Versuch O3/O4 - Reflexion polarisierten Lichts / Drehung der Polarisationsebene Sven E Tobias F Abgabedatum: 24. April 2007
Inhaltsverzeichnis 1 Thema des Versuchs 3 2 Physikalischer Kontext 3 2.1 Reflexionsgesetz............................ 3 2.2 Brechungsgesetz nach Snellius.................... 3 2.3 Dispersion............................... 3 2.4 Polarisation.............................. 4 2.4.1 Brewster-Winkel....................... 4 3 Versuch O3 - Aufbau und Beschreibung 5 4 O3 - Versuchsauswertung 5 4.1 Bestimmung der Reflexionskoeffizienten ρ und ρ......... 5 4.2 Bestimmung des Brechungsindex n des verwendeten Glases... 7 5 Versuch O4 - Aufbau und Beschreibung 9 6 O4 - Versuchsauswertung 9 6.1 Bestimmung des Drehvermögens α m................ 9 6.2 Bestimmung der Konzentrationen der beiden unbekannten Lösungen................................. 12 6.3 Bestimmung von p.......................... 12 7 Anhang und Diagramm in A4 12 2
1 Thema des Versuchs Im folgenden Doppelversuch wird zunächst der Reflexionskoeffizient von polarisierten Lichtwellen abhängig vom Einfallswinkel gemessen (O3). Dies wird sowohl für senkrecht als auch für parallel polarisiertes Licht durchgeführt. Aus den Messwerten lässt sich der Brewsterwinkel sowie der Brechungsindex des reflektierenden Glases berechnen. Dann wird im zweiten Versuch Zucker auf optische Eigenschaften untersucht. Das Drehvermögen und die Rotationsdispersion werden an verschieden konzentrierten links- und rechts drehenden Zuckerlösungen quantifiziert (O4). Im Folgenden wird das Reflexionsgesetz beschrieben. Außerdem werden die Begriffe Dispersion und Polarisation in Bezug auf Licht erläutert. Zudem wird die physikalische Bedeutung des Brewster-Winkels dargestellt. Grundkenntnisse über Wellen werden indes vorausgesetzt. 2 Physikalischer Kontext 2.1 Reflexionsgesetz Das Reflexionsgesetz leitet sich aus dem Huygensschen Modell der Elementarkugelwelle her. Es besagt, dass ein in ein reflektierendes Medium einfallender Lichtstrahl an der Normalen zur Grenzfläche»gespiegelt«wird. Kurz: Der Einfallswinkel zwischen einfallendem Lichtstrahl und Flächennormale δ 1 (siehe Abb. 1 auf der nächsten Seite) hat den gleichen Betrag wie der Reflexionswinkel δ 1 zwischen reflektiertem Strahl und Flächennormale, 2.2 Brechungsgesetz nach Snellius δ 1 = δ 1 (1) Wellen, die sich in Medien unterschiedlicher Brechungsindizes n 1 und n 2 ausbreiten, werden an der Grenzfläche mit einem bestimmten Winkel δ zur Normalen gebrochen. Der Brechungsindex selbst ist definiert als n i = c 0 ci mit c 0 Phasengeschwindigkeit des Lichts im Vakuum und c i der Geschwindigkeit im jeweiligen Medium. Daraus und aus der Skizze in Abb. 1 auf der nächsten Seite erkennt man nun die Beziehungen sin δ 1 = c 1 t AB = λ 1 AB (2) sin δ 2 = λ 2 AB (3) und das Snelliussche Brechungsgesetz 2.3 Dispersion n 1 sin δ 1 = n 2 sin δ 2. (4) Der Brechungsindex ist nicht nur vom Medium abhängig, sondern auch von der Wellenlänge der sich ausbreitenden Welle. Dadurch werden i.a. Wellen mit kürzerer Wellenlänge stärker gebrochen als Wellen mit langer Wellenlänge. 3
Abb. 1: Skizze zur Verdeutlichung der Entstehung von Snellius Brechungsgesetz [veröffentlicht unter GNU-FDL-Lizenz bei [W06] ] Im Experiment O4 geht es um Rotationsdispersion. In optisch aktiven Medien, zum Beispiel den vorliegenden Zuckerlösungen, wird die Polarisationsebene von Licht in Abhängigkeit seiner Wellenlänge gedreht. Dabei ist die Konzentration der Lösung maßgeblich. Ebenso ist im Umkehrschluss die Möglichkeit gegeben, aufgrund der Polarisation gedrehten Lichts die Konzentration einer Lösung herauszufinden. 2.4 Polarisation Licht ist eine Transversalwelle. Feldstärke und Feldrichtung drücken sich im E- Feld-Vektor aus. Dieser spannt mit dem Vektor der Ausbreitungsrichtung eine bestimmte Ebene auf. Wenn man in der Ausbreitungsrichtung der Welle»entgegenschaut«, hat die Ebene eine gewisse Richtung. Diese ist beliebig, solange man Licht betrachtet, das nicht vorher polarisiert wurde. Einerseits lässt sich Licht durch Polarisatoren polarisieren. Dies geschieht in Polarisationsfiltern oder doppelbrechenden Prismen. Der Versuch O4 bedient sich eines solchen Polarisators. Eine andere Möglichkeit ist Reflexion der Lichtwelle an einem Medium im Brewster- Winkel. 2.4.1 Brewster-Winkel Wird Licht an der Grenzfläche zwischen Luft und einem Medium mit dem Brechungsindex n 1 gebrochen, so wird die Polarisation beeinflusst. Aus den fresnelschen Formeln (siehe [PPB06]) erhält man, dass der parallel zur Grenzfläche polarisierte Teil der Welle nicht reflektiert wird, wenn für den Einfallswinkel α gilt: α = arctan n 1 (5) 4
Der Winkel α heißt dann Brewster-Winkel. Für Grenzflächen zwischen beliebigen Medien gilt allgemeiner α = arctan n 1 n 2 mit n 2 < n 1 Brechungsindex des Mediums, in das reflektiert wird. So lässt sich Licht auch polarisieren, wenn lediglich der Brewsterwinkel einer Grenzfläche bekannt ist und kein Polarisator zur Verfügung steht. 3 Versuch O3 - Aufbau und Beschreibung Abb. 2: Versuchsaufbau für Versuch O3; Von rechts nach links der Laser, direkt dahinter der Polarisator, in der Mitte die reflektierende Platte, links das Fotoelement mit Anzeige. Die Apparatur ist auf einer optischen Bank befestigt. [PPB06] Der Versuch ist wie in Abb. 2 aufgebaut. Es empfiehlt sich, den Raum gut abzudunkeln. Zuerst wird als Referenz die Intensität des unpolarisierten Lampenlichts aufgenommen. Die Intensität des senkrecht bzw. parallel polarisierten Lichts wird in Schritten von 5 Grad abgemessen, in der Nähe des Brewsterwinkels soll mit 1 Grad Schritten gemessen werden. 4 O3 - Versuchsauswertung 4.1 Bestimmung der Reflexionskoeffizienten ρ und ρ. Da der aufgenommende Fotosrtom i F proportional zur Intensität des reflektierten Lichtes I ist und dieses wiederrum proportional zum Amplitutdenquadrat Ê 2, lassen sich die Reflexionskoeffizienten ρ und ρ wie folgt errechnen ρ = Ê r Ê e ρ = Ê r Ê e I = (6) I 0 I = (7) I 0 5
i 0 = 16250 16360 Winkel/ i para /na i ortho /na ρ ρ 85 9500 1830 0,7646 0,3345 80 9650 4200 0,7706 0,5067 75 7460 1980 0,6776 0,3479 70 5660 771 0,5902 0,2171 65 4360 206 0,5180 0,1122 60 3600 36 0,4707 0,0469 55 2920 20 0,4239 0,0350 50 2350 110 0,3803 0,0820 45 1990 233 0,3499 0,1193 40 1700 360 0,3234 0,1483 38 1661 413 0,3197 0,1589 37 1550 440 0,3088 0,1640 36 1520 465 0,3058 0,1686 35 1480 490 0,3018 0,1731 34 1435 510 0,2972 0,1766 33 1390 540 0,2925 0,1817 32 1360 557 0,2893 0,1845 31 1330 580 0,2861 0,1883 30 1290 600 0,2818 0,1915 29 1265 610 0,2790 0,1931 28 1235 625 0,2757 0,1955 25 1150 685 0,2660 0,2046 20 1035 760 0,2524 0,2155 15 950 805 0,2418 0,2218 10 905 850 0,2360 0,2279 Tab. 1: Der jeweils gemesende Fotostrom i F und die daraus resultierende Reflexionskoeffizienten ρ und ρ. (Bedingt durch den Fehler in der Messung mit gestürzten Winkeln) 6
Führt man diese Rechnung nun für jeden Reflexionswinkel α durch, erhällt man folgede Werte. Trägt man nun die jeweiligen Reflexionskoeffizienten ρ und ρ über den Refelxionswinkel α auf, lässt sich der Brewster-Winkel α p aus dem Diagramm entnehmen. Abb. 3: ρ und ρ über den jeweiligen Winkel aufgetragen. Da wir bei diesem Aufgabenteil einen Fehler in der Messung gemacht haben, wars uns nicht möglich den genauen Brewster-Winkel zu bestimmen. Wir haben daher beschlossen Messergebnisse eines Kommilitonen zu verwenden um den exaten Brewster-Winkel zu bestimmen. α p = 57 ± 0, 5 ρ (α ) = 0, 441 4.2 Bestimmung des Brechungsindex n des verwendeten Glases Mit Hilfe des im vorhergehenden Aufgabenteil ermittelten Brewster-Winkels α p und dem dazugehörigen Reflexionskoeffizienten ρ lässt sich nun über zwei Arten der Brechunsgsindex n bestimmt werden. Zum einen lässt sich n über folgede Beziehung bestimmen n = tan α p (8) So ergibt sich hier n = 1, 54 ± 0, 029 7
Der Fehler ergibt sich aus den Fehler der Winkelmessung α = 0, 5. Über die Gaußschen Fehlerfortpflanzung erechnet sich der Fehler wie folgt. n = Zum andern ließe sich n auch über 1 cos 2 α (9) (α P ) ρ (α p ) = n2 1 n 2 + 1 bestimmen. Hierfür ergibt sich dann 1 + ρ (α p ) n = = 1, 606 ± 0, 0095 1 ρ (α p ) Hier erhält man einen Fehler von n = (10) 1 1 + ρ (α p ) 1 ρ (α p ) 3 ρ ( α) (11) Für denn Fall, dass der Strahl senkrecht auf die reflextierende Ebene einfällt (α = 0 ) muss Ê r = Ê r und somit ρ (α = 0 ) = ρ (α = 0 ) sein. Hierraus ergibt sich nun ein dritter Weg den Brechungsindex n zu bestimmen. ρ 0 = ρ 0 = n 1 n + 1 Durch die Extrapolation der Messergebnisse erhält man und somit ergibt sich Hier ergibt sich der Fehler aus ρ (α = 0 ) = ρ (α = 0 ) = 0, 232 ± 0, 11 n = 1, 604 ± 0, 043 n = (12) 2 (1 ρ 0 ) 2 ρ 0 (13) Als letztes gilt es noch zu zeigen, dass unter α P der reflektierte und der gebrochende Strahl - welcher vollständig absobiert wird - senkrecht aufeinander stehen. Betrachtet man die Reflexionsgleichung von A. Fresnel Ê r Ê e = tan(α β) tan(α + β) (14) fällt auf, dass die Quotient nur dann gegen Null geht, wenn tan(α + β) gegen Unendlich strebt. Dies ist der Fall wenn α + β 90. Dies ist genau der Fall, wenn reflektierter und gebrochender Strahl senkrecht aufeinader stehen. Somit wird in diesen Fall der reflektierte Strahl vollständig absobiert, es liegt der Brewsterwinkel vor. 8
Abb. 4: Versuchsaufbau für Versuch O4, Teil B; von links nach rechts wird das Lampenlicht durch Kondensor, Polarisator, Interferenzfilter und die Zuckerlösung zum Analysator geschickt. Rechts ist das Polarimeter für Teil A zu sehen [PPB06] 5 Versuch O4 - Aufbau und Beschreibung Der Versuch ist wie in Abb. 4 aufgebaut. Zunächst wird der Drehwinkel bei unterschiedlichen und verschieden konzentrierten Zuckerlösungen aufgezeichnet. Hierbei hilft das Polarimeter. Danach wird die Rotationsdispersion beobachtet bei den beiden am stärksten konzentrierten der bereits vorher untersuchten Zuckerlösungen. Alle Farbfilter werden für beide Zucker durchprobiert, die Drehwinkel notiert. 6 O4 - Versuchsauswertung 6.1 Bestimmung des Drehvermögens α m Aus den aufgenommenden Drehwinkel α der verschiedenen Konzentrationen lässt sich über die Beziehung α = α m cd (15) das Drehvermögen α m bestimmen. Wobei c die Konzentration der Lösung beschreibt und d die Schichtdicke. Trägt man nun den Quotienten α d über die Konzentration c auf, erhält man das Drehvermögen α m als Steigung des Graphen. Die Schichtdicke d beträgt in diesem Fall 0,10m Nun führt man eine lineare Regression durch um die Steigung und somit α m zu bestimmen. Für die Laktoselösung erhält man: [c L ] = N i=1 c i = 7500 m 3 [c 2 L] = N i=1 c 2 i = 13750000 2 m 6 9
Lösung Konzentration//m 3 Drehwinkel/ L25 2500 27,0 L20 2000 26,5 L15 1500 18,6 L10 1000 11,3 L5 500 8,8 D30 3000 20,3 D20 2000 17,5 D15 1500 9,8 D10 1000 7,7 LX 21,1 DX 25,2 Tab. 2: Die Drehwinkel der jeweiligen Lösung. Abb. 5: Der Quotient α d über der Konzentrationc 10
[ α L d ] = N i=1 i=1 α i d [c αl N d ] = c αi d = 16, 091937rad m D = 12500000 2 m 6 Und so erhält man dann die Steigung mit = 28640, 853rad m 4 α m,l = N[c αl d ] [c] [ α L d ] D rad m2 = 0, 0018 Analog wird bei der Dextrose vorgegangen und man erhält als Steigung [c D ] = 7500 m 3 [c 2 D] = 16250000 2 m 6 [ α D ] = 9, 651670rad d m [c αd ] = 20647, 2451rad d m 4 D = 8750000 2 m 6 rad m2 α m,d = 0, 0012 Es ergeben sich folgende Vertrauensbereiche S 2 L = 1 N 2 S L = N i=1 ( α i d α m c) 2 = 0, 606 S 2 L N = 0, 0004 D rad m2 α m = 0, 0013 S 2 D = 0, 2786 S D = 0, 0003 rad m2 α m = 0, 0011 11
6.2 Bestimmung der Konzentrationen der beiden unbekannten Lösungen Mit dem vorherig bestimmten Drehvermögen der beiden Substanzen lässt sich nun die Konzentration c der beiden unbekannten Lösungen bestimmen. c = α α m d (16) Man erhält für L X c x = 2045, 8/m 3 und für D X c x = 3665, 2/m 3 6.3 Bestimmung von p Laut Theorie besteht eine Beziehung von α m = p/λ 2. Es gilt nun den konstanten Parameter p zu bestimmen. L25 D30 rad λ/nm α α m / m2 Wert für p L / m4 10 18 rad α α m / m2 Wert für p D / m4 10 18 650 0,3490 0,001396 589,81 0,2792 0,00093067 393,21 589 0,4363 0,0017452 605,45 0,3655 0,00121833 422,67 550 0,4869 0,0019476 589,15 0,4014 0,00133800 404,75 450 0,7330 0,002932 593,73 0,5759 0,00191967 388,73 405 0,8552 0,0034208 561,10 0,6981 0,00232700 381,69 Tab. 3: Wellenlängen λ, die Drehwinkel α der jeweiligen Lösungen, ihr Drehvermögen α m, daraus berechnet p L = λ 2 α m und entsprechend p D Der Fehler der ermittelten Konstanten p wurde mit der Formel für die Streuung aus dem Fehlerrechnungsskript ermittelt (S = N 1 N 1 i=1 ( p p i) 2, p = t S N, t = 2,8, N = 5), da sich aus den Werten in obiger Tabelle sinnvoll Mittelwerte errechnen lassen; auch wenn die einzelnen Abweichungen hoch sind, so deutet die Unregelmäßigkeit der Abweichungen nach unten und nach oben Linearität an. Es ergeben sich: 7 Anhang und Diagramm in A4 Abbildungsverzeichnis p L = (5,9 ± 0,2) m4 10 16 (17) p D = (4,0 ± 0,2) m4 10 16. (18) 1 Snelliusbrechung........................... 4 12
2 Versuchsaufbau O3.......................... 5 3 ρ und ρ über den jeweiligen Winkel aufgetragen......... 7 4 Versuchsaufbau O4.......................... 9 5 Der Quotient α d über der Konzentrationc.............. 10 6 Reflexionskoeffizient / Winkel.................... 14 α 7 d / Konzentration.......................... 15 8 Bestimmung von p.......................... 16 Quellenverzeichnis [PPB06] Versuchsskript [W06] http://de.wikipedia.org Wikipedia 13
Abb. 6: ρ und ρ über den jeweiligen Winkel aufgetragen. 14
Abb. 7: Der Quotient α d über der Konzentrationc. 15
Abb. 8: Zur Bestimmung des Parameters p wird α m über λ aufgetragen und gefittet. 16