Kinemaik und Kineik Arbeisbuch mi ausführlichen Aufgabenlösungen, Grundbegriffen, Formeln, Fragen, Anworen von Gerhard Knappsein 4. Auflage VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Sraße 23 42781 Haan-Gruien Europa-Nr.: 55583
Der Auor Dipl.-Ing. Gerhard Knappsein war nach seiner Ausbildung zum Werkzeugmacher und dem Maschinenbausudium als Konsrukeur und Berechnungsingenieur in der Indusrie äig. Er is Miarbeier im Fachbereich Maschinenbau Fachgebie Technische Mechanik an der Universiä Siegen. 4. Auflage 2014 Druck 5 4 3 2 1 ISBN 978-3-8085-5559-0 Alle Reche vorbehalen. Das Werk is urheberrechlich geschüz. Jede Verwerung außerhalb der gesezlich geregelen Fälle muss vom Verlag schriflich genehmig werden. Der Inhal des Werkes wurde sorgfälig erarbeie. Dennoch übernehmen Auor und Verlag für die Richigkei von Angaben, Hinweisen und Raschlägen sowie für evenuelle Druckfehler keine Hafung. 2014 by Verlag Europa-Lehrmiel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruien hp://www.europa-lehrmiel.de Umschlaggesalung: braunwerbeagenur, 42477 Radevormwald Druck: Medienhaus Plump GmbH, 53619 Rheinbreibach
Vorwor Sudierende der Ingenieurwissenschafen sellen sehr schnell fes, dass zum richigen Versehen und Einordnen der heoreischen Grundlagen des Mechanikfachs Kinemaik und Kineik das selbsändige Lösen von Aufgaben unverzichbar is. Of glauben Übende, die gelernen Formeln und Lehrsäze versanden zu haben, doch in Wirklichkei haben sie keineswegs alle ihre Anwendungsbedingungen und Konsequenzen erfass. Das vorliegende Arbeisbuch is als Ergänzung zu den Vorlesungen gedach und biee die nowendigen Grundbegriffe und Formeln, zahlreiche ausführlich gelöse Übungsaufgaben sowie Fragen und Anworen zum Überprüfen der Kennnisse. Alle wichigen Teilgebiee der Kinemaik und Kineik werden behandel und sind so srukurier, dass in jedem Kapiel die drei Komponenen Grundbegriffe und Formeln, Aufgaben mi Lösungen sowie Fragen und Anworen aufeinander folgen. Dadurch beseh eine ausgewogene Verbindung von Theorie und gelösen Übungsaufgaben. Der Inhal des Buches beschränk sich bewuss auf das Nowendige und is durch viele Bilder leich versändlich, so dass die Sudierenden schnell erkennen, worauf es ankomm und den Überblick behalen. Überhaup habe ich mi Zeichnungen nich gespar, da Sudierende dadurch viel schneller und besser über schwierige Sachverhale "im Bilde" sind, als das je mi Tex geschehen könne. Zur besmöglichen Nuzung des Buches empfehle ich, in Verbindung mi den Vorlesungen zunächs das Wesen der wichigsen Grundbegriffe und Grundformeln zu sudieren, und dann zu versuchen, die Aufgaben selbsändig zu lösen. Of is es auch hilfreich, die Aufgaben, Lösungen, Fragen und Anworen in der Gruppe zu bearbeien und zu diskuieren. Da die Erfahrung zeig, dass viele Sudienanfänger den Weg von der Problemsellung zur Lösung verlieren, wenn man ihn nich sysemaisch anleg, sind ergänzend Leilinien zum Lösen von Mechanik-Aufgaben als grundsäzliches Lösungsverfahren angegeben. In der vorliegenden 4. Auflage habe ich zusäzlich zur Formelsammlung der Kinemaik und Kineik noch Formelsammlungen zur Saik und zur Fesigkeislehre aus meinen gleichlauenden Büchern aufgenommen, so dass jez alle wichigen Formeln für das Grundlagenfach Technische Mechanik wiedergegeben sind. Das Buch erschein ersmals in der Ediion Harri Deusch des Verlags Europa-Lehrmiel. Siegen, 2014 Gerhard Knappsein
Leserkonak Auoren und Verlag Europa-Lehrmiel Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Sr. 23 42781 Haan-Gruien lekora@europa-lehrmiel.de hp://www.europa-lehrmiel.de
Inhalsverzeichnis 0 Einleiung 1 1 Kinemaik der geradlinigen Bewegung eines Punkes 1 1.1 Grundbegriffe und Formeln... 1 1.1.1 Or, Geschwindigkei, Beschleunigung... 1 1.1.2 Kinemaische Diagramme... 2 1.1.3 Geradlinige Bewegung mi konsaner Geschwindigkei (gleichförmige Bewegung)... 2 1.1.4 Geradlinige Bewegung mi konsaner Beschleunigung (gleichmäßig beschleunige Bewegung oder gleichmäßig verzögere Bewegung)... 3 1.1.5 Ungleichförmig beschleunige Bewegung... 3 1.2 Aufgaben mi Lösungen... 5 Aufgabe 1.1 Freier Fall... 5 Aufgabe 1.2 Bewegung von Zug und Kraffahrzeug... 6 Aufgabe 1.3 Geradlinige Bewegung eines Fahrzeugs... 7 Aufgabe 1.4 Auffahrunfall zweier Fahrzeuge... 9 Aufgabe 1.5 Zwei sich begegnende Körper auf parallelen Srecken... 11 Aufgabe 1.6 Punkmasse über Seil an Gleisein gekoppel... 13 Aufgabe 1.7 Parallelprojekion einer Kreisbewegung... 16 1.3 Fragen und Anworen... 19 2 Kinemaik der krummlinigen Bewegung eines Punkes 21 2.1 Grundbegriffe und Formeln... 21 2.1.1 Ebene Bewegung in einem rechwinkligen Koordinaensysem... 21 2.1.2 Ebene Bewegung in naürlichen Koordinaen; Tangenial- und Normalbeschleunigung... 22 2.1.3 Bewegung auf kreisförmiger Bahn; Winkelgeschwindigkei, Winkelbeschleunigung, gleichförmige Kreisbewegung, gleichmäßig beschleunige Kreisbewegung. 24 2.1.4 Beschreibung der Bewegung in Polarkoordinaen... 26 2.1.5 Räumliche Punkbewegung... 26 2.2 Aufgaben mi Lösungen... 28 Aufgabe 2.1 Ebene Punkbewegung in Parameerdarsellung... 28 Aufgabe 2.2 Bewegung des Schnipunkes zweier Geraden... 29
VI Inhalsverzeichnis Aufgabe 2.3 Räumliche Bahnkurve... 30 Aufgabe 2.4 Rollendes Rad auf horizonaler Unerlage... 32 Aufgabe 2.5 Punkbewegung auf ebener Kurve... 35 Aufgabe 2.6 Ziehen eines Booes über einen Kanal... 36 Aufgabe 2.7 Kreisbewegung eines Punkes auf roierender Scheibe... 38 Aufgabe 2.8 Kreisbewegung eines Punkes... 39 Aufgabe 2.9 Kreisförmige Kurvenfahr eines Zuges... 40 Aufgabe 2.10 Engegengeseze Punkbewegungen auf einer Kreisbahn... 42 Aufgabe 2.11 Bremsscheibe... 44 Aufgabe 2.12 Schwungscheibe... 45 Aufgabe 2.13 Roierende Schleifenschwinge... 46 Aufgabe 2.14 Roboer... 47 2.3 Fragen und Anworen... 48 3 Kinemaik des sarren Körpers 51 3.1 Grundbegriffe und Formeln... 51 3.1.1 Translaion und Roaion sowie Winkelgeschwindigkei des sarren Körpers... 51 3.1.2 Ebene Bewegung des sarren Körpers (mi Hinweisen auf die Bewegung im Raum), Momenanpol, Geschwindigkei und Beschleunigung... 52 3.2 Aufgaben mi Lösungen... 56 Aufgabe 3.1 Rechwinkliger Kreuzschieber... 56 Aufgabe 3.2 Dreieckscheibe... 58 Aufgabe 3.3 Beschleunige rollende Kreisscheibe... 59 Aufgabe 3.4 Kee einer Planierraupe... 61 3.3 Fragen und Anworen... 64 4 Kineik des Massenpunkes und der Massenpunksyseme 67 4.1 Grundbegriffe und Formeln... 67 4.1.1 Dynamisches Grundgesez (Massenpunk)... 67 4.1.2 Prinzip von D'ALEMBERT (Massenpunk)... 68 4.1.3 Impulssaz (Massenpunk)... 69 4.1.4 Arbei, Energie, Leisung (Massenpunk)... 70 4.1.5 Energiesaz und Arbeissaz (Massenpunk)... 72 4.1.6 Schwerpunksaz, Impulssaz, Drallsaz beim Massenpunksysem... 73 4.2 Aufgaben mi Lösungen... 76 Aufgabe 4.1 Anschieben eines Auos... 76 Aufgabe 4.2 Anriebskraf einer Sraßenbahn... 76 Aufgabe 4.3 Ebene Massenpunkbewegung in Parameerdarsellung... 77 Aufgabe 4.4 Beschleunige Bewegung und schiefe Ebene... 79
Inhalsverzeichnis VII Aufgabe 4.5 Drei mieinander verbundene Massen... 80 Aufgabe 4.6 Bremsung eines Krans... 82 Aufgabe 4.7 Fall eines Transporgus... 83 Aufgabe 4.8 Massenpunk an kreisförmiger Wand... 85 Aufgabe 4.9 Massenpunk auf rauer Unerlage... 87 Aufgabe 4.10 Sprung aus einem fahrenden Boo... 88 Aufgabe 4.11 Arbei eines Gepäckrägers... 89 Aufgabe 4.12 Aufprall eines beladenen Wagens... 89 Aufgabe 4.13 Reibscheibenkupplung... 90 Aufgabe 4.14 Abbremsung auf rauer Unerlage... 91 Aufgabe 4.15 Bewegung auf rauer schiefer Ebene... 92 Aufgabe 4.16 Reibungsfreie horizonale Bewegung eines Massenpunkes... 93 4.3 Fragen und Anworen... 94 5 Kineik sarrer Körper 97 5.1 Grundbegriffe und Formeln... 97 5.1.1 Translaion... 97 5.1.2 Roaion um eine fese Achse... 97 5.1.3 Massenrägheismomene... 99 5.1.4 Auswuchen von Rooren... 106 5.1.5 Ebene Bewegung des sarren Körpers... 107 5.1.5.1 Schwerpunksaz, Drallsaz... 107 5.1.5.2 Prinzip von D'ALEMBERT... 108 5.1.5.3 Energiesaz und Arbeissaz... 109 5.1.6 Räumliche Bewegung sarrer Körper... 110 5.1.6.1 Schwerpunksaz, Drallsaz... 110 5.2 Aufgaben mi Lösungen... 112 Aufgabe 5.1 Roierender -förmig gebogener Körper... 112 Aufgabe 5.2 Massenrägheismomen von Kreisringsegmen mi konsaner Dicke... 113 Aufgabe 5.3 Massenrägheismomen einer homogenen Kugel... 114 Aufgabe 5.4 Auswuchen eines sarren Roors... 115 Aufgabe 5.5 Gekoppele Körper auf schiefer Ebene... 119 Aufgabe 5.6 Rollende Walze... 121 Aufgabe 5.7 Fördersysem aus Rollen und Seil... 124 Aufgabe 5.8 Schweres Seil auf Windenrommel... 127 Aufgabe 5.9 Sysem aus zwei Körpern und einer Rolle... 128 Aufgabe 5.10 Drehbarer Sab... 129 5.3 Fragen und Anworen... 131
VIII Inhalsverzeichnis 6 Schwingungen 133 6.1 Grundbegriffe und Formeln... 133 6.1.1 Freie ungedämpfe Schwingungen... 137 6.1.2 Federn und Federnschalungen... 140 6.1.3 Freie gedämpfe Schwingungen... 141 6.1.3.1 Das logarihmische Dekremen (Dämpfungsdekremen)... 143 6.1.4 Erzwungene Schwingungen... 144 6.1.4.1 Kraferregung oder Erregung über eine Feder (Federkraferregung)... 144 6.1.4.2 Unwucherregung... 147 6.2 Aufgaben mi Lösungen... 149 Aufgabe 6.1 Takmesser (Meronom) 149... Aufgabe 6.2 Rollschwinger... 149 Aufgabe 6.3 Schwingsysem aus Kreisscheibe und Feder... 150 Aufgabe 6.4 Scheibe mi Feder... 151 Aufgabe 6.5 Dünner Sab mi Feder... 153 Aufgabe 6.6 Schwingende Kreisscheibe... 154 Aufgabe 6.7 Masse mi Balken und Säben... 156 Aufgabe 6.8 Feder-Masse-Dämpfer-Sysem... 158 Aufgabe 6.9 Ausschwingversuch... 159 Aufgabe 6.10 Federkraferreges Sysem... 160 Aufgabe 6.11 Harmonisch erreges Federende... 161 Aufgabe 6.12 Schwinger mi Erregerkraf... 163 Aufgabe 6.13 Unwucherrege Maschine... 165 6.3 Fragen und Anworen... 167 7 Soßvorgänge 169 7.1 Grundbegriffe und Formeln... 169 7.2 Aufgaben mi Lösungen... 173 Aufgabe 7.1 Soß auf horizonaler Unerlage... 173 Aufgabe 7.2 Soß auf schiefer Ebene... 174 Aufgabe 7.3 Soß gegen drehbar gelageren Körper... 176 Aufgabe 7.4 Soß zwischen Pendel und drehbarem Sab... 178 7.3 Fragen und Anworen... 180 8 Relaivbewegung 181 8.1 Grundbegriffe und Formeln... 181
Inhalsverzeichnis IX 8.2 Aufgaben mi Lösungen... 185 Aufgabe 8.1 Mi dem Boo über einen Fluss... 185 Aufgabe 8.2 Gleisein in radialer Führung einer roierenden Scheibe... 186 Aufgabe 8.3 Kreisbewegung eines Punkes auf roierender Scheibe... 188 Aufgabe 8.4 Radiale Punkbewegung auf einem drehbaren Sab... 190 Aufgabe 8.5 Fliehkrafpendel... 191 8.3 Fragen und Anworen... 193 Leilinien zum Lösen von Aufgaben aus Kinemaik und Kineik 194 Anhang: Zusammensellung der Formeln (Formelsammlung) 196 A1 Kinemaik der geradlinigen Bewegung eines Punkes... 196 A2 Kinemaik der krummlinigen Bewegung eines Punkes... 197 A3 Kinemaik des sarren Körpers... 203 A4 Kineik des Massenpunkes und der Massenpunksyseme... 205 A5 Kineik sarrer Körper... 211 A6 Schwingungen... 218 A7 Soßvorgänge... 222 A8 Relaivbewegung... 224 Das griechische Alphabe... 227 Vorsäze und Vorsazzeichen für dezimale Teile und Vielfache von Einheien... 227 Einheiennamen und Einheienzeichen... 228 Einige Formeln aus der Mahemaik... 229 Einige Grundlagen und Formeln aus der Saik.. S1 Kräfe, Lagerungen, Freimachen, Axiome, Schniprinzip... S2 Zenrales Kräfesysem.. S3 Allgemeines Kräfesysem. S4 Ebenes Fachwerk... S5 Schnigrößen am Balken...... S6 Schwerpunk.. S7 Hafung und Reibung.... S8 Biegeschlaffes Seil 230 230 235 238 241 243 245 249 250
X Inhalsverzeichnis Einige Grundbegriffe und Formeln der Fesigkeislehre F1 Einheien; Spannungen.. F2 Verformungen F3 Zusammenhang zwischen Spannungen und Verformungen..... F4 Zug und Druck in Säben... F5 Flächenrägheismomene; Lage der Haupachsen; Widersandsmomene... F6 Biegung..... F7 Torsion... F8 Lage der Schubmielpunke von dünnwandigen Profilen.... F9 Querkrafschub.. F10 Knickung... F11 Dünnwandige Behäler (Membranschalen) uner Innendruck...... F12 Fesigkeishypohesen, Vergleichsspannung. F13 Zugfesigkei R m, Sreckgrenze R p0, 2 und Bruchdehnung A 5 einiger Werksoffe... F14 Zulässige Spannungen für Kran-Sahlragwerke... F15 Ausgewähle Werksoffkennwere F16 Anwendung des Energieprinzips bei Biegebeanspruchung (CASTIGLIANO, MOHRsches Arbeisinegral, Krafgrößenverfahren)... 253 253 254 255 255 257 262 265 269 270 270 273 274 275 275 276 277 Lieraur 282 Sachworverzeichnis 283
Inhal / Übersich der Aufgaben mi Lösungen XI Aufgabe Erläuerung "Info"-Bild Seie 1 1 Kinemaik der geradlinigen Bewegung eines Punkes 1.1 Freier Fall; Geschwindigkei, Fallzei, kinemaische Diagramme 5 1.2 Bewegung von Zug und Kraffahrzeug; v Kraffahrzeug 6 Geschwindigkei, Zei v Zug 1.3 Geradlinige Bewegung eines Fahrzeugs; v 7 Geschwindigkei, kinemaische Diagramme 1.4 Auffahrunfall zweier Kraffahrzeuge; Zei, Geschwindigkei beim Aufprall 1.5 Zwei sich begegnende Körper auf parallelen Srecken; 9 11 Zei, Seig- und Fallhöhe, Geschwindigkeien, kinemaisches Diagramm 1.6 Punkmasse über Seil an Gleisein gekoppel; 13 Ors-, Geschwindigkeis-, Beschleunigungs-Zei- Funkion 1.7 Parallelprojekion einer Kreisbewegung; 16 Or, Geschwindigkei, kinemaische Diagramme 2 Kinemaik der krummlinigen Bewegung eines Punkes 2.1 Ebene Punkbewegung in Parameerdarsellung; 21 28 Beschleunigungen, Krümmungsradius 2.2 Bewegung des Schnipunkes zweier Geraden; 29 Geschwindigkeien, Bahngleichung des Schnipunkes 2.3 Räumliche Bahnkurve; 30 Geschwindigkeien, Bahnkurve
XII Inhal / Übersich der Aufgaben mi Lösungen Aufgabe Erläuerung "Info"-Bild Seie 2.4 Rollendes Rad auf horizonaler Unerlage; 32 Bahnkurve, Geschwindigkei, Beschleunigung, Weg 2.5 Punkbewegung auf ebener Kurve; Bahngeschwindigkei, Beschleunigung, Bahnkurve 2.6 Ziehen eines Booes über einen Kanal; Bahnkurve des Booes 35 36 2.7 Kreisbewegung eines Punkes auf roierender Scheibe; Geschwindigkei, Beschleunigung 38 2.8 Kreisbewegung eines Punkes; Geschwindigkei-Zei-Funkion 2.9 Kreisförmige Kurvenfahr eines Zuges; Beschleunigungen 39 40 2.10 Engegengeseze Punkbewegungen auf einer Kreisbahn; Beschleunigungen, Lage der Gesambeschleunigung, Or 2.11 Bremsscheibe; Anfangsdrehzahl, Winkelbeschleunigung, Verzögerung, Winkelgeschwindigkei 2.12 Schwungscheibe; Winkelbeschleunigung, Umdrehungen 2.13 Roierende Schleifenschwinge; Größe und Richung der Beschleunigung 42 ω 44 ω 45 46 2.14 Roboer; Zylinderkoordinaen, Geschwindigkeisvekor, Beschleunigungsvekor 47
Inhal / Übersich der Aufgaben mi Lösungen XIII Aufgabe Erläuerung "Info"-Bild Seie 51 3 Kinemaik des sarren Körpers 3.1 Rechwinkliger Kreuzschieber; Geschwindigkei, Winkelgeschwindigkei, Winkelbeschleunigung 56 3.2 Dreieckscheibe; Geschwindigkei, Momenanpol 58 3.3 Beschleunige rollende Kreisscheibe; Beschleunigung und Beschleunigungsverlauf 59 3.4 Kee einer Planierraupe; Geschwindigkeien und Beschleunigungen 4 Kineik des Massenpunkes und der Massenpunksyseme Beispiel Massenpunk auf rauer schiefer Ebene; Geschwindigkei 4.1 Anschieben eines Auos; Beschleunigung 4.2 Anriebskraf einer Sraßenbahn; Anriebskraf, Anfahrweg 4.3 Ebene Massenpunkbewegung in Parameerdarsellung; verursachende Kräfe 4.4 Beschleunige Bewegung und schiefe Ebene; Beschleunigung, Seilkraf 4.5 Drei mieinander verbundene Massen; Beschleunigung, Seilkraf 4.6 Bremsung eines Krans; Ausschlagwinkel, Seilkraf 61 67 72 76 76 77 79 80 82
XIV Inhal / Übersich der Aufgaben mi Lösungen Aufgabe Erläuerung "Info"-Bild Seie 4.7 Fall eines Transporgus; 83 Fallhöhe 4.8 Massenpunk an kreisförmiger Wand; erforderliche Höhe 85 4.9 Massenpunk auf rauer Unerlage; Geschwindigkei F 87 4.10 Sprung aus einem fahrenden Boo; Geschwindigkeien 88 4.11 Arbei eines Gepäckrägers; mechanische Arbei 4.12 Aufprall eines beladenen Wagens; erforderliche Geschwindigkei 4.13 Reibscheibenkupplung; Winkelgeschwindigkei, Energieverlus 4.14 Abbremsung auf rauer Unerlage; erforderlicher Reibungskoeffizien 4.15 Bewegung auf rauer schiefer Ebene; Geschwindigkei 89 89 90 91 92 4.16 Reibungsfreie horizonale Bewegung eines Massenpunkes; Geschwindigkei 5 Kineik sarrer Körper Beispiel Walze auf geneiger Bahn; Geschwindigkei 93 97 109
Inhal / Übersich der Aufgaben mi Lösungen XV Aufgabe Erläuerung "Info"-Bild Seie 5.1 Roierender -förmig gebogener Körper; 112 Massenrägheismomene, Lagerkräfe 5.2 Massenrägheismomen von Kreisringsegmen mi konsaner Dicke; Massenrägheismomene 5.3 Massenrägheismomen einer homogenen Kugel; Massenrägheismomen 113 114 5.4 Auswuchen eines sarren Roors; nowendige Ausgleichsmassen 5.5 Gekoppele Körper auf schiefer Ebene; Beschleunigung, Sangenkraf 115 119 5.6 Rollende Walze; Massenrägheismomen, Beschleunigung 121 5.7 Fördersysem aus Rollen und Seil; Beschleunigung, Seilkräfe 124 5.8 Schweres Seil auf Windenrommel; Drehzahl 127 5.9 Sysem aus zwei Körpern und einer Rolle; Geschwindigkei 128 5.10 Drehbarer Sab; Winkelbeschleunigung, Winkelgeschwindigkei, Lagerreakionen 129
XVI Inhal / Übersich der Aufgaben mi Lösungen Aufgabe Erläuerung "Info"-Bild Seie 133 6 Schwingungen 6.1 Takmesser (Meronom); 149 Schwingungsdauer 6.2 Rollschwinger; Eigenkreisfrequenz, Schwingungsdauer 6.3 Schwingsysem aus Kreisscheibe und Feder; Eigenkreisfrequenz, Schwingungsdauer 149 150 6.4 Scheibe mi Feder; Schwingungsdauer 6.5 Dünner Sab mi Feder; Massenrägheismomen, Eigenkreisfrequenz 151 153 6.6 Schwingende Kreisscheibe; Eigenkreisfrequenz 154 6.7 Masse mi Balken und Säben; Eigenkreisfrequenz 156 6.8 Feder-Masse-Dämpfer-Sysem; Eigenkreisfrequenz, Schwingungsdauer 158 6.9 Ausschwingversuch; logarihmisches Dekremen, Dämpfungsgrad, Eigenkreisfrequenz, Federkonsane, Dämpfungskonsane 6.10 Federkraferreges Sysem; Eigenkreisfrequenz, Bewegung und Ampliude 159 160
Inhal / Übersich der Aufgaben mi Lösungen XVII Aufgabe Erläuerung "Info"-Bild Seie 6.11 Harmonisch erreges Federende; 161 Schwingungsdifferenzialgleichung, Phasenverschiebung, Vergrößerungsfunkion 6.12 Schwinger mi Erregerkraf; Erregerkreisfrequenz, Federkonsane 163 6.13 Unwucherrege Maschine; Ampliude, Federkonsane 165 7 Soßvorgänge 7.1 Soß auf horizonaler Unerlage; Rückprallgeschwindigkei, Weg 169 173 7.2 Soß auf schiefer Ebene; Zei zwischen ersem Zusammenprall und nächsem Zusammensoß 7.3 Soß gegen drehbar gelageren Körper; Geschwindigkeien, Krafsoß, soßfreies Lager 174 176 7.4 Soß zwischen Pendel und drehbarem Sab; Winkelgeschwindigkei 178 8 Relaivbewegung 181 8.1 Mi dem Boo über einen Fluss; Vorhalewinkel, Absolugeschwindigkei, Fahrzei 185 8.2 Gleisein in radialer Führung einer roierenden Scheibe; Absolugeschwindigkei, Beschleunigung 186
XVIII Inhal / Übersich der Aufgaben mi Lösungen Aufgabe Erläuerung "Info"-Bild Seie 8.3 Kreisbewegung eines Punkes auf roierender Scheibe; Geschwindigkei, Beschleunigung 188 8.4 Radiale Punkbewegung auf einem drehbaren Sab; Absolugeschwindigkei, Beschleunigung 8.5 Fliehkrafpendel; Eigenkreisfrequenz, erforderliche Körperpendellänge 190 191
0 Einleiung Die Kinemaik beschreib Bewegungen eines Körpers, ohne auf die bewegenden Kräfe einzugehen, das heiß, die Lage von Körpern in Abhängigkei von der Zei wird beschrieben. In der Kineik wird der Zusammenhang zwischen den Kräfen und den durch sie bewirken Bewegungsänderungen von Massen unersuch. Sind die Kräfe bekann, so kann daraus im Allgemeinen der Bewegungsablauf besimm werden und umgekehr. 1 Kinemaik der geradlinigen Bewegung eines Punkes Die Bewegung eines Punkes enlang einer geraden Linie wird beschrieben durch die Weg-Zei- Funkion, besser Ors-Zei-Funkion x = x( ), das heiß, wir wissen zu jeder Zei den Absand x des Punkes P von einem fesen Punk 0 (Bild 01.1). 1.1 Grundbegriffe und Formeln 1.1.1 Or (Weg), Geschwindigkei, Beschleunigung +Δ 0 P x() Δx x Orskoordinae (Wegkoordinae) ( x ) +Δ Zei, Zeipunk Bild 01.1: Bewegung eines Punkes auf geradliniger Bahn x = x() v a m m Δx = = Δ x Δv v = = Δ ( + Δ) x( ) Δ ( + Δ) v( ) Δ Δx dx v = lim = = x& Δ 0 Δ d Δv dv a = lim = = v& = && x Δ 0 Δ d v m milere Geschwindigkei im Zeiinervall Δ a m milere Beschleunigung im Zeiinervall Δ v a &x &&x &v momenane Geschwindigkei zur Zei momenane Beschleunigung zur Zei Geschwindigkei (1. Ableiung des Ores (Weges) nach der Zei) Beschleunigung (2. Ableiung des Ores (Weges) nach der Zei) Beschleunigung (1. Ableiung der Geschwindigkei nach der Zei)
2 Kinemaik der geradlinigen Bewegung eines Punkes 1.1.2 Kinemaische Diagramme Über die Bewegung eines Punkes gewinnen wir einen x anschaulichen Überblick, wenn wir die Orskoordinae x, die Geschwindigkei v und die Beschleunigung a über der Zei aufragen. a v x Die Orskoordinae x wird öfers auch als Wegkoordinae bezeichne, was dann zu Missversändnissen führen kann, weil die Koordinae x nich den Weg, sondern den Or des Punkes angib. Wenn zum Beispiel ein Punk x= v auf einer Srecke hin und her beweg wird, so kann der zurückgelege Weg beliebig groß werden, während sich sein Or nur zwischen zwei Grenzen x 1 und x 2 änder. Die Geschwindigkeis-Zei-Funkion v ( ) = x& ( ) (der Punk über der Größe bedeue die Ableiung nach der Zei) enseh durch Ableiung (Differeniaion) der x= v= a Funkion x (). Dies gil auch analog für die Funkionen v () und a (). Durch Inegraion können wir umgekehr aus der Beschleunigungs-Zei-Funkion a ( ) die Geschwindigkeis-Zei-Beziehung v () und weier die Ors (Weg)-Zei-Beziehung x () besimmen. Das bedeue zum Beipiel, daß die Änderung des Ores Bild 01.2: x,-, v,- und a,-diagramm für (Orsdifferenz) durch die Fläche uner der v,-linie dargesell wird (Bild 01.3). In Bild 01.2 sind diese Diagung in einer geradlinigen eine ungleichförmige Bewegramme für eine ungleichförmige Bewegung in einer Bahn geradlinigen Bahn dargesell. Die geradlinige Bahn is neben der Orskoordinae x im Bild 01.2 zu sehen. Manchmal wird der Or x als unabhängige Variable gewähl, um zum Beispiel die Geschwindigkeis-Ors-Funkion v ( x) darzusellen. All diese graphischen Darsellungen bezeichnen wir als kinemaische Diagramme. 1.1.3 Geradlinige Bewegung mi konsaner Geschwindigkei (gleichförmige Bewegung) Gleichförmige geradlinige Bewegung heiß eine Bewegung, bei der die Beschleunigung a = 0 und die Geschwindigkei v = konsan is. Der zurückgelege Weg nach der Zei is x = x0 + v. x 0 is der Weg, der zu Beginn der Zeimessung bereis zurückgeleg war. x= v x= v= a x x= x 0 +v x- x x 0 =v 0 x 0 v 0 v=v 0 = kons. v Die Seigung der x, -Geraden is Δ v=δx/ = kons. Die Orsdifferenz während der Zei is gleich der "Fläche" v im v, -Diagramm. 0 Bild 01.3: x,-, v,- und a,-diagramm für eine geradlinige Punkbewegung mi konsaner Geschwindigkei