Schwingungen SW1: 2 Ein Körper bewegt sich harmonisch. Bei einer Auslenkung aus der Ruhelage um x = 7,5 mm erfährt er eine Beschleunigung von a = 1,85 m s 2. Wie viele Schwingungen pro Sekunde führt er aus? SW2: 2 Ein harmonischer Schwinger hat die Frequenz f = 15 Hz und bewegt sich mit v 0 = 2 m s durch die Ruhelage. (a) Wie groß ist die Amplitude x 0 der Schwingung? (b) In welcher Zeit nach einem Nulldurchgang ist der Betrag der Geschwindigkeit auf die Hälfte des Maximalwertes gesunken? SW3: 2 Ein Körper schwingt harmonisch mit der Schwingungsdauer T = 0,37 s und der Amplitude A max = 5,4 mm. (a) In welcher Zeit nach einem Nulldurchgang ist der Betrag der Auslenkung auf 1 3 des Maximalwertes angestiegen? (b) Welche Beschleunigung erfährt der Körper an dieser Stelle? SW4: 2 An einer Schraubenfeder mit der Richtgröße D = 4,9 N m Klotz mit der Masse m = 100 g in Ruhe. hängt ein (a) Mit welcher Geschwindigkeit muss der Klotz angestoßen werden, damit er anschließend Schwingungen mit einer Amplitude von x 0 = 15 cm ausführt? (b) Wo befindet sich der Klotz jeweils t = 0,15 s nach Passieren der Ruhelage? SW5: Ein PKW hat eine Leermasse von m 0 = 900 kg. Bei einer Zuladung von m = 300 kg federt die Karosserie um x = 3 cm ein. (a) Wie groß ist die Richtgröße jedes Federbeins? (b) Wie groß ist die Eigenfrequenz des Systems mit und ohne Zuladung? 13
FH Dortmund FB Informations und Elektrotechnik SW6: Ein Körper mit der Masse m 0 hängt an einer Feder und führt innerhalb einer Minute 42 Schwingungen aus. Wie groß ist die Dehnung x der Schraubenfeder aufgrund der Gewichtskraft des Körpers? SW7: Wie groß ist für einen harmonisch schwingenden Massenpunkt das Verhältnis E kin /E pot? (Nur Herleitung der Formel) SW8: Gegeben sei ein mathematisches Pendel mit der Länge l = 50 cm und der schwingenden Masse m = 50 g. Mit derselben Masse soll ein Federpendel mit derselben Schwingungsdauer aufgebaut werden. Welche Richtgröße muss die Feder haben? SW9: Eine Pendeluhr mit einem Sekundenpendel (T = 2 s!!) aus Messing ist so aufgebaut, dass sie bei ϑ 0 = 18 C genau geht. Um wieviel geht sie pro Tag falsch, wenn die Umgebungstemperatur ϑ u = 23 C beträgt? (α Messing = 18 10 6 1 K ) SW10: Das Massenträgheitsmoment eines Zahnrades soll mit Hilfe eines Drehpendels bestimmt werden. Das Drehpendel allein hat eine Schwingungsdauer T 0 = 1,25 s. Mit einer aufgesetzten zylindrischen Eisenplatte mit der Masse m Ref = 1414 g und einem Durchmesser von 2 r Ref = 20 cm ergibt sich die Schwingungsdauer T Ref = 2,2 s. (a) Wie groß ist das MTM des Drehpendels? (b) Wenn man an Stelle der Eisenplatte das Zahnrad auf das Drehpendel setzt, erhält man eine Schwingungsdauer T 2 = 1,88 s. Wie groß ist das MTM des Zahnrades? (c) Wie groß ist die Winkelrichtgröße D? SW11: Zur Messung der Erdbeschleunigung wird ein mathematisches Pendel mit der Länge l = 2,146 m verwendet. Für 10 Schwingungen benötigt dieses Pendel eine Zeit von 10 T = 29,4 s. Wie groß ist die Erdbeschleunigung am Messort? SW12: Ein Stab mit der Länge l = 0,9 m wird an seinem oberen Ende pendelnd aufgehängt. Berechnen Sie die Schwingungsdauer und die reduzierte Pendellänge. Der Punkt P auf der Geraden durch Schwerpunkt und Aufhängepunkt im Abstand l red vom Aufhängepunkt heisst Schwingungsmittelpunkt. Welche Schwingungsdauer stellt sich ein, wenn man den Stab statt am Ende im Schwingungsmittelpunkt aufhängt? 14
Übungsaufgaben Physik Prof. Dr. H. Gebhard SW13: Ein dünner Ring (d = 70 cm; m = 1,5 kg) pendelt frei auf einer Schneide. Wie groß ist die Schwingungsdauer? Wie verändert sie sich, wenn die Masse des Ringes verdoppelt wird? SW14: An einem Kran beobachtet man eine Last, die anfangs mit einer Amplitude von A 0 = 1,6 m pendelt. Die Schwingungsdauer beträgt T = 8 s. (a) Wie lang ist das herabhängende Kranseil? (b) Nach 6 Minuten hat die Amplitude auf A = 40 cm abgenommen. Berechnen Sie das logarithmische Dekrement der gedämpften Schwingung! (c) Mit welcher Geschwindigkeit passiert die Last zu Beginn der Beobachtung und nach 6 Minuten die Ruhelage? SW15: Für eine Pendelschwingung soll die Abklingkonstante gemessen werden. Versehentlich wurde jedoch die Anfangsauslenkung nicht gemessen. Man misst aber für die 15. Schwingung eine Amplitude A 15 = 9 cm und für die 30. Schwingung A 30 = 3 cm. Die Periodendauer der Schwingung beträgt T = 0,33 s. (a) Wie groß ist die Abklingkonstante δ? (b) Wie groß war die Anfangsauslenkung A 0? SW16: Bei einem sog. Hemmungspendel wird der Pendelausschlag zu einer Seite durch einen Anschlag begrenzt. Berechnen Sie für eine Pendellänge l = 64 cm und einen Abstand x = 28 cm die Schwingungsdauer des Pendels! SW17: Ein U-Rohr (A = 1 cm 2 ) wird zunächst mit V = 15 cm 3 Wasser, später mit demselben Volumen Quecksilber gefüllt. (a) Welche Schwingungsdauern ergeben sich? (b) Geben Sie die Gleichung der Quecksilberoberfläche an, wenn die Anfangsauslenkung y 0 = 0,5 cm beträgt und die Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 0m/s ist! SW18: Ein in der Mitte um den Winkel ϕ = 60 geknicktes Drahtstück von l 0 = 60 cm Länge wird im Knick schwingend aufgehängt. Wie groß ist die Schwingungsdauer? 15
FH Dortmund FB Informations und Elektrotechnik SW19: Eine Scheibe mit dem Radius R und der Masse m führt Drehschwingungen um eine Achse aus, die im Abstand s parallel zur Symmetrieachse der Scheibe verläuft. (a) Berechnen Sie die Periodendauer T der Schwingung in Abhängigkeit vom Abstand s zwischen Drehachse und Symmetrieachse! (b) Bei welchem Abstand s x nimmt die Periodendauer einen Extremwert an? Handelt es sich dabei um ein Maximum oder ein Minimum der Periodendauer? Wellen SW20: Eine Welle wird durch folgende Gleichung beschrieben: A(x, t) = 0,5 m cos (8,5 1s t 1,3 1m ) x Geben Sie für diese Welle die Amplitude A 0, die Frequenz f, die Wellenlänge λ und die Ausbreitungsgeschwindigkeit c an. SW21: Ein Schwinger erzeugt eine Seilwelle mit einer Frequenz f = 3 Hz und einer Amplitude A 0 = 20 cm. Die Wellenlänge beträgt λ = 30 cm. (a) Berechnen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit! (b) Berechnen Sie für einen Massenpunkt im Abstand d = 0,5 m vom Erreger zum Zeitpunkt t x = 2 s die Momentanwerte der Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung! SW22: Eine Transversalwelle mit A max = 10 cm und f = 0,25 Hz breitet sich in positiver x Richtung mit c = 3 cm s aus. Zum Zeitpunkt t 0 = 0 s ist die Auslenkung bei x = 0 Null; sie wächst zunächst an. (a) Stellen Sie die Gleichung der Welle auf und geben Sie die Wellenlänge λ an! (b) Zu welchem Zeitpunkt t 1 beginnt ein Teilchen bei x = 1,2 m zu schwingen? SW23: Verkürzt man eine Saite um l = 10 cm, erhöht sich ihre Schwingungsfrequenz auf das 1,3 fache. Berechnen Sie die ursprüngliche Länge! (Annahme: Spannung der Saite bleibt konstant) 16
Übungsaufgaben Physik Prof. Dr. H. Gebhard SW24: In einem Kundt schen Rohr werden stehende Wellen in Luft bzw. in Kohlendioxid (CO 2 ) erzeugt. Es ergeben sich Knotenabstände von d Luft = 9,1 cm und d CO2 = 7,1 cm. (a) Berechnen Sie die Schallgeschwindigkeit in CO 2! Benutzen Sie c Luft = 340 m/s. (b) Wie groß ist die Schallgeschwindigkeit in Messing, wenn der zur Anregung benutzte, in der Mitte eingespannte Stab eine Länge l m = 96 cm hat? SW25: In einem Kundt schen Rohr beobachtet man 6 Schwingungsbäuche. Die stehenden Wellen werden durch einen in der Mitte eingespannten Stahlstab mit l s = 1 m Länge erzeugt. Die Schallgeschwindigkeit in Stahl beträgt c S = 5250 m/s; die in Luft c L = 340 m/s. (a) Wie lang ist die Luftsäule im Rohr? (b) Wie lang muss die Luftsäule sein, wenn der Stab an statt in der Mitte bei 1 4 und 3 4 seiner Länge eingespannt wird? SW26: In einem Kundt schen Rohr mit einer Luftsäulen-Länge l L = 32,5 cm beobachtet man 7 Schwingungsbäuche. Die stehenden Wellen werden durch einen in der Mitte eingespannten Glasstab erzeugt. Die Schallgeschwindigkeit im Glas beträgt c Gl = 4400 m/s; die in Luft c Luft = 343 m/s. Berechnen Sie die Länge des Glasstabes! SW27: Zwei Wellen mit gleicher Amplitude, Frequenz und Wellenlänge breiten sich entlang der x Achse in positiver Richtung aus. Es ist λ = 4 cm; f = 2 Hz und A max = 2 cm. Die erste Welle hat zur Zeit t = 0 im Koordinaten- Nullpunkt die Elongation Null; die zweite eilt der ersten um einen Gangunterschied von λ/4 voraus. (a) Stellen Sie die Gleichungen der Wellen und der resultierenden Welle auf. Benutzen Sie die Beziehung cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α β 2 (b) Berechnen Sie die Elongation der Schwingung am Ort x d = 0,2 m zum Zeitpunkt t d = 3,125 s (c) Stellen Sie die Gleichung der resultierende Welle auf für den Fall, daß sich die Wellen in entgegengesetzter Richtung ausbreiten! (d) Geben Sie für c 1 = c 2 an, an welchen Orten die Elongation zu jeder Zeit Null ist! 17
FH Dortmund FB Informations und Elektrotechnik SW28: 1 Wassertiefen werden häufig mit Hilfe des Echolotes gemessen. Hierbei breitet sich eine Schallwelle zum Grund aus und wird dort reflektiert. Aus der Laufzeit wird die Wasertiefe berechnet. (a) Wie groß ist die Wassertiefe für t = 62 ms, wenn die Schallgeschwindigkeit im Wasser c W = 1450 m/s beträgt? (b) Wie groß ist die Wellenlänge in Wasser und in Luft (c L = 338 m/s) bei einer Frequenz f = 1200 Hz? SW29: 1 Von zwei Stimmgabeln für f = 440 Hz ist eine verstimmt. Bei gleichzeitigem Anschlagen der Stimmgabeln hört man 30 Schwebungen in 6 s. Wie groß ist die Frequenz der verstimmten Gabel? SW30: 2 Mit welcher Geschwindigkeit muss sich ein Beobachter einer ruhenden Schallquelle nähern, bzw. sich von dieser entfernen, damit er die doppelte bzw. die halbe Frequenz der Quelle hört? SW31: Mit welcher Geschwindigkeit muss sich eine Schallquelle einem ruhenden Beobachter nähern, bzw. sich von diesem entfernen, damit er die doppelte bzw. die halbe Frequenz der Quelle hört? SW32: 3 Ein Radfahrer fährt mit v R = 20 km/h mit läutender Radlaufglocke unmittelbar an einem ruhenden Beobachter vorbei. Der Beobachter nimmt bei Annäherung die Frequenz f 1, bei Entfernung des Radfahrers die Frequenz f 2 wahr. Berechnen Sie das Verhältnis f 1 /f 2. Benutzen Sie c Luft = 340 m/s. SW33: 3 Eine Schallquelle bewegt sich mit der Geschwindigkeit v an einem ruhenden Beobachter vorbei. Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Schallquelle (c Luft = 340 m/s) (a) wenn der Beobachter ein Frequenzverhältnis von 3 2 wahrnimmt (Quinte) (b) wenn der Beobachter ein Frequenzverhältnis von 4 3 wahrnimmt (Quarte) SW34: 4 Ein Beobachter und eine Schallquelle bewegen sich mit derselben Geschwindigkeit, aber in entgegengesetzter Richtung an einander vorbei. Im Augenblick der Begegnung sinkt die vom Beobachter wahrgenommene Frequenz um eine Oktave, also auf die halbe Frequenz. Berechnen Sie die Geschwindigkeit von Beobachter und Quelle. (c Luft = 340 m/s) 18