9. Vorlesung Systemtheorie für Informatiker Dr. Christoph Grimm Professur Prof. Dr. K. Waldschmidt, Univ. Frankfurt/Main
Letzte Woche: Abtastung und Rekonstruktion Abtastung: Wandelt bandbegrenzte kontinuierliche Signale in zeitdiskrete Signale. Abtasttheorem: Abtastrate ω 0 mindestens 2ω max. Rekonstruktion: si-förmige Verzerrung des Spektrums. 9. Vorlesung Systemtheorie 1
Heute: Quantisierung und Modellierung der Fehler 1. Zahlendarstellung. 2. Quantisierung. 3. Fehler durch Quantisierung und deren formale Modellierung. 9. Vorlesung Systemtheorie 2
Darstellung von Signalwerten in der Signalverarbeitung Allgemein: Reelle Zahl x R lässt sich durch endliche Summe x Q = V (A) = n i= m a i B i annähern, wobei 0 a i B 1 gilt. B: Basis (z. B. 10 oder 2 für Darstellung in digitalen Rechnern) Beispiele: (132.56) 10 = 1 10 2 + 3 10 1 + 2 10 0 + 5 10 1 + 6 10 2 (1011.01) 2 = 1 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 + 0 2 1 + 1 2 2 9. Vorlesung Systemtheorie 3
Zahlendarstellungen im Rechner Computer rechnen im binären Zahlensystem, d. h. B = 2. Positive und negative Zahlen werden durch Bitvektoren A = (a n 1 a n 2... a 1 a 0 ) dargestellt. n ist typischerweise 16 oder 32 Übliche Zahlendarstellungen: Vorzeichen-Betrag-Darstellung 1-Komplement-Darstellung (K1-Darstellung) 2-Komplement-Darstellung (K2-Darstellung) 9. Vorlesung Systemtheorie 4
Vorzeichen-Betrag-Darstellung 0-te Ziffer: 0 für Positive Zahl, 1 für negative Zahl. Ziffern 1 (n 1): Betrag der Zahl. Positive Zahl: A = 0 a n 2... a 1 a 0 Negative Zahl: A = 1 a n 2... a 1 a 0 Wertebereich der Darstellung: 2 n 1 + 1 V (A) 2 n 1 1. 9. Vorlesung Systemtheorie 5
Negative Zahlen 1-Komplement-Darstellung Positive Zahl wie bei Betrags/Vorzeichendarstellung: A = 0 a n 2... a 1 a 0 Negative Zahl durch 1. Stelle = 1 markiert, restliche Bits invertiert: A = 1ā n 2... ā 1 ā 0 Wertebereich der Darstellung: 2 n 1 + 1 V (A) 2 n 1 1. 9. Vorlesung Systemtheorie 6
Negative Zahlen 2-Komplement-Darstellung Positive Zahl: A = 0 a n 2... a 1 a 0 Negative Zahl durch 1. Stelle = 1 markiert, restliche Bits invertier, 1 Addiert. A = 1 ā n 2... ā 1 ā 0 + 1 Wertebereich der Darstellung: 2 n 1 V (A) 2 n 1 1 9. Vorlesung Systemtheorie 7
Skalierung/Festkommadarstellung Bei Festkommadarstellungen wird Komma an beliebiger Stelle des Bitvektors angenommen. In Signalverarbeitung bequem: Komma unmittelbar vor erster Stelle. Damit Wertebereiche von 1 bis 1. Quantisierung Q sei Abstand zwischen zwei darstellbaren Werten Q. Darstellung Wertebereich Quantisierung Vorzeichen/Betrag (-1,1) 1/2 n 1 K1 (-1,1) 1/2 n 1 K2 [-1,1) 1/2 n 1 9. Vorlesung Systemtheorie 8
AD-Wandler: Quantisierung Eingabe ist zeitkontinuierliches und wertekontinuierliches Signal. Ausgabe ist zeitdiskretes (abgetastetes) und wertediskretes Signal. Untersuchung: Fehler, der durch die (nichtlineare!) Quantisierung entsteht. Statistisches Modell für Untersuchung (Widrow 61): Zufälliges Eingabesignal, aber kein Überlauf. x x x Q x Q Q Fehler e: Zufallsvariable E 9. Vorlesung Systemtheorie 9
AD-Wandler: Quantisierung x Q 2Q Q 3Q 2Q Q Q 2Q x Q 2Q 9. Vorlesung Systemtheorie 10
AD-Wandler: Quantisierung e x Quantisierungsfehler: e(t) = x(t) x Q (t) Verteilungsdichtefunktion: p E (e) ( ] Q 2, Q 2 1/Q Q/2 Q/2 e 9. Vorlesung Systemtheorie 11
AD-Wandler: Quantisierung Erwartungswert des Fehlers e: m E = e p E(e) de = 0 Varianz des Fehlers e: σ 2 E = e2 p E (e) de = Q2 12 x Q x Q x x Q F ehler e: Zufallsvariable E mit m_e =0 Sigma_E =Q2/12 9. Vorlesung Systemtheorie 12
Signal/Rauschabstand Signal/Rauschabstand (engl.: S/N Ratio, SNR), ist Maß für Abstand zwischen Nutzsignal und Rauschen (Störungen): ( ) σ 2 x SNR = 10 log 10 σe 2 σ 2 x : Signalleistung. σ 2 E : Fehlerleistung. in [db] Frage: Wie wirkt sich Abtastung mit n Bit auf SNR aus? 9. Vorlesung Systemtheorie 13
Signal/Rauschabstand (2) Frage: Wie wirkt sich Abtastung mit n Bit auf SNR aus? Hierzu annehmen Spitzenfaktor: P F = x max σ X = 2w 1 Q σ X Damit: σ 2 X = x2 max P 2 F σ 2 E = Q2 12 = 1 12 = 1/3 x 2 max 2 2n x 2 max 2 2 (n 1) 9. Vorlesung Systemtheorie 14
Signal/Rauschabstand (3) Wir setzen σ 2 X und σ2 E in Formel für SNR ein: ( ) SNR = 10 log 10 3 22n PF 2 Bei einem sinusförmigen Signal ist P F = 2. Damit: ( ) SNR = 10 log 10 3 22n 6.02 n + 1.76 [db] 2 Bei gaussverteilten Zufallswerten ist P F 4.61. Damit: ( ) SNR = 10 log 10 3 22n 6.02 n 8.5 [db] 2 9. Vorlesung Systemtheorie 15
Signal/Rauschabstand Faustregel Der durch eine Abtastung mit n Bit entstehende Signal/Rauschabstand ist in etwa 6 n db. Beispiele: CD-Spieler. Quantisierung: 16 Bit. SNR: 6 16 = 96 db Wahrnehmung bis zu 130 db, abhängig von Spektrum. MP2 Layer 3 Audio-Kompression: Quantisierung abhängig von psychoakustischem Modell. 9. Vorlesung Systemtheorie 16
Quantisierungstheorem nach Widrow Annahme: Quantisierer habe Eingabe x mit Wahrscheinlichkeitsdichtefkt. p X (x). Ausgabe y habe Wahrscheinlichkeitsdichtefkt. p Y (y). p (y) Y p X (x) 3Q 2Q Q 0 Q 2Q 3Q x y 9. Vorlesung Systemtheorie 17
Quantisierungstheorem Wahrscheinlichkeit W [kq], dass k-te Quantisierungsstufe ausgegeben wird: W [kq] = Q/2+kQ Q/2+kQ p X (x)dx alternativ: W [kq] = p X (x) rect((y x)/q) dx = p X (x) rect(y/q) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p Y (y) lässt sich dann als δ-folge darstellen, die mit W [kq] gefaltet ist: p Y (y) = k= δ(y kq)w [kq] 9. Vorlesung Systemtheorie 18
Quantisierungstheorem (2) Mit δ Q (y) = k= δ(y kq) erhalten wir für Verteilungsdichtefunktion p Y (y): p Y (y) = δ q (y)(rect(y/q) p X (x)) Fourier-Transformation davon ergibt charakteristische Funktion P Y (ju) (ohne Herleitung, vgl. nichtideale Abtastung!): P Y (ju) = k= P X (ju jk 2π Q ) si((u k2π Q )Q/2) 9. Vorlesung Systemtheorie 19
Quantisierungstheorem (3) Charakteristische Funktion der Ausgabe: P Y (ju) = k= P X (ju jk 2π Q ) si((u k2π Q )Q/2) Quantisierungstheorem nach Widrow: Wenn 2π/Q kleiner als maximale Frequenzkomponente in der charakteristischen Funktion P X (ju), überlappen sich die periodisch fortgesetzten Spektren nicht, und eine Rekonstruktion von p X (x) ist möglich. 9. Vorlesung Systemtheorie 20
Modell A/D-Wandler mit Quantisierung Mit Abtastung ergibt sich damit Modell der A/D-Wandlung wie folgt: kt u(t) u [n] u(t) u[ n] Q A/ D u [n] Q Weisses Rauschen 9. Vorlesung Systemtheorie 21
Quantisierungsrauschen bei arithm. Rundung Beispiel: Multiplikation von 2 Zahlen mit je n bit ergibt Produkt mit 2n bit. In der Regel dann Rundung auf n bit für weitere Verarbeitung. Modellierung eines Multiplizierers: u(t) u[n] y[n] y[n] y=u*a a a n 9. Vorlesung Systemtheorie 22
Reduktion des Quantisierungsrauschens: Dither-Techniken Dither-Techniken Anwendungsbereich: Reduktion der Quantisierung. Problem: Fehlersignal ist mit Nutzsignal korrelliert, Spektrum von Fehlersignal deshalb nicht weisses Rauschen, einige Fehlerspitzen. x[n] m+r BitSignal d[n] s Bit, s <=r Q y[n] m BitSignal Ergebnis: Quantisierungsfehler wird weisses Rauschen, Fehler gleichverteilt. 9. Vorlesung Systemtheorie 23
Reduktion des Quantisierungsrauschens: Spektralformung Quantisierungsfehler kann jederzeit berechnet werden und entsprechende Korrekturen vorgenommen werden: u[n] Q y[n] H(z) z. B. H(z) = z 1 Addiert Fehler zu nächsten zu quantisierenden Wert (Hochpassspektralformung). z. B. H(z) entsprechend psychoakustischem Modell (27dB Verbesserung!) 9. Vorlesung Systemtheorie 24
Zusammenfassung Heute kennengelernt: 1. Quantisierung kann als weisses Rauschen modelliert werden. 2. Quantisierungstheorem: Verteilungsdichte rekonstruierbar. 3. Modellierung von A/D-Wandler, Multiplizierer. 4. Dithering, Spektralformung. 9. Vorlesung Systemtheorie 25
Ausblick Nächste Woche: 1. Kurzzeit-Fourier-Analyse (STFT) 2. Wavelets 9. Vorlesung Systemtheorie 26