Kommunikationstechnik II Wintersemester 07/08

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1 Kommunikationstechnik II Wintersemester 07/08 Prof. Dr. Stefan Weinzierl Musterlösung: 2. Aufgabenblatt 1. Aufgabe: Abtastung a) Simulieren Sie mit Matlab zwei Cosinussignale der Länge 1 s mit den Frequenzen 1 khz und 7 khz. Tasten Sie die beiden Signale mit einer Abtastfrequenz von 8 khz ab und vergleichen Sie die Abtastfolgen. % Abtastfrequenz und Zeitvektor fs1 = 8000; t1 = [0:1/fs1:1-1/fs1]; % Abtastung zweier Signale mit Frequenz 1 khz bzw. 7 khz f1 = 1000; y1 = cos(2*pi*f1*t1); f2 = 7000; y2 = cos(2*pi*f2*t1); % Plot über zwei Perioden des 1-kHz-Signals index1 = (fs1/f1)*2; subplot(2,1,1), stem(t1(1:index1),y1(1:index1)) xlabel('t [s]'), ylabel('y(t)') title('abtastfolge 1-kHz-Cosinussignals, fs = 8 khz') subplot(2,1,2), stem(t1(1:index1),y2(1:index1)) title('abtastfolge 7-kHz-Cosinussignals, fs = 8 khz') xlabel('t [s]'), ylabel('y(t)') Abbildung 1 sound(y1,fs1) pause(1)

2 sound(y2,fs1) Es zeigt sich, dass die beiden Abtastfolgen nicht zu unterscheiden sind. Dies liegt daran, dass das 7-Hz-Signal mit 8 khz unterabgetastet wird. Das Abtasttheorem f S > 2 f max wird nicht eingehalten. Die Spiegelfrequenz, welche durch die Abtastung entsteht, liegt exakt bei 8 khz - 7 khz = 1 khz. Die Uneindeutigkeit zeigt sich auch beim Probehören. b) Wiederholen Sie den Versuch für die Abtastfrequenzen 9 khz und 44,1 khz. % neue Abtastfrequenz = 9 khz und zugehöriger Zeitvektor fs2 = 9000; t2 = [0:1/fs2:1-1/fs2]; % Abtastung zweier Signale mit Frequenz 1 khz bzw. 7 khz f3 = 1000; y3 = cos(2*pi*f1*t2); f4 = 7000; y4 = cos(2*pi*f2*t2); % neue Abtastfrequenz = 44,1 khz und zugehöriger Zeitvektor fs3 = 44100; t3 = [0:1/fs3:1-1/fs3]; % Abtastung zweier Signale mit Frequenz 1 khz bzw. 7 khz f5 = 1000; y5 = cos(2*pi*f5*t3); f6 = 7000; y6 = cos(2*pi*f6*t3); % Plot über zwei Perioden des 1-kHz-Signals index2 = (fs2/f3)*2; index3 = round((fs3/f5)*2); subplot(2,2,1), stem(t2(1:index2),y3(1:index2)) xlabel('t [s]'), ylabel('y(t)') title('abtastfolge eines 1-kHz-Cosinussignals, fs = 9 khz') subplot(2,2,3), stem(t2(1:index2),y4(1:index2)) xlabel('t [s]'), ylabel('y(t)') title('abtastfolge eines 7-kHz-Cosinussignals, fs = 9 khz') subplot(2,2,2), stem(t3(1:index3),y5(1:index3)) xlabel('t [s]'), ylabel('y(t)') title('abtastfolge eines 1-kHz-Cosinussignals, fs = 44,1 khz') subplot(2,2,4), stem(t3(1:index3),y6(1:index3)) xlabel('t [s]'), ylabel('y(t)') title('abtastfolge eines 7-kHz-Cosinussignals, fs = 44,1 khz') sound(y3,fs2) pause(1) sound(y4,fs2) pause(1) sound(y5,fs3) pause(1) sound(y6,fs3) % 1 khz mit 9 khz abgetastet % 7 khz mit 9 khz abgetastet % 1 khz mit 44,1 khz abgetastet % 7 khz mit 44,1 khz abgetastet

3 Abbildung 2 Die beiden Abtastfolgen unterscheiden sich zwar bei einer Abtastung mit 9 khz, das 7-kHz-Signal ist aber immer noch unterabgetastet. Erst bei einer Abtastrate größer als die doppelte Signalfrequenz (in diesem Fall 44,1 khz) können beide Signale eindeutig rekonstruiert werden (Abtasttheorem). Eine Hörkontrolle macht dies deutlich. c) Stellen Sie alle drei Signalpaare im Frequenzbereich dar mit 0 f f s. Diskutieren Sie die Ergebnisse. % Normierte Darstellung im Frequenzbereich von 0 bis fs Y1=abs(fft(y1))/max(abs(fft(y1))); Y2=abs(fft(y2))/max(abs(fft(y2))); Y3=abs(fft(y3))/max(abs(fft(y3))); Y4=abs(fft(y4))/max(abs(fft(y4))); Y5=abs(fft(y5))/max(abs(fft(y5))); Y6=abs(fft(y6))/max(abs(fft(y6))); N1 = length(y1); N2 = length(y3); N3 = length(y5); f_index1 = [0:fs1/N1:fs1-1]; f_index2 = [0:fs2/N2:fs2-1]; f_index3 = [0:fs3/N3:fs3-1]; subplot (2,3,1), plot(f_index1,20*log10(abs(y1))) title('betragsspektrum eines 1-kHz-Cosinussignals, fs = 8 khz') axis([ ]) subplot (2,3,4), plot(f_index1,20*log10(abs(y2))) title('betragsspektrum eines 7-kHz-Cosinussignals, fs = 8 khz') axis([ ]) subplot (2,3,2), plot(f_index2,20*log10(abs(y3))) title('betragsspektrum eines 1-kHz-Cosinussignals, fs = 9 khz')

4 axis([ ]) subplot (2,3,5), plot(f_index2,20*log10(abs(y4))) title('betragsspektrum eines 7-kHz-Cosinussignals, fs = 9 khz') axis([ ]) subplot (2,3,3), plot(f_index3,20*log10(abs(y5))) title('betragsspektrum eines 1-kHz-Cosinussignals, fs = 44,1 khz') axis([ ]) subplot (2,3,6), plot(f_index3,20*log10(abs(y6))) title('betragsspektrum eines 7-kHz-Cosinussignals, fs = 44,1 khz') axis([ ]) Abbildung 3 Die Betragspektren zeigen, was bereits im Zeitbereich bzw. beim Hören deutlich wurde: Die Spektren aus Aufgabe a) unterscheiden sich nicht. Werden die Signale mit 9 khz abgetastet, so ergeben sich zwar unterschiedliche Spektren, beim 7-kHz- Signal erscheint aber trotzdem eine Spiegelfrequenz unter der Signalfrequenz (9 khz - 7 khz = 2 khz), sodass diese als Grundton aufgefasst wird. Um dieses Aliasing zu vermeiden, muss vor der Abtastung ein Tiefpassfilter eingesetzt werden (Anti- Aliasing-Filter), das Signalanteile oberhalb f S /2 (Nyquistfrequenz) unterdrückt. Bei einer Abtastung mit 44,1 khz ergeben sich zwar auch Spiegelfrequenzen bei f S - f, allerdings erscheinen diese oberhalb der höchsten Nutzfrequenz, und sie sind nicht mehr hörbar. Für die in diesem Fall durch das Hörvermögen hervorgerufene Filterung sorgt im Allgemeinen ein Rekonstruktionstiefpassfilter mit einer Grenzfrequenz bei f S /2. Es zeigt sich, dass die Rauschpegel der im Verhältnis zur Nutzfrequenz höher abgetasteten Signale leicht tiefer sind. Dies liegt an der Verteilung der Fehlerenergie über das gesamte Spektrum (siehe Oversampling, nächste Übung).

5 2. Aufgabe: Quantisierung und Dither a) Erzeugen Sie ein Sinussignal mit f = 700 Hz der Länge 1 s, tasten Sie es mit einer Abtastrate f S = 44,1 khz ab, und quantisieren Sie es mit einer Wortbreite von 3 bit. Sorgen Sie dafür, dass die in der Audiosignalverarbeitung übliche midtread- Quantisierungskennlinie angewandt wird. Es wird in der folgenden Aufgabe mit einer Signalfrequenz von 500 Hz gerechnet, da somit die Abtastfrequenz kein ganzzahliges Vielfaches der Signalfrequenz ist und die Quantisierung nicht zusätzlich verschlechtert wird. % Signal erzeugen fs = 44100; f = 500; t = [0:1/fs:1-1/fs]; y = sin(2*pi*f*t); % Quantisiere Signal mit Wortbreite n n = 3; q = 2*max(abs(y)) / 2^n; y_q = quant(y, q); %y_q = floor((y/q)+0.5)*q; % Plot über eine Periode des Signals index = 2*round(fs/f); plot(t(1:index),y_q(1:index)) % --> es resultieren 2^n+1 Quantisierungsstufen von min(y) bis max(y), was % der Wortbreite von n bit widerspricht. Bei der midtread-kennlinie, die im % Audiobereich üblich ist, gibt es im positiven Bereich eine % Quantisierungsstufe weniger, dafür existiert eine Stufe für den Wert 0. % Um eine midtread-kennlinie zu erreichen, wird von jedem Wert max(y) ein % Quantisierungsintervall abgezogen. maximum = max(y); for i = 1:length(y_q); if (y_q(i) > (maximum - q)); y_q(i) = (maximum - q); end end b) Lassen Sie sich die Anzahl der Quantisierungsstufen und die Größe eines Quantisierungsintevalls ausgeben. % Anzahl Quantisierungsstufen 2^n % Quantisierungsstufe q Es gibt 2 n = 8 Quantisierungsstufen der Größe 2 y max /2 n = c) Plotten Sie das Originalsignal und das quantisierte Signal im Zeit- und Frequenzbereich. % Fenstere das quantisierte Signal nur zu verbesserten Darstellungszwecken:

6 w = hamming(length(y)); y_qw = y_q.* w'; % normierte FFT des unquantisierten und des quantisierten Signals Y = fft(y)/max(fft(y)); Y_Q = fft(y_qw)/max(fft(y_qw)); N = length(y); f_index = [0:fs/N:fs/2-1]; % Frequenzindex bis fs/2 % Plot Originalsignal subplot(2,1,1), plot(t(1:index),y(1:index)) xlabel('zeit [s]'), ylabel('y(t): Sinus') title('zwei Perioden eines Sinussignals 500 Hz') subplot(2,1,2), semilogx(f_index,20*log10(abs(y(1:n/2)))) axis([20 fs/ ]) title('spektrum eines Sinussignals 500 Hz') % Plot mit midtread-kennlinie subplot(2,1,1), plot(t(1:index),y_q(1:index)) xlabel('zeit [s]'), ylabel('y(t): Sinus') title('zwei Perioden eines mit 3 bit quantisierten Sinussignals 500 Hz') subplot(2,1,2), semilogx(f_index,20*log10(abs(y_q(1:n/2)))) axis([20 fs/ ]) title('spektrum eines mit 3 bit quantisierten Sinussignals 500 Hz') Abbildung 4 Das quantisierte Signal weist sehr starke nicht-lineare Verzerrungen auf, die als extrem störend wahrgenommen werden. Die Frequenzen unterhalb der Grundfrequenz kommen durch eine überlagerte Schwingung, hervorgerufen von der Abtastfrequenz, zustande. Diese ergibt sich, da die Abtastfrequenz kein ganzzahliges Vielfaches der Signalfrequenz ist. Es kommen f S samples/s = = 88,1 samples in einer Perdiode des Signals vor. Die erste ganze f 500 s -1 Zahl von samples tritt nach 5 Perioden des Signals auf und beträgt 441 samples samples/s Dies ergibt eine Frequenz von =100 Hz, die als tiefste Frequenz im 441 samples Spektrum auftritt.

7 d) Wie groß ist der maximale Quantisierungsfehler? Plotten Sie den Zeitverlauf und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (siehe Aufgabenblatt 1). Begründen Sie das Ergebnis. % Quantisierungsfehler e = y_q - y; e_max = max(abs(e)) % maximaler Fehler % Plot im Zeitbereich plot(t(1:index),e(1:index)) xlabel('zeit [s]'), ylabel('e(t): Fehlersignals') title('zwei Perioden des Fehlersignals e(t)') axis([0 t(index) -q q]) set(gca,'ytick',[-q -0.5*q 0 0.5*q q]) set(gca,'yticklabel',{'-q';'-q/2';'0';'q/2'; 'Q'}) Abbildung 5 Erwartet wird: e max = Q/2 = 0,125. Wegen der midtread-kennlinie und der geringen Quantisierung ist der maximale Fehler jedoch größer und entspricht einem Quantisierungsintervall (siehe Abbildung 5). Das Zeitsignal ist periodisch und mit dem Eingagssignal korreliert. Dies ist der Grund für die nicht-linearen Verzerrungen im Spektrum des quantisierten Signals. Um die Korrelation des Fehlers mit dem Eingangssignal zu verringern könnte die Wortbreite der Quantisierung erhöht werden. Dies ist aber oft nicht erwünscht oder möglich, zudem wird der Fehler bei geringer Signalaussteuerung wieder groß. % WDF des Quantisierungsfehlers nbins = 100; [anzahl,intervallmitte] = hist(e,nbins); intervallbreite=( max(max(e)) + abs(min(min(e))) ) / nbins; wdf = anzahl / sum(anzahl) * (1/intervallbreite); plot(intervallmitte,wdf) xlabel('signalamplituden'),ylabel('wdf (Schä?tzung)') title('wdf Quantisierungsfehler') axis ([-q q/2 0 max(wdf)]) set(gca,'xtick',[-q -0.5*q 0 0.5*q]) set(gca,'xticklabel',{'-q'; '-Q/2';'0';'Q/2'}) grid on

8 Abbildung 6 Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Quantisierungsfehlers ist nicht gleichverteilt, wie dies bei gut ausgesteuerten Quantisierern bzw. hohen Wortbreiten der Fall ist. e) Addieren Sie zum Originalsignal ein gleichverteiltes Dithersignal mit der Amplitude -0,5 LSB bis 0,5 LSB und führen Sie die Schritte a) bis d) erneut aus. Vergleichen Sie die Ergebnisse und geben Sie die Signale über Ihre Soundkarte aus. % Dither erzeugen d = (rand(1,length(y))-0.5)*2; % rect-rauschen % d2 = (rand(1,length(y))-0.5)*2; % d = d1 - d2; % tri-rauschen d = q/2 * d; % skalieren auf Q/2 % addiere Dither zu Signal (vor der Quantisierung) y_d = y + d; % erneute Quantisierung y_dq = quant(y_d, q); % Anzahl Quantisierungsstufen 2^n % Quantisierungsstufe q % normierte FFT des geditherten Signals Y_DQ = fft(y_dq)/max(fft(y_dq)); % Plot subplot(2,1,1), plot(t(1:index),y_dq(1:index)) xlabel('zeit [s]'), ylabel('y(t): Sinus') title('zwei Perioden eines mit 3 bit quantisierten und geditherten Sinussignals 500 Hz') subplot(2,1,2), semilogx(f_index,20*log10(abs(y_dq(1:n/2)))) axis([20 fs/ ]) title('spektrum eines mit 3 bit quantisierten und geditherten Sinussignals 500 Hz')

9 Die Anzahl und Größe der Quantisierungsstufen bleiben unverändert. Abbildung 7 Das Spektrum zeigt einen hohen Anteil an Rauschen, dafür sind die nicht-linearen Verzerrungen verschwunden. Dies wird als deutlich weniger störend empfunden. % Quantisierungsfehler e = y - y_dq; e_max = max(abs(e)) % maximaler Fehler Der maximale Fehler bleibt wegen des Dithers in der Größenordnung eines Quantisierungsintervalls: e max = Q = 0,247 % Plot im Zeitbereich plot(t(1:index),e(1:index)) xlabel('zeit [s]'), ylabel('e(t): Fehlersignals') title('zwei Perioden des Fehlersignals e(t)') axis([0 t(index) -q q]) set(gca,'ytick',[-q -0.5*q 0 0.5*q q]) set(gca,'yticklabel',{'-q';'-q/2';'0';'q/2'; 'Q'}) % WDF des Quantisierungsfehlers nbins = 100; [anzahl,intervallmitte] = hist(e,nbins); intervallbreite=( max(max(e)) + abs(min(min(e))) ) / nbins; wdf = anzahl / sum(anzahl) * (1/intervallbreite); plot(intervallmitte,wdf) xlabel('signalamplituden'),ylabel('wdf (Schä?tzung)') title('wdf Quantisierungsfehler nach Ditherung') axis ([-q q 0 max(wdf)]) set(gca,'xtick',[-q -0.5*q 0 0.5*q q]) set(gca,'xticklabel',{'-q';'-q/2';'0';'q/2'; 'Q'}) grid on

10 Abbildung 8 Der Quantisierungsfehler ist deutlich weniger korreliert mit dem Eingangssignal und nähert sich einem Zufallssignal. Dies zeigt sich auch in der dreieckserteilten WDF. % Hörkontrolle sound(y,fs) pause(1) sound(y_q,fs) pause(1) sound(y_dq,fs) Abbildung 9

11 3. Aufgabe: Erwartungswert nach Requantisierung Ein 20-bit-Sinussignal x(n) mit der Dauer 1 s wird mit w = 16 bit requantisiert. Vor der Requantisierung wird ihm ein gleichverteiltes Dithersignal mit der Amplitude -0,5 LSB bis 0,5 LSB beigemischt. Das Dithersignal wird mit s = 8 bit quantisiert. a) Stellen Sie mit Hilfe von Matlab den Erwartungswert des requantisierten Ausgangssignals über der Eingangsamplitude innerhalb eines Quantisierungsintervalls dar. Skalieren Sie dazu das 20-bit-Signal auf die Amplitude eines Quantisierungsintervalls und addieren Sie das quantisierte Dithersignal dazu. Die Berechnungsvorschrift des Erwartungswerts findet sich im Abschnitt Dither-Techniken bei Zölzer (2005). 1 Der Erwartungswert eines requantisierten Signals lässt sich wie folgt berechnen: g m (V ) = " g(v + d k )P(d k ), mit -2 s-1 k 2 s-1-1 (1) k wobei g(v + d k ) = Q[ V + d k Q + 0,5]. (2) (2) stellt dabei die Quantisierung mit dem Rundungsfaktor 0,5 dar, es wird also zu der Eingangsamplitude V eine der 2 s Ditheramplituden d k addiert und das Ergebnis quantisiert. Der Erwartungswert einer bestimmten Eingangsamplitude V ist die Summe dieser k Quantisierungen gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit der Ditheramplituden. Wird dies für jede Eingangsamplitude V berechnet, ergibt sich die gesuchte Requantisierungskennlinie. % Erzeuge Signal fs = 44100; f = 500; t = [0:1/fs:1-1/fs]; y = sin(2*pi*f*t); % Erzeuge dither mit der Amplitude amp_lsb, bezogen auf 1 LSB w = 6; % Wortbreite der Requantisierung q_w = 2*max(abs(y)) / 2^w; % ein Quantisierungsintervall (1 LSB) d = (rand(1,length(y))-0.5)*2; % Rauschen amp_lsb = 0.5; % Amplitude ±amp_lsb d = amp_lsb * q_w * d; % skaliere Rauschen y = y * q_w; % Skaliere Sinus auf die Amplitude 1 LSB % Der Amplitudenbereich von y wird in 2^n Intervalle geteilt, um einen % Vektor "intervallmitte_y" mit den Amplitudenwerten der Ausgangs- % Quantisierung zu erzeugen. Um exakte Werte für 0 und 1 LSB zu erlangen, 1 Zölzer U (2005) Digitale Audiosignalverarbeitung. 3. Auflage, Teubner, Stuttgart. Dieses Buch finden Sie online auf der Webseite zu dieser Lehrveranstaltung.

12 % wird zu jeder Intervallmitte die Hälfte einer Intervallbreite addiert, % sodass man an den Rändern der Intervalle "landet". n = 10; [anzahl_y, intervallmitte_y] = hist(y,2^n); intervallbreite = (max(y) + abs(min(y))) / 2^n; intervallmitte_y = intervallmitte_y + intervallbreite/2; % Quantisiere Dither auf 8 bit: Die kontinuierlichen Amplitudenwerte werden % in 2^s Intervalle geteilt, jede der 2^s Intervallmitten ist einer der % möglichen Amplitudenwerte des Dithers. s = 8; [anzahl_d, intervallmitte_d] = hist(d, 2^s); P_d = 1/2^s; % Vorbereitung für for-schleife j = length(intervallmitte_y); g_v = zeros(1,j); a = zeros(1,2^s); % Zu jedem Amplitudenwert von y innerhalb eines LSB werden alle möglichen % Amplitudenwerte des Dithers addiert, einzeln quantisiert und der % Erwartungswert berechnet. Es resultiert ein Vektor mit den % Erwartungswerten für alle Eingangsamplituden von y. for i = j/2:j; for k = 1:2^s; % a(k) = floor((intervallmitte_y(i)+intervallmitte(k))/q_w+0.5)*q_w; a(k) = quant((intervallmitte_y(i)+intervallmitte_d(k)), q_w) * P_d; end g_v(i) = sum(a); end plot(intervallmitte_y(j/2:j),g_v(j/2:j)) axis ([0 q_w 0 q_w]) set(gca,'xtick',[0 0.5*q_w q_w]) set(gca,'xticklabel',[ ]) set(gca,'ytick',[0 0.5*q_w q_w]) set(gca,'yticklabel',[ ]) title('requantisierung eines 20-bit-Signals auf 16 bit mit Dither') xlabel('eingangsamplitude innerhalb 1 LSB') ylabel('erwartungswert g_m(v) der Ausgangsamplitude innerhalb 1 LSB') grid on y_d = y + d; y_dq = quant(y_d,q_w); sound(y,fs) pause(1) sound(y_dq,fs)

13 Abbildung 10 Es ergibt sich durch die Addition des Dithers eine linear ansteigende Kennlinie. Die mittleren Ausgangswerte einer mit Dither durchgeführten Requantisierung entsprechen den Eingangswerten, obwohl diese unterhalb eines LSB liegen. Durch das Dithering kann also eine höhere Auflösung erzielt werden, als von der Requantisierung vorgegeben. Sie entspricht w bit + s bit. Eine Hörkontrolle wie in Aufgabe 2 macht dies noch einmal deutlich. b) Wiederholen Sie dies für die Dither-Aussteuerungen [-0,25 0,25] LSB und [-0,6 0,6] LSB sowie für eine Requantisierung ohne Dither. % In Aufgabe a) für und amp_lsb die jeweilige Amplitude einsetzen. Bei % Quantisierung ohne Dither muss für amp_lsb und s 0 eingesetzt werden oder % folgende alternative Implemetierung: % y_q = floor(intervallmitte_y(j/2:j)/q_w+0.5)*q_w; y_q = quant(intervallmitte_y(j/2:j), q_w); plot(intervallmitte_y(j/2:j), y_q) axis ([0 q_w 0 q_w]) set(gca,'xtick',[0 0.5*q_w q_w]) set(gca,'xticklabel',[ ]) set(gca,'ytick',[0 0.5*q_w q_w]) set(gca,'yticklabel',[ ]) title('requantisierung eines 20-bit-Signals auf 16 bit ohne Dither') xlabel('eingangsamplitude innerhalb 1 LSB') ylabel('erwartungswert g_m(v) der Ausgangsamplitude innerhalb 1 LSB') grid on

14 Abbildung 11 c) Wie interpretieren Sie die Ergebnisse? Bei geringer ausgesteuertem Dithersignal nähert sich die Kennlinie immer mehr einer einzigen Treppenstufe, wie sie sich bei einer Requantisierung ohne Dither ergibt. Da die Ditheramplitude zu gering ist, landen weniger Werte über einem halben LSB, sodass der mittlere Ausganswert länger auf der Stufe 0 bleibt. Bei einer Quantisierung ohne Dither wird die Hälfte der Eingangswerte auf 0 LSB, die andere Hälfte auf 1 LSB quantisiert. Wird das Dithersignal höher ausgesteuert als ± 0,5LSB, wird die Kennlinie bis zu einem bestimmten Punkt steiler ansteigen, da im Mittel zu viele Werte auf 1 LSB quantisiert werden.