Statistikprüfung 1B vom 21. April 2017 Name: Als richtig wird der Lösungsweg und das Resultat betrachtet. Es wird mehr WertaufdenLösungswegalsaufdasResultatgelegt.DieAnzahlderPunktepro Aufgabe ist bei jeder Aufgabe angeschrieben. Es reichen 11 von 12 Punkten um die Note 6 zu erhalten. Versucht nicht die Werte explizit zu berechnen, sondern gebt diese in Fakultäten usw. an. 1
1. Fischen (Punkte:3) Wir werfen 9 Mal hintereinander ein Netz aus und holen es ein. Wir beschreiben nun wieviele Fische wir pro Netz einholen im Netz fanden. Anzahl Fische im Netz 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Anzahl Netz einholen 1 0 0 2 1 1 1 2 0 0 1 (a) Berechne den Mittelwert der Fische im Netz beim Einholen und die 10%-Quantile.(Punkte:1) (b) Berechne die empirische Varianz. (Falls du in Aufgabe (a) den Mittelwert nicht berechnen konntest, benutze einen Mittelwert von x = 5)(Punkte:1) (c) Beschreibe die Daten mit einer Poissonverteilung. Berechne dazu die theoretische Wahrscheinlichkeit für Anzahl Fische 5 resp. 6 im Netz beim Einholen. (Punkte:1) Hinweis: Schreibe bei Aufgabe (c) nur auf, wie dies berechnet wird und lass die Zahl e so stehen. 2
Notizblatt 3
2. Wahrscheinlichkeit (Punkte: 1) Ein Lehrer schlägt vor eine Note einer mündlichen Prüfung folgendermassen festzulegen: Er nummeriert sechs Kugeln von 1 bis 6 und zieht aus einer Urne nun zwei Kugeln. Nun nimmt er die grössere der beiden Zahlen als Note. (a) Zeichne einen Ereignisbaum für die Fälle bei denen man zuerst eine 5 resp. eine 6 zieht. (Punkte: 1 2 ) (b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für die Noten 1 bis 6 für den gesamten Ereignisbaum. (Punkte: 1 2 ) 4
3. Wahrscheinlichkeit (Punkte: 2) In einer Urne befinden sich 4 rote, 6 blaue und 7 grüne Kugeln. Wir ziehen die Kugeln mit zurücklegen. (a) Berechne die Wahrscheinlichkeit bei 9 Mal ziehen genau 2 rote Kugeln zu erhalten (Restliche 7 Kugeln blau oder grün). (Punkte: 1) (b) Berechne die Wahrscheinlichkeit bei 9 Mal ziehen genau 4 rote Kugeln, 3 blaue und 2 grüne Kugeln zu erhalten. (Punkte: 1) 5
4. Kombinatorik (Punkte:2) Peptide sind Sequenzen von Aminosäuren, welche aus den 39 verschiedenen Aminosäuren bestehen. (a) Kombination 1 (Punkte:1) Das Peptid soll aus 10 Aminosäuren bestehen, welche linear aneinander gehängt werden. Wie viele theoretische verschiedene Möglichkeiten existieren, falls nie 2 gleiche Aminosäuren hintereinander vorkommen dürfen? (b) Kombination 2 (Punkte:1) Das Peptid soll aus 10 Aminosäuren bestehen, welche linear aneinander gehängt werden. In diesem Fall dürfen aber nie genau 3 gleiche Aminosäuren hintereinander vorkommen. Wie viele Anzahl Möglichkeiten existieren in diesem Fall? 6
1 4 1 Abbildung 1: Skizze der Situation. 5. Wahrscheinlichkeit (Punkte:1) Wir betrachten ein Quadrat der Seitenlänge 1 und legen eine Quadrat der Seitenlänge 1 4 in das Quadrat mit Seitenlänge 1 (siehe Abbildung 1). Wirwählennunzufällig10PunkteausdemQuadratderSeitenlänge1aus. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 8 Punkte im kleinen Quadrat liegen? 7
6. Ziegenproblem (Punkte:1) Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiss, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: Möchten Sie das Tor Nummer 2? Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern? Zeige mithilfe von bedingten Wahrscheinlichkeiten, dass dies der Fall ist. Berechne dazu die folgenden Grössen. (a) Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeiten p(gewinnen bei Wechsel Erste Wahl richtig) und p(gewinnen bei Wechsel Erste Wahl falsch)(punkte: 1 2 ) (b) Berechne nun p(gewinnen), falls man die Türe wechselt. (Punkte: 1 2 ) 8
7. Blitz (Punkte:2) In der Schweiz (9 Millionen Einwohner) werden im Durchschnitt 2 Personen pro Jahr von einem Blitz getroffen. Die Lebenserwartung in der Schweiz liegt bei ca. 80 Jahren? (Punkte:1) (a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit in Deutschland (90 Millionen Einwohner), dass in einem Jahr mehr als 1 Person von einem Blitz getroffen wird?(punkte:1) (b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einer Lebensdauer von 80 Jahren nie von einem Blitz getroffen wird?(punkte:1) 9