Stochastik für Dummies

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1 Christoph Maas Stochastik für Dummies Fachkorrektur flon Dr. RelJine FreuJenstein WILEY WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA

2 Inhaltsflerzeichnis Über den Autor Einfülrrunl} über dieses Buch - oder:»... für Dummies«verpflichtet! Wie man dieses Buch benutzt Wie ich Sie mir vorstelle Wie dieses Buch aufgebaut ist Teil I: Beschreibende Statistik Teil II: Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil III: Beurteilende Statistik Teil N: Auswertung von Messungen im Labor: Fehlerrechnung Teil V: Zeitliche Entwicklungen erfassen Teil VI: Der Top-Ten-Teil Anhang Die Symbole in diesem Buch Wie es weitergeht Teil I Beschreibende Statistik Kapitell KlarmacIren zum Daten Sammeln Wer Sie interessiert: Die Beobachtungsmenge Kaum noch Chance auf Eheglück? Was Sie interessiert: Merkmale Wen Sie tatsächlich befragen: Stichproben Kapitel 2 Daten l}rafisclr darstellen Grafiken für zeitliche Entwicklungen und ihre Tücken Der Klassiker: die abgeschnittene Y-Achse Der Unvermeidliche: die Verbindungslinien Der Hübsche: flächige Symbole Der Subtile: doppelte Skalen

3 Häufigkeitsdarstellungen für diskrete quantitative Merkmale : Stabdiagramm : Stabdiagramm : Stabdiagramm : empirische Verteilungsfunktion : empirische Verteilungsfunktion : empirische Verteilungsfunktion Klasseneinteilungen (nicht nur) für stetige quantitative Merkmale : Histogramm Tortendiagramme für diskrete qualitative Merkmale Kapitel 3 Kennzahlen für den Durchschnitt herausarbeiten Das arithmetische Mittel Der Median Varianz und Standardabweichung Quantile Weitere Durchschnittswerte: geometrisches Mittel und Modus : geometrisches Mittel : geometrisches Mittel : geometrisches Mittel : Modus : Modus : Modus

4 > Inha/tsflerzeichnis Kapitel 4 ZusammenhänfJe zu/ischen zu/ei Merkmalen untersuchen Die Punktewolke für die gleichzeitige Untersuchung von zwei quantitativen Merkmalen Die Regressionsgeraden einer Punktewolke (1. Variante) (2. Variante) Bedingte Mittelwerte und Standardabweichungen Der (empirische) Korrelationskoeffizient zweier quantitativer Merkmale Teil 11 Wahrscheinlichkeitsrechnun9 Kapitel 5 Klassische WahrscheinlichkeitsrechnunfJ Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten Die Definition der Wahrscheinlichkeit durch Axiome Laplace-Versuche Permutationen, Kombinationen und Variationen Bedingte Wahrscheinlichkeiten : bedingte Wahrscheinlichkeit :totale Wahrscheinlichkeit : Formel von Bayes Unabhängigkeit Erwartungswert

5 Stochastik für Dummies Kapitel 6 Zufa//s"ariable und ihre Vertei/unflen Zufallsvariable Diskrete und stetige Zufallsvariablen Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable : Stetige Zufallsvariablen : Stetige Zufallsvariablen : Stetige Zufallsvariablen Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Median und Quantile von Zufallsvariablen : Diskrete Zufallsvariable : Stetige Zufallsvariable : Weitere Formeln über Erwartungswert und Standardabweichung Unabhängigkeit und Korrelation : Korrelationskoeffizient Das Gesetz der großen Zahlen Kapitel 7 Häufifl "erutendete Vertei/unflen Geometrische Verteilung Binomialverteilung Poisson-Verteilung Hypergeometrische Verteilung

6 > Inhaltsflerzeichnis Stetige Gleichverteilung Exponentialverteilung Kapitel 8 Die Normalrlerteifunij Die Eigenschaften der Standardnormalverteilung Zugriff auf die Werte der Verteilung Alternative zur Wertetabelle: Die Taschenrechnerfunktion Noch eine Möglichkeit: Die Reihenentwicklung Häufig verwendete Wertebereiche der Standardnormalverteilung Die allgemeine Normalverteilung Der zentrale Grenzwertsatz Als Auffangposition: Die t-verteilung TeilllJ Beurteilende Statistik Kapitel 9 Schätzen rlon Parametern Konfidenzintervalle Schätzen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus seiner relativen Häufigkeit Schätzen eines Erwartungswertes aus dem Mittelwert von Versuchsergebnissen

7 Schätzen der Varianz aus der empirischen Varianz von normalverteilten Versuchsergebnissen : Schätzformel für die Varianz : Konfidenzintervall Kapitel 10 Testen (/on HlJpothesen Eine Behauptung über eine Wahrscheinlichkeit überprüfen : Zweiseitiger Test : Einseitiger Test Eine Behauptung über einen Erwartungswert überprüfen : Zweiseitiger Test : Einseitiger Test Eine Behauptung über eine Wahrscheinlichkeitsverteilung überprüfen Die Unabhängigkeit von zwei Zufallsvariablen überprüfen Eine Behauptung über eine Varianz überprüfen : Zweiseitiger Test : Einseitiger Test Teil/V Auswertun9 (/on Messungen im Labor: Fehterrechnun9 Kapitel 11 AhweichunlJen Vieles haben Sie im Griff, aber manches bleibt unergründlich: Systematische und zufällige Abweichungen

8 > Inhaltsrlerzeichnis 218 Daraufkommt's an: 219 Dem wahren Messergebnis auf der Spur: Schätzen des Erwartungswerts einer Messreihe Wiedersehen mit alten Bekannten schafft neue Einsichten: Normalverteilte Zufallsvariable Kapitel 12 Felrter(ortp(lanzunlj 229 Jede Abweichung wirkt für sich: Gaußsche Fehlerfortpflanzung Wenn sich alles gegen Sie verbündet: Lineare Fehlerfortpflanzung Kapitel 13 Vom Messwert zur Funktion: Die Methode der kleinsten Felrteri{uadrate 2!l1 So können Sie Datensätze bewerten: Summe der Fehlerquadrate So berechnen Sie die Funktion, die am besten passt: Normalgleichungen Im linearen Fall ist alles einfacher: Die Regressionsgerade

9 Teif (/ Zeitliche EntuJicklunt)en erfassen 259 Kapitel 14 Eine Theorie über die Zukunft 261 Ein Zufall nach dem anderen: Stochastische Prozesse Die Vergangenheit ist vergangen: Markow-Ketten 264 : Berechnung der jeweils neuen Wahrscheinlichkeitsverteilungen : stationäre Verteilung 271 : Stationäre Verteilung 273 : Stationäre Verteilung 274 Die Vergangenheit scheint noch etwas durch: Martingale Kapitel1S 8eobachtuntjen deuten 279 Den Trend erkennen: Zeitreihenanalyse 279 : einfache exponentielle Glättung 280 : zweifache exponentielle Glättung 282 : exponentielle Glättung 283 : exponentielle Glättung 284 : Autokorrelation 285 : Autokorrelation 286 : Autokorrelation 287 Mögliche Verläufe durchspielen: Simulation 287 Erzeugung von Zufallszahlen 291 Regel Nummer eins: Lass den Menschen außen vor! 292 : Bernoulli-Versuch 295 : Konstruktion einer geometrischen oder hypergeometrischen Verteilung aus einem Bernoulli-Versuch 296 : Poisson-Verteilung 297 : Poisson-Verteilung 298 : Poisson-Verteilung 298 Kapitel 16 Einsatz stochastischer Methoden in der Informatik 299 Zufall, hilf! - Randomisierte Algorithmen 300 : Suche nach dem Median 300 : Suche nach dem Median

10 > InhaftSrlerzeichnis Daraufkommt's an: Suche nach dem Median 301 : Zufallstest für Primzahlen 301 : Zufallstest für Primzahlen 302 : Zufallstest für Primzahlen 302 Durchschnittliche Aufgaben gesucht 303 Teif (,/1 Der Top-Ten-Teif 307 Kapitel 17 Zehn erstaunliche DiniJe aus der Stochastik 309 Wie sich der Mensch den Zufall vorstellt: Die Himmelsscheibe von Nebra 309 Stets verloren, aber insgesamt gewonnen: Das Simpson-Paradox Kleine Zahlen sind häufiger: Das Newcomb-Benfordsche Gesetz Wer sich in Gefahr begibt, lebt gesünder? - Der»Healthy Worker«-Effekt 319 Ungleiche Häufigkeit trotz gleicher Wahrscheinlichkeit: Das Gesetz der kleinen Zahlen Es gibt immer gute Nachrichten - Man muss sie nur suchen Unfairness einfach austricksen: So klappt's mit dem Laplace-Versuch Smartphone-Programmierer leben gefährlich (und Linkshänder auch) 327 Zum Picknick oder doch lieber unter Dach und Fach? - Die Sache mit der Regenwahrscheinlichkeit »Gewöhnlich meint der Mensch, wenn er nur Zahlen sieht, es müsse sich dabei doch auch was denken lassen.«329 19

11 reif VI/ Anhan9 331 Anhang A Tabelle f/on Quantilen der t~verteilung und der Normalf/erteilung 333 Anhang ß Tabelle der Chi~Quadrat~Verte;lung 335 Anhang C Rechenregeln für ErUlartungsUlerte und Var;anzen 337 Rechenregeln für Erwartungswerte 337 Rechenregeln für Varianzen 337 Berechnung von Varianzen unter Verwendung von Erwartungswerten 337 St;chUlortf/erze;chn;s 339