Inhalt der Vorlesung B 4. Elektrizitätslehre, Elektrodynamik Einleitung Ladungen & Elektrostatische Felder Elektrischer Strom Magnetostatik Zeitlich veränderliche Felder - Elektrodynamik Wechselstromnetzwerke Die Maxwell schen Gleichungen Elektromagnetische Wellen & Strahlung Relativität der Felder 5. Optik Licht als elektromagnetische Welle Geometrische Optik Optische Abbildungen Wellenoptik 1
Magnetische Kräfte auf geladene Teilchen: Die Lorentz-Kraft F Kraft Eine Ladung q bewegt sich mit der Geschwindigkeit v z Rechte-Hand-Regel: in einem magnetischen y Feld B. x und damit: v Bewegung d ( v ) 0 v const. dt B Feld dv v 0 v dt Kraft auf die Ladung: Lorentz-Kraft dv dt F qv B Im Magnetfeld bleibt der Betrag der Geschwindigkeit konstant. Antoon Lorentz ( 1853-198 )
Beispiel 1: Die Bewegung einer Ladung im homogenen Magnetfeld ω z qb m z Magnetische Flasche 3
Die Bewegung von geladenen Teilchen im Erdmagnetfeld kann jetzt qualitativ verstanden werden: Die Teilchen bewegen sich auf Spiralbahnen entlang der Feldlinien. 4
Beispiel : Funktionsweise eines Zyklotrons Da sich im magnetischen Feld der Betrag der Geschwindigkeit nicht ändert, können Ladungen allein mit Magnetfeldern nicht beschleunigt werden. Im Zyklotron wird dafür ein elektrisches Feld immer wieder durchlaufen. Ernest Lawrence (1901-1958) 5
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Beispiel 3: Das Massenspektrometer Beschleunigungsstrecke U b + v 0 B q, m Teilchenquelle R R Spektrallinie Schirm Die geladenen Teilchen werden durch U b beschleunigt und erhalten die Geschwindigkeit: qu b v0 m Im Magnetfeld B werden sie auf einem Halbkreis abgelenkt. Das Kräftegleichgewicht ist hier: mv R 0 mv0 q v0b R q B Quadriert man beide Ausdrücke dann folgt: v 0 qu b m U b q R m und q m B v R 0 q m Daraus ergibt sich schließlich: q U b B mr ( ) m R B qu b B R 7
Magnetische & Elektrische Kräfte Die Lorentz-Kraft auf eine bewegte Ladung q im Magnetfeld ist: F qv B Ist auch noch ein elektrisches Feld vorhanden, dann wirkt die Gesamtkraft: F q E+ v B ( ) Beispiel 1: Vergleich der Kräfte auf ein geladenes Teilchen, welches sich (fast) mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, d.h. es ist v c. Die elektrische und magnetische Kraft sind gleich groß wenn: E c B Ein Magnetfeld von B 1 Tesla ist leicht zu erzeugen. Dem würde ein elektrisches Feld von 8 V E 3 10 m entsprechen. Dies ist unmöglich zu erzeugen ( Überschläge). In Teichenbeschleunigern wie DELTA werden daher Magnete zur Ablenkung verwendet! 8
U H B Beispiel : Der Hall-Effekt Durch einen Leiter der Breite a und der Dicke d fließt ein Strom I. Wenn senkrecht zum Leiter das Magnetfeld B wirkt, dann werden die bewegten Ladungen im Leiter senkrecht zum Magnetfeld und senkrecht zur Richtung des Stroms abgelenkt. d a I Dadurch entsteht an den Seiten eine Potentialdifferenz U H, die solange ansteigt, bis die ablenkende Wirkung des Magnetfeldes durch das entstehende elektrische Feld an den Leiterseiten kompensiert wird. In diesem Gleichgewichtszustand gilt: F e( E ) H + v B E + v B Wir hatten für die Geschwindigkeit der Elektronen im Leiter bereits den folgenden Zusammenhang gefunden: I I U H v und EH A ad a ρ ρ H 0 0 9
Da v B, E v und E B kann mit den Beträgen gerechnet werden: U H a IB ρad Daraus ergibt sich die sog. Hall- Spannung: I I UH B RH B ρd d Die Ladungsdichte ρ wird oft durch die Dichte der Ladungsträger n ausgedrückt: ρ ne Die Größe R H 1 1 ρ ne Edwin Herbert Hall (1855-1938) is die Hall-Konstante. Sie ist besonders groß, wenn n klein ist. Dies ist speziell für Halbleiter der Fall. Da B U H kann durch Messen der Hall-Spannung das Magnetfeld B bestimmt werden. Vor allem aus kleinen Halbleiterstreifen gefertigte Sonden werden häufig zur Magnetfeldmessung verwendet ( Hallsonden ). Es werden positive und negative Hall-Konstanten gemessen (Elektronenleitung und Löcherleitung ). 10
Die Kraft auf einen Leiter im Magnetfeld Versuch: Leiterschaukel im Magnetfeld Stromversorgung Ampèremeter Leiter Leiterschaukel Magnet Der stromdurchflossene Leiter wird je nach Richtung des Stromflusses in den Magneten hineingezogen oder herausgedrückt. 11
I B Strom F l Auf einen stromdurchflossenen Leiter der Länge l wirkt im Magnetfeld eine Kraft F. Dabei findet man experimentell: F B und F l l Dabei ist ein Vektor, der in die Richtung des Stromflusses zeigt. Der Betrag von l gibt die Länge des Leiterstückes an, das vom homogenen Magnetfeld B durchsetzt wird. Für die Kraft auf das Leiterstück ergibt sich quantitativ: F Il B 1
z y F Kraft x B Feld I Stromrichtung 13
Um die Auslenkung der Leiterschaukel qualitativ zu erklären, machen wir uns zunächst die Abstoßung zweier Stabmagneten klar: Feldliniendichte Abstoßung!! erhöht!! 14
Qualitative Erklärung der Kraftwirkung auf die Leiterschaukel: Felder addieren sich Kraft äußeres Feld Feld des Leiters B Felder kompensieren sich Auf der linken Seite addieren sich die Felder, und auf der rechten Seite kompensieren sie sich. Der Leiter weicht in diesem inhomogenen Magnetfeld in die Richtung mit dem kleineren Feld aus. Die Kraft weist nach rechts. 15
Es soll jetzt gezeigt werden, dass diese Kraftwirkung äquivalent zur Lorentz-Kraft auf eine einzelne Ladung ist. Wir betrachten die folgende Situation in einem Leiterstück der Länge dl : Es ist dann: dl ρ v A df I dl B Wir hatten bereits für den Strom die Formel I ρ v A ρva hergeleitet. Die Ladungsdichte ρ und die Geschwindigkeit v der Ladungen lassen sich ausdrücken durch: dq dl ρ und v Adl dt Einsetzen ergibt: dq dl df ρvadl B dl B Adl dt dl dq B dq v B dt Dies ist der Ausdruck für die Lorentz- Kraft auf eine Ladung dq. 16
Das magnetische Moment F a F A l a B z Eine von einem Strom I durchflossene rechteckige Leiterschleife mit den Kantenlängen a und l befindet sich um die x-achse drehbar in einem homogenen Magnetfeld B. I F a F ϕ y x Die parallel zur x-achse wirkenden Kräfte F a heben sich gegenseitig auf. Dagegen erzeugen die Kräfte F auf die Seiten l ein Drehmoment um die x-achse der Stärke a M F sinϕ ex afsinϕe Die Kraft auf die Leiterseiten ist F Il B IlB e wobei: 0 B 0 B z Dann wird das Drehmoment: M I al B sin z ϕ e A z y x 17 x
Es wird wieder eine Flächennormale A definiert, deren Betrag A al beträgt. Dann kann das Drehmoment auch in der folgenden Form geschrieben werden: M IA B Diese Beziehung gilt ganz allgemein für beliebig geformte Leiterschleifen. Man ordnet einer Leiterschleife, durch die der Strom I fließt und die die Fläche A umschließt, das magnetische Moment m zu, mit: m IA Damit ergibt sich für das auf eine Leiterschleife wirkende Drehmoment: M M m B Die Analogie zum wirkenden Drehmoment auf einen elektrischen Dipol ist zu erkennen. Es war: Dipol p E Das magnetische Moment ist also die zum elektrischen Dipolmoment äquivalente Größe. Eine stromdurchflossene Leiterschleife richtet sich im Magnetfeld immer so aus, daß ihre Flächennormale parallel zum Magnetfeld steht. 18
Wenn die Leiterschleife ausgerichtet ist, dann verschwindet das Drehmoment, und es gibt auch keine resultierenden Kräfte auf die Gesamtschleife. Dies gilt sofern das Magnetfeld homogen ist, d.h. B ( r ) B 0 const. Beispiel 1: Prinzip des Ampèremeters Feder In einem inhomogenen Magnetfeld würde aber eine Kraft auf die stromdurchflossene Leiterschleife wirken. Dies ist analog zum elektrischen Dipol im inhomogenen elektrischen Feld ( siehe Kapitel 4..1). drehbare Spule Magnet 19
Das Biot-Savart sche Gesetz Das elektrostatische Feld konnte mit dem Superpositionsprinzip für jede beliebige Ladungsverteilung berechnet werden. Da es keine magnetischen Ladungen gibt, ist es recht schwierig, das statische Magnetfeld für eine beliebige Stromverteilung zu bestimmen. Wir betrachten jetzt ein von einem Strom I durchflossenes Leiterelement dl, dass sich am Ort r ' befindet und am Ort r das Magnetfeld db erzeugt. Das Biot-Savart sche Gesetz besagt, dass sich für db das Folgende ergibt: db Leiter r 0 db r r ' Jean Baptiste Biot (1774-186) r ' I dl µ dl r r 0I 3 4 π r r' ' ( ) I 0
Das Feld eines stromdurchflossenen Leiters ist dann gegeben durch: µ 0I dl ( r r ') B( r ) 3 4π r r ' Leiter Dabei ist das Integral entlang der Linie des Verlaufes des Leiters zu berechnen. Beispiel 1: Das magnetische Feld im Zentrum einer kreisförmigen Leiterschleife. Aus der Abbildung liest man ab: r 0, r r' R dl r ' r 0 Mit dem Biot-Savart Gesetz ergibt sich dann am Ort : B(0) I B R dϕ Leiter r µ 0I dl r 3 4 π r ' ' dl 1
I B(0) R dϕ r Aus der Zeichnung ergibt sich weiterhin: dl Rdϕ r R dl r Rdϕ R e dl B(0) e Der Vektor steht hierbei senkrecht auf der Leiterschleife. Einsetzen ergibt: π µ 0I Rdϕ R e 3 4π R 0 µ 0I π µ 0I e dϕ e 4π R 0 R
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Es soll jetzt die Kraft zwischen zwei parallelen, unendlich langen Leitern berechnet werden. z dz y z Leiter 1 I 1 I d r 0 r d + z z r d db Leiter x Das vom Leiter 1 am Leiter erzeugte Magnetfeld ist: Es ist: 0 d 0 dl1 r 0 0 d dz dz z 0 Damit ergibt sich mit: db db db µ Id 4π µ 0I1 dl1 r 3 4π r 0 db y 0 dz 0 1 y 3 ( d + z ) 4
Der gesamte Leiter 1 erzeugt also am Ort des Leiters das Feld: B y µ 0I1 d 4π µ 0I1 d 4π Vektoriell geschrieben: B d dz ( d + z ) µ 0I1 π d 3 0 1 0 Die Kraft auf das Element dl des Leiters ist: 0 df Idl B mit dl 0 dz Einsetzen des Magnetfeldes ergibt: df µ II 0 1 0 π d dz 0 Die Kraft pro Längeneinheit ist dann: df dz Zahlenwerte: I I 1A, d 1m 1 µ π 0 df dz Vs µ II 0 1 π d 7 4 10 Am 7 4π 10 1 1 Vs A 7 N 10 π 1 Am m m 5
Damit ist die Definition der Stromstärke gegeben: Die Richtung der Kraft hängt von der Stromrichtung ab: Definition der Stromstärke 1 A: Wenn zwei parallele Leiter im Abstand von d 1m von je 1A durchflossen werden, wirkt eine Kraft von 10-7 Newton pro Meter Länge. F I Ältere Definition der Stromstärke 1 A: Pro Sekunde wird 1.118 mg Silber aus wässriger Lösung ausgeschieden, wenn ein Strom von 1A fließt. F I 1 +I 1 I 6
Versuch: Kraft zwischen zwei Leitern I I Leiter aus Kupferlitze Anziehung F F I I F F Abstoßung 7
Versuch: Der Pinch-Effekt ohne Strom nach Einschalten des Stroms Ein aus mehreren dünnen parallelen Metallfolien gebildeter Leiter schnürt sich nach Einschalten des Stroms ein, bis er wegen Überhitzung schmilzt. 8
Die Maxwell-Gleichungen für das statische Magnetfeld (ii) B da 0 B 0 (iv) O A B dr I B j µ µ 0 0 9