Homöomorphismen und Überlagerungen

Technische Universität Dortmund Fachbereich Mathematik Institut für Differentialgeometrie Homöomorphismen und Überlagerungen Schriftliche Ausarbeitung im Differentialgeometrie-Seminar von Sebastian Bühren geboren am 18. Juni 1986 in Hagen 22. Juli 2011 Betreuer: Prof. Dr. Lorenz Schwachhöfer

Inhaltsverzeichnis 1 Wiederholung 1 1.1 Überlagerungen................................ 1 1.2 Hebungen und Hebungseigenschaft von Wegen............... 4 2 Hauptteil 6 2.1 Homotopien und Hebungen von Homotopien................ 6 2.2 Einfach zusammenhängende Mengen und Homöomorphismen....... 11 3 Ende 13 Abbildungsverzeichnis 1 Überlagerung (a) des Zylinders durch eine Ebene und (b) des Einheitskreises durch eine Helix............................ 2 2 k-fache Überlagerung des Einheitskreises durch sich selbst........ 4 3 Hebung eines Weges α aus der Bildmenge B in die Definitionsmenge B.. 5 4 Unterstützende Grafik zum Beweis von Satz 1.8.............. 6 5 Homotopie zwischen den Wegen α 0 und α 1... 7 6 Ausgangssituation für den Existenzbeweis der Hebung in Proposition 2.2 9 7 Hebung H der Homotopie H........................ 10 8 Beispiel einer (a) einfach zusammenhängenden Menge und (b) einer nicht einfach zusammenhängenden Menge (hier gehört die schraffierte Fläche nicht zur Ebene)............................... 11 9 Graphische Darstellung der Beweisidee von Proposition 2.5........ 12 2

Zusammenfassung Im letzten Vortrag wurde das Konzept der Überlagerung eingeführt und an Hand dreier Beispiele erläutert. In diesem Vortrag werden Kriterien hergeleitet und bewiesen, mit deren Hilfe man entscheiden kann, wann ein lokaler Homöomorphismus eine Überlagerung ist und unter welchen Bedingungen eine solche Überlagerung ein globaler Homöomorphismus ist. Dass eine Überlagerung immer auch ein lokaler Homöomorphismus ist, folgt automatisch aus deren Definition. Zu diesem Zweck werden Hebungen von Wegen aus einer Menge in eine andere und die Hebungseigenschaft von Wegen in Bezug auf stetige Abbildungen definiert. Zusätzlich wird es notwendig sein das Konzept der Homotopie einzuführen und zu betrachten, welche Eigenschaften eine Hebung einer Homotopie besitzt. Mit diesen lässt sich dann zeigen, dass die lokale Homöomorphismuseigenschaft einer Überlagerung unter bestimmten Bedingungen nicht nur eine lokale Eigenschaft ist, sondern eine globale. Nachdem in der Vortragsreihe zu Jacobifeldern und vollständigen Flächen S mit Gaußkrümmung K 0, hergeleitet wurde, dass die Exponentialabbildung exp p : T p S S, p S ein lokaler Homöomorphismus ist, dient der Inhalt dieses Vortrags der Beantwortung der Frage, wann die Exponentialabbildung exp p : T p S S, p S einer vollständigen Fläche S mit Gaußkrümmung K 0 auch ein globaler Diffeomorphismus ist. Diese Frage wird aber erst im nächsten Vortrag mit Hilfe des Satzes von Hadamard beantwortet werden können. 1 Wiederholung Zu Beginn des Vortrags sollen die wichtigsten Aussagen des letzten Vortrags wiederholt und zusammengefasst werden. 1.1 Überlagerungen Zentraler Begriff dieser Ausarbeitung ist das Konzept der Überlagerung, die wie folgt definiert ist. Definition. 1.1 Seien B und B Teilmengen des R 3. Man nennt die Abbildung π : eine Überlagerung, falls B B 1. π stetig und π( B) =B ist. 2. Jeder Punkt p B eine offene Umgebung U in B hat, genannt Überlagerungsumgebung von p, so dass π 1 (U) = α V α, (1.1) wobei die V α paarweise disjunkte offene Mengen sind, so dass die Einschränkung von π auf V α ein Homöomorphismus von V α nach U ist. B nennt man dann einen Überlagerungsraum von B. 1

Im vorherigen Vortrag wurde gezeigt, dass die zweidimensionale Ebene einen Zylinder überdeckt. Anschaulich wird die Ebene durch die Abbildungsvorschrift π : P S, π(u, v) = (cos u, sin u, v), wobei P R 3 eine Ebene und S der Zylinder, dessen Symmetrieachse parallel zur z-achse ist, unendlich oft um den Zylinder gewickelt (vgl. Abbildung 1 a)). Als weiteres Beispiel wurde die Helix angeführt, die mittels der Projektion π : H S 1,π(x, y, z) =(x, y, 0), wobei H eine Helix und S 1 der Einheitskreis ist, auf den Einheitskreis hinunterprojeziert wird (vgl. hierzu Abbildung 1 b)). An diesem Beispiel wurde aber auch deutlich, dass nicht jeder lokale Homöomorphismus automatisch eine Überlagerung ist. Hingegen ist per Definition jede Überlagerung ein lokaler Homöomorphismus. Abbildung 1: Überlagerung (a) des Zylinders durch eine Ebene und (b) des Einheitskreises durch eine Helix Auf Grundlage dieses Beispiels stellen sich nun zwei Fragen. 1. Unter welchen Bedingungen ist ein lokaler Homöomorphismus eine Überlagerung? 2. Und unter welchen Bedingungen ist eine Überlagerung ein globaler Homöomorphismus? Eine Antwort auf die erste Frage wurde ebenfalls bereits im letzten Vortrag in Form der Proposition 1.2 gegeben. Proposition. 1.2 Sei π : B B ein lokaler Homöomorphismus, B kompakt und B zusammenhängend. Dann ist π eine Überlagerung. Diese Porposition soll an dieser Stelle ohne Beweis angeführt werden, da dieser im letzten Vortrag erfolgte. Die Aussage dieser Proposition ist, dass jeder lokale Homöomorphismus, der von einer kompakten Menge in eine zusammenhängende Menge abbildet, eine Überlagerung ist. Das heißt, man muss für eine beliebige Abbildung π : B B nicht mehr jede einzelne Eigenschaft aus Defintion 1.1 überprüfen, sondern nur noch zeigen, dass die Definitionsmenge B der Abbildung π kompakt ist, die Bildmenge B zusammenhängend und die Abbildung selbst ein lokaler Homöomorphismus ist. Letzteres bedeutet, nach folgender 2

Definition. 1.3 Seien B, B zwei metrische Räume. Eine stetige Abbildung π : B B heißt lokaler Homöomorphismus, falls für jeden Punkt p B eine offene Umgebung U B von p existiert, sodass 1. π(u) B eine offene Umgebung von π( p) bildet 2. π U : U π(u) ein Homöomorphismus ist, dass für jeden Punkt p, der in der Definitionsmenge B enthalten ist, eine Umgebung Ũ, die selbst wieder ganz in der Definitionsmenge B enthalten ist, existiert, für die das Bild π(ũ) eine Umgebung vom Bild von p bildet und in der Bildmenge B enthalten ist. Zusätzlich wird gefordert, dass die Einschränkung der Abbildung π auf die Umgebung Ũ um jeden Punkt p B selbst ein Homöomorphismus ist. Die Abbildung π Ũ ist ein Homöomorphismus, genau dann, wenn 1. π Ũ ist bijektiv 2. π Ũ ist stetig 3. (π Ũ) 1 ist stetig. An dieser Stelle soll ein Beispiel die Vorteile von Propostion 1.2 gegenüber der Überprüfung von Definition 1.1 verdeutlichen. Beispiel. 1.4. Sei S 1 := {(x, y) R 2 x = cos t, y = sin t, t R} der Einheitskreis und definiere eine Abbildung π : S 1 S 1 durch π (cos t, sin t) = (cos kt, sin kt), mit k N. Anschaulich wird der Einheitskreis durch die Abbildung πk-mal durch sich selbst überlagert (vgl. Abbildung 2). Das heißt, durch die Abbildung wird die Durchlaufgeschwindigkeit um den Faktor k erhöht. Nun soll mit Hilfe von Proposition 1.2 gezeigt werden, dass diese Abbildung π eine Überlagerung des Einheitskreises durch den Einheitskreis selbst ist. Dazu muss zunächst gezeigt werden, dass S 1 kompakt und zusammenhängend ist. Da S 1 beschränkt und abgeschlossen ist, ist S 1 auch kompakt. Weil S 1 auch wegzusammenhängend ist, ist S 1 automatisch auch zusammenhängend, denn jede wegzusammenhängende Menge ist auch zusammenhängend. Bleibt also noch zu zeigen, dass für jeden Punkt p auf dem Einheitskreis eine Umgebung Ũ existiert, so dass π(ũ) auf eine Umgebung U von π( p) abgebildet wird und das die Einschränkung π Ũ ein lokaler Homöomorphismus ist. Da die Komponenten von π stetig sind, ist auch π selbst stetig. Sei p := (cos t 0, sin t 0 ) S 1 für ein t 0 [0, 2π). Dann definiere eine Umgebung Ũ um p durch Ũ := {(cos t, sin t) t (t 0 ɛ, t 0 + für ein R ɛ>0. Es folgt dann p Ũ S1. Für π(ũ) =: U gilt U = {(cos kt, sin kt) t (t 0 ɛ, t 0 + ɛ)}. 3

Abbildung 2: k-fache Überlagerung des Einheitskreises durch sich selbst und π( p) = (cos kt 0, sin kt 0 ) U. Also existiert für jeden Punkt p S 1 eine Umgebung Ũ S 1 die auf eine Umgebung U um π( p) abgebildet wird. Bleibt also noch zu zeigen, dass π Ũ ein lokaler Homöomorphismus ist. Fasst man π an dieser Stelle als eine Abbildung σ : R R auf, kann hierzu der Satz über inverse Funktionen genutzt werden. σ gehorcht dann der Abbildungsvorschrift σ(s) = arccos(sin(ks)) für s R und k N. σ ist differenzierbar und das Differential ist genau dann ein Isomorphismus, wenn die Determinante der Darstellungsmatrix ungleich null ist. In diesem Fall handelt es sich um folgende 1 1-Matrix (arccos(sin(ks))) 1 = 1 sin 2 (ks) cos(ks) k = cos(ks) cos(ks) k = k. Diese ist für k N für alle s R ungleich null. Also existiert nach dem Satz über inverse Funktionen für jeden Punkt p S 1 eine Umgebung Ũ und eine Umgebung U S1 von π( p), so dass π Ũ : Ũ U eine differenzierbare inverse Abbildung π 1 : U Ũ Ũ besitzt. Also ist π Ũ eine lokaler Homöomorphismus und π nach Proposition 1.2 eine Überlagerung des Einheitskreises S 1 durch sich selbst. 1.2 Hebungen und Hebungseigenschaft von Wegen Definition. 1.5 Seien B und B Teilmengen des R 3. Seien weiter π : B B eine stetige Abbildung und α :[0,l] B ein Weg in B. Existiert in B ein Weg α der Art α :[0,l] B, mit π α = α, heißt α Hebung von α mit Ursprung in α(0) B. 4

Eine Hebung α eines Weges α ist nach Definition 1.5 selbst auch ein Weg, allerdings in der Definitionsmenge einer stetigen Abbildung π : B B, wohingegen α Teilmenge der Bildmenge B ist. Vergleiche hierzu auch Abbildung 3. Der Ursprung in Definition 1.5 bezeichnet einen frei wählbaren Punkt p B, der, wenn er gewählt ist, den Ursprung der Hebung α festlegt, so dass α(0) = p gilt. Demnach lässt die Definition einer Hebung einen Freiheitsgrad zu, der den Startpunkt der Hebung α festlegt. Abbildung 3: Hebung eines Weges α aus der Bildmenge B in die Definitionsmenge B. Proposition. 1.6 Seien π : B B eine Überlagerung, α :[0,l] B ein Weg in B und p 0 B ein Punkt in B mit π( p 0 )=α(0) = p 0. Dann existiert eine eindeutige Hebung α :[0,l] B von α mit Ursprung in p 0 = α(0). Die letzte Proposition garantiert die Existenz einer Hebung α B eines Weges α B und deren Eindeutigkeit, wenn die Abbildung π : B B eine Überlagerung ist. Der Ursprung der Hebung α wird in diesem Fall als Urbild p := π 1 (α(0)) = π 1 (p 0 ) des Starpunktes des Weges α B gewählt. Ein Beweis von Proposition 1.6 wird an dieser Stelle nicht geführt. Mit der folgenden Definition kann Proposition 1.6 auch anders formuliert werden. Definition. 1.7 Seien B, B R und π : B B eine stetige Abbildung. π besitzt die Hebungseigenschaft für Wege, falls jeder Weg in B nach B gehoben werden kann. Das heißt zu jedem Weg α B existiert ein Weg α B mit π α = α. Mit Hilfe von Definition 1.7 kann Proposition 1.6 auch so formuliert werden: Seien B,B R 3. Wenn die Abbildung π : B B eine Überlagerung ist, dann besitzt π die Hebungseigenschaft für Wege. Jetzt folgt ein Satz, der sich in späteren Beweisen als nützlich erweisen wird. Satz. 1.8 Seien = B R 3,B R 3 wegzusammenhängend und π : B B stetig mit der Hebungseigenschaft für Wege. Dann ist π surjektiv. Beweis: Zu jedem Punkt p B existiert ein Bildpunkt π( p) =p unter der Abbildung π. Sei q ein weiterer Punkt in B. Da B wegzusammenhängend ist, existiert ein Weg α :[0,l] B mit α(0) = p und α(l) =q, der die Punkte p und q verbindet. π besitzt 5

Abbildung 4: Unterstützende Grafik zum Beweis von Satz 1.8 nach Voraussetzung die Hebungseigenschaft für Wege, so dass ein Weg α :[0,l] B existiert, für den π α = α gilt. Der Ursprung von α sei als α(0) := p gewählt. Dann existiert ein Punkt q := α(l) in B für den π ( α(l)) = α(l) =q folgt. Also besitzt jeder Punkt q B ein Urbild q := π 1 (q). 2 Hauptteil 2.1 Homotopien und Hebungen von Homotopien Um die zweite Frage aus der Einleitung positiv beantworten zu können, muss gesichert werden, dass die lokale Homöomorphismuseigenschaft einer Überlagerung auch eine globale Eigenschaft einer Überlagerung ist. Es muss also für die ganze Bildmenge der Überlagerung gleichzeitig eine stetige Umkehrabbildung zu der Überlagerung existieren und nicht nur für Umgebungen eines jeden Punktes der Bildmenge im Einzelnen. Um jenes zu gewährleisten, muss gezeigt werden, dass die Überlagerung bijektiv ist. Es wird also nach einer Bedingung gesucht, aus der für zwei Punkte aus der Definitionsmenge der Überlagerung, die den gleichen Bildpunkt haben, folgt, dass diese beiden Punkte bereits gleich sind und ein und denselben Punkt meinen. Dazu wird zunächst das Konzept der Homotopie eingeführt. Definition. 2.1 Seien B R 3 und α 0 :[0,l] B, α 1 :[0,l] B zwei Wege in B, die die Punkte p = α 0 (0) = α 1 (0) und q = α 0 (l) =α 1 (l) verbinden. Man nennt α 0 und α 1 homotop, falls eine stetige Abbildung H :[0,l] [0, 1] B existiert, so dass 1. H(s, 0) = α 0 (s), H(s, 1) = α 1 (s), s [0,l] 2. H(0,t)=p, H(l, t) =q, t [0, 1]. 6

Die Abbildung H heißt Homotopie zwischen α 0 und α 1. Eine Homotopie ist also eine Abbildung, die einen Weg α 0 stetig in einen Weg α 1 überführt (vgl. Bedingung 1 in 2.1). Bedingung 2 aus Definition 2.1 legt die Anfangspunkte und Endpunkte aller Wege H(0,t)=p, H(l, t) =q, t [0, 1] auf zwei Punkte p und q fest. Vergleiche hierzu auch Abbildung 5. Abbildung 5: Homotopie zwischen den Wegen α 0 und α 1 Nun wird gezeigt, dass Abbildungen, die die Hebungseigenschaft für Wege besitzen auch die Hebungseigenschaft für Homotopien haben. Proposition. 2.2 Seien B, B R 3. Seien weiter π : B B ein lokaler Homöomorphismus mit der Hebungseigenschaft für Wege und α 0,α 1 :[0,l] B zwei Wege in B, die die Punkte p = α 0 (0) = α 1 (0) und q = α 0 (l) =α 1 (l) verbinden, H :[0,l] [0, 1] B eine Homotopie zwischen α 0 und α 1 und sei p B ein Punkt in B mit π( p) =p. Dann existiert eine eindeutige Hebung H von H nach B mit dem Ursprung p. Beweis: Der Beweis teilt sich in zwei Abschnitte. Zunächst wird die Eindeutigkeit der Hebung H der Homotopie H gezeigt. Darauf folgend wird die Existenz einer solchen Hebung H nachgewiesen. Eindeutigkeit: Seien H 1 und H 2 zwei Hebungen von H mit H 1 (0, 0) = H 2 (0, 0) = p. Betrachte nun die Menge A [0,l] [0, 1] =: Q A := { (s, t) [0,l] [0, 1] H 1 (s, t) = H 2 (s, t) }, die alle Tupel (s, t) enthält, für die H 1 (s, t) = H 2 (s, t) gilt. A ist nichtleer, denn wenigstens der Punkt (0, 0) ist in A enthalten. A ist abgeschlossen, denn für einen Punkt (s 0,t 0 ) Q, für den eine Folge (s n,t n ) A mit (s n,t n ) (s 0,t 0 ) existiert, gilt 7

H 1 (s n,t n )= H 2 (s n,t n ) für alle n N, da (s n,t n ) A. Da H 1 und H 2 stetig sind, gilt dann für die Grenzwerte H 1 (s n,t n ) H 1 (s 0,t 0 ) und H 2 (s n,t n ) H 2 (s 0,t 0 ). Da für alle n N : H1 (s n,t n )= H 2 (s n,t n ) gilt, ist auch H 1 (s 0,t 0 )= H 2 (s 0,t 0 ). Also (s 0,t 0 ) A und A ist abgeschlossen. A ist aber auch offen, denn seien H 1 (s, t) = H 2 (s, t) = p. Es gibt eine Umgebung V um p, so dass π V ein Homöomorphismus ist, da π ein lokaler Homöomorphismus ist. Da H 1 und H 2 stetig sind, existiert eine offene Menge M t Q mit (s, t) M t, so dass H 1 (M t ) V und H 2 (M t ) V. Da π H 1 (s, t) =π H 2 (s, t) gilt und π ein Homöomorphismus ist, also inbesondere bijektiv auf V, so dass π 1 auf π(v ) existiert, gilt H 1 (s, t) = H 2 (s, t) (s, t) M t. (2.1) Also ist A auch offen. Da Q wegzusammenhängend ist und A sowohl abgeschlossen als auch offen ist, gilt A = Q. Also gilt nach Definition von A, H1 (s, t) = H 2 (s, t) für alle (s, t) A = Q, also H 1 (s, t) = H 2 (s, t). Existenz: Sei α t (s) =H(s, t) ein Weg der Homotopie H. Dann existiert α t (s) mit π α t (s) =α t (s) nach der Hebungseigenschaft für Wege von π. Definiere H(s, t) := α t (s),s [0,l],t [0, 1] als die gesuchte Hebung und überprüfe die Hebungseigenschaften aus Definition 1.5, d. h. 1. π H(s, t) =H(s, t) und H(0, 0) = α 0 (0) = p 2. H ist stetig. Zu (1.): es gilt Weiter gilt π H(s, t) =π α t (s) =H(s, t). H(0, 0) = α 0 (0) = p 0, wobei das erste Gleichheitszeichen auf Grund der Definition von H(s, t) gilt und das zweite nach der Hebungeigenschaft für Wege erfüllt ist. Letztere garantiert die Existenz der Hebung α t s von α t (s) mit dem Ursprung in p = α 0 (0). Also ist (1.) erfüllt. Bleibt noch (2.), H ist stetig, zu zeigen. Betrachte dazu die Situation in Abbildung 6. Wähle ein t 0 [0, 1]. Da H stetig ist, existiert für alle (s, t 0 ) Q und für alle ɛ > 0 ein δ > 0 so, dass H (K δ (s, t 0 )) 8

Abbildung 6: Ausgangssituation für den Existenzbeweis der Hebung in Proposition 2.2 K ɛ (H(s, t 0 )) gilt. Da π ein lokaler Homöomorphismus ist, existiert eine Umgebung U B um H(s, t 0 ) auf der π 1 existiert. Für π(u) ist π 1 stetig. Das heißt ɛ >0 δ >0:π 1 (K δ(h(s, t 0 ))) K ɛ ( π 1 (H ( s, t 0 )) ), wobei K δ(h(s, t 0 )) B. Das heißt p Q K δ(h(s,t0 )), so dass π 1 H = H stetig ist. Da t 0 beliebig war, folgt, dass H für alle (s, t) Q stetig ist. Damit ist auch (2.) nachgewiesen. Die folgende Proposition besagt, dass für eine Abbildung, die die Hebungseigenschaft für Wege und nach Proposition 2.2 dann auch die Hebungseigenschaft für Homotopien besitzt, die Hebungen zweier homotoper Wege ebenfalls homotop sind. Proposition. 2.3 Seien B, B R 3. Seien weiter π : B B ein lokaler Homöomorphismus mit der Hebungseigenschaft für Wege und α 0,α 1 :[0,l] B zwei Wege in B, die die Punkte p = α 0 (0) = α 1 (0) und q = α 0 (l) =α 1 (l) verbinden, und wähle p B so, dass π( p) =p. Sind α 0 und α 1 homotop, dann sind die Hebungen α 0 und α 1 von α 0 und α 1 mit Ursprung in p ebenfalls homotop. Beweis: Seien π : B B ein lokaler Homöomorphimus mit der Hebungseigenschaft für Wege, α 1,α 0 :[0,l] B zwei Wege in B, die die Punkte p := α 0 (0) = α 1 (0) und q := α 0 (l) =α 1 (l) verbinden. Sei weiter H :[0,l] [0, 1] B eine Homotopie zwischen α 0 und α 1. Wähle einen Punkt p in B, der Art, dass π( p) := p. Seien außerdem α 0 und α 1 die Hebungen der Wege α 0 und α 1 (vgl. hierzu Abbildung 7). Diese existieren, da π 9

Abbildung 7: Hebung H der Homotopie H die Hebungseigenschaft für Wege besitzt. Es bleibt zu zeigen, dass α 0 und α 1 homotop sind. Nach Proposition 2.2 existiert eine Hebung H :[0,l] [0, 1] B der Homotopie H zwischen α 0 und α 1. Um zu überprüfen, dass H eine Homotopie ist, werden nach und nach die Eigenschaften aus Definition 2.1 überprüft. Für H gilt H(0,t)=π 1 (H(0,t)) = π 1 (α t (0)) = α t (0) = p, t [0, 1]. Also ist der erste Teil der zweiten Bedingung aus Definition 2.1 erfüllt. Auf Grund von Proposition 2.2 existiert nach Wahl des Ursprungs p = π 1 (p) eine eindeutige Hebung H von H für die gilt α 0 (s) =π 1 (α 0 (s)) = π 1 (H(s, 0)) = H(s, 0). Das erste Gleicheitzeichen gilt nach der Hebungseigenschaft für Wege, die π nach Voraussetzung besitzt, und das zweite gilt nach Voraussetzung, dass H(s, t) eine Homotopie zwischen α 0 und α 1 ist. Die dritte Gleichheit in obiger Gleichungskette gilt nach Proposition 2.2 nach Wahl eines festen Usrpungs p = π 1 (p). Analog folgert man, dass α 1 (s) =π 1 (α 1 (s)) = π 1 (H(s, 1)) = H(s, 1). gilt. Damit ist die erste Bedingung aus Definition 2.1 auch erfüllt. Weil H(l, t) die Hebung des konstanten Weges H(l, t) =α t (l) =q ist, gilt: H(l, t) =π 1 (H(l, t)) = π 1 (α t (l)) = α t (l) = q, t [0, 1]. Somit ist auch der zweite Teil der zweiten Bedingung aus Definition 2.1 erfüllt. Es ist also auch die Hebung H der Homotopie H selbst eine Homotopie. 10

2.2 Einfach zusammenhängende Mengen und Homöomorphismen Um aus der Situation in Proposition 2.3 eine schärfere Folgerung ziehen zu können, wird folgende Definition getroffen. Definition. 2.4 Eine wegzusammenhängende Menge B R 3 heißt einfach zusammenhängend, falls für zwei gegebene Punkte p, q B und zwei Wege α 0 : [0,l] B, α 1 : [0,l] B, die p und q verbinden, eine Homotopie zwischen α 0 und α 1 in B existiert. Insbesondere ist in einer einfach zusammenhängenden Menge jeder geschlossene Weg α :[0,l] B, d. h. Wege für die α(0) = α(l) =p gilt, homotop zu dem konstanten Weg α(s) =p, s [0,l]. Jede Ebene E R 3 ist einfach zusammenhängend, denn hier kann jeder Weg auf einen konstanten Weg zusammengezogen werden. Hingegen ist eine Ebene, aus der eine Teilmenge entfernt wird, im Allgemeinen nicht mehr einfach zusammenhängend. Hier existieren Wege, die nicht mehr auf einen konstanten Weg zusammen gezogen werden können ohne die Ebene zu verlassen (vgl. Abbildung 8). Abbildung 8: Beispiel einer (a) einfach zusammenhängenden Menge und (b) einer nicht einfach zusammenhängenden Menge (hier gehört die schraffierte Fläche nicht zur Ebene) Mit Definition 2.4 kann nun Proposition 2.3 verschärft werden. Proposition. 2.5 Seien B, B R 3 und π : B B ein lokaler Homöomorphismus mit der Hebungseigenschaft für Wege. Seien weiter B wegzusammenhängend und B einfach zusammenhängend. Dann ist π ein Homöomorphismus. Beweis: Es muss gezeigt werden, dass die Abbildung π : B B bijektiv ist. Die Surjektivität folgt unmittelbar aus Satz 1.8, da B, B einfach zusammenhängend und damit auch wegzusammenhängend und π selbst stetig sind. Um zu zeigen, dass π injektiv ist, wird die Hebungseigenschaft für Wege ausgenutzt. Seien also p 1 und p 2 zwei Punkte von B mit dem gleichen Bildpunkt p := π( p 1 )=π( p 2 ) unter der Abbildung π (vgl. Abbildung 9). 11

Abbildung 9: Graphische Darstellung der Beweisidee von Proposition 2.5 Kann nun gezeigt werden, dass p 1 = p 2 gilt, ist die Injektivität und damit die Bijektivität von π nachgewiesen. Da B wegzusammenhängend ist, existiert ein Weg α 0 :[0,l] B, der die Punkte p 1 =: α 0 (0) und p 2 =: α 0 (l) verbindet. Da π ein lokaler Homöomorphismus ist, ist π insbesondere stetig. Damit wird der Weg α 0 auf einen Weg π α 0 =: α 0 :[0,l] B abgebildet. Dies ist aber ein geschlossener Weg, da der Anfangspunkt π( α 0 (0)) = π( p 1 )= p gleich dem Endpunkt π( α 0 (0)) = π( p 2 )=p von α 0 ist. Weil B einfach zusammenhängend ist, existiert per Definition eine Homotopie H : [0,l] [0, 1], die den Weg α 0 stetig in den konstanten Weg α 1 :[0,l] B überführt, für den α 1 (s) =p für s [0,l] gilt. Nach Proposition 2.2 besitzt die Abbildung π die Hebungseigenschaft für Homotopien. Es existiert also eine Hebung α 1 :[0,l] B von α 1 mit dem Ursprung p := π 1 (α 1 (0)). Nach Proposition 2.3 ist der Weg α 0 homotop zum konstanten Weg α 1. Es existiert also eine Abbildung H :[0,l] [0, 1] B, die α 0 stetig in den Weg α 1 überführt, für den α 1 (0) = α 1 (l) = p gilt. Daraus folgt p 1 = p 2 = p. Aus Proposition 2.5 folgt nun unmittelbar folgendes Korollar. 2.6 Seien B, B R 3 und π : B B eine Überlagerung. Seien weiter B wegzusammenhängend und B einfach zusammenhängend. Dann ist π ein Homöomorphismus. Beweis: Seien B R 3 wegzusammenhängend, B R 3 einfach zusammenhängend und π : B B eine Überlagerung. Da B wegzusammenhängend, B einfach zusammenhängend ist und jede Überlagerung per Definition ein lokaler Homöomorphismus ist und nach Proposition 1.6 jede Überlagerung auch die Hebungseigenschaft für Wege besitzt, 12

folgt mit Proposition 2.5, dass π ein Homöomorphismus ist. 3 Ende Für die Ausgangsfragen auf Seite 2 ergibt sich also, dass eine lokaler Homöomorphismus π : B B für zwei Mengen B,B R 3 eine Überlagerung ist, wenn die Menge B kompakt und die Menge B zusammenhängend ist. Wenn die Mengen B zusätzlich wegzusammenhängend und B einfach zusammenhängend sind, dann ist jede Überlagerung π auch ein Homöomorphismus. Literatur [1] M. DoCarmo: Differential Geometry of curves and surfaces, Englewood Cliffs 13