Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung Von Prof. Dr. rer. nat. Josef Hoschek und Dr. rer. nat. Dieter Lasser Technische Hochschule Darmstadt Mit zahlreichen Figuren B. G. Teubner Stuttgart 1989
Inhaltsverzeichnis Vorwort Inhaltsverzeichnis 1. Transformation räumlicher Objekte, Projektionen 1 1.1 Einleitung 1 1.2 Koordinatentransformationen 2 1.2.1 Koordinatentransformationen in der Ebene 2 1.2.2 Koordinatentransformationen im R 3 5 1.3 Projektionen 9 1.3.1 Parallelprojektion 10 1.3.2 Vorgabe der Verzerrungen 11 1.3.3 Vorgabe der Projektionsrichtung 15 1.3.4 Zentralprojektion 17 1.4 Stereobilder, Anaglyphen 19 1.5 Visibilitätsverfahren 24 1.6 Schattierungen, Reflexionen 31 2. Grundlagen aus Geometrie und Numerik 36 2.1 Parameterdarstellungen von Kurven und Flächen 36 2.1.1 Parameterdarstellung von Kurven 36 2.1.2 Parameterdarstellung von Ftächen 38 2.1.3 Spezielle Flächen 44 2.1.4 Umrisslinien glatter Flächen 46 2.2 Paralletkurven und Parallelflächen 47 2.2.1 Parallelkurven 48 2.2.2 Parallelflächen 50 2.3 Interpolation von Kurven und Flächen 51 2.3.1 Interpolation von Kurven mit Monomen 52 2.3.2 Interpolation von Kurven mit Lagrange-Polynomen 53 2.3.3 Interpolation von Kurven mit Newton-Polynomen 55 2.3.4 Andere Lösungen des Interpolationsproblems für Kurven 56 2.3.4.1 Hermite-Interpolation 56 2.3.4.2 Rationale Interpolation 58 2.3.5 Interpolation von Flächen 60 2.3.6 Fehlerabschätzung für die Approximation von Kurven 61 über Interpolation 2.3.7 Beurteilung der verschiedenen Interpolationsmethoden 62 2.4 Approximation von Kurven und Flächen 63 2.4.1 Diskrete Fehlerquadratmethode von Gauss für Kurven 66 (Ausgleichsverfahren) I IV
Inhaltsverzeichnis i VII 2.4.2 Diskrete Fehlerquadratmethode von Gauss für 68 Funktionen des R 3 2.4.3 Diskrete Fehlerquadratmethode von Gauss für 70 parametrisierte Flächen 2.5 Parameterwahl bei Interpolation und Approximation 71 3. Allgemeine Splinekurven 80 3.1 Idee der Splinefunktion 81 3.2 Kegelschnitte als Subsplines 84 3.3 Kubische Splinekurven 90 3.4 Splines 5. Grades 97 3.5 Hermite-Splines 102 3.6 Splines in Tension 104 3.6.1 Exponentialsplines 104 3.6.2 Polynomiale Splines in Tension 109 3.7 Nichtlineare Splines 113 3.8 Gestalt erhaltende Splines 118 4. Bezier-und B-Spl ine-kurven 119 4.1 Bezier-Kurven "119 4.1.1 Geometrische Eigenschaften der Bezier-Kurven 130 4.1.2 Bezier-Spline-Kurven 134 4.1.3 Kubische Bezier-Splines 140 4.1.4 Rationale Bezier-Kurven 143 4.2 Anwendung der Bernstein-Bezier Technik auf finite Elemente 152 4.3 B-Spline-Kurven 157 4.3.1 B-Spline-Funktionen 157 4.3.2 B-Spline-Kurven 164 4.3.2.1 Offene B-Spline-Kurven 165 4.3.2.2 Geschlossene B-Spline-Kurven. 168 4.3.3 De Boor-Algorithmus 171 4.3.4 Einfügen weiterer De Boor-Punkte 175 4.3.5 Eigenschaften der B-Spline-Kurven 178 4.3.6 Rationale B-Spline-Kurven 180 4.4 Interpolation und Approximation 183 4.5 Schlußbemerkungen 5. Geometrische Splinekurven 185 5.1 Tangenten-, krümmungs- und torsionsstetige Kurven 186 5.2 GC r -stetige Splinekurven " 189 5.3 Geometrische Splinekurven mit Minimierungseigenschaft 192 5.4 Tangentenstetige Splinekurven 193 5.5 Krümmungsstetige Splinekurven 194 5.5.1 Bezier-Darstellung krümmungsstetiger Splinekurven 194 5.5.2 B-Spline-Bezier-Darstellung krümmungsstetiger 197 Splinekurven
VIII Inhaltsverzeichnis 5.5.3 Manning's Splinekurven 200 5.5.4 v-splines 201 5.5.5 ß-Splines 202 5.5.6 Wilson-Fowler Splines 204 5.6 Torsionsstetige Splinekurven 205 5.6.1 Bezier-Darstellung torsionsstetiger Splinekurven 205 5.6.2 B-Spline-Bezier-Darstellung torsionsstetiger Sptinekurven 208 5.6.3 GC 3 -stetige Splinekurven 210 5.6.4 t-splines 211 5.7 Rationale Geometrische Splinekurven 213 5.7.1 Rationale tangenten-, krümmungs-und torsionsstetige 214 Splinekurven 5.7.2 Rationale GC r -stetige Splinekurven 217 6. Spline-Flächen 220 6.1 Einleitung 220 6.2 Tensor-Produkt-Flächen 220 6.2.1 Bikubische Monomsplines 221 6.2.2 Tensor-Produkt-Bezier-Flächen 226 6.2.2.1 Ubergangsbedingungen 231 6.2.3 Bezier-Spline-Flächen 235 6.2.4 Tensor-Produkt-B-Spline-Fläche 239 6.3 Bezier-Flächen über dreieckigem Parametergebiet 241 6.3.1 Baryzentrische Koordinaten 243 6.3.2 Verallgemeinerte Bernstein-Polynome und 244 Dreiecks-Bezier-Flächen 6.3.3 Anschlußbedingungen für Dreiecks-Bezier-Flächen 251 6.3.4 Splines über Dreiecken 257 6.4 Allgemeine Parametergebiete 260 6.5 Rationale Tensor-Produkt-Flächen 265 6.6 Rationale Dreiecksflächen 276 7. Geometrische Splineflächen 277 7.1 GC r -stetige Flächen 278 7.2 GC^stetige Flächen 282 7.3 GC 2 -stetige Flächen 285 7.4 N-Eck und N-segmentige Ecken-Konfiguration 286 7.4.1 N-Eck Konfiguration 286 7.4.2 N-segmentige Eckenkonfiguration 288 7.5 B-Sptine-Darstellungen 292 8. Gordon-Coons-Flächen 294 8.1 Gordon-Coons-Flächen über Vierecken 295 8.1.1 C -stetige Pflaster 295 8.1.2 (^-stetige Pflaster 300 8.1.3 Bikubische Pflaster 306
Inhaltsverzeichnis IX 8.1.4 Gordon-Flächen 307 8.2 Gordon-Coons-Flächen über Dreiecken 308 9. Scattered Data Interpolation und Approximation 312 9.1 Shepard Methoden 313 9.2 Radiale Basisfunktions-Methoden 317 9.2.1 Hardy's Multiquadrik 318 9.2.2 Duchon's Thin Plate Splines 318 9.2.3 Franke's Thin Plate Splines in Tension 319 9.3 FEM-Methoden 319 9.3.1 Triangulierung von Punktmengen 320 9.3.1.1 Triangulierungsmethoden \ 320 9.3.1.2 Optimale Triangulierungen 322 9.3.2 Dreiecks-Interpolanten 327 9.3.2.1 9-Parameter Interpolant 327 9.3.2.2 C r -stetiger Hermite Interpolant 327 9.3.2.3 Clough-Tocher Interpolant 329 9.3.2.4 Powell-Sabin Interpolant 330 9.3.2.5 Rationale Interpolanten 331 9.3.2.6 Transfinite Interpolanten 332 9.3.3 Konstruktion von Ableitungsdaten 332 9.3.3.1 Gewichtete Mittelwertbildung 332 9.3.3.2 Lokale Interpolation bzw. Approximation 333 9.3.3.3 Nielson's Minimum Norm Network 333 9.3.3.4 Alfeld's Funktional Minimierung 334 9.3.3.5 Konstruktion von Krümmungsdaten 334 9.4 Multistage Methoden 334 9.5 Ein Beispiel 336 9.6 Affine Invarianz 338 10. Basistransformationen für Kurven- und Flächendarstellungen 341 10.1 Exakte Basistransformation 341 10.1.1 Basistransformationen von Monomen und 342 Bernsteinpolynomen 10.1.2 Basistransformation von B-Spline-Segmenten 343 und Bezier-Segmenten 10.2 Approximative Basistransformation 351 10.2.1 Approximative Basistransformation für Kurven 352 10.2.2 Approximative Basistransformation für Flächen 354 10.3 Basistransformation für Dreieckspatches 357 11. Multivariate Darstellungen 358 11.1 Bezier Darstellungen 359 11.1.1 Tensor-Produkt-Bezier-Volumina 359 11.1.2 Tetraeder-Bezier-Volumina 362 11.1.3 Pentaeder-Bezier-Volumina 367
, Inhaltsverzeichnis 11.1.4 Anschlußkonstruktionen 370 11.2 Transfinite Methoden 375 11.2.1 Transfinite Würfelsegmente 375 11.2.2 Transfinite Tetraedersegmente 376 11.3 Scattered data Methoden 376 11.3.1 Shepard Methoden 376 11.3.2 Radiale Basisfunktions-Methoden 377 11.3.3 FEM-Methode 377 11.3.3.1 d-dimensionale Triangulierungen 377 11.3.3.2 Interpolanten 378 11.3.3.3 Konstruktion von Ableitungsdaten 380 11.3.4 Multistage Methoden 380 11.4 Visualisierung multivariater Darstellungen 380 12. Schneiden von Kurven und Flächen 383 12.1 Schnittalgorithmen für Kurven 385 12.1.1 Numerische Methoden 385 12.1.2 Algebraische Methoden 387 12.1.3 Unterteil ungsmethoden 390 12.2 Schnittalgorithmen für Flächen 397 12.2.1 Einbettungsmethoden 398 12.2.2 Algebraische Methoden 399 12.2.3 Diskretisierungsmethoden 400 12.2.4 Verfolgungsmethoden 403 12.2.5 Unterteilungsmethoden 407 13. Glätten von Kurven und Flächen 409 13.1 Unerwünschte Kurven- und Flächenbereiche 411 13.2 Erkennen unerwünschter Kurven- und Flächenbereiche 412 13.3 Beseitigung unerwünschter Kurven- und Flächenbereiche 418 13.3.1 Beseitigung unerwünschter Kurvenbereiche 418 13.3.2 Beseitigung unerwünschter Flächenbereiche 423 13.4 Aufdecken fehlerhafter Übergänge bei Splineflachen 425 14. Literaturverzeichnis 428 14.1 Lehrbücher 428 14.2 Abhandlungen in Zeitschriften 431 15. Stichwortverzeichnis 458