Physik Mathematisches Pende 1. Zie des Versuches Bestätiun der Schwinunseichun des mathematischen Pendes Bestimmun der Erdbescheuniun. Aufaben Indirekte Bestimmun von fünf Pendeänen i durch jeweiie Messun des Abstandes i (siehe Abb..1) und mechanische Messun des Radius der Pendekue r K Messun der Schwinunsperioden T i in Abhänikeit von den Länen i, Lineare Reression T i ² een i, Bestimmun von und 0 (siehe Abb..1) 3. Grundaen Unter einem mathematischen Pende versteht man eine "punkförmie" Masse m, die an einem "masseosen" Faden der Läne hänt. Eine keine Metakue an einem dünnen Faden entspricht recht ut diesem Mode. Stand: 09/013
Verschiebt man die Kue aus der Ruheae, so erfährt sie eine rücktreibende Kraft, die sich aus der Komponente der Gewichtskraft tanentia zur (kreisförmien) Bahn der Kue eribt: F = m" a = # m" " sin($) mit: Kraft [F] = N Masse [m] = k Bescheuniun [a] = m/s² Erdbescheuniun [] = m/s² Ausenkunswinke des Pendes [φ] = Radiant (dimensionsos) Diese Kraft wirkt as Drehmoment im Abstand von der Drehachse, aso der Fadenaufhänun. Bei keinen Ausenkunen (φ 5 ) kann man den Sinus durch den Winke sebst ersetzen; die Bescheuniun a ist nun die Winkebescheuniun, aso die zweite Abeitun von φ nach der Zeit: d! " " = # m " "! dt m Nach Division durch m : erhät man die Geichun: d " +!" = 0 dt Durch diese Differenziaeichun wird die Funktion φ(t) festeet. Eine Lösun ist: "( t ) = A# sin(! t) wie man durch Einsetzen von φ(t) zeien kann; es muss jedoch esetzt werden:! = mit: Kreisfrequenz [ω] = 1/s Ampitude der Schwinun [A] = dimensionsos Für die Kreisfrequenz ω kann man auch schreiben: 1 " =! f =! T mit: Schwinunsfrequenz [f] = 1/s Schwinunsperiode [T] = s Mathematisches Pende Seite /5
Beim mathematischen Pende ist die Periode daher aein von der Erdbescheuniun und von der Pendeäne abhäni: T =! Insbesondere spiet die Masse m der pendenden Kue keine Roe! Kennt man die Läne des Pendes, kann man aso die Erdbescheuniun durch Messun der Schwinunsperiode für Ausenkwinke φ 5! enau bestimmen. 4. Messunen Eine der Schwierikeiten bei diesem Versuch ist die möichst enaue Bestimmun der Pendeäne. Sie soten nicht versuchen (dies ist ween der Unfaefahr verboten), auf den Tisch zu steien, um zu ermitten! Wir bestimmen viemehr den Abstand der Pendemasse (Unterkante) von der Tischoberfäche (Abb..1). Die Pendeäne eribt sich dann as Differenz zwischen und der (vorerst noch unbekannten) Entfernun 0 zwischen Pendeaufhänun und Tischoberfäche: = 0 - Abb..1: Mathematisches Pende Mathematisches Pende Seite 3/5
Für die erste Pendeäne 1 wird die entsprechende Schwinunsdauer T 1 ermittet, 1 und T 1 werden notiert (as Mittewerte aus einer Mehrfachmessun). Die Pendeäne wird dann verkürzt: ändert sich aso, 0 beibt natürich eich. Für den neuen Wert wird wieder die entsprechende Schwinunsdauer T ermittet. Insesamt soen fünf Messpaare (i = 1... 5) von Entfernunen i zwischen Tischkante und Pendemasse (entsprechend den Pendeänen i ) und Schwinunsdauern T i bestimmt werden. Für die Messun der Erdbescheuniun nutzen wir die oben aneebene Geichun für die Schwinunsdauer T in Abhänikeit von und, die wir zur einfacheren Rechnun (um nämich einen inearen Zusammenhan herzusteen) quadrieren: T i i 0 " i 0 = 4! = 4! = 4! " 4! Da 0 während aer Messunen konstant (wenn auch unbekannt) beibt, kann der erste Summand as Konstante betrachtet werden. Die Geichun kann daher as Geradeneichun vom Typ: y = a + b x aufefasst werden, wenn esetzt wird: y = T! = 0 1 i a = 4! b = 4 x i i Abb..: Bestimmun der Steiun Trät man daher T i ² (in s²) een i (in m) auf, sote sich eine Gerade ereben. Die beste Abschätzun für die Steiun b und den Achsenabschnitt a dieser Geraden erhät man aus der inearen Reression. Da b ein direktes Maß für die esuchte Größe ist (die somit auch ohne Mathematisches Pende Seite 4/5
Kenntnis von 0 bestimmbar ist), kann die Erdbescheuniun aus der Steiun der Reressionseraden recht enau berechnet werden. Für = 0 it außerdem = 0 (Abb..1), so dass mithife des Achsenabschnitts a auch diese Größe bestimmt werden kann. Durchführun der Messunen: Messun der Höhe (Maßband oder Maßstab). Mehrfache Wiederhoun der Messun, Abschätzun des Fehers Bestimmun der Schwinunsdauer T mit der Stoppuhr, zur Steierun der Messenauikeit für jeweis 10 (voständie!) Schwinunen Insesamt dreimaie Wiederhoun Verkürzun der Pendeäne. Wiederhoun der beiden etzten Schritte. Berechnun von und 0 aus der Reressionseraden. 5. Auswertun Hinweis: Notieren Sie die Messwerte zunächst übersichtich in einem Messprotoko; darauf erhaten Sie später das Antestat. Die weiteren Auswertunen nehmen Sie mithife einer Tabeenkakuation z. B. mit Exce vor; dabei erhaten Sie Unterstützun durch die Betreuer! Kurze Beschreibun des Versuchsabaufs, f. von Besonderheiten Messwert für den Radius der Pendekue Messwerte für i und T i (Tabee) Berechnun von T i sowie T i ² Diaramm für die Wertepaare von T i ² een i ; Lineare Reression ( Auseichserade ) Berechnun von und 0, aus Steiun b und Achsenabschnitt a der Reressionseraden Kritische Betrachtun des Versuches (Ursache und Größenordnun von Fehern bzw. Messunsicherheiten; Was haben wir eernt? ). Mathematisches Pende Seite 5/5