Vollständige Induktion Inhalt 1.1 1.1 Das Das Prinzip A(n) A(n) A(n+1) 1.2 1.2 Anwendungen 1 + 2 + 3 +...... + n =? 1.3 1.3 Landkarten schwarz-weiß 1.4 1.4 Fibonacci-Zahlen 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 8, 8, 13, 13, 21, 21,...... Seite 2
1.1 Das Prinzip Ziel: Ziel: In In der der Mathematik macht man man in in der der Regel Aussagen über über unendlich viele viele Objekte (alle (alle Zahlen, alle alle Dreiecke usw.) Solche Aussagen kann man man prinzipiell nicht dadurch klären ( beweisen ), dass man man alle alle Fälle einzeln ausprobiert. Man Man muß muß die die Aissage sozusagen auf auf einen Schlag erledigen. Dazu dient die die (vollständige, mathematische) Induktion. Bemerkung: Unter Induktion versteht man man (im (im Gegensatz zur zur Deduktion eigentlich das das logisch unzulässige Schließen von von Einzelfällen auf auf alle alle Fälle. Die Die mathematische Induktion ist ist ein ein Werkzeug, mit mit dem dem man man das das sauber machen kann. Seite 3 Das Prinzip der vollständigen Induktion Prinzip der der vollständigen Induktion. Sei Sei A eine eine Aussage oder eine eine Eigenschaft, die die von von einer natürlichen Zahl Zahl n abhängt. Wir Wir schreiben auch A(n). Wenn wir wir wissen, daß daß folgendes gilt: gilt: (1) (1) Induktionsbasis (Induktionsverankerung): Die Die Aussage A gilt gilt im im Fall Fall n = 1 (das (das heißt, es es gilt gilt A(1)), (2) (2) Induktionsschritt: Für Für jede jede natürliche Zahl Zahl n 1 folgt aus aus A(n) A(n) die die Aussage A(n+1), dann gilt gilt die die Aussage A für für alle alle natürlichen Zahlen 1. 1. Seite 4
Erläuterung Bedeutung der der vollständigen Induktion: Um Um eine eine Aussage über über unendlich viele viele Objekte nachzuweisen, muss man man nur nur zwei zwei Aussagen beweisen: Induktionsbasis: A(1) A(1) Induktionsschritt: A(n) A(n) A(n+1) Man Man nennt A(n) A(n) auch die dieinduktionsvoraussetzung. Die Die hinter diesem Prinzip stehende Philosophie ist ist die, die, dass man man in in objektiv kontrollierbarer Weise über über eine eine Unendlichkeit ( alle natürlichen Zahlen) sprechen kann. Die Die Bedeutung dieses Prinzips, wurde zwischen 1860 und und 1920 u.a. u.a. von von Moritz Pasch (Professor in in Gießen) und und Giuseppe Peano (Professor in in Turin) entdeckt. Seite 5 Aussagen A(n): 4n 4n ist ist eine eine gerade Zahl Zahl A(n): n 2 2 ist ist eine eine gerade Zahl Zahl A(n): n ist ist eine eine Primzahl A(n): Die Die Anzahl der der Sitzordnungen von von n Studierenden auf auf n Stühlen ist ist n! n! (:= (:= n (n 1)... 2 1, sprich n n Fakultät ) A(n): n geradlinige Straßen haben höchstens n Kreuzungen A(n): Wenn n Computer zu zu je je zweien durch eine eine Leitung verbunden werden, so so braucht man man genau n(n 1)/2 Leitungen Seite 6
1.2 Anwendungen Problem (C.F. Gauß): 1+2+3 +...+ +...+ 100 100 =?????? 1.2.1 Satz. Für Für jede jede natürliche Zahl Zahl n 1 gilt: gilt: 1+2+... + n = n(n+1)/2. In In Worten: Die Die Summe der der ersten n positiven ganzen Zahlen ist ist gleich (n+1)n/2. Konsequenz: Man Man kann die die Summe 1+2+3+...+n ganz einfach ausrechnen, und und es es passieren kaum Rechenfehler. Seite 7 Dreieckszahlen Definition. Die Die Zahlen der der Form (n+1)n/2, also also die die Zahlen 1, 1, 3, 3, 6, 6, 10, 10, 15, 15,...... heißen Dreieckszahlen. Man Man kann Satz Satz 1.2.1 also also auch so so ausdrücken: Die Die Summe der der ersten n positiven ganzen Zahlen ist ist gleich der der n-ten Dreieckszahl. Seite 8
Beweis (durch Induktion) Beweis durch Induktion nach n. n. Die Die Aussage A(n) A(n) sei sei die die Aussage des des Satzes, also: A(n): 1+2+3 +...+ +...+ n = n(n+1)/2. Sowohl bei bei der der Induktionsbasis als als auch beim Induktionsschritt zeigen wir, wir, dass in in der der entsprechenden Gleichung links links und und rechts das das Gleiche steht. Induktionsbasis: Sei Sei n = 1. 1. Dann steht auf auf der der linken Seite nur nur der der Summand 1, 1, und und auf auf der der rechten Seite steht 2 1/2, also also ebenfalls 1. 1. Also Also gilt gilt A(1) A(1) Seite 9 Induktionsschritt Induktionsschritt: Sei Sei n eine eine natürliche Zahl Zahl 1, 1, und und sei sei die die Aussage richtig für für n. n. Wir Wir müssen A(n+1) beweisen, das das heißt, die die Summe 1+2+3+... +(n 1) + n + (n+1) berechnen. Wir Wir spalten wir wir diese Summe auf: auf: 1+2+3+... +(n 1) + n + (n+1) = [1+2+3+... +(n 1) + n] n] + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) (nach Induktion) = [n(n+1) + 2(n+1)]/2 = (n+2)(n+1)/2. Insgesamt haben wir wir die die Aussage A(n+1) bewiesen. Somit gilt gilt der der Satz. Seite 10
Der Trick von Gauß Gauß hat hat die die Summe 1+2+3+...+100 nicht so so bestimmt, sondern mit mit folgendem genialen Trick: 1 + 2 + 3 +...... + n 2 n 2 + n 1 n 1 + n + n +n 1+n 2+...... + 3 + 2 + 1 = n+1 n+1 + n+1 n+1 + n+1 n+1 +...... + n+1 n+1 + n+1 n+1 + n+1 n+1 = n(n+1). Also Also gilt gilt 1+2+3+...+n = n(n+1)/2. Seite 11 Summe der ungeraden Zahlen 1.2.2 Satz. Für Für jede jede natürliche Zahl Zahl n 1 gilt: gilt: 1+3+5 +...... + (2n 1) = n 2 2.. In In Worten: Die Die Summe der der ersten n ungeraden Zahlen ist ist gleich der der n-ten Quadratzahl. Beispiele: (a) (a) 1 + 3 + 5 = 9 (b) (b) 1 + 3 + 5 +...... + 1999 = 1.000.000 Seite 12
Beweis Beweis durch Induktion nach n. n. Induktionsbasis: Sei Sei n = 1. 1. Dann steht auf auf der der linken Seite nur nur der der Summand 1, 1, und und auf auf der der rechten Seite steht 1 2 2 = 1. 1. Somit gilt gilt A(1). Induktionsschritt: Sei Sei n eine eine natürliche Zahl Zahl mit mit n 1, 1, und und es es gelte A(n). Wir Wir müssen A(n+1) nachweisen. Wir Wir beginnen mit mit der der linken Seite von von A(n+1) und und formen diese so so lange um, um, bis bis wir wir die die rechte Seite von von A(n+1) erhalten: 1+3+5+...... + (2n 1) + (2n+1) = [1+3+5+...... + (2n 1)] + (2n+1) = n 2 2 + (2n+1) (nach Induktion) = n 2 2 + 2n 2n + 1 = (n+1) 2 2.. Somit gilt gilt A(n+1), und und damit ist ist die die Aussage bewiesen. Seite 13 Die Bernoullische Ungleichung 1.2.3 Satz. Für Für jede jede nat. nat. Zahl Zahl n und und für für jede jede reelle Zahl Zahl x -1-1 gilt gilt (1+x) n n 1 + nx. nx. Beweis durch Induktion nach n. n. Induktionsbasis: Sei Sei n = 1. 1. Dann ist ist linke linke Seite = 1+x 1+x = rechte Seite; insbesondere ist ist linke linke Seite rechte Seite. Induktionsschritt: Sei Sei n eine eine natürliche Zahl Zahl mit mit n 1, 1, und und sei sei die die Behauptung richtig für für n. n. Damit folgt folgt (1+x) n+1 n+1 = (1+x) n n (1+x) (1 (1 + nx) nx) (1+x) (nach Induktion) = 1 + nx nx + x + nx nx 2 2 1 + nx nx + x = 1 + (n+1)x. Damit ist ist der der Induktionsschritt bewiesen, und und damit gilt gilt der der Satz. Seite 14
1.3 Landkarten schwarz --weiß Ein Ein Gebiet, etwa ein ein Erdteil, durch geradlinige Grenzen in in Länder aufgeteilt ist. ist. Die Die Grenzen sollen dabei so so gezogen sein, dass sie sie den den ganzen Erdteil durchqueren. Frage: Wieviel Farben braucht man, um um die die Länder so so zu zu färben, dass keine zwei zwei Länder, die die ein ein Stück Grenze gemeinsam haben, gleich gefärbt sind? Bemerkungen: 1. 1. Länder, die die nur nur einen Punkt gemeinsam haben, dürfen sehr sehr wohl wohl gleich gefärbt sein. 2. 2. Eine Eine solche Färbung nennt man man auch eine eine zulässige Färbung. Seite 15 Färbung von Landkarten 1.3.1 Satz. Jede Landkarte, die die dadurch entsteht, dass man man einen Erdteil durch Geraden aufteilt, kann mit mit zwei zwei Farben so so gefärbt werden, dass je je zwei zwei Länder, die die eine eine gemeinsame Grenze haben, verschieden gefärbt sind. Beweis durch Induktion. Was Was ist ist n? n? Sei Sei n die die Anzahl der der Geraden, die die den den Erdteil aufteilen. Dann lautet A(n) A(n) so: so: A(n): Jede Landkarte, die die dadurch entsteht, dass man man einen Erdteil durch n Geraden aufteilt, kann mit mit den den Farben schwarz und und weiß so so gefärbt werden, dass je je zwei zwei Länder, die die eine eine gemeinsame Grenze haben, verschieden gefärbt sind. Seite 16
Beweis Induktionsbasis: Sei Sei n = 1. 1. Jede Landkarte, die die durch Aufteilung durch nur nur eine eine Gerade entsteht, kann mit mit zwei zwei Farben gefärbt werden. Klar: Klar: Durch eine eine Gerade entstehen nur nur zwei zwei Länder, die die man man mit mit zwei zwei Farben färben kann. Induktionsschritt: Sei Sei n eine eine natürliche Zahl Zahl mit mit n 1, 1, und und sei sei die die Aussage A(n) A(n) richtig. Wir Wir müssen beweisen, dass auch A(n+1) gilt. gilt. Dazu betrachten wir wir eine eine beliebige Landkarte, die die durch Ziehen von von n+1 n+1 Geraden g 1, 1, g 2, 2,..., g n+1 entstanden n+1 ist. ist. Wir Wir müssen zeigen, dass diese Landkarte zulässig mit mit den den Farben schwarz und und weiß gefärbt werden kann. Seite 17 Beweis (Der Trick) Sei Sei die die Gerade g n+1 waagrecht n+1 und und betrachten diese Gerade (vorerst) nicht. Damit entsteht eine eine Landkarte, die die durch die die n Geraden g 1,..., 1,..., g n n entstanden ist. ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist ist diese Landkarte also also mit mit den den Farben schwarz und und weiß zulässig färbbar! Wir Wir müssen die die Originallandkarte mit mit färben! Dazu fügen wir wir die die (n+1)-te Gerade wieder ein. ein. Dabei entstehen neue Länder. Wir Wir müssen die die Länder, oder oder jedenfalls einen Teil Teil umfärben. Trick: Wir Wir färben die die obere Hälfte der der Karte um! um! Die Die Länder im im südlichen Teil Teil der der Karte behalten dagegen ihre ihre Farbe. Seite 18
Beweis (Abschluss) Behauptung: Diese Färbung ist ist zulässig. 1. 1. Fall: Fall: Die Die Grenze von von L und und L' L' liegt liegt unterhalb von von g n+1. n+1. Dann hatten die die Länder L, L, L' L' verschiedene Farbe. Da Da sich sich unten nichts geändert hat, hat, haben L und und L' L' nach wie wie vor vor verschiedene Farbe. 2. 2. Fall: Fall: Die Die Grenze von von L und und L' L' liegt liegt oberhalb von von g n+1. n+1. Oberhalb von von g n+1 hat n+1 hat sich sich alles allesgeändert. Da Da L und und L' L' vorher verschiedene Farben hatten, haben sie sie auch jetzt jetzt verschiedene Farben. 3. 3. Fall: Fall: Die Die Grenze von von L und und L' L' liegt liegt auf auf g n+1. n+1. Dann sind sind L und und L' L' durch Aufteilung eines alten Landes L* L* entstanden. Wenn L* L* weiß war, war, bleibt L weiß, während L' L' schwarz wird. Seite 19 Das Vierfarbenproblem Berühmtes Problem der der Mathematik: Wie Wie viele viele Farben braucht man, um um eine eine beliebige Landkarte, also also eine eine Landkarte, die die nicht durch Ziehen von von Geraden entsteht, zulässig zu zu färben? Über 100 100 Jahre war war die die Vermutung, dass vier vier Farben ausreichen, unbewiesen. 1976 haben die die Amerikaner Apel Apel und und Haken mit mit massivem Computereinsatz den den Vierfarbensatz beweisen. Dabei bauten sie sie entscheidend auf auf Vorarbeiten des des Deutschen H. H. Heesch auf. auf. Seite 20
1.4 Die Fibonacci-Zahlen Fibonacci (= (= Leonardo von von Pisa) um um 1200 Definition der der Fibonacci-Zahlen: (a) (a) 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 8, 8, 13, 13, 21, 21, 34, 34, 55, 55, 89, 89,...... (b) (b) Jedes Folgenglied ist ist die die Summe seiner beiden Vorgänger. (c) (c) Wir Wir definieren die die Folge f 1 f, 1, f 2 f, 2, f 3 f, 3,... von von natürlichen Zahlen mit mit folgenden Eigenschaften: und und f n f = n f n 1 f + n 1 f n 2 f n 2 f 1 f = 1 1, 1, f 2 f = 2 1. 1. Seite 21 Beispiele Kaninchen (jedenfalls mathematische Kaninchen) vermehren sich sich nach folgenden Regeln: Jedes Kaninchenpaar braucht nach seiner Geburt zwei zwei Monate, bis bis es es geschlechtsreif ist. ist. Von Von da da an an gebiert es es in in jedem Monat ein ein neues Paar Alle Alle Kaninchen leben ewig. Wenn f n f die n die Anzahl der der Kaninchen zu zu Beginn des des n-ten Monats bezeichnet. Dann sind sind die die f n f genau n die die Fibonacci-Zahlen. Ein Ein Briefträger steigt eine eine lange Treppe hoch, indem er er die die erste Stufe betritt und und von von da da an an jeweils eine eine oder oder genau zwei zwei Stufen auf auf einmal nimmt. Auf Auf wie wie viele viele Arten kann er er die die n-te n-testufe erreichen? Seite 22
Beispiele aus der Biologie Bei Bei Pflanzen kommen Fibonacci-Zahlen häufig vor. vor. Beispiele: Bei Bei Sonnenblumen sind sind die die Kerne in in Spiralen angeordnet, die die nach links links und und nach rechts drehen. Die Die Anzahlen der der linksdrehenden und und der der rechtsdrehenden Spiralen sind sind aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen. Ähnlich bei bei Gänseblümchen, Ananas, (manchen) Kakteen,...... Seite 23 Wie kann man Fibonacci-Zahlen ausrechnen? 1. 1. Durch Anwenden der der rekursiven Definition. 2. 2. Durch Anwenden der der folgenden expiziten Formel: 1.4.1 Satz Satz (Binet-Formel). Für Für jede jede natürliche Zahl Zahl n 1 gilt gilt f n f = n [((1+ 5)/2) n n ((1 5)/2) n n ]]// 5. 5. Bemerkung. Das Das Erstaunliche an an dieser Formel ist, ist, dass sich sich für für jedes n die die Wurzelterme so so weg weg heben, dass nur nur eine eine natürliche Zahl, nämlich f n f stehenbleibt. n Seite 24
Beweis (Induktionsbasis) Beweis durch Induktion nach n. n. Die Die Aussage A(n) A(n) ist ist A(n): f n f = n [((1+ 5)/2) n n ((1 5)/2) n n ]]// 5. 5. Induktionsbasis: Sei Sei n = 1. 1. Wir Wir müssen die die Aussage A(1) A(1) beweisen. Dazu rechnen wir wir einfach die die Formel (also die die rechte Seite) für für den den Fall Fall n = 1 aus: aus: [((1+ 5)/2) 1 1 ((1 5)/2) 1 1 ]]// 5 5 = [(1+ 5)/2 (1 5)/2] // 5 5 = [2 5)/2] // 5 5 = 1 Damit gilt gilt A(1). Beweisen Sie Sie A(2): Übungsaufgabe. Seite 25 Beweis (Induktionsschritt) Induktionsschritt: Sei Sei n eine eine natürliche Zahl Zahl mit mit n 2, 2, und und es es mögen die die Aussagen A(n) A(n) und und A(n 1) gelten. Wir Wir müssen zeigen, dass dann auch A(n+1) gilt. gilt. Dazu verwenden wir wir die die Rekursionsformel f n+1 f = n+1 f n f + n f n 1 f, n 1, und und wenden sowohl auf auf f n f n also also auch auf auf f n 1 f die n 1 die Induktionsvoraussetzung an: an: f n+1 f = n+1 f n f + n f n 1 f = n 1 [((1+ 5)/2) n n ((1 5)/2) n n ]]// 5 5 + [((1+ 5)/2) n 1 n 1 ((1 5)/2) n 1 n 1 ]]// 5 5 = [((1+ 5)/2) n 1 n 1 [(1+ [(1+ 5)/2 + 1] 1] ((1 5)/2) n 1 n 1 [(1 [(1 5)/2 + 1]] 1]] // 5 5...... Wie Wie kann man man diese monströse Formel auflösen?????? Seite 26
Beweis (das Wunder) Wir Wir können die die kleinen eckigen Klammern günstig umformen: [(1+ 5)/2 + 1] 1] = [(1+ 5)/2] 2 2 = [(1 5)/2 + 1] 1] = [(1 5)/2] 2 2.. Man Man sieht beide Formeln sofort ein, ein, wenn man man die die jeweiligen rechten Seiten ausrechnet. Nun Nun kann uns uns aber aber nichts mehr hindern, weiterzurechnen:...... = [((1+ 5)/2) n 1 n 1 [(1+ 5)/2] 2 2 ((1 5)/2) n 1 n 1 [(1 5)/2] 2 2 ]]// 5 5 = [((1+ 5)/2) n+1 n+1 ((1 5)/2) n+1 n+1 ]]// 5. 5....... und und damit ist ist die die Aussage A(n+1) bewiesen. Nach dem dem Prinzip der der vollständigen Induktion gilt gilt also also die die Aussage. Seite 27 Ein Zaubertrick 8 5 13 8 5 8 8 5 8 13 Seite 28
Simpson-Identität 1.4.2 Satz. Für Für jede jede natürliche Zahl Zahl n 2 gilt gilt ff n+1 f n+1 f n 1 f n 1 f n2 = n2 ( 1) ( 1) n n.. In In Worten: f n+1 f f n+1 f n 1 und n 1 und f n2 f unterscheiden n2 sich sich nur nur um um 1, 1, mal mal um um +1, +1, mal mal um um 1. 1. Beweis durch Induktion nach n. n. Die Die Aussage A(n) A(n) sei sei die die Aussage des des Satzes. Induktionsbasis. Sei Sei n = 2. 2. Wir Wir müssen die die Aussage A(2) A(2) zeigen. Dazu rechnen wir wir einfach die die linke linke Seite aus: aus: L.S. L.S. = f 3 f f 3 f 1 f 1 f 22 = 22 2 1 2 1 1 2 2 = 1 = ( 1) ( 1) 2 2 = R.S. R.S. Seite 29 Beweis (Induktionsschritt) Induktionsschritt. Sei Sei n eine eine natürliche Zahl Zahl 2, 2, und und es es gelte die die Aussage A(n). Wir Wir müssen A(n+1) zeigen. Auch dazu rechnen wir wir einfach die die entsprechende linke linke Seite aus: aus: f n+2 f f n+2 f n f n f n+12 = n+12 (f (f n+1 + n+1 f n f) n ) f f n f 2 n f n+1 2 n+1 = f n+1 f (f n+1 (f n -f n -f n+1 ) n+1 ) + f 2 n f 2 n = f n+1 f (f n+1 (f n -f n -f n+1 ) n+1 ) + f n+1 f f n+1 f n 1 n 1 ( 1) ( 1) n n (nach Induktion) = f n+1 f (f n+1 (f n + n f n-1 f f n-1 f n+1 ) n+1 ) + ( 1) ( 1) n+1 n+1 = f n+1 f 0 n+1 0 + ( 1) ( 1) n+1 n+1 = ( 1) ( 1) n+1 n+1.. Somit gilt gilt die die Aussage A(n+1). Seite 30