Die Sylowsätze und eine Anwendung

Seminar Symmetriegruppen Die Sylowsätze und eine Anwendung Bruschek Clemens 1

1 Erinnerung Im Folgenden sei an einige wichtige Tatsachen aus den letzten Vorträgen und der VO Algebra 1 erinnert. Bezeichne G eine multiplikativ geschriebene endliche Gruppe und X eine Menge. Definition 1. Eine Operation von G auf X ist eine Abbildung G X X; (g, x) g x, welche folgende Bedingungen erfüllt: (i) 1 x = x, für 1 = 1 G und x X; (ii) (gh) x = g (h x) g, h G, x X. Eine zur obigen Definition äquivalente Formulierung des gleichen Sachverhaltes liefert die Definition als Permutationsdarstellung. Dabei heißt jeder Homomorphismus Φ : G S X eine Permutationsdarstellung. Damit lassen sich Operationen von G auf X auch als Permutationsdarstellungen Φ : G S X auffassen. Sei dazu Φ ein Homomorphismus von G S X, d.h. Φ(ab) = Φ(a)Φ(b) und Φ(1) = id X. Somit Φ(1)(x) = id X x = x und Φ(ab)(x) = (Φ(a)Φ(b)) (x) = Φ(a) (Φ(b)(x)). Definition 2. G operiere auf X und sei x X. Dann heißt G(x) := {g x; g G} der Orbit (genauer G-Orbit) oder die Bahn von x (unter G). Weiters bezeichnet man mit G x := Stab(x) := {g G; g x = x} als den Stabilisator von x (oder auch als Isotropiegruppe von x). Bemerkung. Der Stabilisator eines Elementes bildet ein (Unter-)Gruppe. Für das nächste Kapitel wesentlich: Satz 1. (Orbit-Stabilisator-Theorem) Für alle x X ist die Abbildung G(x) G/G x = {Linksnebenklassen von G x }; g x g G x eine Bijektion zwischen der Bahn von x und der Menge der Linksnebenklassen von G x in G. Beweis. Surjektivität: klar Injektivität: Gelte gg x = g G x, dann existiert h G x mit g = g h und somit gx = (g h)x = g x. Folgerung 1. G <, dann gilt: G(x) G x = G. Beweis. Folgt unmittelbar aus Satz 1, denn: G(x) (beachte hier bedeutet die Mächtigkeit, da G(x) im Allgemeinen keine Gruppe bildet). ist die Anzahl der Linksnebenklassen von G x und jede Nebenklasse hat G x Elemente. Satz 2. (2. Isomorphiesatz) Seien H und N Untergruppen von G mit N G. Dann gilt H/(H N) = HN/N. Beweis. vgl. Algebra 1. Satz 3. Z n Z n = Zm n (m, n) = 1. Beweis. vgl. Algebra 1. 2

2 Die Sylow-Sätze 2.1 Vorbereitungen Die folgenden Lemmata und Hilfssätze stellen für den Beweis der Sylow-Sätz wichtige Aussagen bereit. Lemma 1. Seien k, m, p N, p prim mit p k; dann gilt: ( ) k p m p. Beweis. Betrachte Teilfaktor ( ) k p m p m p m = kpm (kp m 1) (kp m (p m 1)) p m (p m 1) 2 1 kp m x p m x für 0 x pm 1. Definiere l := max{i N; p i x}. Darau folgt p m x = p ( l p m l ˆx ) = p l n, wobei p n. Analoges gilt für kp m x = p ( l kp m l ˆx ) = p lˆn; p ˆn. Somit hat p in Zähler und Nenner stets gleiche Vielfachheit und kürzt sich weg. Im Fall x = 0 bleibt der Faktor k p m p m = k, welcher nach Vorraussetzung nicht durch p teilbar ist. Hilfssatz 1. Seien H, K Untergruppen von G, dann ist HK eine Untergruppe genau dann, wenn HK = KH. Beweis. : Ist HK Untergruppe, dann HK = (HK) 1 = K 1 H 1 = KH. : HK = KH, dann ist HK abgeschlossen unter der Inversenbildung, da (HK) 1 = KH und weiters (HK)(HK) = HK (abgeschlossen bzgl. Multiplikation). Somit ist HK Gruppe. Bemerkung. Im letzten Hilfssatz ist unter HK = H K das übliche Produkt zweier Gruppen zu verstehen, HK := {ab; a H, b K}. Lemma 2. Sei p m die größte Potenz von p, die die Ordnung einer Gruppe G teile und bezeichne H = {H 1,..., H s } die Menge aller Untergruppen von G mit Ordnung p m. H 1 operiere auf H vermöge Konjugation; K j := H 1Hj der Stabilisator von H j unter dieser Operation. Dann gilt: K j = H 1 H j. Beweis. K j := {h H 1 ; hh j h 1 = H j }. Somit K j H 1 und H 1 H j K j. Zu zeigen: K j H j. Klar: K j H j = H j K j somit ist also K j H j Untergruppe von G nach Hilfssatz 1. Weiters ist H j K j H j (klar). Der 2. Isomorphiesatz liefert: K j H j /H j = Kj /(K j H j ) und somit ergibt sich folgenden Aussage über die Ordnungen: K j H j = K j H j K j H j = K j pm K j H j = pl 3

für ein l > 1. Ist l = m, dann ist K j = K j H j und somit K j H j ; ansonsten ist K j K j H j > 1 (d.h. K j H j ) und damit K j H j = p l G mit l > m - Widerspruch zur Tatsache, daß p m die größte Potenz mit dieser Eigenschaft sein soll. Obwohl keine besonders schwere Aussage, so wird die Behauptung des folgenden Lemmas doch vielfach benötigt. Lemma 3. Sei H G mit [G : H] = 2; dann gilt: α G α 2 H. Beweis. Variante 1: G/H = {H, τh} (τ H); α H α 2 H, da H als Untergruppe multiplikativ abgeschlossen ist. Ist andererseits α τ H, d.h. α = τ h, h H. Angenommen es ist dann α 2 = τhτh H, dann bedeutet dies: τhτh τh, also τhτh = τ h, h H. Folglich: hτh = h τh = h 1 h H Widerspruch! Variante 2: [G : H] = 2 H G G/H ist Gruppe, genauer G/H = Z 2. α H ᾱ = 0. α H ᾱ2 = ᾱᾱ = 1 + 1 = 0 α 2 H. Die Behauptung, daß in dieser Situation H Normalteiler ist, folgt zum Beispiel aus Folgerung 2 zu Hilfssatz 3 in Kapitel 3, oder mittels eines Schlußes ganz ähnlich zu dem in Variante 1. 2.2 Die Sylow-Sätze Motivation: Nach dem Satz von Lagrange hat jede Untergruppe H einer Gruppe G eine Ordnung, die jene von G teilt. Es stellt sich die Frage: Gibt es zu jedem Teiler k von G auch eine passende Untergruppe, die die Ordnung khat? Beispiel 1. G = Z 4 : Die Teiler der Ordnung von G sind {1, 2, 4}. Dabei liefern 1 und 4 die trivialen Untergruppen. Gibt es eine Untergruppe der Ordnung 2? Ja, denn Z 4 = σ und damit ist H := σ 2 die gewünschte Untergruppe ((Z 4, +) = 1 und 2 = {0, 2}). Beispiel 2. G = A 4 : Als Untergruppen kommen hier Gruppen der Ordnung 1, 2, 3, 4, 6, 12 in Frage. G hat eine Untergruppe der Ordnung 2, z.b. H := (1 2)(3 4); eine Untergruppe der Ordnung 3 nämlich H := σ, wobei σ Dreierzykel ist; und eine Untergruppe der Ordnung 4, nämlich die V 4 (Klein sche Vierergruppe; V 4 = {id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)). Gibt es eine Untergruppe H der Ordnung 6? Wenn es so ein H gibt, dann hat diese Untergruppe Index 2 und somit nach Lemma 3 mit α A 4 auch α 2 H. A 4 besteht aus der Klein schen Vierergruppe und 8 Dreizykeln (Übg.). Ist α ein Dreizykel, dann ist α = α 4 = (α 2 ) 2 H und somit enthält H mindestens 8 Elemente. Folglich existiert in G = A 4 keine Untergruppe der Ordnung 6! Die Antwort auf unsere Frage ist also Nein, jedoch kann für Gruppen bestimmter Ordnung doch Existenzaussagen treffen. Dabei ist ein Standardresultat der Satz von Cauchy, der besagt, daß eine endliche Gruppe, deren Ordnung eine Primzahl p als Teiler hat, eine Untergruppe ebendieser Ordnung besitzt. Ein solcher Fall wird durch die Sylowsätze behandelt! Definition 3. Sei G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl mit p G. Dann heißt eine Untergruppe H von G eine p-sylowuntergruppe von G, wenn H = p m mit m := max{l N; p l G }. 4

Satz 4. (Sylow-Sätze) Sei G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl mit p G. Dann gilt: 1. G besitzt eine p-sylowuntergruppe. 2. Die p-sylowuntergruppen von G sind konjugiert. 3. Die Anzahl der p-sylowuntergruppen ist kongruent 1 modulo p und ein Faktor von G. Bemerkung. (a) 1. läßt sich dahingehend erweitern, daß jede p-untergruppe von G (das sind jene Untergruppen H G mit H = p l für ein l N.) in einer p- Sylowuntergruppe enthalten ist. (b) Aus 2. folgt, daß im Falle der Existenz einer einzigen p-sylowuntergruppe H, diese zu sich selbst konjugiert ist und damit Normalteiler, genauer:für g G gilt ghg 1 ist p-sylowuntergruppe von G und damit gleich H, also ghg 1 = H. (c) Mit den Bezeichnungen von obiger Definition gilt: G = p m k, wobei k N und p k. Somit gilt: {p-sylowuntergruppe} k nach 3.. Beweis. ad 1.: Betrachte die Menge X := {A G; A = p m }, die alle Teilmengen der Mächtigkeit p m enthält (und damit insbesondere die Untergruppen dieser Ordnung). G operiert auf X vermöge Linkstranslation, d.h. für g G, A X: g A := ga. Nach Lemma 1 aus 2.1 gilt: ( ) k p m p X =. Da die Orbits einer Gruppenoperation disjunkt sind und eine Partition von X bilden, folgt: X = n G(A) = G(A i ) A X (für gewisses n N) und damit : X = n i=1 G(A i). Daher muß es einen Orbit G(A j ) geben mit p G(A j ), da sonst p X im Widerspruch zur Aussage von Lemma 1. Nach Folgerung 1 von Satz 1 ergibt sich: p m i=1 G = G(A j ) G Aj. Da aber p m G und p G(A j ), folgt p m G Aj. Nun ist aber für alle a A j : G Aj a A j und in Folge G Aj p m, denn: seien g, h G Aj ga A j und ha A j ; angenommen ga = ha h 1 ga = a h 1 g = e g = h. Somit liefert G Aj a für jedes g G Aj ein anderes Element aus A j und diese Menge hat Mächtigkeit p m. Aus diesen zwei Bedingungen an die Ordnung von G Aj ergibt sich, daß G Aj p-sylowuntergruppe ist. Somit ist 1. bewiesen. ad 2. und 3.: Bezeichnen H 1,..., H s die p-sylowuntergruppen von G und H := {H 1,..., H s }, dann operiert H 1 vermöge Konjugation auf H (für h H 1 : h H j := hh j h 1. Im folgenden sei K j := H 1Hj der Stabilisator von H j unter dieser Operation. Nach Lemma 2 von 2.1 gilt: K j = H 1 H j j = 1,..., s, 5

insbesondere: K j H j für j 1. Weiters ist K j = p l für ein l N, l m, denn K j ist als Schnitt zweier Untergruppen selbst eine Untergruppe und dessen Ordnung teilt die Ordnung der geschnittenen Untergruppen. Aus Folgerung 1 zu Satz 1 ergibt sich (für j 1): Somit (H 1 H 1 H 1 1 = H 1 ): s = H = H 1 (H j ) = H 1 K j = pm p l = α j p, α j N. r H 1 (H j ) = H 1 (H 1 ) + j=1 r H 1 (H j ) = 1 + j=2 r α j p 1 mod p. O.E.d.A. sei H = r j=1 H 1(H j ). Dies beweist den 1. Teil von 3.. Weiters operiere nun ganz G auf H durch Konjugation. Damit ist die Behauptung jede p-sylowuntergruppe ist konjugiert zu einer weiteren p-sylowuntergruppe äquivalent zu G operiert transitiv auf H. Um letzteres zu zeigen schließe wie folgt: Jeder G-Orbit besteht aus verschiedenen H 1 -Orbits, denn H 1 (H j ) G(H j ). Klar: H 1 G(H 1 ) (H 1 = eh 1 e 1 = e H 1 G(H 1 )) und G(H 1 ) 1 mod p (*) nach dem bereits bewiesenen Teil von 3.. Sei nun H r G(H 1 ). Lasse nun H r in bewährter Weise auf H operieren. Jetzt ist G(H 1 ) partitioniert in H r -Orbits und deren Mächtigkeit ist jeweils 0 mod p (da eben H r nicht dabei). Somit ist G(H 1 ) 0 mod p im Widerspruch zu (*). Somit G(H 1 ) = H, woraus 2. folgt. Die Mächtigkeit der Orbits ist ein Teiler der Gruppenordnung (vgl. Folgerung 1 von Satz 1 aus Kapitel 1). Damit s kp m, aber da p s folgt s k. Also ist auch 3. vollständig bewiesen. j=2 3 Gruppen der Ordnung 12 3.1 Vorbereitungen In diesem Abschnitt sollen einige, für die Klassifikation von Gruppen wichtige Ergebnisse hergeleitet werden. Hilfssatz 2. Nach elementarer Gruppentheorie gilt: 1. Es gibt bis auf Isomorphie genau eine Gruppe der Ordnung 3, nämlich Z 3. 2. Es gibt bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen der Ordnung 4, nämlich Z 4 und Z 2 Z 2 (Klein sche Vierergruppe V 4 ). 3. A 4 ist die einzige Untergruppe von S 4 mit Ordnung 12. Beweis. ad (1): Sei G eine Gruppe der Ordnung 3 und a G. Dann hat a - die von a zyklisch erzeugte Untergruppe - eine Ordnung, die die Ordnung von G teilt, also a {1, 3}. Damit hat jedes Element von G - außer dem neutralen Element - Ordnung 3. ad (2): Sei nun G eine Gruppe der Ordnung 4. Wiederum folgt nach dem Satz von Lagrange, daß die Elemente von G entweder Ordnung 2 oder Ordnung 4 haben. Gibt 6

es ein Element a der Ordnung 4, dann ist G = a und somit G = Z 4. Gibt es kein Element der Ordnung 4, dann haben alle Elemente (außer e) Ordnung 2, d.h. (G = {e, a, b, c}): a 2 = b 2 = c 2 = e. Wie sieht die Gruppentabelle aus? ab = e führt auf ab 2 = b a = b Widerspruch! ab = a Widerspruch! Somit muß gelten ab = c und daraus folgt ba = c, ac = b = ca, bc = a = cb und G = Z 2 Z 2. Insbesondere sind beide Gruppen abelsch. e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e ad (3): Sei H S 4, H = 12 und σ S 4 ein Dreierzykel (o(σ) = 3); insbesondere ist σ A 4. H hat Index 2 und somit ist nach Lemma 3,wegen σ = σ 4 = (σ 2 ) 2, σ H. H enthält also alle Dreierzykel. Diese erzeugen aber gerade die A 4. Es folgt H = A 4. Bemerkung. Ganz allgemein folgt aus dem Satz von Lagrange: Jede Gruppe von Primzahlordnung ist zyklisch (modifiziere dazu den Beweis geringfügig). Hilfssatz 3. Sei H eine Untergruppe von G, dann ist Φ H : G S G/H ; a Φ H (a) mit Φ H (a)(bh) := abh, ein Gruppenhomomorphismus und ker(φ H ) ist der größte Normalteiler von G, der in H enthalten ist. Beweis. Die Abbildung ist wohldefiniert: Ist abh = ach, dann folgt bh = ch, somit ist Φ H (a) eine injektive Abbildung auf G/H und surjektiv, da Φ H (a)(a 1 bh) = bh. Folglich ist tatsächlich Φ H (a) S G/H. Die Homomorphismus Eigenschaft folgt mittels leichter Rechnung: Φ H (ab)(ch) = abch = a(bch) = Φ H (a) (Φ H (b)(ch)) = (Φ H (a) Φ H (b)) (ch). Somit ist ker(φ H ) G. Für ein a ker(φ H ) operiert also Φ H (a) als Identität, daher: ah = Φ H (a)(h) = H a H. ker(φ H ) ist also Normalteiler von G, der in H enthalten ist. Sei nun N G, N H und a N. Dann ist Φ H (a)(bh) = abh = ba H = bh aufgrund der Normalteiler eigenschaft (b 1 ab = a N H). Folglich ist N ker(φ H ), also ker(φ H ) ist der größte Normalteiler von G in H. Bemerkung. Es sei nochmals ausdrücklich darauf verwiesen, daß G/H im letzten Hilfssatz nur also Menge betrachtet wird! Im allgemeinen ist das Ojekt keine Gruppe! Folgerung 2. Sei p die kleinste Primzahl, die G teilt. Dann ist jede Untergruppe von G mit Index p normal. Beweis. Sei H ein Untergruppe von G mit [G : H] = p und r := H = G /p. Dann ist jeder Primteiler von r größer oder gleich p sodaß ( H, ([G : H] 1)!) = (r, (p 1)!) = 1. 7

Sei nun N = ker(φ H ). Dann ist N H und G/N = im(φ H ) S G/H ( im(φ H ) = [G : H]!), sodaß ( G / N ) [G : H]! = ( G / H )!. Folglich G / N = ( G / H ) ( H / N ) = [G : H] ( H / N ) [G : H]! = [G : H] ([G : H] 1)!, somit ( H / N ) ([G : H] 1)!. Aber H und ([G : H] 1)! haben keine gemeinsamen Faktoren, sodaß H / N = 1 und damit N = H. Damit folgt die Behauptung. Bemerkung. Der letzte Teil des Beweises liefert eigentlich folgende, in allgemeinerem Zusammenhang gültige Aussage: Sei H eine Untergruppe einer endlichen Gruppe G, sodaß ( H, ([G : H] 1)!) = 1. Dann ist H G. Nun noch ein Crash-Kurs in Semidirekten Produkten. Im folgenden wird allerdings auf die meisten Beweise verzichtet (vgl. späterer Vortrag dieses Seminars). Definition 4. N, H Gruppen, dann wird das (externe) direkte Produkt von N, H definiert als das kartesische Produkt N H mit der komponentenweisen Multiplikation, d.h.: (n, h) (n, h ) := (nn, hh ). Bezeichne im folgenden jetzt (X {N, H}) π X die Projektion auf die X-Komponente und analog i X die entsprechende Einbettung von X im kartesischen Produkt. Damit enthält N H folgende Normalteiler: Ñ = im(i N ) = ker(π H ) = N und H = ker(π N ) = H. Insbesondere gilt Ñ H = {(e, e)} = e N H und N H = Ñ H. Definition 5. Sei G Gruppe mit Untergruppen N, H, sodaß N H = {e} und NH = G. 1. Sind N und H beide Normalteiler von G, dann sagt man: G ist das interne direkte Produkt von N und H. 2. Ist N Normalteiler (aber nicht notwendigerweise H), dann spricht man von einem semidirekten Produkt von N und H. Was ist nun der Unterschied zwischen internen und und externen direkten Produkten. Dazu der folgende Satz: Satz 5. Ist G das interne direkte Produkt der Untergruppen N, H, so gilt: G = N H. Jetzt soll die Gruppenstruktur eines (internen) Semidirekten Produktes etwas näher untersucht werden. Dazu: Lemma 4. In einem (internen) Semidirekten Produkt G = NH läßt sich jedes Element g G eindeutig darstellen als g = n h mit n N und h H. 8

Beweis. Seien g = nh und g = n h zwei Darstellungen von g in G mit n, n N und h, h H. Dann gilt: nh = n h (n ) 1 n = h h 1. N H = e und folglich gilt (n ) 1 n = e und h h 1 = e und damit n = n, sowie h = h. Insbesondere läßt sich auch das Element (n 1 h 1 ) (n 2 h 2 ) eindeutig in der obigen Form nh darstellen. Aber man beachte, daß N, H Untergruppen ein und derselben Gruppe G sind, ist die Produktbildung nh definiert und bekannt. (n 1 h 1 ) (n 2 h 2 ) = n 1 h 1 n 2 h 2 = n 1 h 1 n 2 h 1 1 h 1h 2 = n 1 i h1 (n 2 )h 1 h 2. Dabei bezeichne i h1 die Konjugation mit dem Element h 1. Diese liefert tatsächlich ein Element in N, da N nach Vorraussetzung normal in G ist. Insbesondere erhält man mit den Monomorphismen G N H; n (n, 1) und G N H; h (1, h) auf N H eine Gruppenstruktur durch: (n 1, h 1 ) (n 2, h 2 ) := (n 1 i h1 (n 2 ), h 1 h 2 ). Bei der Konjugation handelt es sich um einen (inneren) Automorphismus. Es ist naheliegend eine analoge Gruppenstruktur auf N H vermöge beliebiger Automorphismen auf N zu definieren, d.h.: Ist ϕ : H Aut(N) ein Homomorphismus, dann wird N H mit (n 1, h 1 ) (n 2, h 2 ) := (n 1 ϕ(h 1 )(n 2 ), h 1 h 2 ) zu einer Gruppe - dem sogenannten externen semidirekten Produkt N ϕ H. Man beachte: In diesem letzten Fall brauchen N, H nicht Untergruppen ein und derselben Gruppe zu sein. Vielmehr stehen die beiden Gruppen im allgemeinsten Fall nur über ϕ in Verbindung! Ganz analog zum direkten Produkt sind im Falle, daß N, H allerdings Untergruppen von G sind die beiden semidirekten Produkte isomorph und ϕ muß ein innerer Automorphismus sein. Das Inverse Element ist gegeben durch: (n, h) 1 = (ϕ(h 1 )(n 1 ), h 1 ). Bemerkung. Mengentheoretisch sind also direkte und semidirekte Produkte nichts anderes als ein kartesisches Produkt - allein die Gruppenstruktur kann sich unterscheiden. Der 2. Isomorphiesatz liefert in dieser Situation: H = H/(H N) = (HN)/N = (NH)/H = G/N. Das heißt aber: H ist durch G und N bereits eindeutig bestimmt! Kann man nun zu gegebenen Gruppen N, H alle Gruppen G bestimmen derart, daß G semidirektes Produkt von Ñ = N und H = H. Definition 6. Seien N, H Gruppen. Eine Erweiterung von N durch H ist eine Gurppe G mit den Eigenschaften: (i) N G; (ii) G/N = H. 9

Diese Erweiterungseigenschaft ist auch formulierbar durch: Die Folge {e} = 1 N ϕ G π H 1 = {e} ist exakt, d.h. π ist surjektiv, ϕ injektiv und ker(π) = im(ϕ). Nach dem 1. Isomorphiesatz folgt: G/N = H und N G. Definition 7. Die Erweiterung G von N durch H heißt split, wenn es einen Homomorphismus α : H G gibt, mit π α = 1 H. Dann heißt die Folge auch split-exakt. Satz 6. G ist das semidirekte Produkt von N und H genau dann, wenn G eine splite Erweiterung von N durch H ist. Satz 7. Mit obigen Definitionen gilt: 1. G = N ϕ H ist Gruppe. 2. H ist eine Untergruppe von G und N G. 3. G ist splite Erweiterung von N durch H. 4. hnh 1 = ϕ(h)(n) für alle h H G und n N G. Bemerkung. Wir erhalten alle semidirekten Produkte durch die Konstruktion von vorher. Angenommen G = NH semidirektes Produkt, definiere: ϕ : H Aut(N); ϕ(h)(n) := hnh 1. Damit ist Φ : G N ϕ H; nh (n, h) Isomorphismus. 3.2 Klassifikation der Gruppen mit Ordnung 12 Die Klassifikation stützt sich im wesentlichen auf die Sylow-Sätze, aus welchen der folgende Satz folgt: Satz 8. Sei G eine Gruppe der Ordnung p 2 q, wobei p und q zwei verschiedene Primzahlen darstellen. Dann ist G das semidirekte Produkt einer p-sylowuntergruppe H und einer q-sylowuntergruppe K. Beweis. Betrachte die Fälle p > q und q > p: (1) p > q: In diesem Fall ist H G nach Folgerung 2 zu Hilfsatz 3, denn q ist die kleinste Primzahl, die G teilt, und damit ist jede Untergruppe von G mit Index q auch Normalteiler von G. (2) q > p: Nach dem 3. Sylow schen Satz gilt: Die Anzahl der Untergruppen der Ordnung q ist kongruent 1 modulo q und ein Faktor von p 2, d.h. : {Untergruppen der Ordnung q} = {H G; H = q} = 1 + kq für ein k 0 und es gilt: 1 + kq p 2. Da q > p ist, sind nur die Fälle k = 0 und 1 + kq = p 2 möglich! (a) k = 0: {H G; H = q} = 1 und, da nach Bemerkung 10

(b) zum 2. Sylow schen Satz alle q-sylowuntergruppen konjugiert sind, folgt: K G. (b) 1 + kq = p 2 : Daraus folgt zunächst kq = p 2 1 und weiters q (p 1)(p + 1) also, weil q > p, q p + 1. Dafür bleibt (wenn man den nichtbenötigten Fall q = 1 wegläßt): q = p + 1. Letzteres ist allerdings nur für p = 2, q = 3 möglich, da sonst keine zwei Primzahlen aufeinanderfolgen. Sei jetzt also K eine 3-Sylowuntergruppe von G mit G = 12. Ist K nicht normal in G, dann ist {3 Sylowuntergruppen von G} = 2 2 = 4 (4 1 mod 3 und Teiler von 4). Seien diese mit K 1, K 2, K 3, K 4 bezeichnet. Dann liefert K 1 K 2 K 3 K 4 G neun unterschiedliche Elemente von G (e K i i und aufgrund der (Zyklizität von) Primzahlordnung ( 3 ) sind die Mengen ansonsten disjunkt). Die restlichen Elemente bilden dann eine (einzige) 2-Sylowuntergruppe H von G (Beachte: Alle Elemente von K i haben Ordnung 1 oder 2). Damit ist H wiederum nach dem 2. Sylow-Satz normal in G - also H G. Fazit: In jedem der auftretenden Fälle ist entweder H oder K Normalteiler in G. Weiters gilt: H K = {e} und HK = G denn: Angenommen es gäbe ein a H K, dann ist a K und a H woraus folgt, daß a H und a K und schließlich a {1, p, p 2 } {1, q} = {1}. Damit wäre a = e. Für die zweite Behauptung: HK = H K = 12, da H K = {e}. Insgesamt bedeutet dies also: G ist das (interne) semidirekte Produkt von H und K, wobei H eine p-sylowuntergruppe und K eine q-sylowuntergruppe ist. Satz 9. (Klassifikation). Sei G eine Gruppe der Ordnung 12, dann gilt: 1. Ist G abelsch, so ist G isomorph zu Z 12 oder Z 2 Z 6. 2. Ist G nicht abelsch, so ist G isomorph zu einer der folgenden Gruppen: A 4, D 12, T = Z 3 ϕ Z 4, wobei ϕ : Z 4 Aut (Z 3 ) = Z 2 der nichttriviale Homomorphismus ist. Beweis. (1) Sei also G abelsche Gruppe der Ordnung 12. Wissen: G ist das semidirekte Produkt einer 2-Sylowuntergruppe H der Ordnung H = 2 2 = 4 und einer 3-Sylowuntergruppe K mit K = 3. Da jede Untergruppe einer abelschen Gruppe normal ist, folgt, daß G inneres direktes Produkt von H und K ist. Damit wiederum: G = H K. Es gibt bis auf Isomorphie eine Gruppe der Ordnung 3 (Z 3 ) und zwei Gruppen der Ordnung 4 (Z 4 und V 4 = Z2 Z 2 (Klein sche Vierergruppe)). Somit gilt (vgl. Satz 3): { G = H K Z4 Z 3 = Z12 = V 4 Z 3 = Z2 Z 2 Z 3 = Z2 Z 6 (2) Sei nun G nicht-abelsch. Dann ist genau eine der Gruppen H, K normal in G! Fallunterscheidung: 11

Fall 1: Sei H G, dann gilt K G und [G : K] = 4, die Anzahl von Linksnebenklassen von K in G ist also vier. Folglich existiert nach Hilfssatz 3 eine Permutationsdarstellung von G in S 4, d.h. ein Gruppenhomomorphismus Φ K : G S 4. Der Kern des Homomorphismus ist der größte Normalteiler von G, der in K enthalten ist. K = 3, K hat also Primzahlgrad und, da K selbst nicht normal ist, kann nur gelten: ker(φ K ) = {e}, und weiters: G = im(φ K ) S 4. Das Bild des Gruppenhomomorphismus ist allerdings eine Untergruppe, also im(φ K ) S 4 und als Folge der Isomorphismus Eigenschaft im(φ K ) = G = 12. Die einzige Untergruppe der S 4 mit Ordnung 12 ist aber die A 4 (vgl. Hilfssatz 2, (3)): G = A 4. Fall 2: Sei jetzt K G und H = Z 4 (K = Z 3 ). Damit ist G = Z 3 ϕ Z 4, wobei ϕ : H Aut(K) nichttrivialer Homomorphismus ist. Der triviale Homomorphismus liefert eine abelsche Gruppe. K = a ist als Gruppe der Ordnung 3 zyklisch und folglich sind die Automorphismen durch das Bild eines Erzeugers bestimmt. Da gibt es für einen nichttrivialen Homomorphismus nur die Möglichkeit a a 1. Genauer: H = σ ϕ(σ)(a) = a 1. Fall 3: Es gelte nun K G und H = V 4 = Z2 Z 2. Sei K = a und ϕ : H Aut(K) = Z 2 ein Konjugationshomomorphismus (h i h definiert durch i h (a) = hah 1 ); vgl. auch Bemerkung bei semidirekten Produkten. Also ist H = ker(ϕ) Z 2. Sei c so, daß ker(ϕ) = c und sei d H mit ϕ(d) id K. Dann folgt: c 1 ac = a. Somit vertauschen also a und c. Weiters ist d 1 ad = a 1 = a 2. Definiere b := ac. b hat Ordnung 6, d b und d 1 bd = d 1 acd = d 1 acdc 1 c = d 1 adc = d 1 adc = (ac) 1 = b 1. (beachte c ker(ϕ)). Somit erhält man eine Gruppe mit zwei Erzeugern b, d mit Ordnungen 6 bzw. 2, wobei d 1 bd = b 1 und damit G = D 2 6 = D 12. Genaueres Nachrechnen liefert mit A := a und B := b, daß G = AB, B G (da [G : B] = 2) und A G, denn: b 2 d(b 2 ) 1 = b 4 d A. Somit ist G das semidirekte Produkt aus A und B mit Homomorphismus ψ : A Aut(B); d ψ(d), ψ(d)(b) := dbd 1 = b 1. Insbesondere ist dieses semidirekte Produkt also isomorph zu Z 2 Z 6. Anmerkung: ϕ Homomorphismus und daher auf alle Fälle ϕ(e) = e. H = V 4 = {id, A, B, C = AB} mit A 2 = e, B 2 = e, C 2 = e. Da ϕ nichttrivial, o.e.d.a. ϕ(a) = i A id und ϕ(a)(a) = AaA 1 = a 1. Ist ϕ(b) = i A so folgt AB ker(ϕ) und ist ϕ(b) = id, so ist ϕ(c) = ϕ(a). Insgesamt ist ker(ϕ) ist isomorph zu Z 2. 12

4 Anhang: Gruppen der Ordnung 15 (bis auf Isomorphie) Ordnung Abelsche Gruppen Nicht-Abelsche Gruppen Gesamtzahl 1 {e} 1 2 Z 2 1 3 Z 3 1 4 Z 4 2 Z 2 Z 2 5 Z 5 1 6 Z 6 S 3 2 7 Z 7 1 8 Z 8 Q 5 Z 4 Z 2 D 8 Z 2 Z 2 Z 2 9 Z 9 2 Z 3 Z 3 10 Z 10 D 10 2 11 Z 11 1 12 Z 12 A 4 5 Z 2 Z 6 D 12 Z 3 ϕ Z 4 13 Z 13 1 14 Z 14 D 14 2 15 Z 15 Bemerkung. Q bezeichnet hier die Quaternionengruppe und ϕ sei der nichttriviale Homorphismus von Z 4 in die Aut(Z 3 ). 13