Dr. A. Caspar ETH Zürich, Febbruar 2017 Prof. N. Hungerbühler HST, Lehrdiplom D-MATH Prüfung zur Vorlesung Mathematik III Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle Total Total Max 1 25 2 15 3 20 Total 60 Vollständigkeit Bitte wenden!
Wichtige Hinweise zur Prüfung Prüfungsdauer: 2 Stunden. Erlaubte Hilfsmittel: 20 A4-Seiten ( = 10 Bl.) eigene Notizen, am PC geschrieben oder von Hand, d.h. eine selbst verfasste oder zu einem guten Teil selber ergänzte bestehende Formelsammlung. Taschenrechner sind nicht erlaubt. Bitte beachten Sie folgende Punkte: Tragen Sie jetzt Ihren Namen in das Deckblatt ein und geben Sie es am Ende der Prüfung als vorderstes Blatt Ihrer Arbeit ab. Legen Sie Ihre Legi offen auf den Tisch. Beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt. Begründen Sie Ihre Lösungen. Dabei können Sie bekannte Formeln aus der Vorlesung und den Übungen ohne Herleitung verwenden. Schreiben Sie nicht mit Bleistift und nicht mit roter oder grüner Farbe. Die Reihenfolge der Bearbeitung der Aufgaben ist Ihnen freigestellt. Ordnen Sie jedoch am Ende der Prüfung die Aufgaben für die Abgabe. Verweilen Sie nicht zu lange bei einer Aufgabe, die Ihnen Schwierigkeiten bereitet. Versuchen Sie einfach Ihr Bestes! Bei einer Multiple-Choice-Aufgabe (MC-Aufgabe) sind jeweils 4 Aussagen/Antworten angegeben, davon sind jeweils genau 2 korrekt. Eine MC-Aufgabe ist genau dann korrekt gelöst, wenn Sie die 2 korrekten Antworten mit richtig und die 2 inkorrekten mit falsch kennzeichnen. Sie müssen also bei jeder MC- Aufgabe genau 4 Kreuze setzen und jedes muss jeweils an der richtigen Stelle sein. Zum Beispiel ist folgende MC-Aufgabe nur mit diesen 4 Kreuzen korrekt gelöst. richtig falsch Hier steht eine korrekte Aussage/Antwort. Hier steht eine korrekte Aussage/Antwort. Hier steht eine inkorrekte Aussage/Antwort. Hier steht eine inkorrekte Aussage/Antwort. Bei den MC-Aufgaben werden nur die Antworten auf den Aufgabenblättern bewertet. Die Antworten in den MC-Aufgaben müssen Sie nicht begründen. Viel Erfolg! Siehe nächstes Blatt!
Aufgaben 1. (25 Punkte) Seien a, b, c, d reelle Zahlen mit 0 < a, b, c, d, e < 1 und seien y(t) = y 1(t) y 2 (t), y (t) = y 1(t) y 2(t) und A = a e 0 0 a c b M 3 3. y 3 (t) y 3(t) e c b d Das lineare DGL-System y (t) = A y(t), t 0, beschreibe die Entwicklung in den Kompartimenten K 1, K 2, K 3 : K 1 K 2 K 3 a) Zeichnen Sie oben die Pfeile in das Kompartimentsystem und beschriften sie diese mit a, b, c, d, e. Achten Sie dabei auf die Pfeilrichtung! Hinweis: Es gibt Austausch und Abbau. b) In welchen der vier folgenden Fällen existiert ein nichttrivialer stationärer Zustand des Systems y (t) = A y(t), t 0, das heisst, eine von Null verschiedene Lösungsfunktion {t y (t)}, welche nicht von t abhängt. Existiert Existiert Nicht Für 0 < a, b, c, e < 1 und d = 0. Für 0 < b, c, d, e < 1 und a = 0. Für 0 < a, b, c, d < 1 und e = 0. Für 0 < a, b, d, e < 1 und c = 0. c) Seien a = 1 3, b = 2 3, c = 1, d = 0 und e = 0. 3 Gegeben sei eine Basis des Lösungsraumes L A des Systems y (t) = A y(t), t 0, 0 x 0 t eλ1 t 2, t e 1 3 t y, t e λ3 t 1 1 z 1 Bestimmen Sie die Zahlen λ 1, λ 3 und finden Sie geeignete Koordinaten x, y, z. d) Die Entwicklung mit den Zahlen aus Teil c) unterliege nun konstanten äusseren Einflüssen. Sie wird damit durch y (t) = A y(t) + g(t) mit g(t) = beschrieben. Die Einträge P, Q, R sind beliebige reelle Zahlen. P Q R Zeigen Sie, dass es genau dann beliebig viele stationäre Zustände dieser Entwicklung gibt, wenn P + Q + R = 0 gilt. Bitte wenden!
2. (15 Punkte) Die Funktion f sei gegeben durch f(x) = px 2 + qx + r für 1 x 1 mit p, q und r reelle Koeffizienten. Weiterhin sei F (x) = a 0 2 + a n cos(nπx) + b n sin(nπx) n=1 die Fourier-Reihe zur Funktion, die aus f durch 2-periodische Fortsetzung entsteht. a) Bestimmen Sie die Koeffizienten p, q und r so, dass f nicht konstant ist und alle a n gleich Null sind. Bestimmen Sie die Koeffizienten p, q und r so, dass f nicht konstant ist und alle b n gleich Null sind. b) Wählen Sie p = 2, q = 0 und r = 1. Bestimmen Sie damit die Koeffizienten a n und b n. c) Bestimmen Sie die komplexen Fourier-Koeffizienten mit Hilfe des Aufgabenteils b) und geben Sie damit die komplexe Darstellung der Fourier-Reihe an. n=1 Siehe nächstes Blatt!
3. (20 Punkte) Wir suchen eine stationäre Temperaturverteilung u(x, y) auf dem Quadrat Q mit Ecken (0, 0), (π, 0), (0, π), (π, π) (siehe Figur). Drei Seiten von Q werden auf der Temperatur 0 gehalten, auf der vierten Seite gelte u(π, y) = sin(4y) (siehe Figur). Die gesuchte Funktion u erfüllt also y u(x, y) = 0 auf Q π u(x, π) = 0 u(0, y) = 0 für 0 < y < π u(x, 0) = 0 u(x, π) = 0 für 0 < x < π für 0 < x < π u(0, y) = 0 Q u(π, y) = sin(4y) u(π, y) = sin(4y) für 0 < y < π x u(x, 0) = 0 π a) Machen Sie einen Separationsansatz u(x, y) = X(x)Y (y) und bestimmen Sie die Differentialgleichungen für die Funktionen X und Y. Hinweis: Achten Sie darauf, das Vorzeichen der Konstante so zu wählen, dass für Y periodische Lösungen auftreten. b) Finden Sie alle Lösungen der Differentialgleichung für Y unter Beachtung der Randbedingungen Y (0) = Y (π) = 0. c) Finden Sie alle Lösungen der Differentialgleichung für X unter Beachtung der Randbedingung X(0) = 0. d) Bestimmen Sie durch Superposition der gefundenen Lösungen die gesuchte Funktion u(x, y). e) In welchen Punkten von Q nimmt die Lösung ihr Maximum an? (Begründung!)