspricht einem eulerschen Kreis. Unsere Frage lautet also: Ist Ist der der Graph des des Königsberger Brückenproblems eulersch? Eine Eine Antwort gibt gibt der der Satz Satz von von Euler (1736): Wenn ein ein Graph G eulersch ist, ist, dann hat hat jede jede Ecke von von G geraden Grad. Damit gelang Euler die die Lösung des des Königsberger Brückenproblems: Der Der Graph des des Problems hat hat Ecken vom vom Grad 3, 3, 3, 3, 3, 3, 5. 5. Also Also ist ist er er nicht eulersch. Ein Ein solcher Spaziergang ist ist nicht nicht möglich! Seite 11

Beweis des Satzes von Euler Sei Sei e eine eine beliebige Ecke von von G. G. Der Der eulersche Kreis durchquert die die Ecke e ein ein paar paar Mal, Mal, sagen wir wir a mal. mal. Behauptung: Der Der Grad der der Ecke e ist ist gleich 2a, 2a, also also eine eine gerade Zahl. Denn: Bei Bei jedem Durchgang durch e verbraucht der der eulersche Kreis zwei zwei Kanten; in in a Durchgängen werden also also 2a 2a Kanten erfaßt. Da Da keine Kante zweimal benutzt werden darf, darf, ist ist der der Grad von von e also also mindestens gleich 2a. 2a. Der Der Grad kann aber aber auch nicht größer sein, da da jede jede Kante (also auch jede jede Kante, die die an an e angrenzt) in in dem dem eulerschen Kreis mindestens einmal vorkommen muß. Damit ist ist der der Grad von von e wirklich gleich 2a, 2a, und und der der Satz Satz ist ist bewiesen. Seite 12

Umkehrung des Satzes von Euler Mitteilung (ohne Beweis): Es Es gilt gilt auch die die Umkehrung des des Satzes von von Euler: Wenn in in einem zusammenenhängenden Graphen G jede jede Ecke geraden Grad hat, hat, dann ist ist G eulersch. Folgerung: Jeder vollständige Graph K n mit n mit ungeradem n (also K 3, 3, K 5, 5, K 7, 7,...) ist ist eulersch. Denn: Jede Ecke von von K n hat n hat den den Grad n 1; n 1; und und wenn n ungerade ist, ist, ist ist n 1 n 1 gerade. Seite 13

Offene eulersche Linien Eine Eine offene eulersche Linie ist ist ein ein Kantenzug, -- der der jede jede Kante genau einmal durchquert, -- wobei die die Anfangsecke verschieden von von der der Endecke ist. ist. Also Also kann ein ein Graph genau dann in in einem Zug Zug gezeichnet werden, wenn er er einen eulerschen Kreis oder oder eine eine offene eulersche Linie besitzt. Beispiel: Satz: Ein Ein zusammenhängender Graph besitzt genau dann eine eine offene eulersche Linie, wenn er er genau 2 Ecken ungeraden Grades besitzt. Wenn dies dies der der Fall Fall ist, ist, so so beginnt die die offene eulersche Linie an an der der einen Ecke ungeraden Grades und und endet an an der der anderen. Seite 14

Beweis der Hinrichtung Wir Wir müssen zwei zwei Richtungen zeigen. 1. 1. Richtung: Wenn G eine eine offene eulersche Linie Linie hat, hat, dann gibt gibt es es genau 2 Ecken mit mit ungeradem Grad. G habe eine eine offene eulersche Linie mit mit Anfangsecke a und und Endecke e. e. Trick: Wir Wir denken uns uns eine eine zusätzliche Kante k* k* zwischen a und und e. e. Dann wird wird aus aus der der offenen eulerschen Linie eine eine geschlossene. Nach dem dem Satz Satz von von Euler hat hat dann also also jede jede Ecke geraden Grad. Nun Nun vergessen wir wir k* k* wieder. Jede Ecke verschieden von von a und und e hat hat dann immer noch geraden Grad, während sich sich der der Grad von von a und und e jeweils um um 1 erniedrigt hat, hat, also also jetzt jetzt ungerade ist. ist. Also Also sind sind a und und e die die einzigen Ecken ungeraden Grades. Seite 15

Beweis der Rückrichtung 2. 2. Richtung: Wenn G genau 2 Ecken mit mit ungeradem Grad hat, hat, dann gibt gibt es es eine eine offene eulersche Linie. Sei Sei G ein ein zusammenhängender Graph, der der genau zwei zwei Ecken a und und e ungeraden Grades besitzt. Trick: Wir Wir denken uns uns eine eine zusätzliche Kante k* k* zwischen a und und e. e. Diese hat hat den den Effekt, daß daß jetzt jetzt jede jede Ecke geraden Grad hat. hat. Nach der der Umkehrung des des Satzes von von Euler hat hat der der Graph mit mit der der Kante k* k* eine eine geschlossene eulersche Linie. Wenn wir wir k* k* wieder vergessen, wird wird aus aus der der geschlossenen eulerschen Linie eine eine offene mit mit der der Anfangsecke a und und der der Endecke e. e. Also Also hat hat G eine eine offene eulersche Linie. Seite 16

Bsp.: Gibt es es offene Spaziergänge durch Königsberg? Der Der Graph des des Königsberger Brückenproblems hat hat vier vier Ecken ungeraden Grades. den Also Also enthält er er auch keine offene Linie. Es Es gibt gibt also also keinen Spaziergang durch Königsberg, der der jede jede Brücke genau einmal überquert selbst wenn der der Startpunkt verschieden vom vom Endpunkt sein sein darf. darf. Seite 17

W.3 Bäume Ein Ein Baum ist ist ein ein Graph, der der zusammenhängend ist ist und und keinen Kreis enthält. Beispiel: Alle Alle Bäume mit mit höchstens fünf fünf Ecken: Bemerkung: Wir Wir betrachten nur nur Bäume mit mit endlich vielen Ecken. Seite 18

Hilfssatz über Endecken Eine Eine Endecke eines Baums ist ist eine eine Ecke vom vom Grad 1. 1. Hilfssatz. Jeder Baum (bis (bis auf auf den den Baum, der der nur nur aus aus einer Ecke besteht) hat hat mindestens eine eine Endecke. Beweis: Wir Wir starten mit mit einer beliebigen Ecke e 0. 0. Wir Wir gehen von von e 0 0 aus aus über über eine eine Kante zu zu einer Ecke e 1. 1. Wenn e 1 eine 1 eine Endecke ist, ist, so so ist ist alles alles gut. gut. Wenn nicht, können wir wir über über eine eine neue Kante von von e 1 aus 1 aus zu zu einer Ecke e 2 gelangen. 2 Wenn e 2 eine 2 eine Endecke ist, ist, sind sind wir wir fertig. Sonst gehen wir wir über über eine eine neue Kante zu zu einer Ecke e 3. 3. Usw. Alle Alle diese Ecken sind sind verschieden (sonst gäbe es es einen Kreis). Da Da es es nur nur endlich viele viele Ecken gibt, gibt, muß muß obige Konstruktion einmal abbrechen. Die Die Ecke, an an der der es es nicht weitergeht, ist ist eine eine Endecke. Seite 19

Satz über die Anzahl von Ecken und Kanten Satz: Für Für jeden Baum G mit mit n Ecken und und m Kanten gilt gilt n = m + 1. 1. Beweis durch Induktion nach der der Anzahl n der der Ecken: Induktionsverankerung : Im Im Fall Fall n = 1 besteht G nur nur aus aus einer Ecke und und keiner Kante; also also ist ist m = 0, 0, und und somit n = m+1. Induktionsvoraussetzung : Angenommen, die die Behauptung gilt gilt bis bis zu zu einem gewissen n. n. Daraus müssen wir wir die die Gültigkeit für für n+1 n+1 folgern. Induktionsschritt : Sei Sei G ein ein Baum mit mit n+1 n+1 Ecken. Nach dem dem Hilfssatz hat hat G eine eine Endecke e*. e*. Entfernen wir wir e* e* und und die die an an e* e* angrenzende Kante k*, k*, so so erhalten wir wir einen Baum G* G* mit mit nur nur n Ecken. Nach Induktionsvoraussetzung hat hat G* G* also also genau n 1 n 1 Kanten. Da Da G genau eine eine Kante mehr als als G* G* hat, hat, hat hat G genau n Kanten. Damit ist ist der der Induktionsschritt bewiesen, die die Aussage gilt gilt allgemein. satz Seite 20

W.4 Planare Graphen Ein Ein Graph heißt planar, falls falls er er ohne Überschneidungen in in der der Ebene gezeichnet ist. ist. Beispiele: (a) (a) (b) (b) Projektionen konvexer Polyeder, z.b. z.b. eines Würfels: Projektion Seite 21

Plättbare Graphen Ein Ein Graph ist ist plättbar, wenn er er überschneidungsfrei in in die die Ebene gezeichnet werden kann. Beispiel: Der Der Graph ist ist plättbar, denn er er kann wie wie folgt folgt überschneidungsfrei gezeichnet werden: Ein Ein Graph heißt einfach, wenn je je zwei zwei Ecken durch höchstens eine eine Kante verbunden sind. Seite 22

Die Eulersche Polyederformel Jeder planare Graph zerlegt die die Ebene in in Gebiete. Wir Wir bezeichnen die die Anzahl der der Gebiete mit mit g. g. Es Es gibt gibt stets stets mindestens ein ein Gebiet, das das äußere Gebiet. D.h.: D.h.: g 1. 1. Beispiele: (a) (a) Der Der Graph hat hat g = 6. 6. (b) (b) Bäume haben g = 1. 1. Eulersche Polyederformel. Sei Sei G ein ein zusammenhängender planarer Graph mit mit n Ecken, m Kanten und und g Gebieten. Dann gilt: gilt: n m + g = 2. 2. Seite 23

Beweis der Eulerschen Polyederformel Beweis durch Induktion nach der der Anzahl g der der Gebiete. Induktionsverankerung: Sei Sei zunächst g = 1. 1. Dann hat hat G keine Kreise, ist ist also also ein ein Baum. Daher gilt gilt nach dem dem letzten Satz Satz n = m+1, das das heißt n m + g = (m+1) m + 1 = 2. 2. Induktionsvoraussetzung: Angenommen, die die Aussage gilt gilt für für ein ein g. g. Zu Zu zeigen: sie sie gilt gilt auch für für g+1. g+1. Induktionsschritt: G habe g+1 g+1 Gebiete. Da Da g+1 g+1 > 1 ist, ist, ist ist G kein kein Baum, enthält daher einen Kreis. Wir Wir entfernen eine eine Kante k* k* dieses Kreises. Da Da k* k* an an zwei zwei Gebiete von von G angrenzt, hat hat der der neue Graph G* G* nur nur noch g* g* = g Gebiete. Also Also können wir wir auf auf G* G* die die Induktionsvoraussetzung anwenden (G* (G* hat hat m 1 m 1 Kanten und und n Ecken): 2 = n (m 1) + g = n m + (g+1). Also Also gilt gilt die die Aussage für für g+1. g+1. Seite 24

Satz über planare Graphen Satz: Sei Sei G ein ein zusammenhängender einfacher planarer Graph mit mit n 3 Ecken und und m Kanten. Dann gilt: gilt: m 3n 3n 6. 6. (D.h.: Ein Ein planarer Graph hat hat relativ wenige Kanten.) Beweis (durch trickreiche Abzählungen): Für Für ein ein Gebiet L (wie (wie Land ) sei sei m(l) m(l) die die Anzahl der der Kanten dieses Landes. Da Da jedes Land mindestens drei drei Kanten hat, hat, gilt: gilt: m(l) 3g. LGebiet Nun Nun zählen wir wir die die Paare (k, (k, L), L), wobei die die Kante k ein ein Teil Teil der der Grenze des des Gebiets L ist: ist: m(l) 2m. LGebiet Zusammen folgt: 2m 2m 3g, 3g, d.h. d.h. g 2m/3. Einsetzen in in die die Eulersche Polyederformel: n m + 2m/3 n m + g = 2, 2, also also m 3n 3n 6. 6. Seite 25

Folgerungen Folgerung: Der Der vollständige Graph K 5 ist 5 ist nicht plättbar. Beweis: Wäre K 5 plättbar, 5 so so könnte nach obigem Satz Satz () seine Anzahl von von Kanten höchstens 3n 6 = 9 sein. K 5 hat 5 hat jedoch 5 = 10 10 Kanten. 2 Satz: Sei Sei G ein ein zusammenhängender einfacher planarer Graph. Dann gibt gibt es es mindestens eine eine Ecke, die die einen Grad 5 hat. hat. Beweis: Die Die Behauptung ist ist klar klar für für n = 1 und und n = 2. 2. Sei Sei nun nun n 3: 3: Wenn jede jede Ecke mindestens den den Grad 6 hätte, folgte aus aus dem dem vorigen Satz Satz 6 n Grad(x) = 2m 6n 12, das das ist ist ein ein Widerspruch. xecke Seite 26

Anwendungsaufgabe Aufgabe: Drei Drei Häuser A, A, B, B, C sollen jeweils durch eine eine Leitung mit mit dem dem Gaswerk (G), (G), Elektrizitätswerk (E) (E) und und dem dem Wasserwerk (W) (W) verbunden werden. Kann man man dies dies so so machen, daß daß sich sich die die Leitungen nicht überkreuzen? Graphentheoretische Formulierung: Ist Ist der der folgende Graph plättbar? Dieser Graph heißt vollständig bipartit und und wird wird mit mit K 3,3 bezeichnet. 3,3 Seite 27

Lösung der Aufgabe Es Es ist ist nicht möglich! Beweis: Angenommen, wir wir könnten diesen Graphen als als planaren Graphen zeichnen. Dann hätte dieser n = 6 Ecken, m = 9 Kanten, und und nach der der Eulerschen Polyederformel könnten wir wir die die Anzahl der der Länder ausrechnen: 2 = n m + g = 6 9 + g, g, also also g = 5. 5. Jedes Gebiet des des Graphen muß muß eine eine gerade Anzahl von von Ecken haben, denn Häuser und und Versorgungswerke wechseln sich sich ab. ab. Daher hat hat jedes Gebiet mindestens 4 Ecken und und also also auch mindestens 4 Kanten. Daher gilt gilt m(l) 4g, LGebiet und und daher 2m 2m 4g. 4g. In In unserem Fall Fall bedeutet dies dies 18 18 = 2m 2m 4g 4g = 20. 20. Dieser Widerspruch zeigt, daß daß K 3,3 nicht 3,3 plättbar ist. ist. Seite 28

W.5 Färbungen Ursprung: Mitte des des letzten Jahrhunderts kam kam die die Frage auf: auf: Wie Wie viele viele Farben braucht man man mindestens, um um eine eine beliebige Landkarte so so zu zu färben, daß daß je je zwei zwei benachbarte Länder verschiedene Farben haben? Vierfarbenvermutung: Vier Vier Farben genügen! Seite 29

Vierfarbenvermutung -- Die Anfänge 1852: Mathematikstudent F. F. Guthrie färbt färbt Karte von von England mit mit Grafschaften und und äußert zum zum ersten Mal Mal die die Vierfarbenvermutung. Sein Sein Bruder erzählte es es seinem Professor A. A. de de Morgan, der der seinem Kollegen W. W. R. R. Hamilton in in einem Brief Brief davon berichtet. Hamilton interessierte sich sich jedoch nicht sehr sehr dafür. Seite 30

Vierfarbenvermutung -- Beweisversuche 1878: On On the the colouring of of maps von von A. A. Cayley. 1879: On On the the geographical problem of of the the four four colors von von A. A. B. B. Kempe: erster Beweis des des Vierfarbensatzes. 1890: P. P. J. J. Heawood entdeckt einen Fehler in in Kempes Beweis. Heawood kann den den Fünffarbensatz zeigen ( 5 ( 5 Farben reichen auf auf jeden Fall ). H. H. Heesch (1906-1995): Entwickelt von von Kempes Methoden jahrzehntelang subtil weiter und und kommt zu zu dem dem Schluß, daß daß das das Problem mit mit Hilfe Hilfe eines Rechners lösbar sein sein müßte. Sein Sein Antrag an an die die lang DFG wird wird aber aber abgelehnt! Seite 31

Der Beweis des Vierfarbensatzes mit dem Computer 1976: K. K. Apel Apel und und W. W. Haken (University of of Illinois at at Urbana) bauen auf auf den den Arbeiten von von Heesch auf, auf, haben Geld für für einen Computer und und können das das Problem lösen. Der Der Satz Satz ist ist endlich bewiesen! Der Der Beweis hat hat viel viel Aufsehen erregt: Zum Zum ersten Mal Mal beim Beweis eines Satzes wurde der der Computer essentiell eingesetzt. Auch heute noch wünschen sich sich viele viele Mathematiker einen schönen, kurzen Beweis, den den man man z.b. z.b. in in einer Vorlesung darstellen könnte. Seite 32

Übersetzung der Landkarte in in einen Graphen Wir Wir zeichnen in in jedem Land einen Punkt (die (die Hauptstadt ) aus; aus; das das sind sind die die Ecken des des Graphen. Wir Wir verbinden zwei zwei Ecken durch eine eine Kante, wenn die die entsprechenden Länder ein ein Stück Grenze gemeinsam haben. Auf Auf diese Weise erhält man man einen planaren Graphen. Beispiel: Seite 33

Die chromatische Zahl χ(g) Eine Eine Färbung eines Graphen ist ist eine eine Zuordnung von von Farben zu zu den den Ecken, so so daß daß keine zwei zwei durch eine eine Kante verbundenen Ecken die die gleiche Farbe haben. Die Die chromatische Zahl Zahl χ(g) χ(g) eines Graphen G ist ist die die kleinste natürliche Zahl Zahl n, n, so so daß daß G mit mit n Farben gefärbt werden kann. (χ (χ ist ist der der griech. Buchstabe chi, der der Anfangsbuchstabe des des Wortes chroma = Farbe.) Beispiele: (a) (a) Kreise gerader Länge haben χ = 2, 2, Kreise ungerader Länge χ = 3. 3. liche (b) (b) χ (K (K n ) n ) = n. n. Seite 34

Übersetzung des Färbungsproblems in in Graphentheorie Übersetzung des des Problems: Die Die Ecken des des Graphen sollen so so gefärbt werden, daß daß je je zwei zwei durch eine eine Kante verbundene Ecken verschiedene Farben haben. Wieviele Farben benötigt eine eine solche Färbung? Die Die Vierfarbenvermutung lautet nun: nun: Wenn G ein ein planarer Graph ist, ist, so so ist ist χ(g) χ(g) 4.. Folgendes Beispiel zeigt, daß daß nur nur 3 Farben nicht genügen: Seite 35

Greedy Algorithmus Sei Sei (G) (G) ( delta ) der der maximale Grad von von G. G. Satz: Für Für jeden Graphen G (nicht nur nur für für planare) gilt gilt χ(g) χ(g) (G) (G) + 1. 1. Beweis: Mit Mit folgendem Verfahren ( Greedy Algorithmus ) kann man man einen beliebigen Graphen G mit mit höchstens (G) (G) + 1 Farben färben: Die Die Farben seien die die Zahlen 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4,...... Die Die Ecken seien numeriert: e 1, 1, e 2, 2, e 3, 3,... Wir Wir färben e 1 mit 1 mit der der Farbe 1. 1. Wenn wir wir zu zu irgendeiner Ecke e i kommen, i färben wir wir sie sie mit mit der der kleinsten Farbe, die die nicht verboten ist. ist. Wieviel Farben sind sind für für e i verboten? ver- i Schlimmstenfalls ist ist e i i eine eine Ecke mit mit maximalem Grad = (G) (G) und und alle alle Nachbarecken von von e i sind i sind bereits verschieden gefärbt. In In diesem Fall Fall sind sind Farben verboten. Dann gibt gibt es es aber aber immer noch eine, die die wir wir wählen können. Seite 36

Der Vierfarbensatz und der Fünffarbensatz Für Für planare Graphen gilt gilt etwas viel viel besseres: Vierfarbensatz: Jeder planare Graph kann mit mit vier vier Farben gefärbt werden. D.h.: D.h.: Für Für jeden planaren Graphen G gilt: gilt: χ(g) χ(g) 4.. Das Das bedeutet: In In jeder ebenen Landkarte können die die Länder so so mit mit vier vier Farben gefärbt werden, daß daß je je zwei zwei Länder, die die ein ein Stück gemeinsame Grenze haben, verschieden gefärbt sind. Der Der Beweis (Apel und und Haken, 1976) ist ist zu zu schwierig für für eine eine Vorlesung. Wir Wir beweisen den den Fünffarbensatz (Heawood, 1890): Jeder planare Graph kann mit mit fünf fünf Farben gefärbt werden. Seite 37

Beweis des Fünffarbensatzes (I) (I) Beweis: Wir Wir gehen schrittweise vor vor ( Induktion nach der der Eckenzahl n): n): Für Für n = 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5 ist ist die die Aussage trivial: Jeder Graph mit mit höchstens 5 Ecken kann natürlich mit mit 5 Farben gefärbt werden. Sei Sei nun nun n 5, 5, und und sei sei die die Aussage richtig für für n. n. Das Das bedeutet: Jeder planare Graph mit mit n Ecken kann mit mit 5 Farben gefärbt werden. Sei Sei nun nun G ein ein planarer Graph mit mit n+1 n+1 Ecken. Wir Wir müssen zeigen, daß daß auch G mit mit 5 Farben gefärbt werden kann. Wir Wir wissen (Folie 26), 26), daß daß G eine eine Ecke e* e* vom vom Grad 5 enthält. Wir Wir entfernen e* e* und und alle alle an an e* e* anliegenden Kanten. So So erhalten wir wir einen planaren Graphen G* G* mit mit nur nur n Ecken. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt G* G* eine eine Färbung mit mit 5 Farben. Seite 38

Beweis des Fünffarbensatzes (II) (II) Ziel: Ziel: Mit Mit dieser Färbung von von G* G* eine eine Färbung von von G erstellen! 1. 1. Fall: Fall: Wenn die die ( ( 5) 5) zu zu e* e* benachbarten Ecken insgesamt mit mit höchstens 4 Farben gefärbt sind, dann kann e* e* mit mit der der verbleibenden 5. 5. Farbe gefärbt werden. 2. 2. Fall: Fall: e* e* hat hat 5 Nachbarecken e 1, 1, e 2, 2, e 3, 3, e 4, 4, e 5, 5, die die mit mit den den Farben 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5 gefärbt sind. Die Die Ecken e 1, 1,..., e 5 seien 5 gegen den den Uhrzeigersinn angeordnet. Wir Wir betrachten zunächst nur nur die die Menge aller aller Ecken der der Farben 1 oder oder 3, 3, die die von von e 1 aus 1 aus erreichbar sind. Wir Wir unterscheiden zwei zwei (Unter-) Fälle. Seite 39

Beweis des Fünffarbensatzes (III) Guter Fall: Fall: Wenn man man von von e 1 ausgeht 1 und und nur nur Ecken der der Farben 1 oder oder 3 benützt, kommt man man nie nie zu zu e 3. 3. Dann kann man man die die Ecken der der Farben 1 oder oder 3, 3, die die man man von von e 1 aus 1 aus erreichen kann, umfärben (aus (aus 1 wird wird 3, 3, aus aus 3 wird wird 1). 1). Diese neue Färbung von von G* G* hat hat die die Eigenschaft, daß daß bei bei den den Ecken e 1, Fär- 1,..., e 5 nur 5 nur die die Farben 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5 vorkommen. Also Also kann e* e* mit mit der der Farbe 1 gefärbt werden. Seite 40

Beweis des Fünffarbensatzes (IV) Schlechter Fall: Fall: Es Es gibt gibt einen Weg Weg von von e 1 nach 1 e 3, 3, der der nur nur Ecken der der Farben 1 und und 3 benutzt. Nun Nun betrachten wir wir die die Ecken e 2 und 2 und e 4. 4. Wegen der der Planarität von von G können diese Ecken nicht durch einen Weg Weg verbunden sein, der der nur nur Ecken der der Farben 2 und und 4 benutzt. Also Also kann man man alle alle Ecken der der Farben 2 oder oder 4, 4, die die von von e 2 aus 2 aus erreichbar sind, sind, umfärben (2 (2 4 vertauschen). Damit erhält man man eine eine Färbung von von G*, G*, bei bei der der e 2 die 2 die Farbe 4 erhält. Nun Nun kann man man e* e* mit mit der der Farbe 2 färben. Damit ist ist der der Fünffarbensatz bewiesen! Seite 41