6. Grenzzyklen Grenzzyklen eistieren in Systemen, die nach einer äußeren Störung wieder ein stabiles periodisches Verhalten annehmen. Sie sind eine weitere Ursache für periodisches Verhalten. 6.1. Modell von Hopf (1942) Hopf untersuchte ein rein mathematisches Modell, das Grenzzyklen als Lösung zeigte: d dt = y a 2 y 2 dy dt = y a 2 y 2 Das System besitzt einen Fipunkt bei fi = 0, y fi = 0. Durch Umformung in neue Variablen (Polarkoordinaten) können wir die gekoppelten DGL in ein System ungekoppelter DGL überführen. =r cos y=r sin } r2 = 2 y 2 =t 125
dr 2 =2 r ṙ=2 ẋ 2 y ẏ dt Für ẋ und ẏ setzen wir die rechten Seiten des Hopf'schen Modells ein. 2 r ṙ=2 [ y a 2 y 2 ] 2 y[ y a 2 y 2 ] =2 2 y 2 a 2 y 2 =2 r 2 a r 2 dr dt =r a r 2 d d t =1 Diese beiden DGL sind zu den Ausgangsgleichungen äquivalent. Die Fipunkte des Systems liegen bei: y 1. r fi =0 = y=0 2. r fi = a reel für positive a φ Der Fipunkt rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit und konstantem Abstand um den Ursprung. t = a cost y t = a sin t 126
Um zu entscheiden, ob diese Lösung einen Grenzzyklus darstellt, benötigen wir eine Stabilitätsanalyse in der Nähe von r fi. r r fi = a r r fi = a dr dt =r a r 2 negativ dr dt =r a r 2 positiv Die Werte für r werden kleiner und nähern sich r fi. y Die Werte für r nehmen in Richtung r fi zu. Der Kreis zieht damit alle Punkte in seiner Umgebung an, er ist ein Attraktor. Jeder Anfangspunkt, der nicht auf dem Kreis liegt, wird vom Grenzzyklus nach einiger Zeit aufgenommen. 127
Falls a negativ ist, gilt immer a 0 dr dt =r a r 2 0 In diesem Fall ist r fi nicht reell und es eistiert nur der echte Fipunkt bei =y=0. Damit erhalten wir ein Bifurkationsverhalten. Für a 0 eistieren nur Fipunkte bei =y=0, für a > 0 treten Grenzzyklen auf. Die Grenzzyklen zeigen periodisches Verhalten. a 0 Das periodische Verhalten ist in Systemen mit zwei oder mehr Spezies möglich und hat seine Ursache nicht in periodischen äußeren Änderungen oder time-lag. mathematische Kriterien für Grenzzyklen: 1. Theorem von Bendison 2. Theorem von Poincaré Beide Theoreme sind schwer zu beweisen und in der Anwendbarkeit praktisch unbrauchbar, so dass oft nur Numerik weiterhilft. Unter bestimmten Voraussetzungen garantiert das Liénard Theorem die Eistenz eines stabilen Grenzzyklus. 128
6.2. Räuber-Beute-Modell mit Grenzzyklus Wir verändern die Räuber-Beute-Gleichungen d dt =a 1 k b y c dy dt =d y 1 ey d y 1 y k 2 Die Größe k 2 gibt die maimale Anzahl der Räuber vor und ist z. B. durch das Nahrungsangebot bestimmt. Die numerische Lösung der DGL zeigt die Eistenz eines stabilen Grenzzyklus. Die Form hängt natürlich von den gewählten Parametern ab, vor allem vom Wert von d. Für bestimmte Werte von d eistiert ein Grenzzyklus, für andere Werte von d nimmt das System einen stabilen Fipunkt an. Im Gegensatz zum einfachen Lotka-Volterra-Modell ist das System stabil. 129
Numerische Lösung der veränderten Räuber-Beute Gleichungen y t Für d=0.1 entsteht ein Grenzzyklus. y t Für d=0.4 nimmt das System einen Fipunkt an. Die weiteren Parameter waren identisch und betrugen: a=e=k=1, b=1.5, c=0.2. 130
6.3. Erzeugung von Schwingungen Grenzzyklen lassen sich nutzen, um stabile Schwingungen zu erzeugen. Das ist in vielen Bereichen sehr wichtig: Musikinstrumente Uhren Funksender Herzschlag Die grundlegende Idee soll am Beispiel des harmonischen Oszillators aus der Mechanik verdeutlicht werden. m ẍ a ẋ k=0 Die Konstanten m und k sind nicht weiter wichtig und wir setzen Die Energie beträgt 2 E=ẋ 2 2 m=k=1. ẋ=v v= a v Für positive a: Reibung, Energieverlust --> E sinkt. Für negative a: negative Reibung, Energiezufuhr --> E steigt : 131
Um eine stabile periodische Schwingung zu erzeugen, müssen wir Reibungsverluste durch Energiezufuhr kompensieren. ẍ ẋ a ẋ 2 2 =0 Falls 2 E= 2 ẋ 2 a ; falls 2 E= 2 ẋ 2 a ist die Reibung negativ ist die Reibung positiv Solch ein System zeigt einen Grenzzyklus nach Hopf. Eine gute Realisierung dieses Modells stellt die Anregung einer Saite durch einen Geigenbogen dar. v Geigenbogen Durch den Bogen (Pfeil) wird die Saite aus der Ruhelage gebracht. Der Bogen lenkt die Saite so lange aus, wie die Haftreibung groß genug ist. Bei einer bestimmten Auslenkung schnellt die Saite zurück, bis sie wieder vom Bogen mitgenommen wird. 132
6.4. Van-der-Pol-Oszillator van der Pol und van der Mark, Nature, 120, 363-364, (1927). Diese Schaltung wird zur Erzeugung einer festen Frequenz genutzt. U 0 = angelegte Spannung U R =U C U R =U 0 U ind Parallelschaltung Reihenschaltung U ind = L di L dt U C = Spannung Kondensator U R = Spannung Widerstand I C = dq dt = C d U C dt I L =I R I C U R = U 0 L di L dt =U 0 L L I C = U 0 U R L I R I R I C LC U C = U 0 U R L di R du R Reibung du R dt 133
Der Reibungsterm entspricht dem Widerstand im Schaltbild. Allerdings soll der Widerstand einen nichtlinearen Widerstand R = R(U) darstellen (z.b. Röhrenschaltung oder Gunn-Effekt in GaAs). Die Kennlinie sieht schematisch so aus: I I 0 I =I 0 a U U 0 b U U 0 3 U 0 U in der Nähe vom Arbeitspunkt bei U 0 Betrachtet man kleine Abweichungen vom Arbeitspunkt u = U - U 0, so erhält man I = I 0 au bu 3 di = a 3 b u2 du LC ü L a 3bu 2 u u=0 134
Für große Weite von u ist 3bu 2 > a, so dass die Reibung positiv ist und u abnimmt. Für den Fall 3b u 2 < a ist die Reibung negativ und u wächst. Die Energiezufuhr kommt aus dem Netz (U 0 ), der Energieverlust durch den Widerstand. Mit diesem Mechanismus wird das System stabilisiert, so dass eine stabile Schwingung entsteht. Durch Substitution der Variablen erhalten wir die van-der-pol-gleichung: d 2 d 2 1 2 d d = 0 μ=1 2 = t 2 L C p = u 3b a = a L C τ Fitzhugh und Nagumo haben diese Gleichung erweitert als Modell für Aktivitätspotenziale von Neuronen. In der Seismologie wurde sie zur Beschreibung zweier Platten einer Verwerfung genutzt. 135
Bemerkung zur Stabilität Im Allgemeinen eistiert kein Potenzial, so dass eine Stabilitätsuntersuchung aufwendig ist. ẋ= ẏ=0 Aus lassen sich die Fipunkte bestimmen, allerdings können es bei nichtlinearen Gleichungen viele sein. Durch Untersuchungen von kleinen Abweichungen δ, δ y von den Fipunkten lassen sich Informationen zur Stabilität finden. Durch Reihenentwicklung und Linearisierung in der Nähe des Fipunktes führt das zu Gleichungssystemen, die Bedingungen für die möglichen Lösungen geben. Allerdings kann es Bereiche geben ( Schwarze Löcher ), in denen ein nur leicht ausgelenkter Punkt nicht mehr auf den Attraktor zurückkehrt, sondern auf einen anderen Attraktor zustebt. Das bedeutet auch, dass ein Eingriff gleicher Stärke zu unterschiedlichen Zeitpunkten völlig verschiedene Reaktionen des Systems erzeugen kann. 136
Pendeluhr: Grenzzyklus + Fipunkt t 1 t 0 d d t Eingriff mit gleicher Stärke zu verschiedenen Zeitpunkten. φ Eingriff bei t 1 ändert nichts, Eingriff bei t 0 hält die Uhr an Die rote Ellipse kennzeichnet die Grenze des Einzugsgebietes des Attraktors für den Grenzzyklus. Innerhalb des roten Bereiches zieht ein Fipunkt die Trajektorien an. 137