Auswertung von Messungen Teil II 1. Grundgesamtheit und Stichprobe. Modellverteilungen.1 Normalverteilung. Binominalverteilung.3 Poissonverteilung.4 Näherungen von Binominal- und Poissonverteilung 3. Zentraler Grenzwertsatz 4. Konfidenzintervalle 4.1 Vertrauensbereich des Mittelwerts / σ ist bekannt 4. Standardabweichung der Einzelmessung 4.3 Vertrauensbereich des Mittelwerts / σ ist nicht bekannt 4.4 Grenzwerte der STUDENT-Verteilung 4.5 Beispiel zu 4.3 1
1. Grundgesamtheit und Stichprobe 30 Häufigkeit H 0 10 Streuung 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Aspekte: Mit Grundgesamtheiten kann man gut rechnen. Aber: In Wirklichkeit hat man aber nur wenige Messwerte = Stichprobe Mittelwert Experiment s = Messwert Theorie x µ (x x) n 1 s = x x (x μ ) σ = n σ = x μ
. Grundgesamtheit - Modellverteilung.1 Normalverteilung Gx (, σ, μ) 1 = e σ π ( x μ ) σ - Verteilung ist symmetrisch (zu x-µ) - Parameter sind Mittelwert µ und Varianz σ - einfache mathematische Behandlung ist möglich 3
.1 Normalverteilung Standardnormalverteilung x µ Normierung der Normalverteilung: ( ) z = σ 1 f ( z) = e π z Berechnung des Mittelwerts: μ = x f( x) dx 4
.1 Normalverteilung Die Dichte f(z) der Standardnormalverteilung 0,4 0,3 f(z) 0, 0,1 0,0-3 - -1 0 1 3 z Einige typische Werte f(z) der Standardnormalverteilung -3 - -1 0 1 3 0,0044 0,0540 0,40 0,3989 0,40 0,0540 0,0044 5
.1 Normalverteilung Kumulierte Standardnormalverteilung F(z): ( Gaußsches Fehlerintegral ) ζ z F( z) = e d 1 π ζ F(z) 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 Die kumulierte Standardnormalverteilung F(z) (Linksseitige Flächenanteile F(z) unter der Dichte f(z)) -3 - -1 0 1 3 z F(0) = ½ F(-z) = 1 - F(z) F(z) - F(-z) = 1- F(-z) F(z) ist tabelliert Aber beachte! error function erf(z) z ζ erf ( z) = e dζ 0 π 6
.1 Normalverteilung Frage nach dem Anteil A einer Messgröße: z < L A = F(L) z > L A = 1 - F(L) L 1 < z < L A = F(L ) F(L 1 ) zum Beispiel: 0,4 A soll 95% betragen! L 1 = -1,96 L = 1,96 0, Fläche = 0.95 0 Fläche = 0.05-4 -3 - -1 0 1 3 4 L = 1.96 L 1 = -1.96 7
. Binomialverteilung Galton-Brett Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit B dafür, eine Kugel im Kasten k zu finden, wenn es bei insgesamt n -1 Nagelreihen n Kästen gibt. Die Wahrscheinlichkeit für Fall nach links soll p sein. 1 n-1 n k Bkn (, ; p) = p (1 p) k n k 1 k n 8
. Binomialverteilung B(k, 0; 0.5) 0.5 0. B(k, 0; 0.5) 0.15 0.1 0.05 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Mittelwert: Varianz: k = p n σ = p (1 p) n 9
. Binomialverteilung 0.5 0. B(k, 0; 0.5) B(k, 0; 0.8) 0.15 0.1 0.05 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Mittelwert: Varianz: k = p n σ = p (1 p) n 10
. Binomialverteilung Beispiel: Wurf mit einer fairen Münze Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit W für x Kopf bei 6 Würfen! n k n k Mit k =, n = 6, p = ½ wird W = Bkn (, ; p) = p (1 p) k W 6 6 1 1 15 = B( ;6;0.5) = = 64 Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit W für mindestens 4 x Kopf bei 6 Würfen Mit k > 3, n = 6, p = ½ wird W: W 6 6 1 11 6 6 = B( k;6;0.5) = = k= 4 k= 4 k 3 11
. Binomialverteilung Die Normalverteilung entsteht aus der Binomialverteilung, wenn n sehr groß wird. 0.3 lim Gk (, σ, μ ) = Bknp (,, ) n 0.5 0. 0.15 B(k, 10; 100;0.5) 0.5) B(k, 50; 0,0.5) 0.5) G(10) G(50) G(100) 0.1 0.05 0 1 6 51 76 101 16 1
.3 Poissonverteilung Grenzfall der Binominalverteilung für den Fall von selten auftretenden Ereignissen, z.b. - Telefonanrufe pro Zeit, - Ausschussteile bei einer Großserie, - radioaktiver Zerfall, - Thermoemission von Elektronen μ = n p selten heißt hier: n > 50 und n p < 5 k μ P( k; μ) = lim B( k, n; p) = e p 0 k! np μ μ σ = μ 13
.3 Poissonverteilung 0,5 0, σ = μ 0,15 Mittelwert 10 Mittelwert 100 Mittelwert 3 0,1 0,05 0 1 1 41 61 81 101 11 141 14
.3 Poissonverteilung Die Normalverteilung entsteht aus der Poissonverteilung, wenn der Mittelwert µ sehr groß wird. lim Gk (, σ, μ) = Pk (, μ) μ 0. 0.15 Poisson 100 Gauss 100 Poisson 5 Gauss 5 0.1 0.05 0 1 11 1 31 41 51 61 71 81 91 101 111 11 131 141 151 15
.4 Näherung von Binomial- und Poissonverteilung durch die Normalverteilung Gx (, σ, μ) 1 = e σ π ( x μ ) σ Die Parameter μ und σ der Normalverteilung ermöglichen es, dass unterschiedliche Modellverteilungen näherungsweise durch die Normalverteilung beschrieben werden können. Binomialverteilung: σ = (1-p) µ Poissonverteilung: σ = μ 16
3. Zentraler Grenzwertsatz Fragestellung: Wie sieht die Verteilung einer Größe aus, auf die verschiedene unabhängige Einflussgrößen einwirken, deren einzelne Verteilungsfunktion nicht bekannt ist? Als Beispiel betrachten wir die Verteilung der Augenzahlsumme beim Würfeln mit mehreren Würfeln 17
3. Zentraler Grenzwertsatz 1 Würfel: Kopfzahl 13 4 5 6 Häufigkeit 111 1 1 1 1, 1 0,8 0,6 0,4 0, 0 1 3 4 5 6 18
3. Zentraler Grenzwertsatz Würfel: Kopfzahl 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 Häufigkeit 1 3 4 5 6 5 4 3 1 7 6 5 Häufigkeit 4 3 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 Kopfzahl 19
3. Zentraler Grenzwertsatz 3 Würfel: Häufigkeit 30 5 0 15 10 5 Kopfzahl 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 Häufigkeit 1 3 6 10 15 1 5 7 7 5 1 15 10 6 3 1 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 Kopfzahl 0
3. Zentraler Grenzwertsatz 10 Würfel: 10000 8000 Häufigkeit 6000 4000 000 0 1 6 11 16 1 6 31 36 41 46 51 56 Kopfzahl 1
3. Zentraler Grenzwertsatz 10 Würfel: 10000 8000 Häufigkeit 6000 4000 000 0 1 6 11 16 1 6 31 36 41 46 51 56 Kopfzahl Ergebnis: Obwohl die Augenzahl eines Würfels gleichverteilt ist, ist die Summe der Augenzahlen bei vielen Würfeln annähernd normalverteilt.
Zentrale Grenzwertsatz: 3. Zentraler Grenzwertsatz Die Summe von (vielen) stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen ist annähernd normalverteilt. Das heisst: Für Stichproben von genügend großem Umfang n mit Mittelwert x und Varianz s sind deren Mittelwerte normalverteilt mit der Varianz s X = s n ohne dass man etwas über die Verteilung von X voraussetzen muss ( n sollte nach einer groben Faustformel mindestens 30 sein ) 3
4. Vertrauensbereich (Konfidenzintervall) Frage: Wie gut (sicher) repräsentiert ein Stichprobenkennwert den Mittelwert oder die Varianz der Grundgesamtheit? Die Sicherheitswahrscheinlichkeit wird durch die Konfidenzzahl* ) 1-α ausgedrückt. Der mögliche Bereich der z-werte heißt Vertrauensbereich bzw. Konfidenzintervall. *) wir lernen später α als Signifikanzzahl kennen Wir wollen mit der Sicherheitswahrscheinlichkeit 1-α behaupten dürfen, dass der wahre Wert μ im Intervall x t σ liegt. Also ist der Faktor t zu finden! n μ x+ t σ n 4
4. Vertrauensbereich (Konfidenzintervall) 4.1 Gesucht ist der Vertrauensbereich für Mittelwert, wenn die Varianz σ der Messung bekannt ist n Messwerte, Sicherheitswahrscheinlichkeit soll (1-α) 100% sein! z x µ = σ / n gesucht ist z 1-α/. Dieses kann aus der Tabelle F(z) abgelesen werden. z,.b. 1-α = 0,95 F(z 1-α/ )- F(z -α/ ) = 0,95 z 1-α/ = t = 1,96 σ x 1.96 μ x+ 1.96 n σ n 5
4. Vertrauensbereich (Konfidenzintervall) 4. Gesucht ist Stichprobenumfang für vorgegebene Konfidenz 1-α Bestimmung des Stichprobenumfangs, um ein vorgegebenes Konfidenzintervall zu erhalten: x µ Mit z1 α / = findet man für die Anzahl notwendiger Messungen: σ / n n z 1 α / = x μ σ 6
4. Vertrauensbereich (Konfidenzintervall) 4.3 Gesucht ist Vertrauensbereich für Mittelwert, wenn die Varianz σ nicht bekannt ist (sondern aus Messwerten berechnet werden muss) z = x µ Anstelle von kennt man jetzt σ / n t x µ = s/ n z ist normalverteilt, t hingegen folgt der STUDENT-Verteilung: v=1 v=9 0.4 ϕ (t,v) = v + 1 Γ π v Γ(v / ) (1+ t / v) (v + 1) / Freiheitgrade v = n -1 Phi (t,v) 0. 0-6 -4-0 4 6 t Achtung: Sowohl die t-verteilung als auch die kumulierte t-verteilung hängen vom Parameter v ab! Beide Funktionen sind tabelliert. 7
4.4 Grenzwerte der Studentverteilung Freiheitsgrade f 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 Kumulierte Studentverteilung: Flächen F(t) 0,999 1 3,08 6,31 1,71 31,8 63,66 318,9 1,89,9 4,30 6,96 9,9,33 3 1,64,35 3,18 4,54 5,84 10,1 4 1,53,13,78 3,75 4,60 7,17 5 1,48,0,57 3,36 4,03 5,89 6 1,44 1,94,45 3,14 3,71 5,1 7 1,41 1,89,36 3,00 3,50 4,79 8 1,40 1,86,31,90 3,36 4,50 9 1,38 1,83,6,8 3,5 4,30 10 1,37 1,81,3,76 3,17 4,14 15 1,34 1,75,13,60,95 3,73 0 1,33 1,7,09,53,85 3,55 100 1,9 1,66 1,98,36,63 3,17 00 1,9 1,65 1,97,35,60 3,13 10000 1,8 1,65 1,96,33,58 3,09 1-α/ 8
4.5 Beispiel zu 4.3: Für die Außendurchmesser von PVC-Rohren liegen unten stehende folgend Stichprobenwerte vor: Durchmesser von PVC-Rohren [mm] 44,4 44, 44,3 44, 44,6 44,4 44,7 44,3 44,5 43,9 Berechnen Sie Vertrauensintervalle für den Mittelwert dieser Stichprobe. Lösung: x n s 44,350 mm 10 0,73 mm 1-α Vertrauensbereiche VB für den Mittelwert α 0,9 0,1 0,95 0,05 0,99 0,01 9 Freiheitsgrade f 9 α/ 0,05 0,05 0,005 1-α/ 0,95 0,975 0,995 t α/ t 1-α/ a X-a X+a 9
4.4 Grenzwerte der Studentverteilung Freiheitsgrade Flächen F(t) f 0,90 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 1 3,08 6,31 1,71 31,8 63,66 318,9 1,89,9 4,30 6,96 9,9,33 3 1,64,35 3,18 4,54 5,84 10,1 4 1,53,13,78 3,75 4,60 7,17 5 1,48,0,57 3,36 4,03 5,89 6 1,44 1,94,45 3,14 3,71 5,1 7 1,41 1,89,36 3,00 3,50 4,79 8 1,40 1,86,31,90 3,36 4,50 9 1,38 1,83,6,8 3,5 4,30 10 1,37 1,81,3,76 3,17 4,14 15 1,34 1,75,13,60,95 3,73 0 1,33 1,7,09,53,85 3,55 100 1,9 1,66 1,98,36,63 3,17 00 1,9 1,65 1,97,35,60 3,13 10000 1,8 1,65 1,96,33,58 3,09 1-α/ 30
4.5 Beispiel zu 4.3: Für die Außendurchmesser von PVC-Rohren liegen unten stehende folgend Stichprobenwerte vor: Durchmesser von PVC-Rohren [mm] 44,4 44, 44,3 44, 44,6 44,4 44,7 44,3 44,5 43,9 Berechnen Sie Vertrauensintervalle für den Mittelwert dieser Stichprobe. Lösung: x n s f 44,350 mm 10 0,73 mm 9 1-α α/ Vertrauensbereiche VB für den Mittelwert α a 0,9 0,1 0,05 0,13 0,95 0,05 0,05 0,163 0,99 0,01 0,005 1-α/ 0,95 0,975 0,995 t α/ -1,83 -,6-3,50 t 1-α/ 1,83,6 3,50 0,34 Vertrauensbereiche für den Mittelwert der Durchmesser von PVC-Rohren 44,18 44,350 44,48 44,187 44,350 44,513 44,116 44,350 44,584 4 3 1 0 0,9 0,95 0,99 x-a x+a 44, 44,48 44,19 44,51 44,1 44,58 44,0 44,1 44, 44,3 44,4 44,5 44,6 44,7 [mm] 31
Literatur H.Gränicher, Messung beendet was nun?, Teubner 1994.R.Spiegel, L.J.Stephens, Statistik, McCraw_Hill 1999 T.Elser, Statistik für die Praxis, Wiley 004 L.Squires, Meßergebnisse und ihre Auswertung, 1971 J.Mandel, The statistical analysis of experimental data, 1984 M.Drosg, Umgang mit Unsicherheiten, facultas 006 L.Kirkup, B.Frenkel, Uncertainty in Measurements, Cambridge 006 J.R.Taylor, Fehleranalyse VCH 1988 DIN 1319, Teil 3 und 4 DIN 55350, Teil 13 Messunsicherheiten Messunsicherheiten 3