Institut für Physik Physikalisches Grundpraktikum. Einführung in die Messung, Auswertung und Darstellung experimenteller Ergebnisse in der Physik

Transkript

1 Institut für Physik Physikalisches Grundpraktikum Einführung in die Messung, Auswertung und Darstellung experimenteller Ergebnisse in der Physik (Fortsetzung)

2 Schätzung von Messunsicherheiten für eine einmalige Messung ( Größtfehlerabschätzung ) Ablesen einer (Analog-) Skale: Vergleich der Lage eines Messpunkts oder eines Zeigers mit den Teilstrichen der Skale; nächst gelegener Teilstrich als Schätz- bzw. Bestwert; geschätzte Unsicherheit mit ± halbe Intervallbreite der feinsten Skalenteilung grob geteilte Skale Interpolation der Lage des Zeigers zwischen zwei Teilstrichen; Abschätzung der Zehntelbruchteile; Unsicherheit ± ein Zehntelbruchteil Ablesen einer Digitalanzeige: Schätz- bzw. Größtfehler mindestens ±1 LSD (vgl. vorige Vorlesung), häufig Schwankungen des LSD direkt zu beobachten Abschätzung von Unsicherheiten oft nicht möglich bzw. nicht sachgerecht: anstatt einer Einzel- mehrere wiederholte Messungen, die mit den Methoden der mathematischen Statistik untersucht werden können bzw. müssen bei Messreihe ein und die selbe Messung unter möglichst identischen Randbedingungen genügend oft (i.d.r. mindestens 6 Messungen) zu wiederholen

3 Zufällige Messabweichungen Messwiederholungen (selbst unter identischen Bedingungen): liefern i. A. nicht immer denselben Messwert, sondern haben Abweichungen! Begriff zufällige Messabweichungen : wenn unterschiedlich in ihrer Größe und Richtung zufällige Messabweichungen Eigenschaft "zufällig" = Ursachen nicht im Einzelnen zu verfolgen, stochastisches (d.h. dem Zufall unterworfenes) Verhalten der Messergebnisse Messwerte haben Wahrscheinlichkeitscharakter Ursachen a) statistische Messgröße stochastischer Charakter von gemessenen Ereignissen (z.b. radioaktiver Zerfall, Rauschen in elektrischen Signalen) b) Unzulänglichkeit des Experiments oder Experimentators Schätzungen und Interpolationen auf Messskalen (Achtung: Parallaxenfehler) Messen einer Zeitdifferenz mit der Stoppuhr mit Reaktionszeit Längenmessung mit Maßband unterschiedlicher Verbiegung c) äußere Einflüsse zufällige unvorhersehbare äußere Einflüsse (z.b. wechselnde Luftströmungen, kurzzeitige Temperaturschwankungen etc.)

4 Aufgaben der mathematischen Statistik Als mathematische Statistik bezeichnet man das Teilgebiet der Statistik, das sich mit Analyse von Daten unter mathematischen Modellen beschäftigt. Gemeinsam mit der Wahrscheinlichkeitstheorie definiert die mathematische Statistik das mathematische Teilgebiet der Stochastik. Das zentrale Gebiet der mathematischen Statistik ist die Schätztheorie, mit der geeignete Schätzverfahren entwickelt werden. Die Eigenschaften der resultierenden Schätzfunktionen ermöglichen hierbei mehr oder weniger präzise Schätzungen. So werden Bereichsschätzungen von Parametern der Grundgesamtheit durch Konfidenzintervalle ermittelt. Konkrete Vermutungen über die Grundgesamtheit können durch geeignete statistische Tests bestätigt oder falsifiziert werden. Zielsetzungen: empirische Verteilung der Merkmalswerte der Stichprobe Abschätzung bzw. Bestimmung der theoretischen Verteilung der Grundgesamtheit Bestimmung der Parameter der theoretischen Verteilung mit optimaler Anpassung für die Stichprobenwerte Ermittlung der Parameterabhängigkeit für die Verteilung Untersuchung der Korrelation zwischen verschiedenen Merkmalen gleicher Objekte oder zwischen dem gleichen Merkmal verschiedener Objekte Entwicklung von Verfahren zur empirischen Bestimmung von möglichst guten Näherungswerten und ihrer Streuung bzw. (statistischen) Unsicherheit

5 Grundbegriffe der Statistik Mathematische Statistik: Untersuchung zufälliger Ereignisse bezüglich eines oder mehrerer quantitativ erfassbarer Merkmale; Zuordnung von Zahlenwerten als sog. Zufallsvariable Zufallsvariable (als quantitatives Merkmal eines zufälligen Ereignisses) Zufallsvariable mit diskreten Merkmalswerten (z. B. Zerfallsrate eines Isotops) Zufallsvariable mit kontinuierlichen Merkmalswerten (z. B. Lebensdauer von Ladungsträgern) Grundgesamtheit: Gesamtheit aller möglichen Realisierungen des zufallsbedingten Merkmals; kann endlich viele oder unendlich viele Elemente enthalten Urliste Grundgesamtheit Stichprobe (endlich)

6 Häufigkeitsverteilung Erhebung einer Stichprobe: Umfang N bezüglich des Merkmals x Tabelle der beobachteten Merkmalswerte x i ("Urliste der Elemente") Häufigkeitsverteilung: Messwerte streuen Veranschaulichung mit Häufigkeitsverteilung, d.h. Auftragung der Anzahl n i der in einem Intervall x gefundenen Messwerte ( absolute Häufigkeit ) über Messwerten x i? relative Häufigkeit: ni fi( xi) = N Normierte Verteilung: N i= 1 f ( x ) = 1 i i f i (x i ) x ist die Wahrscheinlichkeit, ein Messergebnis xi im Intervall x zu finden hier absolute Häufigkeit aufgetragen (statistische Aussage)

7 Anmerkungen zur Klasseneinteilung Allgemein: Bereich möglicher Merkmalswerte Einteilung in M gleichgroße Intervalle der Breite x (Klassen) Mitte der Klasse möglichst einfache Zahl x m (Klassenmitte) mit m = 1..M Ermittlung der absoluten Häufigkeit der Merkmalswerte im Intervall (x m - x/2; x m + x/2) auf Klassengrenzen entfallende Merkmalswerte je zu 1/2 der rechten und der linken Klasse zugeordnet Kriterien: nicht zu eng (zu geringe Häufigkeiten große Schwankungen; d.h. zu feine Diskretisierung) nicht zu weit (drohender Informationsverlust; zu grobe Diskretisierung) Empfehlungen für sinnvolle Klassenzahl M und Klassenbreite x: M 5 lg N und x (x max -x min )/N Generelle Anmerkung: physikalische Größen oft kontinuierlich verteilt; Mess- und Ablesegenauigkeit aber begrenzt Diskretisierung der Messergebnisse, z.t. mit gleichem Zahlenwert Durch die Mess- und Ablesegenauigkeit feinste Klasseneinteilung gegeben, eine gröbere aber meistens sinnvoller!

8 Summenhäufigkeitsverteilung Berechnung aus der relativen Häufigkeitsverteilung: F( x j ) = fi( xi) x x i j Summation der relativen Häufigkeiten bis zum Wert x j statistische Interpretation als die Wahrscheinlichkeit, einen Wert x i im Intervall (0;x j ) zu finden 1 F(x 1 ) F(x 2 ) Normierungseigenschaft statistische Interpretation von F(x 1 )-F(x 2 ) als Wahrscheinlichkeit, einen Wert x i im Intervall (x 1,x 2 ) vorzufinden

9 Übergang zu kontinuierlichen Verteilungen Grenzwertbetrachtung: unendlich große Stichprobe N unendlich große Klassenzahl M infinitesimal feine Intervalleinteilung x 0 (Übergang zum Differential dx) Übergang von diskreten Verteilungen/Funktionen zu kontinuierlichen! f(x) als Wahrscheinlichkeitsdichte F(x) als integrale Wahrscheinlichkeitsdichte

10 Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Parameter Definition des Mittelwertes: erstes Moment einer Verteilung, beschreibt ihre Lage Definition der Varianz: zweites Moment einer Verteilung, beschreibt ihre Breite Definition der Standardabweichung: direktes Maß für die Breite der Verteilungsfunktion, d.h. die Streuung der Werte

11 Beispiele für Verteilungsfunktionen Gleichverteilung Poissonverteilung Binomial- bzw. Bernoulliverteilung Hypergeometrische Verteilung Gauß- oder Normalverteilung Geometrische Verteilung Verteilungen in der (statistischen) Physik Plancksches Strahlungsgesetz Fermiverteilung Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung Orbitale von Elektronen

12 Zentraler Grenzwertsatz der Statistik Die Verteilungen der Summen von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen streben mit wachsendem Stichprobenumfang gegen die Gaußsche Normalverteilung. (Faustregel: bei mehr als 30 stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen schon sehr gute Näherung) Diese Regel ermöglicht zum einen die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten unbekannt verteilter Zufallsvariablen, zum anderen kann die Bestimmung kompliziert zu berechnender Wahrscheinlichkeitswerte mit der Normalverteilung approximiert werden.

13 Gauß- oder Normalverteilung 2 1 ( x x) f( x) = exp 2 2π s 2 s f(x) x-s x x+s x Eigenschaften: Maximum beim Mittelwert (Erwartungswert), Symmetrie bezüglich Mittelwert Konvergenz gegen Null im Unendlichen Wendepunkte für Mittelwert ± Standardabweichung Intervall um Mittelwert ±s 68,3% Breite durch Standardabweichung bestimmt ±2s 95,4% Normierung auf 1 (vgl. statistische Interpretation!) ±3s 99,7% Wahrscheinlichkeit

14 Normierungseigenschaft der Normalverteilung Die Parameter Mittelwert und Standardabweichung ermöglichen es, dass unterschiedliche Modellverteilungen durch die Gaußverteilung beschrieben werden können.

15 Gaußsche Fehlerfunktion Eigenschaften: Statistische Interpretation als Wahrscheinlichkeit für Wert im Intervall Monotonieverhalten Wendepunkt für Mittel- bzw. Erwartungswert

16 Empirischer Zugang für Parameter der Normalverteilung Definition des Mittelwertes: Definition der Standardabweichung: Definition des Vertrauensbereiches:

17 Beispiel: Versuch F1 Fehlerverteilung Erzeugung von Zufallszahlen im Intervall (0;5) mit Rundung auf zwei Nachkommastellen Projektion der hier gezeigten Skale im Hörsaal Aufgabe für Studierende: Schätzung von insgesamt 100 Werten auf 0,01 genau; mit anschließender statistischer Auswertung der Abweichungen zwischen Schätzwert und (hier ausnahmsweise bekanntem!) wahrem Wert

18 Reale Ergebnisse aus studentischen Daten Abweichung v i relative Häufigkeit h(vi) Summenhäufigkeit H(v i ) rel. Häufigkeit h(vi) Datensatz Normalverteilung Summenhäufigkeit H(vi) Datensatz Nornalverteilung Abweichung vi Vorzeichentest: n + n = = 13 erlaubt : 10 = 100 = n klare Asymmetrie der Verteilung mit Verschiebung in negativer Richtung Anmerkung: 100 Werte sind zu wenig!!! (n für Grenzübergang) Dieser Studi untertreibt offenbar lieber! Abweichung vi

19 Darstellung des Messergebnisses einer direkt gemessenen physikalischen Größe Messergebnis = (Mittelwert Korrektur syst. Abweichungen) ± Messunsicherheit Vgl. vorige Vorlesung Verschiedene Beiträge: statistische Behandlung systematische und zufällige Abweichungen Wie zusammenzufassen? Systematische und zufällige Messabweichungen sind statistisch nicht korreliert, d.h. unabhängige Größen. Eine gegenseitige Aufhebung beider Arten von Messabweichungen kann zwar nicht vorausgesetzt werden, ist aber möglich. Bildhafter Vergleich mit Vektoraddition syst. MA zuf. MA res. MA? Pythagoreische Summe der Beträge Summe der Beträge

20 Ermittelung des Messergebnisses einer direkt gemessenen physikalischen Größe Messung Aufnahme der n Einzelmesswerte x i (i=1..n) Mittelwert 1 x = xi n Messabweichungen Grobe Fehler Systematische Messabweichungen Zufällige Messabweichungen Korrektur e C korrigiertes Ergebnis x = x + C e C Restfehler e S u = e Z e n 6 Rechnung 2 vi = s = n( n 1) 2 s + e 2 z n<6 Abschätzung e Z x Messunsicherheit u = es + s n 6 < es + ez u = es + x n < 6 Vollständiges Messergebnis x = xc ± u

21 Fortpflanzung der Unsicherheiten für eine mittelbar gemessene physikalische Größe G = G(x,y,z ) Annahme der Unabhängigkeit der einzelnen Größen (Variablen) = keine Korrelation gegenseitige Aufhebung der einzelnen Beiträge zur gesamten Abweichung möglich G G G G = ± x + y + z +... x y z G G G G ± x + y + z +... x y z