Kommunikationstechnik II. Prof. Dr. Stefan Weinzierl

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1 Kommunikationstechnik II Prof. Dr. Stefan Weinzierl Autoren: Stefan Weinzierl & Alexander Lerch Wintersemester 2008/2009

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 5 2 Grundlagen Abtastung Beschreibung von Zufallssignalen Zufallsprozesse Verteilung und Dichte Erwartungswerte und Momente Verteilungsmodelle und Häufigkeiten Rechteckverteilung Gaußverteilung Exponentialverteilung Laplaceverteilung Korrelation und Leistungsdichte Quantisierung Dither Überabtastung Noise-Shaping Delta-Sigma-Modulation Zahlendarstellung und Zahlenformat Festkomma-Format Gleitkomma-Darstellung Anwendungsbereiche A/D- und D/A- Wandlung Einleitung A/D-Wandler Parallel-Wandler SAR-Wandler Delta-Sigma-Wandler D/A-Wandler R-2R-Wandler Delta-Sigma-DA-Wandler

4 4 3.4 Kenn- und Messgrößen für Wandler Kodierung Grundlagen Quellenkodierung Redundanzkodierung Lineare Prädiktion Entropiekodierung Beispiele Irrelevanzkodierung Verdeckung und Frequenzgruppen Beispiel MPEG-4 AAC Qualität Auswahlkriterien von Kodierungsverfahren Kanalkodierung Grundbegriffe und Kenngrößen Beispiele Einfache Parität Mehrdimensionale Parität (Kreuzsicherung) Zyklische Kodes Faltungskodes Leitungskodierung Einfache Kodes Gruppenkodes Interfaces AES AES Abbildungsverzeichnis 81 Tabellenverzeichnis 84 Literaturverzeichnis 85

5 Kapitel 1 Einleitung Seit Ende der 70er Jahre findet im Audiobereich ein grundlegender Systemwandel mit der Ablösung analoger Systeme durch digitale Technologien statt. Wesentliche Gründe für diesen Wandel sind die überwiegend überlegenen technischen Übertragungseigenschaften digitaler Audiotechnologie (Frequenzgang, Verzerrungen, Signal-Rauschabstand, Gleichlauf) die Möglichkeit verlustlosen Kopierens und Archivierens digitaler Inhalte umfangreichere Möglichkeiten der Signalbearbeitung und Editierung der Preisverfall digitaler Hard- und Software im Vergleich zu hochwertiger analoger Schaltungstechnik die Konvergenz digitaler Medien auf Seiten der Audioindustrie (technologische Konvergenz) wie auf Seiten der Rezipienten (Konvergenz der Mediennutzung) Der Einzug digitaler Übertragungssysteme fand etwa gleichzeitig im Bereich der Klangerzeuger (Synthesizer, Sampler, Drumcomputer, MIDI), der Effektgeräte (Delay, Nachhall) und der Speichermedien statt (Tabelle 1.1) wurde mit MIDI (Musical Instrument Digital Interface) ein Format für den Austausch von Steuerdaten zwischen Computern, Synthesizern und Samplern etabliert, das den Produktionsvorgang v.a. in der Popmusik, aber auch in der Elektronischen Musik und der Computermusik nachhaltig veränderte, da es nicht eine Übertragung von Audiosignalen, sondern eine digital gesteuerte Gestaltung des musikalischen Verlaufs selbst ermöglichte. In den 1990er Jahren wurde eine Vielzahl neuer Speichermedien, Protokolle, Formate und Bearbeitungsalgorithmen für digitale Audiosignale eingeführt. Durch die Entwicklung immer höher integrierter Schaltungen erhöhte sich die Leistungsfähigkeit, durch das Zusammenwachsen verschiedener Medien (Bild, Ton, Schrift) erhöhte sich die produzierte Stückzahl digitaler Hardware. Beides bewirkte einen Preisverfall digitaler Hard- und Software und damit eine technische Annäherung von professionellem und Consumer-Bereich. 5

6 6 KAPITEL 1. EINLEITUNG Hardware Markteinführung Klangerzeuger NED Synclavier Synthesizer/Sampler 1979 Fairlight CMI Synthesizer/Sampler 1979 Linn LM-1 Drumcomputer/Sampler 1980 E-MU Emulator I Sampling Keyboard 1981 Yamaha DX-7 Syntheziser 1983 Audiobearbeitung/Effekte Lexicon Delta-T 101 Digital Delay 1971 EMT 250 Digitaler Nachhall 1976 Lexicon L224 Digitaler Nachhall 1978 Tonträger/Editoren PCM-1600 (U-matic) 1978 Digitale Mehrspurrekorder (3M, Sony PCM 3324) 1978 Sony DAE-1100 Umkopierschnittplatz 1980 Compact Disc (CD) 1982 Sony DAE-3000 Umkopierschnittplatz 1987 Digital Audio Tape (DAT) 1987 Sonic Solutions Harddisc Editing 1988 MIDI Standard 1983 Tabelle 1.1: Einzug digitaler Signalverarbeitung im Tonstudiobereich Im Bereich der Speichermedien wird immer mehr auf einheitliche Datenträger für multimediale Inhalte wie Harddisk oder optische Medien zurückgegriffen, für die Übertragung werden zunehmend Computernetzwerke genutzt und der normale PC wird immer mehr zum zentralen Werkzeug auch für die professionelle Audiotechnik. Aktuelle Entwicklungen im Bereich der digitalen Audiotechnik sind die Verlängerung der digitalen Übertragungskette durch die Entwicklung von Mikrofonen mit digitalen Ausgangssignalen und Lautsprechern, die digitale Eingangssignale verarbeiten die Weiterentwicklung von Wandler-, Kodierungs- und Speichertechnologie hin zu höheren Wortbreiten und Abtastraten die Klangsynthese durch physikalische Modelle von realen oder imaginären Klangerzeugern die Steuerung von Audio-Wiedergabesystemen durch digitale Signalverarbeitung: durch digitale Frequenzweichen als IIR- oder FIR-Filter in Mehrweg- Lautsprechern, zur Konfiguration von Line-Arrays bis hin zur Steuerung ganzer Wiedergabesysteme (Wellenfeldsynthese, Ambisonics) die Erschließung neuer Übertragungs- und Vertriebskanäle durch digitalen Rundfunk, digitales Fernsehen, lokale Netzwerke und das Internet.

7 Kapitel 2 Grundlagen 2.1 Abtastung Der Verlauf zeit- und wertekontinuierlicher Signale, wie der von einer Schallquelle erzeugte Schalldruck im Raum oder die von einem Mikrofon abgegebene Spannung, wird als analog bezeichnet. Um solche Signale in einem Digitalrechner mit begrenztem Speicher ablegen und verarbeiten zu können, muss der Zeitverlauf diskretisiert, d.h. zu bestimmten Zeitpunkten abgetastet werden, so daß nur die einzelnen Amplitudenwerte zum Abtastzeitpunkt gespeichert werden müssen. Die Frequenz dieser Abtastung wird Abtastrate (sampling rate) genannt. Abbildung 2.1 zeigt einen Ausschnitt eines kontinuierlichen (analogen) Signals und die resultierende Abtastfolge. Abbildung 2.1: Kontinuierliches Signal (oben) und zugehörige Abtastfolge bei einer Abtastfrequenz von 50 Hz (unten) 7

8 8 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN Die Frequenzzuordnung eines abgetasteten Signals ist nicht eindeutig; so führen in dem in Abbildung 2.2 dargestellten Beispiel alle Sinusschwingungen zu der gleichen Folge von Abtastwerten. Abbildung 2.2: Mehrere Sinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz und Phase führen zu der gleichen Folge von Abtastwerten Abb. 2.3 stellt Sinusschwingungen der Frequenzen 1 khz, 5 khz, 7 khz und 11 khz und die dazugehörigen Abtastwerte bei einer Abtastfrequenz von 6 khz dar: die Frequenz der resultierenden Abtastfolge ist in allen Fällen gleich. Abbildung 2.3: Darstellung von analogem und abgetastetem Zeitverlauf von Sinusschwingungen der Frequenzen 1 khz, 5 khz, 7 khz und 11 khz, die Abtastfrequenz ist 6 khz; oben: kontinuierlicher Zeitverlauf, unten: abgetasteter Zeitverlauf Diese Mehrdeutigkeit äußert sich im Spektrum des abgetasteten Signals durch eine mit der Abtastfrequenz periodische Wiederholung des Originalsignals.

9 2.1. ABTASTUNG 9 Abbildung 2.4: Spektrum des kontinuierlichen Signals (schematisch, links) und der zugehörigen Abtastfolge (rechts) mit Seitenbändern bei Vielfachen der Abtastfrequenz f S. Wird die Bandbreite des Ausgangssignals nicht auf die Hälfte der Abtastfrequenz begrenzt, überlappen sich die Seitenbänder (unten) Abb. 2.4 veranschaulicht diese Periodizität, aus der sich unmittelbar das sogenannte Abtasttheorem ergibt: Ein abgetastetes Signal lässt sich ohne Informationsverlust rekonstruieren, wenn die Abtastfrequenz f S mindestens doppelt so hoch ist wie die höchste im Signal vorkommende Frequenz f max. f S > 2f max Wird das Abtasttheorem verletzt, überlappen sich die periodisch fortgesetzten Spektren und man spricht von Unterabtastung, d.h. es entstehen innerhalb der Bandbreite des Originalsignals Spiegelfrequenzen. Dieser Effekt wird als Aliasing bezeichnet. Zur Vermeidung solcher Aliasing-Artefakte muss das Eingangssignal so bandbegrenzt werden, dass das Abtasttheorem erfüllt ist. Daher befindet sich vor jedem A/D-Wandler ein analoges Tiefpassfilter, das alle Frequenzanteile oberhalb der halben Abtastfrequenz abschneidet bzw. möglichst stark dämpft. Die Eigenschaften dieses Antialiasing-Filters beeinflussen die Qualität des A/D-Wandlers. Ein anschauliches Beispiel einer Unterabtastung im Visuellen findet man in vielen Westernfilmen. Die Speichenräder einer Kutsche drehen sich mit der erwarteten Geschwindigkeit und Richtung, solange die Kutsche langsam fährt. Übersteigt die Speichengeschwindigkeit allerdings die halbe Abtastfrequenz

10 10 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN der Kamera (24 Hz), so nimmt die wahrgenommene Geschwindigkeit des Rades wieder ab. Die unterabgetastete Drehung produziert eine Aliasingkomponente, die mit zunehmender Drehfrequzenz abnimmt. Wenn die Drehfrequenz die Abtastfequenz erreicht, scheint das Rad stillzustehen. Zur Rekonstruktion des analogen Signals aus dem digitalen Signal ist aufgrund der Periodizität des Spektrums ebenfalls ein Tiefpassfilter (Rekonstruktionsfilter) erforderlich, das nur Signalfrequenzen unterhalb der halben Abtastfrequenz passieren läßt. Abbildung 2.5: Notwendige Verarbeitungsschritte vor und nach der Abtastung eines Signals Theoretisch ist ein unter Berücksichtigung des Abtasttheorems abgetastetes Signal in dem in Abb. 2.5 dargestellten Ablauf fehlerfrei rekonstruierbar, wenn Filter und Abtastung ideal sind. 2.2 Beschreibung von Zufallssignalen Signale, die sich durch analytische Ausdrücke wie Sinus- oder Rechteckfunktionen beschreiben lassen, nennt man deterministische Signale, da sie einen vorhersagbaren Verlauf besitzen. In der Audiotechnik (ebenso wie in der Bildverarbeitung) hat man es in der Regel mit nicht-deterministischen Signalen (stochastische Signale, Zufallssignale) zu tun, deren Verlauf sich nicht durch einen mathematischen Ausdruck beschreiben lässt. Dazu gehören Signale wie Musik und Sprache, die zwar durch die Physik ihrer Erzeuger (Sprachtrakt, Musikinstrumente) determiniert sind, dies jedoch auf so komplexe Weise, dass der Signalverlauf bereits für den Sender im Detail kaum vorhersagbar sind. Aus der Sicht des Empfängers sind diese Signale in der Regel völlig unbekannt, sonst müssten Sie ja nicht übertragen werden. Und tatsächlich ist der Informationsgehalt einer Nachricht ja umso größer, je weniger sie für den Empfänger vorhersehbar ist. Eine zweite Klasse von Zufallssignalen sind Störsignale, die durch stochastische Prozesse erzeugt werden, wie Verstärkerrauschen oder thermisches Widerstandsrauschen. Zur Beschreibung von Zufallssignalen im Hinblick auf Eigenschaften wie Mittelwerte, Effektivwerte, Signalleistung oder Spektrum gibt es zwei Möglichkeiten. Man kann entweder von einem gemessenen Ausschnitt ausgehen und diesen wie ein deterministisches

11 2.2. BESCHREIBUNG VON ZUFALLSSIGNALEN 11 Abbildung 2.6: Zwei Klassen von Zufallssignalen. Rosa Rauschen (Zeitverlauf, links) und ein Ausschnitt aus einem Sprachsignal (rechts) Signal behandeln, d.h. die bekannten Ausdrücke etwa für den Effektivwert oder die Fouriertransformation auf die Messwerte anwenden. Allerdings wird man bei einer erneuten Messung eines anderen Prozesses (ein anderes Sprachsignal, ein anderes Rauschsignal) ein anderes Ergebnis erhalten, ebenso bei einer Messung desselben Prozesses zu einem späteren späteren Zeit (einer anderen Silbe im Sprachsignal). Es ist also unklar, inwieweit sich die Ergebnisse der Messung verallgemeinern lassen. Eine andere Möglichkeit ist die Zuordnung von statistischen Mittelwerten zu einem Zufallssignal. Dies können Mittelwerte über die verschiedenen Ausprägungen (auch Realisationen oder Musterfunktionen) eines Zufallsprozesses sein, sog. Scharmittelwerte oder Erwartungswerte, oder Mittelwerte über den Verlauf eines Zufallsignals entlang der Zeitachse (Zeitmittelwerte). Inwieweit die beiden Vorgehensweisen zum gleichen Ergebnis führen, wird durch die im folgenden Abschnitt eingeführten Eigenschaften beschrieben Zufallsprozesse Zufallsprozesse, deren statistische Eigenschaften sich mit der Zeit nicht verändern, nennt man stationär. Während Störsignale wie thermisches Rauschen oder Widerstandsrauschen tatsächlich weitgehend stationär sind, gilt dies für Nutzsignale wie Musik und Sprache - wenn überhaupt - nur für kurze Signalausschnitte wie stimmlose Frikative

12 12 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN oder Plosive. Wenn nicht alle statistischen Eigenschaften, sondern nur die Momente erster und zweiter Ordnung (s. Abschnitt XX) zeitinvariant sind, spricht man von schwach stationären Prozessen. Einen stationärer Zufallsprozess, bei dem die Zeitmittelwerte jeder Realisation mit den Scharmittelwerten übereinstimmen, nennt man ergodisch. Auch diese Definition kann man einschränken: Wenn die Übereinstimmung von Scharmitteln und Zeitmitteln nur für die Momente erster und zweiter Ordnung gilt, spricht man von schwach ergodischen Prozessen. In der Regel ist der Nachweis von Stationarität und Ergodizität nicht exakt zu führen, und man begnügt sich mit einer intuitiven Anschauung. So ist es offensichtlich, dass das Sprachsignal in Abb.?? rechts weder stationär noch ergodisch ist, während man für ein Rauschsignal wie in Abb.?? links beide Eigenschaften annehmen kann. Letzteres hat den praktischen Vorteil, dass man bei der Bestimmung von Erwartungswerten die Messung vieler Realisationen durch die Mittelung einer Messung über die Zeit ersetzen kann Verteilung und Dichte Die Zuordnung von Mittelwerten zu einem Zufallsprozess setzt die Kenntnis der Wahrscheinlichkeit voraus, mit der die stochastische Variable X einen Wert bzw. eine Signalamplitude x annimmt. Für diskrete Variablen ist dies die Einzelwahrscheinlichkeit mit der Bedingung und der Normierung p i = P (X = x i ) (2.1) 0 p i 1 (2.2) p i = 1 (2.3) i Für kontinuierliche Variablen X beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) p X (x) die Wahrscheinlichkeit, dass die Variable X einen Wert zwischen x und x + dx annimmt: mit der Bedingung und der Normierung p X (x)dx = P (x < X x + dx) (2.4) + p X (x) 0 (2.5) p X (x)dx = 1 (2.6)

13 2.2. BESCHREIBUNG VON ZUFALLSSIGNALEN 13 Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p X (x) lässt sich aus der Messung von einzelnen Realisationen schätzen oder aus theoretischen Annahmen über den zugrundeligenden Prozess ableiten Erwartungswerte und Momente Der Erwartungswert einer Zufallsvariable X ist gegeben durch für kontinuierliche Variablen bzw. E{f(X)} = + f(x)p X (x)dx (2.7) E{f(X)} = i f(x i )p i (2.8) für diskrete Variable. Hierbei ist f(x) eine beliebige Funktion der Zufallsvariable X. Insbesondere ergibt sich für f(x) = X der lineare Mittelwert µ X = E{X} = für kontinuierliche Variablen bzw. + xp X (x)dx = µ X (2.9) µ X = E{X} = i x i p i (2.10) für diskrete Variablen. Auf die doppelte Formulierung für diskrete und kontinuierliche Variablen X soll in Zukunft verzichtet werden, da sich die eine durch Austausch von Summe und Integral leicht aus der anderen ableiten lässt. Für f(x) = X 2 ergibt sich der quadratische Mittelwert E{X 2 } = + x 2 p X (x)dx (2.11) Bei Signalen wie Strom, Spannung, Schalldruck oder Schallschnelle ist er ein Maß für die mittlere Leistung des Signals. Allgemein bezeichnt man Ausdrücke der Form µ k = E{X k } = + x k p X (x)dx (2.12) als Momente k-ter Ordnung. Oft interessiert jedoch nicht der Mittelwert selbst, sondern die mittlere Abweichung vom linearen Mittelwert µ X des Signals. Dieser ist durch die Zentralmomente k-ter Ordnung gegeben mit µ k = E{X k } = + (x µ X ) k p X (x)dx (2.13)

14 14 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN Das Zentralmoment 2. Ordnung (k = 2) mit heißt Varianz σ 2 X σx 2 = E{(x µ X ) 2 } = der Zufallsvariablen X. + (x µ X ) 2 p X (x)dx (2.14) Verteilungsmodelle und Häufigkeiten Im folgenden sollen einige Verteilungen vorgestellt werden, die häufig als Modelle für reale Häufigkeitsverteilungen verwendet werden Rechteckverteilung Eine Rechteckverteilung ist gegeben durch p X (x) = { 1 X 2 X 1 x [X 1, X 2 ] 0 sonst (2.15) Abbildung 2.7: Rechteckverteilung Zahlreiche Prozesse wie der Quantisierungsfehler von A/D-Wandlern (s. Abschnitt 2.3) können innerhalb gewisser Grenzen als gleichverteilt angenommen werden. Für das lineare Mittel, das quadratische Mittel und die Varianz einer rechteckverteilten Zufallsvariable gilt dann µ X = 1 2 [X 1 + X 2 ] (2.16) E{x 2 } = 1 3 [X2 1 + X 1 X 2 + X2] 2 (2.17) σx 2 = 1 12 (X 2 X 1 ) 2 (2.18) wie durch Einsetzen von 2.15 in 2.9, 2.11 und 2.14 leicht nachgerechnet werden kann.

15 2.2. BESCHREIBUNG VON ZUFALLSSIGNALEN Gaußverteilung Eine Gaußverteilung ist gegeben durch p X (x) = 2 1 e (x µ X ) 2σ X 2 (2.19) 2πσX Sie wird parametrisiert durch ihren Mittelwert µ X und ihre Varianz σx 2. Das quadratische Mittel ergibt aus sich aus 2.11 und 2.19 zu Exponentialverteilung E{x 2 } = σ 2 X + µ 2 X (2.20) Eine einseitige Exponentialverteilung ist gegeben durch { 1 p X (x) = σ X e x σ X x > 0 0 sonst (2.21) Sie wird parametrisiert durch ihre Varianz σx 2. Lineares und quadratisches Mittel ergeben sich zu Laplaceverteilung µ X = σ X (2.22) E{x 2 } = 2σ 2 X (2.23) Die zweiseitige Exponentialverteilung oder Laplaceverteilung ist gegeben durch p X (x) = 1 2σX e 2 x µ X σ X (2.24) Sie wird parametrisiert durch ihren Mittelwert µ X und ihre Varianz σx 2. Das quadratische Mittel ergibt sich analog zu 2.20 als Summe von Varianz und linearem Mittelwert im Quadrat Korrelation und Leistungsdichte Die Autokorrelationsfunktion (AKF) eines Signals x(t) ist definiert durch ϕ xx (t 1, t 2 ) = E{x(t 1 )x(t 2 )} (2.25) Sie ist ein Erwartungswert 2. Ordnung, da sie von der Signalamplitude zu zwei verschiedenen Zeitpunkten t 1 und t 2 abhängt. Für stationäre Zufallsprozesse hängen die Erwartungswerte 2. Ordnung nicht von den konkreten Zeitpunkten t 1 und t 2 ab, sondern nur

16 16 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN Abbildung 2.8: Gaußverteilungen (oben), Exponentialverteilung (mitte) und Laplaceverteilung (unten) von der Differenz τ = t 1 t 2. Falls diese Bedingung nicht für alle Erwartungswerte 2.

17 2.2. BESCHREIBUNG VON ZUFALLSSIGNALEN 17 Ordnung, sondern nur für die AKF erfüllt ist, spricht man von einem schwach stationären Prozess. In diesem Fall gilt ϕ xx (τ) = E{x(t τ)} (2.26) Die Autokorrelationsfunktionen hatte einige charakteristische Eigenschaften. Zum einen hat sie eine gerade Symmetrie, d.h. ϕ xx (τ) = ϕ xx ( τ) (2.27) Dies ergibt sich unmittelbar aus der Definition schwach stationärer Prozesse, wie sich durch Substitution mit t = t + τ zeigen lässt: E{x(t)x(t + τ)} = E{x(t τ)x(t )} = E{x(t )x(t τ)} (2.28) Zum anderen hat die AKF ihr Maximum immer bei τ = 0. Das bei der Bildung der AKF zu berechnende Produkt x(t)x(t τ) kann bei Wechselgrößen positive oder negative Werte annehmen, ebenso wie der daraus gebildete Erwartungswert ϕ xx (τ). Indem man die sicher positive Größe E{(x(t)x(t τ)) 2 } = ϕ xx (0) 2ϕ xx (τ) + ϕ xx (0) 0 (2.29) betrachtet, ergibt sich unmittelbar ϕ xx (τ) ϕ xx (0) (2.30) Ihr Maximum nimmt die AKF somit für τ = 0 an, wo x(t)x(t τ) = x(t) 2. ϕ xx (0) entspricht also dem quadratischen Mittelwert der Variablen X und ist ein Maß für die Leistung des Zufallsprozesses X. Zur Beschreibung von Zufallssignalen im Spektralbereich transformiert man nicht das Signal selbst in den Frequenzbereich, da das Fourierintegral X(ω) = + in der Regel nur exisistiert, wenn x(t) absolut integrierbar ist, d.h. + x(t)e jωt dt (2.31) x(t) dt < (2.32) Da dies für stationäre Zufallsprozesse, die für t nicht abklingen, nicht der Fall ist, bildet man zunächst den Erwartungswert im Zeitbereich und transformiert diese - dann deterministische - Größe in den Frequenzbereich. So definiert man das Leistungsdichtespektrum (LDS) als Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion, d.h. S xx (ω) = F {ϕ xx (τ)} (2.33)

18 18 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN Damit ist ϕ xx (τ) = F 1 {S xx (ω)} = 1 2π + und für den quadratischen Mittelwert von x(t) gilt dann E{x(t) 2 } = ϕ xx (0) = 1 2π + S xx (ω)e jωτ dω (2.34) S xx (ω)dω (2.35) Das LDS ist eine rein reelle Funktion. Dies lässt sich aus den Symmetrieeigenschaften der AKF ableiten. Bis auf den Faktor 1/2π entspricht die Signalleistung dem Integral des LDS über den gesamten Frequenzbereich. S xx (ω) beschreibt somit die Verteilung der Leistung des Signals in unendlich vielen infinitesimal kleinen Frequenzbändern der Breite dω. Für diskrete Zufallssignale x(n) gilt entsprechend und mit ϕ xx (l) = E{x(n)x(n l)} (2.36) ϕ xx (l) = F 1 {S xx (Ω)} = 1 +π S xx (Ω)e jωl dω (2.37) 2π π 2.3 Quantisierung ϕ xx (0) = 1 +π S xx (Ω)dΩ (2.38) 2π π Ebenso wie ein digitales Signal keinen kontinuierlichen Zeitverlauf haben kann, kann es auch keinen kontinuierlichen Amplitudenverlauf besitzen, da nur diskrete Werte abgespeichert werden können. Die für die Digitalisierung notwendige Amplitudendiskretisierung (Quantisierung) wird durch die Quantisierungskennlinie beschrieben. Sie entspricht einer Treppenfunktion mit der Schrittweite bzw. dem Quantisierungsintervall. Bei der Darstellung des Amplitudenwerts durch einen binären Zahlenwert bestimmt die Wortbreite, d.h. die Zahl der Bits pro Zahlenwert, die Zahl der Quantisierungsstufen und damit die Auflösung des Quantisierers. Bei einer Wortbreite von 16 Bit sind somit 2 16 = Quantisierungsstufen möglich. Bei einem Aussteuerungsbereich von -2V bis 2V entspricht in diesem Fall ein Quantisierungsintervall einer Spannung von 4V/65536 = 61µV. Abb. 2.9 zeigt eine Quantisierungskennlinie und den Quantisierungsfehler in Abhängigkeit des Eingangswertes. Der Quantisierungsfehler hat bei nicht übersteuerten Signalen maximal den Betrag /2.

19 2.3. QUANTISIERUNG 19 Abbildung 2.9: links: Kennlinie des Quantisierers, rechts: Quantisierungsfehler in Abhängigkeit der Eingangsamplitude Im Audiobereich wird üblicherweise eine sogenannte mid-tread -Kennlinie verwendet, die auch dem Amplitudenwert 0 eine Quantisierungsstufe zuordnet und aus diesem Grund nicht symmetrisch ist, sondern im negativen Amplitudenbereich eine Quantisierungsstufe mehr besitzt (bei 16 Bit Wortbreite könnten dann Werte von bis dargestellt werden). Bei den im Audiobereich typischen, hohen Wortbreiten kann diese Asymmetrie vernachlässigt werden. Während sich die bei der Abtastung eines Signals verlorenen Signalanteile unter den genannten Voraussetzungen zumindest theoretisch wieder vollständig rekonstruieren lassen, ist dies im Falle der Quantisierung nicht möglich. Bei jeder Quantisierung wird unvermeidlich ein Fehler gemacht, der Quantisierungsfehler q(n). Er ist die Differenz zwischen quantisiertem Signal x Q (n) und Originalsignal x(n) zu einem beliebigen Abtastzeitpunkt n. Die Quantisierung lässt sich somit als Addition eines Fehlersignals q(n) zum Eingangssignal x(n) beschreiben (s. Abb. 2.10). Abbildung 2.10: Quantisierungsvorgang Abb zeigt den Quantisierungsfehler eines mit 4 Bit quantisierten, optimal ausgesteuerten Sinussignals. Aus der Kennlinie (Abb. 2.9) ergibt sich die Amplitude des Quantisierungsfehlers in Abhängigkeit von der Amplitude des Eingangssignals. Das Ausmaß des durch die Quantisierung induzierten Fehlers wird üblicherweise durch den Signalrauschabstand (Signal-to-Noise-Ratio SNR) beschrieben, der als Pegelverhältnis von Signalleistung W S zu Fehlerleistung W F berechnet wird.

20 20 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN Abbildung 2.11: links oben: das kontinuierliche Originalsignal; rechts oben: das mit einer Auflösung von 4 Bit quantisierte Signal; unten: der dabei gemachte Quantisierungsfehler SNR = 10 log 10 W S W F (2.39) Der Quantisierungsfehler ist, ebenso wie das Anregungssignal (Musik, Sprache), durch das er induziert wird, ein stochastisches Signal. Seine Leistung ergibt sich somit aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Amplitude des Fehlersignals. Sie wird auch als Amplitudendichteverteilung (ADV) bezeichnet und gibt für jeden möglichen Amplitudenwert die zugehörige Auftretenshäufigkeit an. Für einen gut ausgesteuerten Quantisierer kann ein Quantisierungsfehler mit gleichverteilter Amplitudendichteverteilung angenommen werden, d.h. dass alle möglichen Amplitudenwerte mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Abbildung 2.12: Amplitudendichteverteilung des Quantisierungsfehlers

21 2.3. QUANTISIERUNG 21 Da der mögliche Wertebereich des Fehlers /2 bis /2 ist und die Summe aller Wahrscheinlichkeiten den Wert 1 ergeben muss (s. Gl. 2.3), ist somit die Auftretenswahrscheinlichkeit jedes einzelnen Amplitudenwertes 1 /. Abb zeigt die gleichverteilte ADV des Quantisierungsfehlers. Die ADV eines typischen Audiosignals ist in Abb dargestellt. Abbildung 2.13: typische Amplitudendichteverteilung eines Musiksignals (linker und rechter Kanal) Andererseits kann der Quantisierungsfehler als weißes Rauschen angenommen werden, so dass alle Frequenzen gleichstark vertreten sind. Die Leistung des Fehlers q lässt sich aus seiner ADV über das in Gl angegebene Integral berechnen: W F = + q 2 p Q (q)dq = 1 /2 /2 q 2 dq = 2 12 (2.40) Legt man als Nutzsignal ein vollausgesteuertes Sinussignal zugrunde mit der resultierenden Leistung W S = ( 2w 1 ) 2 2 so ergibt sich für den Signalrauschabstand (SNR) ein Wert von (2.41) SNR = 10 log 10 ( W S W F ) = 10 log 10 ( 2 2 2w 2 2 = 10 log 10 ( w ) 12 2 ) = 6.02 w [db] (2.42) Somit ergibt sich ein theoretischer SNR aufgrund des Quantisierungsfehlers von etwa 98 db (16 bit), 122 db (20 bit) bzw. 146 db (24 bit). Ein vollausgesteuertes Sinussignal wird

22 22 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN z.b. als Testsignal zur Messung des SNR von realen Wandlern benutzt. Abweichungen des Messwerts (der auch bei 24-bit-Wandlern real selten höher als 100 db liegt) von den nach Gl. (2.42) berechneten Werten weisen dann auf Fehler des Wandlers hin. Bezieht man den Quantisierungsfehler nicht auf ein sinusförmiges Testsignal, sondern auf die Amplitudenverteilung eines Musiksignals, die typischerweise eine annähernd gaußoder laplaceverteilte ADV aufweist (Abb. 2.13), liegt auch der theoretische SNR um etwa 10 db unter dem nach Gl. (2.42) berechneten Wert. Abbildung 2.14: theoretisch erreichbarer Signalrauschabstand eines Quantisierers mit der Wortbreite 16 Bit in Abhängigkeit von der Aussteuerung eines sinusförmigen Eingangssignals Der oben hergeleitete SNR ist der maximale SNR bei Vollaussteuerung. Abb zeigt den bei einer Wortbreite von 16 Bit theoretisch erreichbaren SNR in Abhängigkeit der Amplitude eines sinusförmigen Eingangssignals. Unter den genannten Bedingungen kann der Quantisierungsfehler als weißes Rauschen angenommen werden, d.h. jede Frequenz ist in dem Fehlersignal gleichstark vertreten. Übersteigt der Maximalwert des zu quantisierenden Signals allerdings die Maximalaussteuerung des Quantisierers, so tritt eine Übersteuerung (Clipping) auf, das zu einer drastischen Verschlechterung des SNR und zu nichtlinearen Verzerrungen führt, die in Abb für ein sinusförmiges Signal dargestellt sind. Durch Entwicklungsfehler kann bei einer Übersteuerung auch ein sogenannter Wrap-Around vorkommen. In diesem Fall werden Amplitudenwerte außerhalb des Wertebereichs nicht wie beim Clipping abgeschnitten, sondern durch die Verwendung eines vorzeichenbehafteten Zahlenformats (2er-Komplement, s. Abschn. 2.8) am entgegengesetzten Ende des Wertebereichs eingefügt. Der Wrap-Around führt zu starken Verzerrungen (s. Abb. 2.15), tritt allerdings nur selten auf. 2.4 Dither Eine niedrige Aussteuerung des Eingangssignals führt nicht nur zu einem geringeren Signal-Rauschabstand, sondern kann einen weiteren unerwünschten Effekt haben: Das Quantisierungsrauschen ist nicht mehr weiß wie bei guter Aussteuerung, sondern ist korreliert mit dem Eingangssignal. Insbesondere bei niedriger Aussteuerung und tiefen Eingangssignalfrequenzen sind die Voraussetzungen für eine gleichförmig verteilte Amplitu-

23 2.4. DITHER 23 Abbildung 2.15: nichtlineare Verzerrungen bei Übersteuerung eines Quantisierers, links oben: optimal ausgesteuertes Sinussignal, rechts oben: dazugehöriges Spektrum (db), links mitte: übersteuertes Sinussignal (ursprüngliche Amplitude 1.4), rechts mitte: dazugehöriges Spektrum (db), links unten: übersteuertes Sinussignal mit Wrap-Around, rechts unten: dazugehöriges Spektrum (db) dendichte des Quantisierungsfehlers nicht mehr gegeben. Abbildung 2.16 illustriert dies für ein mit drei Stufen quantisiertes Signal. Der Quantisierungsfehler ist in diesem Fall kein Rauschen, sondern ein periodisches Signal, das wie eine Verzerrung des Eingangssignals klingt. Auch bei mittleren Wortbreiten kann dieser Effekt, z.b. beim leisen Ausklang eines Musiksignals, hörbar werden. Die Korrelation zwischen Signal und Quantisierungsfehler kann aufgehoben werden, indem vor dem Quantisierungsprozess ein Zufallssignal, z.b. weißes Rauschen addiert wird. Dieses Rauschen wird Dither genannt. Zunächst naheliegend scheint die Annahme, dieses Rauschen müsste so stark sein, dass es die o.g. Verzerrungen akustisch verdeckt; das muss aber nicht der Fall sein. Vielmehr genügt ein schwaches Rauschen, das die deterministische Abfolge der angesprochenen Quantisierungsstufen in eine zufällige überführt. So

24 24 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN Abbildung 2.16: Von oben nach unten: Eingangssignal, 3-stufig quantisiertes Eingangssignal, Quantisierungsfehler, Spektrum des quantisierten Signals. Links: Ohne Dither. Rechts: Mit Dither würde für eine Gleichspannung von 1,3 mv am Eingang des Quantisierers, die in 1 mv- Schritten quantisiert wird, das Ausgangssignal bei ungedithertem Eingang konstant bei 1 mv liegen. Wird das Eingangssignal hingegen ausreichend gedithert, so wird es manchmal bei 2 mv, häufiger bei 1 mv und sehr selten bei anderen Quantisierungswerten liegen. Tatsächlich wird aber der Mittelwert des Ausgangssignals 1,3 mv betragen; im zeitlichen Mittel ist also die geditherte Quantisierung genauer, da beliebige Quantisierungswerte möglich gemacht werden. Dithering wird auch im Bildbereich eingesetzt. Hier lässt sich die Wirkung anhand eines visuellen Beispiels veranschaulichen. Hält man sich eine Hand mit leicht geöffneten Fingern vor die Augen, so wird ein Großteil des Gesichtsfeldes von den Fingern abgedeckt, und nur durch die Zwischenräume lässt sich etwas erkennen. Bewegt man diese Hand allerdings sehr schnell, so lassen sich - wenn auch etwas undeutlich

25 2.4. DITHER 25 - auch die Bereiche erkennen, die zuvor von den Fingern verdeckt waren. Die durch die Nichtlinearität der Quantisierungskennlinie hervorgerufenen Verzerrungen treten sowohl bei der Analog-Digital-Wandlung auf als auch bei der Requantisierung digitaler Signale, wie sie bei Formatwandlung, Speicherung oder bei Signalverarbeitungsprozessen vorkommt. Auf digitaler Ebene wird das Dithering durch Addition einer Zufallsfolge d(n) zum Eingangssignal x(n) vor der Requantisierung vorgenommen (Abbildung 2.17). Die Amplitude des Dithers wird dabei meist in Einheiten des Quantisierungsintervalls nach der Requantisierung angegeben (vgl. Abb und 2.21). Dies entspricht dem vom letzten Bit (Least Significant Bit) geschalteten Amplitudenintervall und wird daher auch in Einheiten von LSB angegeben. Abbildung 2.17: Requantisierung mit Dithering durch eine Zufallsfolge d(n) Die ADV des verwendeten Ditherrauschens (s. Abb. 2.18) ist von grundlegender Bedeutung. So lassen sich mit einem Rauschen mit rechteckförmiger ADV zwar bei der Quantisierung auftretende Nichtlinearitäten beseitigen, allerdings tritt hierbei der unerwünschte Effekt einer sog. Rauschmodulation auf. Abbildung 2.18: Dither mit rechteckförmiger (RECT), dreieckförmiger (TRI) und gaußförmiger Amplitudendichteverteilung. Die beiden ersteren Verteilungsdichten lassen sich leicht durch digitale Zufallsfolgen erzeugen, analoge Rauschquellen erzeugen typischerweise eine gaußförmige Verteilung. Die Linearisierung der Quantisierungskennlinie und die dabei auftretende Abhängigkeit der Rauschleistung von der Amplitude des Eingangssignals (Rauschmodulation) lassen sich am einfachsten anhand einer digitalen Requantisierung veranschaulichen. Abb zeigt die mittlere Ausgangsamplitude g m (V ) und die mittlere Rauschamplitude d R (V ) für ein von 20-Bit- auf 16-Bit-Wortbreite konvertiertes (requantisiertes) Signal in Abhängigkeit von der Eingangsamplitude V. Der Dither bewirkt eine Linearisierung der Kennlinie: Die treppenförmige Kennlinie mit der Stufenhöhe wird durch eine feinere Abstufung für den mittleren Ausgangswert g m (V ) ersetzt. Links der Verlauf für

26 26 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN ein mit 20-Bit-Wortbreite erzeugtes, rechteckförmig verteiltes Dithersignal, dessen Maximalamplitude der Hälfte des nach der Requantisierung erreichten Quantisierungsintervalls Q entspricht (vgl. Abb. 2.19). Als bipolares Rauschsignal mit positiven und negativen Amplituden hat es eine Spitze-Spitze-Amplitude von 1 LSB. Rechts der entsprechende Verlauf für ein dreieckförmig verteiltes Dithersignal mit 2 LSB Spitze-Spitze- Amplitude. Der Dither sorgt in beiden Fällen dafür, dass die mittlere Ausgangsamplitude g m (V ) die ursprüngliche Auflösung von 20 Bit (angezeigt durch eine Treppenkurve mit 16 Stufen innerhalb des neuen Quantisierungsintervalls Q) erhält. Obwohl das requantisierte Signal, bezogen auf ein Quantisierungsintervall Q nur noch die Werte 0 und 1 enthalten kann, entsprechen im zeitlichen bzw. statistischen Mittel die geditherten und quantisierten Werte den ursprünglichen, höher aufgelösten Werten. Der Unterschied der beiden Dither-Typen zeigt sich bei einer Betrachtung des nach der Requantisierung durch den Dither induzierten Rauschens. Es kann, wie bereits zu Beginn eingeführt, als Differenz von quantisiertem und unquantisiertem Signal behandelt werden. Für ein genau auf die Ecken der Quantisierungskennlinie fallendes Eingangssignal (in Abb bei V = 0 und V = 1) bewirkt ein rechteckförmig verteiltes Dithersignal im Bereich [- 0,5 LSB;+0,5 LSB] keine zusätzlichen Quantisierungsübergänge, das geditherte Signal wird immer auf den ursprünglichen Wert zurückgerundet. Für Eingangsamplituden an den Rändern des Quantisierungsintervalls wird die durch den Dither eingeführte Rauschleistung durch die Requantisierung eliminiert, und es tritt keinerlei Rauschen auf. Die Rauschleistung steigt bis zur Mitte des Quantisierungsintervalls an, wo bereits geringe Ditheramplituden zusätzliche Quantisierungsübergänge und damit zusätzliches Rauschen bewirken. Diese Abhängigkeit der Rauschleistung am Ausgang des Quantisierers von der Amplitude des Eingangssignals wird als Rauschmodulation bezeichnet. Insbesondere bei geringen Signalamplituden, wo das Quantisierungsrauschen nicht generell durch das Nutzsignal maskiert wird, kann sie sich als Pumpen bemerkbar machen, wie eine vom Eingangssignal abwechselnd ein- und ausgeschaltete Rauschquelle. Geschieht dies schnell, wird dem Signal eine störende Körnigkeit oder Granularität hinzugefügt. Der Effekt der Rauschmodulation lässt sich durch ein dreieckförmig verteiltes Dithersignal mit Amplituden im Bereich [-1 LSB; +1 LSB] vermeiden. Hier werden, unabhängig von der Amplitude des Eingangssignals, stets zusätzliche Quantisierungsübergänge erzeugt, die dreieckförmige Verteilung des Dithers garantiert einen über die Amplitude konstanten Erwartungswert der durch den Dither induzierten Rauschleistung. Für eine mathematische Analyse s. [Zöl05]. Das Dithersignal lässt sich auf digitaler Ebene durch einen Zufallszahlengenerator erzeugen. Durch Zufallszahlen mit gleichverteilter Amplitudenhäufigkeit d(n) ergibt sich ein Signal mit rechteckförmiger Amplitudendichteverteilung d RECT (Rectangular Dither). Durch Addition zweier unabhängiger, gleichverteilter Zahlenfolgen ergibt sich ein Signal mit dreieckförmiger ADV d T RI (Triangular Dither). Bei einer Subtraktion aufeinanderfolgender Abtastwerte des erzeugten Rauschens erhält man ein hochpassgefiltertes Rauschsignal gleicher ADV, was in den meisten Fällen zu einer subjektiven Qualitätsverbesserung führt, da die Rauschleistung etwas aus dem Hörbereich herausgeschoben wird.

27 2.4. DITHER 27 Abbildung 2.19: Digitale Requantisierung mit bipolarem RECT Dither (links) und TRI Dither (rechts). Dargestellt ist der Verlauf des Erwartungswerts des requantisierten Signals (mittlerer Ausgangswert) g m (V ) und die mittlere quadratische Abweichung (Varianz) von diesem Wert d R (V ), jeweils über der Eingangsamplitude V innerhalb eines Quantisierungsintervals Q. d RECT (n) = d(n) (2.43) d T RI (n) = d 1 (n) + d 2 (n) (2.44) d HP (n) = d(n) d(n 1) (2.45) Abbildung 2.20 zeigt Zeitverläufe, Amplitudendichteverteilungen und Spektren von gleich- und dreieckförmig verteiltem Rauschen sowie dreieckförmig verteiltem hochpassgefiltertem Rauschen. Analoge Rauschsignale weisen näherungsweise eine gaußförmige ADV auf. Die Verwendung unterschiedlicher Ditherformen führt zu unterschiedlichem Pegel des in das Signal eingefügten Rauschens. Der Rauschpegel von gleichförmig verteiltem RECT- Dither hat eine ADV, die dem Quantisierungsfehler selbst entspricht und dementsprechend eine Leistung von 2 /12. Bei dreieckförmigem TRI-Dither addiert sich die Leistung zweier gleichverteilter Rauschsignale zu einer Gesamtleistung von 2 /6. Entsprechend verringern sich die Signal-Rauschabstände für ein sinusförmiges Eingangssignal bei der (Re)Quantisierung gegenüber (2.46) auf SNR RECT = 6.02 w 1.24 [db] RECT Dither (2.46) SNR T RI = 6.02 w 3 [db] TRI Dither (2.47)

28 28 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN Abbildung 2.20: Zeitverläufe (oben), Amplitudendichteverteilungen (Mitte) und Spektren (unten) von gleichverteiltem Rauschen (links), dreieckförmig verteiltem Rauschen (Mitte) sowie hochpassgefiltertem dreickförmig verteiltem Rauschen (rechts) Im Hinblick auf die Linearität der Quantisierungskennlinie bei gleichzeitig minimaler und vom Eingangspegel unabhängiger Rauschleistung (keine Rauschmodulation) erweist sich dreieckverteilter Dither mit einer Spitze-Spitze-Amplitude von 2 LSB (bezogen auf das bei der Quantisierung gegebene Quantisierungsintervall) als optimal [VL89], [LWV92]. Der Preis ist in diesem Fall ein um 4.76 db reduzierter Signal-Rauschabstand gegenüber der Quantisierung ohne Dither. Digitale Audioworkstations, die intern mit hoher Amplitudenauflösung wie 32-Bit-Fließkommadarstellung arbeiten, bieten meist die Möglichkeit, die Requantisierung auf ein Ausgabeformat von 16-Bit- oder 24-Bit- Festkomma-Darstellung mit verschiedenen Dither-Intensitäten und -Formen oder wahlweise mit einem Noise-Shaping-Algorithmus durchzuführen (Abb. 2.21, zum Noise- Shaping s. Abschn. 2.6).

29 2.5. ÜBERABTASTUNG 29 Abbildung 2.21: Typische Dithering-Einstellung in einer digitalen Audioworkstation für die Requantisierung von interner 32-Bit-Fließkommadarstellung auf Festkommadarstellung mit reduzierter Auflösung von 8, 16 oder 24 Bit 2.5 Überabtastung Um die Qualität einer Digitalisierung zu verbessern, wird oftmals mit sog. Überabtastung (Oversampling) gearbeitet. Überabtastung bedeutet, dass das Audiosignal zunächst mit einer höheren Frequenz abgetastet wird, als nach dem Abtasttheorem erforderlich und anschließend auf die am Ausgang des Wandlers geforderte Abtastfrequenz konvertiert wird. Es existieren zwei Gründe für diese Verfahrensweise. Der erste Grund ist die effiziente technische Realisierung: Um maximale Audiobandbreite bis nah an die halbe Abtastfrequenz ohne aufwändiges (weil steilflankiges) Antialiasingfilter realisieren zu können, wird die Abtastrate so hochgesetzt, dass ein einfaches Antialiasingfilter mit moderater Flankensteilheit ausreicht, um das Abtasttheorem zu erfüllen. Anschließend wird das Signal im digitalen Bereich tiefpassgefiltert, so dass es die Anforderungen des Abtasttheorems für die ursprünglich gewünschte Abtastfrequenz erfüllt. Dieses Vorgehen hat einen erwünschten Nebeneffekt, welcher der zweite Grund für die temporäre Erhöhung der Abtastfrequenz ist: der Signal-Rauschabstand kann verbessert werden. Das ist zunächst überraschend, da die Abtastrate im Grunde lediglich die Bandbreite des digitalisierten Signals beeinflusst, nicht den SNR. Zwei wichtige Eigenschaften des Quantisierungsrauschens helfen jedoch bei einer Erklärung: Die Gesamtleistung des Quantisierungsrauschens ist unabhängig von der Abtastfrequenz.

30 30 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN Das Quantisierungsrauschen ist näherungsweise weißes Rauschen, dessen Leistung über die gesamte Bandbreite des Signals gleichmäßig verteilt ist. Wenn also die Gesamtleistung des Quantisierungsfehlers gleich bleibt, obwohl die Abtastfrequenz erhöht wird, dann wird bei Erhöhung der Abtastfrequenz die durchschnittliche Leistung des Fehlers in einem festen Frequenzbereich sinken, da die Gesamtleistung des Quantisierungsrauschens sich über einen größeren Frequenzbereich erstrecken kann. Wendet man anschließend das oben genannte digitale Antialiasingfilter an, so wird der Anteil des Quantisierungsrauschens über der endgültigen halben Abtastfrequenz herausgefiltert, und der SNR steigt. Man gewinnt mit solchen Oversamplingverfahren pro Frequenzverdopplung ca. 3 db Signal-Rauschabstand. Abbildung 2.22 zeigt die Leistung des Quantisierungsfehlers im Normalfall und bei einem Oversamplingfaktor L, der sich aus dem Verhältnis von erhöhter zu gewünschter Abtastfrequenz bestimmt. Abbildung 2.22: Quantisierungsfehlerleistung ohne Oversampling (hellgrau) und nach L-fachem Oversampling (weiß) und Tiefpassfilterung (dunkelgrau) 2.6 Noise-Shaping Noise-Shaping ist wie das Dithering eine Methode, die Qualität eines Wandlers oder einer Wortbreitenkonvertierung zu erhöhen. Der Quantisierungsfehler, der bei normaler Quantisierung näherungsweise ein weißes Spektrum hat, wird dabei spektral geformt. Idealerweise wird die Rauschleistung von Frequenzbereichen hoher Gehörempfindlichkeit (wie z.b. 2-4 khz) in Bereiche geringerer Empfindlichkeit verschoben (zumeist hohe Frequenzbereiche). Diese Frequenzverschiebung wird durch eine Rückkopplung (und Filterung) des Quantisierungsfehlers erreicht. Je nachdem, wieviele Koeffizienten das Filter für diese Rückkopplung hat, spricht man von Noise-Shaping verschiedener Ordnungen. Im Fall von Noise-Shaping erster Ordnung (s. Abb. 2.23) wird der Quantisierungsfehler festgestellt und vom darauffolgenden Sample subtrahiert, es handelt sich also um eine einfache Rückkopplung ohne dedizierte Filterung des Quantisierungsfehlers. Durch die Rückkopplung entsteht eine Verschiebung des Quantisierungsfehlers hin zu höheren Frequenzen.

31 2.6. NOISE-SHAPING 31 Quantisierer e(n) x(n) y(n) z 1 Abbildung 2.23: Noise-Shaping 1. Ordnung Jeder Ausgangswert y(n) ist daher die quantisierte Differenz von aktuellem Eingangswert x(n) und vorhergehendem Quantisierungsfehler q(n). Dadurch ergibt sich ein Filter mit der Differenzengleichung y(n) = [x(n) q(n 1)] Q = x(n) q(n 1) + q(n) (2.48) Die Übertragungsfunktion läßt sich aus der Differenzengleichung mit der z- Transformation (s. z.b. Skript: Einführung in die digitale Signalverarbeitung) bestimmten. Mit dieser ergibt sich im z-bereich die Gleichung Y (z) = X(z) z 1 Q(z) + Q(z) = X(z) + (1 z 1 ) Q(z) (2.49) und somit eine Rauschübertragungsfunktion H Q (z) = 1 z 1. Der Betragsfrequenzgang dieser Übertragungsfunktion besitzt einen sinusförmigen Verlauf und bewirkt eine spektrale Formung des Quantisierungsrauschens, die Anteile unterhalb von f S /6 dämpft und Anteile oberhalb von f S /6 verstärkt (Abb. 2.24). Die Übertragungsfunktion des Nutzsignals x(n) ist sowohl in Betrag als auch Phase konstant. Wird das einzelne Verzögerungsglied im Rückkopplungszweig in Abb durch eine kompliziertere Funktion ersetzt, so erhält man Noise-Shaping höherer Ordnungen. Im einfachsten Fall handelt es sich bei höherer Ordnung ebenfalls um ein Hochpaßfilter, dessen Steilheit mit der Ordnung zunimmt. Abb zeigt die Betragsfrequenzgänge für Noise-Shaping erster bis vierter Ordnung. Bei höheren Ordnungen lassen sich auch spezielle Rauschübertragungsfunktionen bilden, die komplexere spektrale Verschiebungen des Quantisierungsfehlers ermöglichen; auf diese Weise ist die unterschiedliche Gewichtung verschiedener Frequenzbereiche denkbar. Manche Systeme formen beispielsweise die Rauschübertragungsfunktion so, daß sie die frequenzabhängige Empfindlichkeit des menschlichen Gehörs nachbildet.

32 32 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN Abbildung 2.24: Betragsfrequenzgang Noise-Shaping verschiedener Ordnungen Noise-Shaping wird meistens in Zusammenhang mit Dither verwendet, um unerwünschte Effekte bei der Rückkopplung des Quantisierungsfehlers zu vermeiden. Hierbei wird das Ditherrauschen direkt vor der Quantisierung eingefügt. 2.7 Delta-Sigma-Modulation Bei der Delta-Sigma-Modulation wird der entstehende Quantisierungsfehler wie beim Noise-Shaping spektral geformt. Dies geschieht durch Integrierung der Differenz zwischen Eingangssignal und quantisiertem Signal. Das Modell eines Delta-Sigma-Modulators 1. Ordnung ist in Abb dargestellt. Quantisierer x(n) y(n) z 1 q(n) Abbildung 2.25: Delta-Sigma Modulator 1. Ordnung

33 2.8. ZAHLENDARSTELLUNG UND ZAHLENFORMAT 33 Die Übertragungsfunktion läßt sich in Abhängigkeit von der Übertragungsfunktion des Integrierers H(z) wie folgt bestimmen: Y (z) = [ X(z) z 1 Y (z) ] H(z) + Q(z) H(z) 1 = X(z) + Q(z) (2.50) 1 + z 1 H(z) 1 + z } {{ } 1 H(z) } {{ } Signal-Übertragungsfunktion Rausch-Übertragungsfunktion Für einen Integrierer mit der Übertragungsfunktion: 1 H(z) =, (2.51) 1 z 1 ergibt sich für die Signalübertragungsfunktion H x (z) = 1 und für die auf das Quantisierungsrauschen wirkende Rauschübertragungsfunktion H Q (z) = 1 z 1. Diese Rauschübertragungsfunktion entspricht einem Noise-Shaping 1. Ordnung (vgl. Abb. 2.24). Die Güte eines Delta-Sigma-Modulators lässt sich direkt durch den Oversamplingfaktor und die Art bzw. Ordnung des Noise-Shaping beeinflussen. Je größer der Oversamplingfaktor ist, desto mehr Signal-Rausch-Abstand kann erzielt werden, da mehr Anteile des Quantisierungsfehlers in nicht verwendete Frequenzbereiche verschoben werden. Da der Quantisierungsfehler spektral geformt ist, beträgt der SNR-Gewinn schon im Falle des Delta-Sigma-Modulators 1. Ordnung nicht nur wie beim einfachen Oversampling 3 db (vgl. Abschn. 2.5), sondern 9 db pro Verdopplung des Oversamplingfaktors. Delta-Sigma-Modulatoren höherer Ordnung zeichnen sich durch stärkere Filterung des Quantisierungsrauschens aus. Die Rauschübertragungsfunktion eines einfachen Delta- Sigma-Modulators der Ordnung n ist H Q (z) = (1 z 1 ) n (vgl. Abb. 2.24). Durch die veränderte Übertragungsfunktion in Abhängigkeit der Ordnung n ändert sich auch der Einfluss des Oversampling auf den Signal-Rauschabstand: SNR = 6.02 w + (2n + 1) 10 log 10 (L) + const(n) [db] (2.52) Abbildung 2.26 veranschaulicht der SNR-Gewinn abhängig vom Oversamplingfaktor L. Wie es schon beim Noise-Shaping der Fall war, verwenden Delta-Sigma-Modulatoren höherer Ordnung oftmals nicht die obige hochpassartige Rauschübertragungsfunktion, sondern formen die Quantisierungsfehlerleistung zum Beispiel mit einer hörschwellenähnlich verlaufenden Übertragungsfunktion. 2.8 Zahlendarstellung und Zahlenformat Zur Speicherung und Verarbeitung von digitalen Werten gibt es zwei grundsätzliche Formate, das Festkomma- und das Gleitkomma-Format. Beim Festkomma-Format ist der Abstand einer Zahl zur nächsthöheren gleichbleibend, während er beim Gleitkomma-Format

34 34 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN Abbildung 2.26: SNR-Gewinn durch verschiedene Oversamplingfaktoren für Delta-Sigma- Modulatoren der Ordnungen 1-3 mit dem Zahlenwert zunimmt. Bei der Speicherung und Übertragung von Audiosignalen wird überwiegend das Festkomma-Format eingesetzt, bei der Bearbeitung setzt sich das Gleitkomma-Format immer stärker durch Festkomma-Format Im Audiobereich hat sich die Darstellung einer Festkomma-Zahl im sogenannten 2er- Komplement durchgesetzt. Normiert man die darzustellende Zahlenmenge auf den Bereich [-1,1], so stellt die erste Hälfte der Binärwerte bei einer Wortbreite w den Zahlenbereich 0 bis 1 2 (w 1) dar, die folgenden Binärwerte den Zahlenbereich 1 bis 2 (w 1). Abb zeigt die Zuordnung der quantisierten Amplitudenwerte zu Binärwerten der 2er-Komplement-Darstellung im Fall einer Wortbreite w von 4 Bit. Das links notierte Bit b w 1 ist das Vorzeichenbit und somit das wichtigste, Most Significant Bit (MSB). Veränderungen im rechts notierten Bit b 0 beeinflussen den Wert am geringsten, daher handelt es sich hier um das Least Significant Bit (LSB). Als Alternative zur 2er-Komplementdarstellung wird in seltenen Fällen auch eine vorzeichenlose Darstellung gewählt. Tabelle 2.1 zeigt diese beiden Darstellungen im Vergleich. Statt der Normierung des Zahlenbereichs auf 1 bis 1 ist manchmal auch die Darstellung 0 bis 2 w 1 1 und von 2 w 1 bis 1 (vorzeichenbehaftet) respektive von 0 bis 2 w 1 (ohne Vorzeichen) üblich.