F3 albleiterparameter Die albleiterphysik und damit verbundene Begriffe sollen anhand von alleffekt- und Leitfähigkeitsmessung in Abhängigkeit von der Temperatur verdeutlicht werden 1. Theoretische Grundlagen 1.1 Bändermodell Sehr reine, undotierte albleiter verhalten sich bei sehr tiefen Temperaturen wie Isolatoren. Im Kristallgitter (Diamantstruktur) eines Elementhalbleiters wie Silizium (Si) oder Germanium (Ge) bilden alle Valenzelektronen (vier pro Atom) kovalente Elektronenpaarbindungen zwischen den 4-wertigen Atomen. Bei zunehmender Temperatur treten Gitterschwingungen auf. Die Schwingungsenergie beträgt 3/k T pro Atom, ist statistisch über die Atome verteilt. So wird bei einigen Atomen die Schwingungsenergie so groß, dass dort die Bindung zu den Nachbaratomen aufbricht. Das vorher eine Valenzbindung ausübende Elektron ist damit quasifrei geworden und kann sich im Kristall bewegen, es kann einem elektrischen Feld folgen und dabei einen Stromfluss bewirken. Das undotierte albleitermaterial wird somit bei Bild 1: Darstellung kovalenter Elektonenpaarbindungen zunehmender Temperatur mehr und mehr leitfähig, es ist eigenleitend. Im Energiebänderschema oder Bändermodell der albleiterphysik werden die Elektronen nach ihrer Energie klassifiziert. Elektronen in Valenzbindungen besetzen das energetisch tiefere Valenzband. Die quasifreien Elektronen, die nicht mehr an der Bindung teilhaben, besetzen Zustände im energetisch höher liegenden Leitungsband. (In der Quantenmechanik wird gezeigt, dass wegen des Pauliprinzips die im Einzelatom scharfen Energiezustände aufsplitten müssen; die Kristallelektronen besetzen daher gewisse Energiebereiche, sog. Energiebänder, die voneinander durch eine verbotene Zone, den Bandabstand oder die sog. Gapenergie, getrennt sind.) a) bei sehr tiefer Temperatur b) bei höherer Temperatur Bild : Elektronenenergie im albleiter 15
F3 albleiterparameter In dieser Bandlücke, auch verbotenes Band genannt, gibt es keine von Elektronen besetzbare Energiezustände. Die Wahrscheinlichkeit zur thermischen Anregung und damit die Konzentration n quasifreier Elektronen im Leitungsband wird beschrieben durch eine exponentielle Funktion k T = n e n( T ) (1) k = 1,38 1-3 J K -1 : Boltzmann-Konstante T : absolute Temperatur Für einen praktisch anwendbaren Transistor oder integrierten Schaltkreis darf sich das elektrische Verhalten nur wenig mit der Temperatur ändern. Die Verwendung von eigenleitendem albleitermaterial, dessen Elektronenkonzentration bzw. Widerstand exponentiell temperaturabhängig ist, kommt dafür nicht in Frage. Man verwendet deshalb für solche Zwecke dotiertes albleitermaterial. In das hochreine Grundmaterial wird durch Dotieren eine bestimmte Konzentration von 3- oder 5- wertigen Fremdatomen (Störstellen) eingebaut. Dadurch sind im dotierten albleiterkristall zusätzlich zu den Valenzelektronen überschüssige bzw. fehlende Elektronen, sogenannten Defektelektronen oder Löcher, vorhanden, die zum Stromtransport zur Verfügung stehen. Der Temperaturgang der Elektronenkonzentration wird im undotierten, eigenleitenden Zustand durch die Exponentialfunktion Gleichung (1) beschrieben: n ~ e k T Im dotierten Zustand ist die Elektronenkonzentration n bzw. die Löcherkonzentration p praktisch konstant, weil die Dotierungskonzentration meist um mehr als 4 Größenordnungen höher liegt als die Ladungsträgerkonzentration bei Zimmertemperatur infolge der Eigenleitung. Wird der albleiter jedoch stark erwärmt, so werden zunehmend Ladungsträger ins Leitungsband angeregt, bis schließlich die thermisch bedingte Konzentration die Dotierungskonzentration wieder überwiegt: die horizontale Gerade für n mündet in den exponentiellen Verlauf der Eigenleitung ein (Bild 3). Bild 3: Schematische Darstellung des Temperaturverlaufs Bild 4: Darstellung des Temperaturverlaufs ln(n) = f(1/t) - -
F3 albleiterparameter Meist wird der Temperaturgang nicht als n(t), sondern in der Form ln(n) in Abhängigkeit von 1/T aufgetragen (Bild 4). Dabei erscheint der exponentielle Verlauf bei Eigenleitung (Bereich I) als fallende Gerade, deren Steigung durch /k bestimmt ist. Bei Störstellenleitung (Bereich II) gilt n=konst.; bei sehr tiefer Temperatur (Bereich III) ist die thermische Energie so gering, dass die zusätzlichen Elektronen von den Störstellenatomen eingefangen werden. Der Temperaturgang der spezifischen Leitfähigkeit κ(t) verläuft sehr ähnlich zu n(t). Es überlagert sich nur der schwache Temperaturgang der Beweglichkeit, die mit zunehmender Temperatur abnimmt. Im Eigenleitungsbereich I überwiegt jedoch das exponentielle Anwachsen der Elektronenkonzentration den Einfluss der Beweglichkeit. 1. all-effekt Bild 5: all-effekt Wird entsprechend Bild 5 eine dünne Metallplatte P von einem gleichmäßig über ihren Querschnitt verteilten Strom I durchflossen, so ist zwischen zwei Punkten A und B, die am Rande der Platte zu beiden Seiten gleich weit von der Stromzuleitung entfernt liegen, keine Potentialdifferenz vorhanden. Wirkt aber senkrecht zur Platte ein Magnetfeld vom Betrag B, so tritt zwischen A und B eine Spannung auf, und es fließt durch ein an diese Punkte angeschlossenes Galvanometer ein Strom. Die rsache hierfür liegt in einer Verbiegung der ursprünglich parallelen Elektronenbahnen in der Platte P durch das Magnetfeld. Die Äquipotentialflächen erfahren dadurch eine Drehung gegen ihre ursprüngliche Lage. Für die all-spannung zwischen den Punkten A und B, die ursprünglich das gleiche Potential hatten, ergibt sich experimentell die Gleichung B I = R () d R ist ein Proportionalitätsfaktor mit der Einheit m 3 A -1 s -1, der all-koeffizient genannt wird. B ist die magnetische Flussdichte, d die Dicke der Platte. Der all-koeffizient R kann nach Auswertung eines Experimentes positiv oder negativ sein. Danach unterscheidet man positiven und negativen all-effekt. - 3 -
F3 albleiterparameter 1.3 Theoretische Überlegungen zur erleitung von Gleichung () Die Stromdichte J in der Längsrichtung der Platte P ist J I = = v el, d b wenn n die Anzahl der Elektronen je Volumen, e die Ladung des Elektrons und v el die (gerichtete) Geschwindigkeit eines Elektrons bedeuten. Es ist also v el J = (3) Das Magnetfeld der Flussdichte B übt auf die Elektronen senkrecht zu ihrer Bewegungsrichtung und senkrecht zu B eine ablenkende Lorentzkraft vom Betrag F = e B v aus. Sie bewirkt solange eine = e E = e b mit dem elektri- Querverschiebung der Elektronen, bis ihr die Coulomb-Kraft F schen Transversalfeld E tr das Gleichgewicht hält. Dann gilt also L el C tr / e b = e B v, el woraus unter Benutzung der Gleichung (3) die gesuchte Gleichung für den all-effekt folgt: R B I = 1 J B b =. d Der all-koeffizient selbst ist durch die Beziehung gegeben: R = 1. (4) Wird an Stelle von v el in Gleichung (3) die Elektronenbeweglichkeit µ = v el E eingeführt und beachtet, dass allgemein J = σe σ : elektrische Leitfähigkeit, σ = 1/ρ mit ρ: spezifischer Widerstand ist, so folgt weiter mit Rücksicht auf das Vorzeichen von e 1 µ = = ρ µ. (5) σ Damit ergibt sich für den all-koeffizienten die weitere Beziehung µ R = ρ µ = (6) σ - 4 -
F3 albleiterparameter Bei der in einer albleiterprobe möglichen Elektronen- (n) und Löcherleitung (p) ergibt sich unter den Voraussetzungen eines vereinfachten klassischen Modells zur Bewegung von Ladungsträgern die Beziehung R 1 σ p σ n = e np σ nn σ (7) wobei n p bzw. n n die Löcher bzw. die Elektronenkonzentrationen sind. In Gleichung (7) ist berücksichtigt, dass sich die Leitfähigkeit σ der Probe aus der elektronischen σ n und der Löcherleitfähigkeit σ p additiv zusammensetzt. Im Fall einer Überschussleitung mit n p >> n n und daraus folgend σ σ p erhält man als all-konstante für die Löcherleitung R µ p = 1 = σ p (8) und mit n n >> n p (σ σ n ) für die Elektronenleitung R 1 = = n µ n σ (9) Dabei sind µ p,n die Löcher- bzw. die Elektronenbeweglichkeit. Aus der Größe und dem Vorzeichen von R lassen sich damit die Ladungsträgerdichte, der Leitungstyp und die Beweglichkeit der Ladungsträger bestimmen..versuch.1 Vorbetrachtung Aufgabe 1: Was verstehen Sie unter Elektronen- bzw. Löcherleitung? Aufgabe : Ein Kupferdraht mit einer Querschnittsfläche von 1mm hat bei einer Temperatur von C einen Widerstand von 1Ω. a) Wie lang ist der Draht bei einer Temperatur von C? b) Durch eine Temperaturerhöhung um 8K erhöht sich der Widerstand zum einen durch den Anstieg des spezifischen Widerstandes und zum anderen durch die thermische Ausdehnung des Drahtes. Berechnen Sie die daraus resultierenden Widerstände und kommentieren Sie die Änderung!. Versuchsdurchführung..1 Verwendete Geräte Die Germanium-Proben mit den Abmessungen ( 1 1)mm 3 (l b d) sind auf Platinen befestigt, die auch die benötigten Kontakte aufweisen. Auf der Rückseite der Platten befinden sich jeweils die eizwendeln. Ein Kupfer-Konstantan-Thermoelement liefert eine Thermospannung, die in einem anzuschließenden Messgerät verstärkt und angezeigt wird (angezeigte Einheit: C). Weitere benötigte Geräte: Stromversorgungsgerät für eizung (-15 V, -5 A), Netzgerät für Magnetfeld (-3 V, -3 A), Netzgerät für Probenstrom (-3 V, -3 ma), 3 Vielfachmessgeräte - 5 -
F3 albleiterparameter.. Versuchshinweise Aufgabe 1: ntersuchung der all- und der Probenspannung einer p-germanium-probe bei konstanter Temperatur und konstantem Strom in Abhängigkeit vom äußeren Magnetfeld Überprüfen Sie die Anschlüsse für die Messung der all- bzw. der Probenspannung, sowie für die Messung des Spulenstromes. Zwischen den Polschuhen befindet sich die Sonde des Teslameters zur Messung der magnetischen Feldstärke B. Schalten Sie die Betriebsspannung für das Messmodul ein und überprüfen Sie die Messbereichseinstellungen der angeschlossenen Multimeter. Stellen Sie die Betriebsspannung der Spulen auf 5V ein. Stellen Sie am Messmodul einen Probenstrom von I P = 3 ma ein und kompensieren Sie zu Beginn mit ilfe des Stellreglers comp. die allspannung auf = mv. Mit dem Stromregler am Netzgerät kann der Spulenstrom durch den Transformator und somit die magnetische Flussdichte B geregelt werden. Erhöhen Sie bei der Messung die magnetische Flussdichte von mt bis 3 mt in 5 mt-schritten und messen Sie dabei jeweils die allspannung, die Probenspannung und den Spulenstrom I Sp. Aufgabe : ntersuchung der Probenspannung (bei B = ) einer p-germanium-probe bei konstantem Strom in Abhängigkeit von der Temperatur. Nehmen Sie vorsichtig die all-sonde des Teslameters aus dem Polspalt heraus und entfernen Sie die aufgesetzten Polschuhe. Stellen Sie den Probenstrom von 3 ma ein. Schalten Sie die Displayanzeige auf Temperaturmessung durch Betätigung des Tasters am Messmodul ein. Schalten Sie nun den eizstrom an der Rückseite des Messmoduls ein. Die Erwärmung der Probe erfolgt durch eine in die Platine integrierte eizung. Diese eizung schalten Sie kurz vor Erreichen des Maximalwertes von 17 C ab. Lesen Sie die Probenspannung während der Abkühlungsphase alle 1 K ab. Bauen Sie den Versuch mit ilfe des Laborpersonals um und wiederholen Sie die Aufgaben1 und mit einer n-germanium-probe..3 Versuchsauswertung Aufgabe 1: ntersuchung der all- und der Probenspannung einer p-ge-probe (bzw. n-ge-probe) bei konstanter Temperatur und konstantem Probenstrom in Abhängigkeit vom äußeren Magnetfeld Stellen Sie in einem Diagramm die Funktion B = f(i) graphisch dar und tragen Sie die Regressionsgeraden und die Fehlerbalken ein. Stellen Sie in einem Diagramm die Funktion = f(b) graphisch dar und berechnen Sie über den Anstieg der Regressionsgeraden die all Konstante. Verwenden Sie dazu die bekannten Werte der Probendicke d und des konstanten Probenstromes I P. Tragen Sie die Fehlerbalken in das Diagramm mit ein. Berechnen Sie die Ladungsträgerdichte n. Bestimmen Sie die Leitfähigkeit σ und die Beweglichkeit µ. - 6 -
F3 albleiterparameter Die Leitfähigkeit σ der Probe wird aus den Produkten der Verhältnisse des Probenstromes I und der gemessenen Werte der Probenspannung (bei B = ) sowie dem Verhältnis der Länge l und der Querschnittsfläche A bestimmt. Es gilt: I l 1 l σ = = (1) A R A B= Stellen Sie in einem Diagramm die Probenspannung zur magnetischen Flussdichte B als Funktion = f(b) graphisch dar und tragen Sie die Regressionsgeraden ein. Zur erweiterten Behandlung stellen Sie die Änderung des relativen Probenwiderstandes (R- R /R ) in Abhängigkeit von der Magnetflussdichte B der Funktion (R-R /R ) =f(b) graphisch dar und diskutieren Sie das Ergebnis. Schätzen Sie die auftretenden Messunsicherheiten unter Verwendung der erstellten Diagramme quantitativ ab und diskutieren Sie die Ergebnisse. Aufgabe : ntersuchung der Probenspannung (bei B = ) einer p-germanium-probe bei konstantem Strom in Abhängigkeit von der Temperatur. Stellen Sie in einem Diagramm auf halblogarithmischem Papier die Funktion ln -1 = f(t -1 ) graphisch dar (logarithmisch -1, linear T -1 ). Zeichnen Sie den eigenleitenden Zustand (linearer Bereich) in das Diagramm ein. Bestimmen Sie die Steigung dieser Ausgleichsgerade und ermitteln Sie daraus den Bandabstand. Verwenden Sie dazu den Zusammenhang k T κ = q n µ mit µ konst. und n( T ) =. Es ergibt sich daraus die Gleichung k T = e σ ( T ) σ. Gekoppelt mit erhält man σ ( T) = ln I l A 1 = R 1 1 ( ) = ln( ) l A Eg k T. Rechnen Sie das Ergebnis in die übliche Energieeinheit ev um und vergleichen Sie es mit dem Tabellenwert ( =,66eV). Schätzen Sie die auftretenden Messunsicherheiten unter Verwendung des erstellten Diagrammes quantitativ ab und diskutieren Sie die Ergebnisse. ntersuchen Sie die n-germanium-probe, in dem Sie die Aufgaben 1 und wiederholen. Vergleichen Sie die Ergebnisse beider Proben miteinander. - 7 -