Ialtsübrsict Kapitl 7: Di Plict: Dirtialrcu Grzwrt ud Sttikit Nullstll sttir Fuktio Uitlic Grzwrt Di Ablitu Di omtrisc Bdutu dr Ablitu Di Ablitu als Gscwidikit Ai Näru Brcu dr Ablitu Notiz zur Vorlsu Matmatik ür Matrialwissscatlr I 1
Grzwrt ud Sttikit Lims = Grzwrt, ac röm. Bstiusala Notiz zur Vorlsu Matmatik ür Matrialwissscatlr I
Grzwrt ud Sttikit Das Symbol bzict d Lims dr rll Fuktio ür d Grzübra dr Variabl a. Dabi ka a sowol i rll Zal si als auc ir dr Wrt ud ; i jdm Fall muss a jdoc im Abscluss ds Diitiosbrics vo li. Auc ür d Grzwrt slbst komm b rll Zal auc ud i Fra. Dmtsprcd ibt s mrr Diitiosvariat ds Limsbris: Diitio: Di Fuktio at ür mit d Lims b, w s zu jdm oc so kli > i im Allmi vo abäis d > ibt, sodass ür blibi -Wrt aus dm Diitiosbric vo, di dr Bdiu - a < d ü, auc - b < ilt. Qualitativ ausdrückt bdutt dis: Dr Utrscid zwisc dm Fuktioswrt ud dm Lims b ka blibi kli mact wrd, w ma üd a bi a wält. Bispil: 1 1 1 1 1 Diitioslück abr : ür 1 : 1 Notiz zur Vorlsu Matmatik ür Matrialwissscatlr I 3
Notiz zur Vorlsu Matmatik ür Matrialwissscatlr I 4 Si. Da lt old Bziu: Grzwrt ud Sttikit b a ud b a ab b alls / / / b a also auc ist da w b a Wicti Grzwrt sid:
Grzwrt ud Sttikit Dr Lims rlaubt di Diitio dr Sttikit, di Id dr Sttikit ka wi olt bscrib wrd: Ei rllwrti Fuktio au im rll Itrvall ist stti, w dr Grap dr Fuktio o Abstz ds Stits zict wrd ka. Di Fuktio dar isbsodr ki Sprustll ab. Dis Aussa ist ki Diitio, wil uklar ist, was utr i im Zu zic au zu vrst ist, bispilswis bi ir Kurv, di au im dlic Itrvall i udlic Lä at. Trotzdm tsprict si uär dr Bdutu dr Sttikit ud ist dar ür di Ascauu sr ützlic. Rll Fuktio zic sic dadurc aus, dass ir Diitiosbric D ud ir Zilbric Tilm dr rll Zal sid. Für solc Fuktio ist di Sttikit vo i im Pukt ds Diitiosbrics oldrmaß diirt: Äquivalt dazu ist di old Diitio: Ei Fuktio ißt stti, w si a jdr Stll irs Diitiosbrics stti ist. Z. B. ist di Sium-Fuktio: a jdr Stll stti, abr ict issamt stti, da si a dr Stll ustti ist: Dr likssiti Grzwrt ist -1, dr rctssiti Grzwrt ist +1 ud somit istirt dr Grzwrt ict. Notiz zur Vorlsu Matmatik ür Matrialwissscatlr I 5
Nullstll sttir Fuktio Zwiscwrtsatz: I dr rll Aalysis ist dr Zwiscwrtsatz i wictir Satz übr di Eistz vo Nullstll sttir Fuktio. Er sat aus, dass i rll Fuktio, di au im abscloss Itrvall [a,b] stti ist, jd Wrt zwisc a ud b aimmt. Hab isbsodr a ud b vrscid Vorzic, so aratirt dr Zwiscwrtsatz di Eistz ir Nullstll vo im o Itrvall a,b. Zwiscwrtsatz: Es si i i stti rll Fuktio, di au im Itrvall diirt ist. Da istirt zu jdm mit u = v. Notiz zur Vorlsu Matmatik ür Matrialwissscatlr I 6
Nullstll sttir Fuktio Bwis ds Zwiscwrtsatzs: Es si Di Fuktio ist stti au [a,b] ud s ilt a < b; zusätzlic ab wir ud Nu müss wir ur i Pukt mit u = id, d da ist u = v. Wir kostruir dazu i Itrvallscactlu mit Falls ist, sid wir rti mit dr Wal. Adralls ilt ac dm Itrvallscactlusprizip ür i Zal ud wir woll u = zi. Nac dr Kostruktio dr Itrvallscactlu ist ud Aus dr Sttikit vo im Pukt u olt ud W ür all ilt auc, ud w olt aalo Damit ist u = bwis. Notiz zur Vorlsu Matmatik ür Matrialwissscatlr I 7
Nullstll sttir Fuktio Das Bisktiosvrar ist i Aloritmus, dr d Zwiscwrtsatz zur Nullstllidu ausutzt ka: 1. Stz l=a ud r=b.. Tst, ob [l,r] i Nullstll tält. W ict: Abbruc. 3. Tst, ob ist. W ja, ab wir usr Itrvall ud! 4. Sost til [l,r] i dr Mitt ud stz das Vrar mit bid Tilitrvall rkursiv bi. ort. Notiz zur Vorlsu Matmatik ür Matrialwissscatlr I 8
Uitlic Grzwrt Opratio mit udlic würd i Matmatikr so ict mac: Notiz zur Vorlsu Matmatik ür Matrialwissscatlr I 9
Di Ablitu Ei Fuktio, di i os Itrvall U au di rll Zal abbildt a dr Stll, alls dr Grzwrt, ißt dirzirbar mit = - istirt. Disr Grzwrt ißt Dirtialquotit odr Ablitu vo ac a dr Stll ud wird als odr odr otirt. Di Trm d ud dy iß Dirtial. Si stll iiitsimal kli Zalwrt dar vl. Eilitu. I mac Awdu Kttrl, Itratio macr Dirtiallicu, Itratio durc Substitutio rct ma mit i ast wi mit "ormal" Variabl. Ei Dirtial ist auc Til dr üblic Notatio ür Itral. Di Notatio ir Ablitu als Quotit zwir Dirtial wurd vo Libiz iürt. Nwto butzt i Pukt übr dr abzulitd Größ, was i dr Pysik ür Zitablitu bis ut üblic blib ist. Di Notatio mit Apostrop ' t au Lara zurück, dr si 1797 i sim Buc Téori ds octios aalytiqus iürt. Notiz zur Vorlsu Matmatik ür Matrialwissscatlr I 1
Di Ablitu Lara wird als Giuspp Luii Laraia i Turi bor. Si Vatr war i wolsituirtr Bamtr, abr durc Spkulatio rlitt di Famili rblic iazill Vrlust. Lara bsuct das Turir Koll, wo r mit 17 das rst matmatisc Itrss zit, acdm r zuälli i Vrötlicu Edmud Hallys übr rst Prizipi stiß. Si Vatr wollt, dass r Awalt wird, abr i dr Scul itrssirt sic Lara sclißlic mr ür Matmatik, spzill di Gomtri. Er bract sic iralb is Jars das samt Wiss is vollausbildt Matmatikrs sir Zit bi. Mit 19 Jar rält r i Lrstul ür Matmatik a dr Köilic Artillriscul i Turi. I Turi vrötlict r si rst wissscatlic Arbit übr Dirtiallicu ud Variatiosrcu. 1757 ört r zu d Grüdr Turir Akadmi. Dm Ru Fridric II. vo Pruß old t r 1766 ac Brli als Dirktor dr Brlir Akadmi ud Nacolr vo Loard Eulr. Hir bscätit r sic mit Problm dr Astroomi, abr auc mit partill Dirtiallicu sowi Fra aus Gomtri ud Albra. Nac dm Tod Fridrics II. 1786 t r 1787 ac Paris als Psioär dr Akadmi sc. Nac ir Pas dr Dprssio rscit 1788 ir si bkats Wrk übr tortisc Pysik Mécaiqu aalytiqu, i witr Vrötlicu badlt das Drikörprproblm dr Himmlsmcaik. Ab 1795 lrt r ür kurz Zit a dr Écol Normal Supériur ud tritt i das u rüdt Istitut d Frac i. Ab 1797 ist r Mitlid dr Écol Polytciqu. Mit Auusti Louis Caucy arbitt r au dm Gbit dr Aalysis. Utr Napolo wurd r zum Gra ud Sator vo Frakric rat. Er ist im Pato aubart. Notiz zur Vorlsu Matmatik ür Matrialwissscatlr I 11
Notiz zur Vorlsu Matmatik ür Matrialwissscatlr I 1 Di Ablitu Bispil: 1 also 1 1 1 1 1 1 1 1 1............ 1 also
Di Ablitu Di Ablitu dr Fuktio a dr Stll, bzict mit ', bscribt lokal das Vralt dr Fuktio i dr Umbu dr btractt Stll. Nu wird im Allmi ict di izi Stll si, a dr dirzirbar ist. Ma ka dar vrsuc, jdr Zal aus dm Diitiosbric vo di Ablitu a disr Stll also ' zuzuord. Au dis Wis rält ma i u Fuktio ', dr Diitiosbric i Tilm ds Diitiosbrics vo ist. ' ißt di Ablitusuktio odr kurz di Ablitu vo. Bispilswis at di Quadratuktio : a ir blibi Stll di Ablitu ' =. Dar ist di zuöri Ablitusuktio ' b durc ': =. Di Ablitusuktio ist im Normalall i adr als di ursprülic, izi Ausam ist di Epotialuktio ud ir Vilac ud atürlic di Fuktio, di jdm Wrt zuordt. Notiz zur Vorlsu Matmatik ür Matrialwissscatlr I 13
Gomtrisc Bdutu Ausaspukt ür di Diitio dr Ablitu ist di Näru dr Tatstiu durc i Skatstiu. Gsuct si di Stiu ir Fuktio i im Pukt. Ma brct zuäcst di Stiu dr Skat a übr im dlic Itrvall [, + D]: Skatstiu = Di Skatstiu ist also dr Quotit zwir Dirz; si wird dsalb auc Dirzquotit at. Mit dr Kurzotatio y ür ka ma di Skatstiu abkürzt als Dy D scrib. Um i Tatstiu im at Awdusbispil also i Momtascwidikit zu brc, muss ma di bid Pukt, durc di di Skat zo wird, immr witr aiadr rück. Dabi sowol D als auc Dy Null. Dr Quotit Dy / D blibt abr im Normalall dlic. Notiz zur Vorlsu Matmatik ür Matrialwissscatlr I 14
Di Ablitu als Gscwidikit Di Diitio dr Gscwidikit als Zitablitu ds Orts lässt sic i dri Scritt acvollzi. 1. Gsamtdurcscittsscwidikit:. Durcscittsscwidikit i im bstimmt Abscitt: 3. Momtascwidikit = dirtill Abscittsscwidikit: Ei Strck ist immr rictusbatt ud dar i Vktor. Aus dism Grud ist auc di Gscwidikit i vktorill Größ. Im Elisc wird dar bsodrs utr Matmatikr ltlic zwisc vlocity vktorill Gscwidikit ud spd Btra dr Gscwidikit utrscid. Ist di Positiosvrädru s als Fuktio dr Zit t i dr Form s = st b, ribt sic di Gscwidikit als Fuktio dr Zit durc Dirzir disr Fuktio: Di zitlic Ädru dr Gscwidikit ist da di Bscluiu, di balls i Vktor ist: Notiz zur Vorlsu Matmatik ür Matrialwissscatlr I 15
Notiz zur Vorlsu Matmatik ür Matrialwissscatlr I 16 Ai: vo "aiis" lat. vrwadt Ai Näru Di ai Näru a i Pukt ir Fuktio ist di Glicu dr Tat, di i dm Pukt alit. Es si i dirzirbar ud damit ist i stti Also: ist balls stti ud läßt sic umorm zu: t t mit t wird ai Näru at ud ist di Tatlicu. Si ist di bst Näru ür di Fuktio vo all d Grad, di durc lau. D.. si kovrirt am scllst ud lirt i bssr Näru! Dar wrd sr äui i dr Pysik, Matrialwissscat, Elktrotcik, Bioloi... Näru durc Tat durcürt. Ei Tat ist übr di Ablitu auc äußrst iac zu bstimm.
Brcu dr Ablitu Ablitusrl Ablitu zusammstztr Fuktio z. B. si odr si ut au di Dirtiatio lmtarr Fuktio zurück. ürt ma mit Hil vo Ablitusrl Mit d old Rl ka ma di Ablitu zusammstztr Fuktio au Ablitu iacrr Fuktio zurückür. Si, ud im Diitiosbric dirzirbar, rll Fuktio, ud a rll Zal, da ilt: Notiz zur Vorlsu Matmatik ür Matrialwissscatlr I 17
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Notiz zur Vorlsu Matmatik ür Matrialwissscatlr I 19 Brcu dr Ablitu Bwis dr Produktrl: Si Vorausstzu: Bauptu: Bwis: q..d. :,